1、2021-2022高考數學模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知函數，則（ ）ABCD2雙曲線：（），左焦點到漸近線的距離為2，則雙曲線的漸近線方程為（ ）ABCD3已知集合，若AB，則實數的取值范圍是（ ）ABCD4雙曲線的漸近線方程是（ ）ABCD5已知雙曲線的一條漸近線為，圓與相切于點，若

2、的面積為，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD6已知拋物線上的點到其焦點的距離比點到軸的距離大，則拋物線的標準方程為（ ）ABCD7定義在上的奇函數滿足，若，則（ ）AB0C1D28若函數在處取得極值2，則（ ）A-3B3C-2D29使得的展開式中含有常數項的最小的n為( )ABCD10的展開式中的系數為（ ）ABCD11已知非零向量滿足，且與的夾角為，則（ ）A6BCD312設復數滿足，在復平面內對應的點的坐標為則（）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13將底面直徑為4，高為的圓錐形石塊打磨成一個圓柱，則該圓柱的側面積的最大值為_.14已知復數z112i，z2a+2i（其中

3、i是虛數單位，aR），若z1z2是純虛數，則a的值為_15已知函數，則曲線在點處的切線方程為_.16已知數列滿足，若，則數列的前n項和_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在中，內角的對邊分別為，且（1）求；（2）若，且面積的最大值為，求周長的取值范圍.18（12分）某商場舉行優惠促銷活動，顧客僅可以從以下兩種優惠方案中選擇一種.方案一：每滿100元減20元；方案二：滿100元可抽獎一次.具體規則是從裝有2個紅球、2個白球的箱子隨機取出3個球（逐個有放回地抽取），所得結果和享受的優惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區別）紅球個數3210實際付款7折8折9折

4、原價（1）該商場某顧客購物金額超過100元，若該顧客選擇方案二，求該顧客獲得7折或8折優惠的概率；（2）若某顧客購物金額為180元，選擇哪種方案更劃算？19（12分）某公司打算引進一臺設備使用一年，現有甲、乙兩種設備可供選擇.甲設備每臺10000元，乙設備每臺9000元.此外設備使用期間還需維修，對于每臺設備，一年間三次及三次以內免費維修，三次以外的維修費用均為每次1000元.該公司統計了曾使用過的甲、乙各50臺設備在一年間的維修次數，得到下面的頻數分布表，以這兩種設備分別在50臺中的維修次數頻率代替維修次數發生的概率.維修次數23456甲設備5103050乙設備05151515（1）設甲、乙

5、兩種設備每臺購買和一年間維修的花費總額分別為和，求和的分布列；（2）若以數學期望為決策依據，希望設備購買和一年間維修的花費總額盡量低，且維修次數盡量少，則需要購買哪種設備？請說明理由.20（12分）在三棱錐中，是邊長為的正三角形，平面平面，M、N分別為、的中點.（1）證明：；（2）求三棱錐的體積.21（12分）已知直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；（2）設點，直線與曲線交于兩點，求的值.22（10分）設數列，的各項都是正數，為數列的前n項和，且對任意，都有，（e是自然對

6、數的底數）.（1）求數列，的通項公式；（2）求數列的前n項和.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A【解析】根據分段函數解析式，先求得的值，再求得的值.【詳解】依題意，.故選：A【點睛】本小題主要考查根據分段函數解析式求函數值，屬于基礎題.2B【解析】首先求得雙曲線的一條漸近線方程，再利用左焦點到漸近線的距離為2，列方程即可求出，進而求出漸近線的方程.【詳解】設左焦點為，一條漸近線的方程為，由左焦點到漸近線的距離為2，可得，所以漸近線方程為，即為,故選：B【點睛】本題考查雙曲線的漸近線的方程，考查了點到直線的距離公式，

7、屬于中檔題.3D【解析】先化簡，再根據，且AB求解.【詳解】因為，又因為，且AB，所以.故選：D【點睛】本題主要考查集合的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.4C【解析】根據雙曲線的標準方程即可得出該雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程是.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意雙曲線的簡單性質的合理運用5D【解析】由圓與相切可知，圓心到的距離為2，即.又，由此求出的值，利用離心率公式，求出e.【詳解】由題意得，.故選：D.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質，直線與圓相切的性質，離心率的求法，屬于中檔題.6B【解析】由

8、拋物線的定義轉化，列出方程求出p，即可得到拋物線方程【詳解】由拋物線y22px（p0）上的點M到其焦點F的距離比點M到y軸的距離大，根據拋物線的定義可得，所以拋物線的標準方程為：y22x故選B【點睛】本題考查了拋物線的簡單性質的應用，拋物線方程的求法，屬于基礎題7C【解析】首先判斷出是周期為的周期函數，由此求得所求表達式的值.【詳解】由已知為奇函數，得，而，所以，所以，即的周期為.由于，所以，.所以，又，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查函數的奇偶性和周期性，屬于基礎題.8A【解析】對函數求導,可得,即可求出,進而可求出答案.【詳解】因為,所以,則,解得,則.故選:A.【點睛】本題考查了函數

