1、第 PAGE10 頁 共 NUMPAGES10 頁高中數(shù)學導數(shù)知識點總結歸納高中數(shù)學導數(shù)知識點總結1一、早期導數(shù)概念特殊的形式大約在1629年法國數(shù)學家費馬研究了作曲線的切線和求函數(shù)極值的方法1637年左右他寫一篇手稿求最大值與最小值的方法。在作切線時他構造了差分f(A+E)-f(A),發(fā)現(xiàn)的因子E就是我們所說的導數(shù)f(A)。二、17世紀廣泛使用的“流數(shù)術”17世紀生產力的發(fā)展推動了自然科學和技術的發(fā)展在前人創(chuàng)造性研究的基礎上大數(shù)學家牛頓、萊布尼茨等從不同的角度開始系統(tǒng)地研究微積分。牛頓的微積分理論被稱為“流數(shù)術”他稱變量為流量稱變量的變化率為流數(shù)相當于我們所說的導數(shù)。牛頓的有關“流數(shù)術”的主

2、要著作是求曲邊形面積、運用無窮多項方程的計算法和流數(shù)術和無窮級數(shù)流數(shù)理論的實質概括為他的重點在于一個變量的函數(shù)而不在于多變量的方程在于自變量的變化與函數(shù)的變化的比的構成最在于決定這個比當變化趨于零時的極限。三、19世紀導數(shù)逐漸成熟的理論1750年達朗貝爾在為法國科學家院出版的百科全書第五版寫的“微分”條目中提出了關于導數(shù)的一種觀點可以用現(xiàn)代符號簡單表示dy/d_)=lim(oy/o_)。1823年柯西在他的無窮小分析p 概論中定義導數(shù)如果函數(shù)y=f(_)在變量_的兩個給定的界限之間保持連續(xù)并且我們?yōu)檫@樣的變量指定一個包含在這兩個不同界限之間的值那么是使變量得到一個無窮小增量。19世紀60年代以

3、后魏爾斯特拉斯創(chuàng)造了-語言對微積分中出現(xiàn)的各種類型的極限重加表達導數(shù)的定義也就獲得了今天常見的形式。四、實無限將異軍突起微積分第二輪初等化或成為可能微積分學理論基礎大體可以分為兩個部分。一個是實無限理論即無限是一個具體的東西一種真實的存在另一種是潛無限指一種意識形態(tài)上的過程比如無限接近。就歷史來看兩種理論都有一定的道理。其中實無限用了150年后來極限論就是現(xiàn)在所使用的。光是電磁波還是粒子是一個物理學長期爭論的問題后來由波粒二象性來統(tǒng)一。微積分無論是用現(xiàn)代極限論還是150年前的理論都不是最好的手段。高中數(shù)學導數(shù)知識點總結21.求函數(shù)的單調性：利用導數(shù)求函數(shù)單調性的基本方法：設函數(shù)yf(_)在區(qū)間

4、(a,b)內可導， (1)如果恒f(_)0，則函數(shù)yf(_)在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù);(2)如果恒f(_)0，則函數(shù)yf(_)在區(qū)間(a,b)上為減函數(shù); (3)如果恒f(_)0，則函數(shù)yf(_)在區(qū)間(a,b)上為常數(shù)函數(shù)。利用導數(shù)求函數(shù)單調性的基本步驟：求函數(shù)yf(_)的定義域;求導數(shù)f(_);解不等式f(_)0，解集在定義域內的不間斷區(qū)間為增區(qū)間;解不等式f(_)0，解集在定義域內的不間斷區(qū)間為減區(qū)間。反過來, 也可以利用導數(shù)由函數(shù)的單調性解決相關問題(如確定參數(shù)的取值范圍)： 設函數(shù)yf(_)在區(qū)間(a,b)內可導，(1)如果函數(shù)yf(_)在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù),則f(_)0(其

5、中使f(_)0的_值不構成區(qū)間);(2) 如果函數(shù)yf(_)在區(qū)間(a,b)上為減函數(shù),則f(_)0(其中使f(_)0的_值不構成區(qū)間);(3) 如果函數(shù)yf(_)在區(qū)間(a,b)上為常數(shù)函數(shù),則f(_)0恒成立。 2.求函數(shù)的極值：設函數(shù)yf(_)在_0及其附近有定義，如果對_0附近的所有的點都有f(_)f(_0)(或f(_)f(_0)，則稱f(_0)是函數(shù)f(_)的極小值(或極大值)。可導函數(shù)的極值，可通過研究函數(shù)的單調性求得，基本步驟是：(1)確定函數(shù)f(_)的定義域;(2)求導數(shù)f(_);(3)求方程f(_)0的全部實根，_1_2_n，順次將定義域分成若干個小區(qū)間，并列表：_變化時，f

6、(_)和f(_)值的變化情況：(4)檢查f(_)的符號并由表格判斷極值。 3.求函數(shù)的最大值與最小值：如果函數(shù)f(_)在定義域I內存在_0，使得對任意的_I，總有f(_)f(_0)，則稱f(_0)為函數(shù)在定義域上的最大值。函數(shù)在定義域內的極值不一定唯一，但在定義域內的最值是唯一的。求函數(shù)f(_)在區(qū)間a,b上的最大值和最小值的步驟： (1)求f(_)在區(qū)間(a,b)上的極值;(2)將第一步中求得的極值與f(a),f(b)比較，得到f(_)在區(qū)間a,b上的最大值與最小值。4.解決不等式的有關問題：(1)不等式恒成立問題(絕對不等式問題)可考慮值域。f(_)(_A)的值域是a,b時，不等式f(_)

