1、第10講 橢圓新課標要求經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質(zhì)。知識梳理1平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距2焦點在x軸上的橢圓的標準方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，焦點坐標為(c,0)，焦點在y軸上的橢圓的標準方程為eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)，焦點坐標為(0，c)其中a，b，c的關系為 a2b2c2.3.橢圓的簡單幾何性質(zhì)標準方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)eq f(

2、y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)圖形范圍axabybayabxb對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：(0,0)焦點F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|2c頂點A1(a,0)，A2(a,0)；B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)；B1(b,0)，B2(b,0)軸長長軸長2a，短軸長2b離心率eeq f(c,a)(0,1)4點與橢圓的位置關系設點P(x0，y0)，橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)eq avs4al(位,置,關,系)eq blcrc (avs4alco1(點P在橢圓上f(xoal(2

3、,0),a2)f(yoal(2,0),b2)1,點P在橢圓內(nèi)f(xoal(2,0),a2)f(yoal(2,0),b2)1,點P在橢圓外f(xoal(2,0),a2)f(yoal(2,0),b2)1)5直線與橢圓的位置關系及判定位置關系公共點個數(shù)組成的方程組的解判定方法(利用判別式)相交2個2個解0相切1個1個解0相離0個無解0名師導學知識點1 橢圓定義的應用【例1-1】(1)已知定點F1，F(xiàn)2，其中F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，動點P滿足|PF1|PF2|8，則動點P的軌跡是()A橢圓B圓C直線 D線段(2)若P是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓eq f(x2,25)eq f(y2,9)1上一點，

4、則PF1F2的周長等于()A16 B18C20 D不確定【例1-2】若方程eq f(x2,16m)eq f(y2,m9)1表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是()A9m16 B9meq f(7,2)C.eq f(7,2)m16 Dmeq f(7,2)【變式訓練1-1】設F1，F(xiàn)2是橢圓eq f(x2,16)eq f(y2,12)1的兩個焦點，P是橢圓上一點，且點P到兩個焦點的距離之差為2，則PF1F2是()A鈍角三角形 B銳角三角形C斜三角形 D直角三角形【變式訓練1-2】若方程x2ky23表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是_知識點2 求橢圓的標準方程【例2-1】求滿足下列條

5、件的橢圓的標準方程(1)焦點坐標分別為(0，2)，(0,2)，且經(jīng)過點(4，3eq r(2)；(2)a8，c6；(3)經(jīng)過兩點(eq r(3)，2)，(2eq r(3)，1)【變式訓練2-1】已知F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個焦點，過F2且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，且|AB|3，則橢圓C的方程為()A.eq f(x2,2)y21 Beq f(x2,3)eq f(y2,2)1C.eq f(x2,4)eq f(y2,3)1 Deq f(x2,5)eq f(y2,4)1知識點3 橢圓的簡單幾何性質(zhì)【例3-1】求橢圓4x29y236的長軸長、焦距、焦點坐標、頂點坐標和離心率【

6、變式訓練3-1】若直線x2y20經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的標準方程為()A.eq f(x2,5)y21B.eq f(x2,4)eq f(y2,5)1C.eq f(x2,5)y21或eq f(x2,4)eq f(y2,5)1D以上答案都不對知識點4 根據(jù)橢圓的性質(zhì)求橢圓的方程【例4-1】根據(jù)下列條件，求橢圓的標準方程(1)長軸長為10，離心率為eq f(3,5)；(2)焦點在x軸上，且一個焦點與短軸的兩個端點的連線互相垂直，焦距為6.【變式訓練4-1】(1)已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為eq f(r(3),2)，且橢圓C上一點到兩個焦點的距離之和為12，則橢圓C

7、的標準方程為_(2)若橢圓eq f(x2,2)eq f(y2,m)1的離心率為eq f(1,2)，則m_.知識點5 橢圓離心率的應用【例5-1】我國自主研制的第一個月球探測器“嫦娥一號”衛(wèi)星在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射后，在地球軌道上經(jīng)歷3次調(diào)相軌道變軌，奔向月球，進入月球軌道，“嫦娥一號”軌道是以地心為一個焦點的橢圓，設地球半徑為R，衛(wèi)星近地點，遠地點離地面的距離分別是eq f(R,2)，eq f(5R,2)(如圖所示)，則“嫦娥一號”衛(wèi)星軌道的離心率為()A.eq f(1,5) Beq f(2,3)C.eq f(2,5) Deq f(1,3)【例5-2】若橢圓上存在點P，使得P到兩個焦點的距

8、離之比為21，求這個橢圓離心率的取值范圍【變式訓練5-1】已知直線l：ykx與橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)交于A，B兩點，其中右焦點F的坐標為(c,0)，且AF與BF垂直，則橢圓C的離心率的取值范圍為()A.eq f(r(2),2)，1 ）B（0，eq f(r(2),2)）C.（eq f(r(2),2)，1 ） D（0，eq f(r(2),2) 知識點6 直線與橢圓的位置關系【例6-1】已知橢圓C：eq f(x2,4)y21.(1)若(eq r(3)，n)在橢圓內(nèi)，求實數(shù)n的取值范圍；(2)m為何值時，直線yxm與橢圓C相交、相切、相離？【變式訓練6-1】直

9、線yx2與橢圓eq f(x2,m)eq f(y2,3)1有兩個公共點，則m的取值范圍是()Am1Bm1且m3Cm3 Dm0且m3知識點7 弦長問題【例7-1】求直線yx1被橢圓eq f(x2,4)eq f(y2,2)1所截得的弦長【變式訓練7-1】已知直線l：ykx1與橢圓eq f(x2,2)y21交于M，N兩點，且|MN|eq f(4r(2),3)，則k_.知識點8 直線與橢圓的綜合應用【例8-1】設橢圓C：eq f(x2,2)y21的右焦點為F，過F的直線l與橢圓C交于A，B兩點，點M的坐標為(2,0)(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；(2)設O為坐標原點，證明：OMAOMB.【變