9、的導數與極值,考查了學生的運算求解能力,屬于基礎題.9B【解析】二項式展開式的通項公式為，若展開式中有常數項，則，解得，當r取2時，n的最小值為5，故選B【考點定位】本題考查二項式定理的應用10C【解析】由題意，根據二項式定理展開式的通項公式，得展開式的通項為，則展開式的通項為，由，得，所以所求的系數為.故選C.點睛：此題主要考查二項式定理的通項公式的應用，以及組合數、整數冪的運算等有關方面的知識與技能，屬于中低檔題，也是常考知識點.在二項式定理的應用中，注意區分二項式系數與系數，先求出通項公式，再根據所求問題，通過確定未知的次數，求出，將的值代入通項公式進行計算，從而問題可得解.11D【解析

10、】利用向量的加法的平行四邊形法則，判斷四邊形的形狀，推出結果即可【詳解】解：非零向量，滿足，可知兩個向量垂直，且與的夾角為，說明以向量，為鄰邊，為對角線的平行四邊形是正方形，所以則故選：【點睛】本題考查向量的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則的應用，考查分析問題解決問題的能力，屬于基礎題12B【解析】根據共軛復數定義及復數模的求法，代入化簡即可求解.【詳解】在復平面內對應的點的坐標為，則，代入可得，解得.故選：B.【點睛】本題考查復數對應點坐標的幾何意義，復數模的求法及共軛復數的概念，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】由題意欲使圓柱側面積最大，需使圓柱內接

11、于圓錐.設圓柱的高為h，底面半徑為r，則，將側面積表示成關于的函數，再利用一元二次函數的性質求最值.【詳解】欲使圓柱側面積最大，需使圓柱內接于圓錐.設圓柱的高為h，底面半徑為r，則，所以.，當時，的最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查圓柱的側面積的最值，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想、，考查空間想象能力和運算求解能力，求解時注意將問題轉化為函數的最值問題.14-1【解析】由題意，令即可得解.【詳解】z112i，z2a+2i，又z1z2是純虛數，解得：a1故答案為：1【點睛】本題考查了復數的概念和運算，屬于基礎題.15【解析】根據導數的幾何意義求出切線的斜率，利用點斜式求切線方程.【詳解】

12、因為，所以，又故切線方程為，整理為，故答案為：【點睛】本題主要考查了導數的幾何意義，切線方程，屬于容易題.16【解析】,求得的通項，進而求得,得通項公式，利用等比數列求和即可.【詳解】由題為等差數列，,故答案為【點睛】本題考查求等差數列數列通項，等比數列求和，熟記等差等比性質，熟練運算是關鍵，是基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）【解析】（1）利用二倍角公式及三角形內角和定理，將化簡為，求出的值，結合，求出A的值；（2）寫出三角形的面積公式，由其最大值為求出.由余弦定理，結合，求出的范圍，注意.進而求出周長的范圍.【詳解】解：（1）整理得解得或

13、(舍去)又；（2）由題意知，又，又周長的取值范圍是【點睛】本題考查了二倍角余弦公式，三角形面積公式，余弦定理的應用，求三角形的周長的范圍問題.屬于中檔題.18（1）（2）選擇方案二更為劃算【解析】（1）計算顧客獲得7折優惠的概率，獲得8折優惠的概率，相加得到答案.（2）選擇方案二，記付款金額為元，則可取的值為126，144，162，180.，計算概率得到數學期望，比較大小得到答案.【詳解】（1）該顧客獲得7折優惠的概率，該顧客獲得8折優惠的概率，故該顧客獲得7折或8折優惠的概率.（2）若選擇方案一，則付款金額為.若選擇方案二，記付款金額為元，則可取的值為126，144，162，180.，則.因

14、為，所以選擇方案二更為劃算.【點睛】本題考查了概率的計算，數學期望，意在考查學生的計算能力和應用能力.19（1）分布列見解析，分布列見解析；（2）甲設備，理由見解析【解析】（1）的可能取值為10000，11000，12000，的可能取值為9000，10000，11000，12000，計算概率得到分布列；（2）計算期望，得到，設甲、乙兩設備一年內的維修次數分別為，計算分布列，計算數學期望得到答案.【詳解】（1）的可能取值為10000，11000，12000，因此的分布如下100001100012000的可能取值為9000，10000，11000，12000，因此的分布列為如下9000100001

15、100012000（2）設甲、乙兩設備一年內的維修次數分別為，的可能取值為2，3，4，5，則的分布列為2345的可能取值為3，4，5，6，則的分布列為3456由于，因此需購買甲設備【點睛】本題考查了數學期望和分布列，意在考查學生的計算能力和應用能力.20（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取 中點，連接，證明平面，由線面垂直的性質可得；（2）由，即可求得三棱錐的體積【詳解】解：（1）證明：取中點D，連接，.因為，所以且，因為，平面，平面，所以平面.又平面，所以；（2）解：因為平面，平面，所以平面平面，過N作于E，則平面，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，由于，所以所

16、以，所以.【點睛】本題考查線面垂直，考查三棱錐體積的計算，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定與性質，屬于中檔題21（1）；（2）【解析】（1）直接利用轉換關系的應用，把參數方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換.（2）利用（1）的結論，進一步利用一元二次方程根和系數的關系式的應用求出結果.【詳解】解：（1）直線的參數方程為（為參數），轉換為直角坐標方程為.曲線的極坐標方程為.轉換為，轉換為直角坐標方程為.（2）直線的參數方程為（為參數），轉換為標準式為（為參數），代入圓的直角坐標方程整理得，所以，.【點睛】本題屬于基礎本題考查的知識要點：主要考查極坐標，參數方程與普通方程互化，及求三角形面積需要熟記極坐標系與參數方程的公式，及與解析幾何相關的直線與曲線位置關系的一些解題思路2