7、0恒成立的充要條件是f(_)ma_0，即b0;不等式f(_)0恒成立的充要條件是f(_)min0，即a0。f(_)(_A)的值域是(a,b)時，不等式f(_)0恒成立的充要條件是b0; 不等式f(_)0恒成立的充要條件是a0。(2)證明不等式f(_)0可轉化為證明f(_)ma_0，或利用函數(shù)f(_)的單調性，轉化為證明f(_)f(_0)0。5.導數(shù)在實際生活中的應用：實際生活求解最大(小)值問題，通常都可轉化為函數(shù)的最值.在利用導數(shù)來求函數(shù)最值時，一定要注意，極值點唯一的單峰函數(shù)，極值點就是最值點，在解題時要加以說明。高中數(shù)學導數(shù)知識點總結3一、求導數(shù)的方法(1)基本求導公式(2)導數(shù)的四則運

8、算(3)復合函數(shù)的導數(shù)設在點_處可導，y=在點處可導，則復合函數(shù)在點_處可導，且即二、關于極限.1.數(shù)列的極限：粗略地說，就是當數(shù)列的項n無限增大時，數(shù)列的項無限趨向于A，這就是數(shù)列極限的描述性定義。記作：=A。如：2函數(shù)的極限：當自變量_無限趨近于常數(shù)時，如果函數(shù)無限趨近于一個常數(shù)，就說當_趨近于時，函數(shù)的極限是,記作三、導數(shù)的概念1、在處的導數(shù).2、在的導數(shù).3.函數(shù)在點處的導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點處的導數(shù)是曲線在處的切線的斜率，即k=，相應的切線方程是注：函數(shù)的導函數(shù)在時的函數(shù)值，就是在處的導數(shù)。例、若=2，則=A-1B-2C1D四、導數(shù)的綜合運用(一)曲線的切線函數(shù)y=f(_)在點處的

9、導數(shù)，就是曲線y=(_)在點處的切線的斜率.由此，可以利用導數(shù)求曲線的切線方程.具體求法分兩步：(1)求出函數(shù)y=f(_)在點處的導數(shù)，即曲線y=f(_)在點處的切線的斜率k=;(2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為_。高中數(shù)學函數(shù)與導數(shù)知識點總結分享：函數(shù)與導數(shù)第一、求函數(shù)定義域題忽視細節(jié)函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，考生想要在考場上準確求出定義域，就要根據(jù)函數(shù)解析式把各種情況下的自變量的限制條件找出來，列成不等式組，不等式組的解集就是該函數(shù)的定義域。在求一般函數(shù)定義域時，要注意以下幾點：分母不為0;偶次被開放式非負;真數(shù)大于0以及0的0次冪無意義。函數(shù)的定義

10、域是非空的數(shù)集，在解答函數(shù)定義域類的題時千萬別忘了這一點。復合函數(shù)要注意外層函數(shù)的定義域由內層函數(shù)的值域決定。第二、帶絕對值的函數(shù)單調性判斷錯誤帶絕對值的函數(shù)實質上就是分段函數(shù)，判斷分段函數(shù)的單調性有兩種方法：第一，在各個段上根據(jù)函數(shù)的解析式所表示的函數(shù)的單調性求出單調區(qū)間，然后對各個段上的單調區(qū)間進行整合;第二，畫出這個分段函數(shù)的圖象，結合函數(shù)圖象、性質能夠進行直觀的判斷。函數(shù)題離不開函數(shù)圖象，而函數(shù)圖象反應了函數(shù)的所有性質，考生在解答函數(shù)題時，要第一時間在腦海中畫出函數(shù)圖象，從圖象上分析p 問題，解決問題。對于函數(shù)不同的單調遞增(減)區(qū)間，千萬記住，不要使用并集，指明這幾個區(qū)間是該函數(shù)的單

11、調遞增(減)區(qū)間即可。第三、求函數(shù)奇偶性的常見錯誤求函數(shù)奇偶性類的題最常見的錯誤有求錯函數(shù)定義域或忽視函數(shù)定義域，對函數(shù)具有奇偶性的前提條件不清，對分段函數(shù)奇偶性判斷方法不當?shù)鹊取Ｅ袛嗪瘮?shù)的奇偶性，首先要考慮函數(shù)的定義域，一個函數(shù)具備奇偶性的必要條件是這個函數(shù)的定義域區(qū)間關于原點對稱，如果不具備這個條件，函數(shù)一定是非奇非偶的函數(shù)。在定義域區(qū)間關于原點對稱的前提下，再根據(jù)奇偶函數(shù)的定義進行判斷。在用定義進行判斷時，要注意自變量在定義域區(qū)間內的任意性。第四、抽象函數(shù)推理不嚴謹很多抽象函數(shù)問題都是以抽象出某一類函數(shù)的共同“特征”而設計的，在解答此類問題時，考生可以通過類比這類函數(shù)中一些具體函數(shù)的性質

12、去解決抽象函數(shù)。多用特殊賦值法，通過特殊賦可以找到函數(shù)的不變性質，這往往是問題的突破口。抽象函數(shù)性質的證明屬于代數(shù)推理，和幾何推理證明一樣，考生在作答時要注意推理的嚴謹性。每一步都要有充分的條件，別漏掉條件，更不能臆造條件，推理過程層次分明，還要注意書寫規(guī)范。第五、函數(shù)零點定理使用不當若函數(shù)y=f(_)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)f(b)第六、混淆兩類切線曲線上一點處的切線是指以該點為切點的曲線的切線，這樣的切線只有一條;曲線的過一個點的切線是指過這個點的曲線的所有切線，這個點如果在曲線上當然包括曲線在該點處的切線，曲線的過一個點的切線可能不止一條。因此，考生在求解曲線的