10、式訓練8-1】如果點M(x，y)在運動過程中總滿足關系式 eq r(x2r(2)2y2)eq r(x2r(2)2y2)4eq r(3).(1)說明M的軌跡是什么曲線并求出它的軌跡方程；(2)設直線l：yxm(mR)與點M的軌跡交于不同兩點A，B，且|AB|3eq r(2)，若點P(x0,2)滿足(eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(AB,sup6()0，求x0.名師導練3.1.1橢圓及其標準方程A組-應知應會1對于m，n，“mn0”是“方程mx2ny21表示的曲線是橢圓”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件2方程 eq r(x

11、12y2) eq r(x12y2)2表示()A橢圓 B圓C直線 D線段3橢圓5x2ky25的一個焦點是(0,2)，則k的值為()A1 Beq f(3,5)C.eq f(3,5) D254已知ABC的周長為18，|AB|8，A(4,0)，B(4,0)，|CA|CB|，則點C的軌跡方程為()A.eq f(x2,25)eq f(y2,9)1(y0)B.eq f(y2,25)eq f(x2,9)1(y0)C.eq f(x2,25)eq f(y2,9)1(y0，x0)D.eq f(y2,25)eq f(x2,9)1(y0，xb0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2a

12、b0相切，則橢圓C的離心率為()A.eq f(r(6),3) Beq f(r(3),3)C.eqC. f(r(2),3) Deq f(1,3)5我們把離心率為黃金比eq f(r(5)1,2)的橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”設F1，F(xiàn)2是“優(yōu)美橢圓”C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的兩個焦點，則橢圓C上滿足F1PF290的點P的個數(shù)為()A0B1 C2D46已知焦點在x軸上的橢圓標準方程為eq f(x2,a2)y21(a0)，過焦點F作x軸的垂線交橢圓于A，B兩點，且|AB|1，則該橢圓的離心率為()A.eq f(r(3),2) Beq f(1,2) C.eq f(r(15),

13、4) Deq f(r(3),3)7已知F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的兩個焦點，P為橢圓上一點，且eq o(PF1,sup6()eq o(PF2,sup6()c2，則此橢圓離心率的取值范圍是_8已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的兩個焦點，P為橢圓短軸的端點，且F1PF290，則該橢圓的離心率為_9設F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq f(x2,36)eq f(y2,20)1的兩個焦點，M為橢圓C上一點且在第一象限若MF1F2為等腰三角形，則M的坐標為_10已知橢圓的中心在原點，對稱軸是坐標軸，離心率

14、eeq f(r(3),2)，且過點P(2,3)，求此橢圓的標準方程11已知橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的上頂點坐標為(0，eq r(3)，離心率為eq f(1,2).(1)求橢圓C的標準方程；(2)設P為橢圓上一點，A為橢圓左頂點，F(xiàn)為橢圓右焦點，求eq o(PA,sup6()eq o(PF,sup6()的取值范圍12在平面直角坐標系xOy中，橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦點分別為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)已知點(1，e)和eq blc(rc)(avs4alco1(e，f(r(3),2)都在橢圓上，其中e為橢圓的離

15、心率求橢圓的標準方程B組-素養(yǎng)提升已知橢圓eq f(x2,9)eq f(y2,5)1的左焦點為F，點P在橢圓上且在x軸的上方，若線段PF的中點在以原點O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是_3.1.3直線與橢圓的位置關系A組-應知應會1過橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,3)1(aeq r(3)的焦點，作垂直于x軸的直線，交橢圓于A，B兩點，若|AB|eq f(3,2)，則a的值為()A4B2C3 D92過坐標原點，作斜率為eq r(2)的直線，交橢圓eq f(x2,12)eq f(y2,3)1于A，B兩點，則|AB|的長為()A2 B4C.eq f(4r(3),3) De

16、q f(2r(3),3)3已知圓M：x2y22mx30(m0)的半徑為2，橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,3)1的左焦點為F(c,0)，若經(jīng)過F點且垂直于x軸的直線l與圓M相切，則a的值為()A.eq f(3,4) B1C2 D44設直線l過橢圓C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為長軸長的一半，則C的離心率為()A.eq f(1,4) Beq f(r(3),2)C.eq f(r(2),2) Deq f(r(2),4)5已知F1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)是橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的兩個焦點，P在橢圓上，F(xiàn)1PF2

17、，且當eq f(2,3)時，F(xiàn)1PF2的面積最大，則橢圓的標準方程為()A.eq f(x2,12)eq f(y2,3)1 Beq f(x2,14)eq f(y2,5)1C.eq f(x2,15)eq f(y2,6)1 Deq f(x2,16)eq f(y2,7)16在焦距為2c的橢圓M：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)上，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，則“bb0)的左、右焦點，經(jīng)過F1的直線交橢圓C于A，B兩點，若F2AB是面積為4eq r(3)的等邊三角形，則橢圓C的方程為_9(懷化模擬)已知橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓上存在點P，使得F1PF2120，則橢圓的離心率的取值范圍是_10(撫順模擬)M(eq r(2)，1)在橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)上，且點M到橢圓兩焦點的距離之和為2eq r(5).(1)求橢圓C的方程；(2)已知動直線yk(x1)與橢圓C相交于A，B兩點，若Peq f(7,3)，0，求證：eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()為定值11已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，且焦點在x軸上，又橢