1、第3講：集合之間的關系（一）【學習目標】1理解子集、真子集、集合相等、空集的概念；2能用符號和Venn圖表達集合間的關系；3掌握列舉有限集的所有子集的方法【基礎知識】一、子集、真子集、集合相等1子集、真子集、集合相等的相關概念定義符號表示圖形表示子集如果集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A是集合B的子集AB(或BA)真子集如果集合AB，但存在元素xB，且xA，就稱集合A是集合B的真子集(或)集合相等如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等AB二、子集的性質(1)任何一個集合是它本身的子集，即AA.(2)對于集合A

2、，B，C，如果AB，且BC，那么AC.三、空集1定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為.2規定：空集是任何集合的子集【考點剖析】考點一：簡單集合間關系的判斷例1設集合M=x|x=k3+16,kZ，N=x|x|x=k6+13,kZ，則M，N的關系為（ ）AMNBM=NCMNDMNA【詳解】集合M=x|x=k3+16,kZ中的元素，滿足x=k3+16=2k+16，kZ，集合N=x|x|x=k6+13,kZ中的元素，滿足x=k6+13=k+26，kZ，表示所有的奇數，k+2表示所有的整數；MN故選：A.變式訓練1：集合M=xx=2n,nN，N=xx=2n,nN，則集合M與N的關系是（ ）AMNBNM

3、CMN=DMN且NMD【詳解】因為1M，1N且0N，0M，所以MN且NM故選：D.變式訓練2：若集合M=x|x=k2-4,kZ，N=x|x=k4+2,kZ，則（ ）AM=NBMNCNMDMN=B【詳解】k2-4=(2k-1)4，kZ時，2k-1取得所有奇數，k4+2=(k+2)4，kZ時，k+2取得整數因此MN故選：B變式訓練3：設集合P=yy=x2+1,M=xy=x2+1，則集合M與集合P的關系是（ ）AM=PBPMCDD【詳解】P=yy=x2+1=y|y1=1,+)，M=xy=x2+1=R，所以故選：D考點二：集合之間的關系例2：下列六個關系式：a,b=b,a；a,bb,a；=；0=；0；

4、00其中正確的個數是（ ）A1B3C4D6答案：C解析：正確，集合中元素具有無序性；正確，任何集合是自身的子集；錯誤，表示空集，而表示的是含這個元素的集合，是元素與集合的關系，應改為；錯誤，表示空集，而0表示含有一個元素0的集合，并非空集，應改為0；正確，空集是任何非空集合的真子集；正確，是元素與集合的關系變式訓練1：以下六個關系式：00，0，0.3Q， 0N， a,bb,a ，x|x2-2=0,xZ是空集，錯誤的個數是（ ）A4B3C2D1D【詳解】根據元素與集合間的關系可判定00、0N正確，0.3Q不正確，根據集合與集合之間的關系可判定0、a,bb,a、xx2-2=0,xZ是空集正確故選：

5、D變式訓練2：下列寫法：（1）02,3,4；（2）0；（3）-1,0,1=0,-1,1；（4）0，其中錯誤寫法的個數為（ ）A1B2C3D4B【詳解】由集合與集合的關系可知，（1）錯誤；空集是任何集合的子集，（2）正確；由集合的無序性以及集合相等的定義可知，（3）正確；空集是不含任何元素的集合，（4）錯誤；故選：B變式訓練3：已知集合A=x|x2=4，2A；-2A；A；-2,2=A；-2A.則上列式子表示正確的有幾個（ ）A1B2C3D4C【詳解】A=xx2=4=-2,2，故正確，故錯誤；-2A，故正確；-2A，故錯誤；A，故正確.所以正確的有3個.故選：C.考點三：確定集合的子集、真子集例3

6、設A=x|(x2-16)(x2+5x+4)=0，寫出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集解：由(x216)(x25x4)0，得(x4)(x1)(x4)20，解方程得x4或x1或x4.故集合A4，1,4由0個元素構成的子集為；由1個元素構成的子集為4，1，4；由2個元素構成的子集為4，1，4,4，1,4；由3個元素構成的子集為4，1,4因此集合A的子集為，4，1，4，4，1，4,4，1,4，4，1,4真子集為，4，1，4，4，1，4,4，1,4變式訓練1：集合1,2的子集有（ ）A4個B3個C2個D1個答案：A解析：集合1,2的子集有，1，2，1,2，共4個變式訓練2：寫出集合a,b,c的所

7、有子集，并指出其中的真子集的個數解：集合a，b，c的子集有，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，c，其中除a，b，c外，都是a，b，c的真子集，共7個考點四：子集、真子集的個數例4集合A=a,b,c,d非空子集的個數是（ ）A13B14C15D16C【詳解】集合Aa，b，c，d中有4個元素，非空子集的個數為：24115，故選：C.變式訓練1：已知集合M=0,1,2，則M的子集有（ ）A3個B4個C7個D8個D【詳解】因為集合M=0,1,2共有3個元素，所以子集個數為23=8個.故選：D.變式訓練2：若集合A=xZ-1x2，則A的真子集個數為（ ）A1B2C3D4C【詳解】因為集合A=x

8、Z-1x2，所有集合，所以A的真子集個數為：22-2=3.故選：C變式訓練3：已知集合A=x2x-12,xZ，則集合A的子集個數為（ ）A0B1C2D4D【詳解】A=x2x-12,xZ=x|-12x32,xZ=0,1，共兩個元素則集合A的子集個數為22=4故選：D考點五：集合相等例5已知集合A=0,a+b,ab，（a，），若A=B，則a+2b=（ ）A-2B2C-1D1D【詳解】集合，且A=B，a+b=1-b,ab=1，或a+b=1,ab=1-b，先考慮a+b=1-b,ab=1，解得a=b=13，此時，B=0,23,1，滿足題意，a+2b=1；再考慮a+b=1,ab=1-b，解得，此時，B=0

9、,0,1，不滿足題意，綜上，a+2b=1故選：D變式訓練1：下列集合與集合A=2,3相等的是（ ）A2,3Bx,yx=2,y=3Cxx2-5x+6=0Dx=2,y=3C【詳解】集合A表示數字2和3的集合.對于A：集合中的元素代表點2,3，與集合A不同，A錯誤；對于B：集合中的元素代表點2,3，與集合A不同，B錯誤；對于C：由x2-5x+6=0得：x=2或x=3，與集合A元素相同，C正確；對于D：表示兩個代數式的集合，與集合A不同，D錯誤.故選：C.變式訓練2：已知a，bR，若，則a2021+b2021的值為（ ）A-1B0C1D-1或0A【詳解】由0a,ba,1 且a0，則ba=0，b=0，于

10、是a2=1，解得或a=-1根據集合中元素的互異性可知應舍去，因此a=-1，故a2021+b2021=-12021+02021=-1故選：A.變式訓練3：已知aR，若集合a,ba,1=a2,a-b,0，則a2020+(b+1)2020的值為（ ）A2B1C-2D-1A【詳解】由題意，集合a,ba,1=a2,a-b,0，可得ba=0，即b=0，所以a,0,1=a2,a,0，可得a2=1a=1，解得a=-1，所以a2020+(b+1)2020=(-1)2020+(0+1)2020=2,即a2020+(b+1)2020的值2.故選：A.【過關檢測】1、下列各式中，正確的是（ ）00,1,2；0,1,2

11、2,1,0；0,1,2；=0；0,1=0,1；0=0.ABCDD【詳解】集合之間沒有屬于、不屬于關系，錯誤.0,1,2,2,1,0是相等的，故0,1,22,1,0成立，正確.空集時任何集合的子集，正確.,0不相等，錯誤.0,1,0,1集合研究的元素不一樣，沒有相等或包含關系，錯誤.，元素與集合只有屬于、不屬于關系，錯誤.故選：D2、給出下列關系式：23Q；xx2+x+1=0；(1,-4)(x,y)y=x2-2x-3；x2x=2,+)，其中正確關系式的個數是（ ）A0B1C2D3C【詳解】對于23Q，元素與集合間的關系為屬于關系，不是包含關系，故錯誤；對于空集是任何集合的子集，故正確；對于，(1

12、,-4)(x,y)y=x2-2x-3點(1,-4)為拋物線y=x2-2x-3上的點，故正確；對于x2x2,+)，故錯誤；所以正確的個數為2個.故選：C.3、下列關系式中正確的個數是（ ）個12Q；3R；0N*；Z；0=x|x2=x；0A1B2C3D4B【詳解】Q為有理數集，所以12Q正確；R為實數集，所以3R不正確；N*為正整數集，所以0N*不正確；Z為整數集，所以Z不正確；x|x2=x=x|x2-x=0=0,1，故0=x|x2=x不正確；是不含任何元素的子集，是任一非空集合的真子集，所以0正確.綜上，正確的只有，共2個.故選：B.4、給出下列說法：10,1,2；0,1,2；10,1,2；0,

13、1,2=2,0,1.其中正確的個數為（ ）A1B2C3D4D【詳解】對于，由元素與集合的關系可知正確；對于，由空集是任意集合的子集知正確；對于，根據集合間的關系知正確；對于，由集合中元素具有無序性知正確.故選：D.5、在10,1,2；10,1,2；0,1,20,1,2； 0 上述四個關系中，錯誤的個數是（ ）A1個B2個C3個D4個B【詳解】解： “”表示集合與集合間的關系，所以錯誤；集合0,1,2中元素是數，不是集合0,1,2元素，所以錯誤；根據子集的定義，0，1，2是自身的子集，空集是任何非空集合的真子集，所以正確；所表示的關系中，錯誤的個數是2故選：B6、已知集合P=1,2,3,4，則滿

14、足1,2QP的集合Q的個數是（ ）A1B2C3D4D【詳解】解：由題題意可知，滿足條件的集合Q有1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4共4個.故選：D7、以下六個命題中：00；0；0.3Q；0N；a,bb,a；xx2-2=0,xZ是空集.正確的個數是（ ）A4B3C5D2C【詳解】根據元素與集合間的關系可判定00、0N正確，0.3Q不正確，根據集合與集合之間的關系可判定0、a,bb,a、xx2-2=0,xZ是空集正確.故選：C8、已知集合A=x|x2-3x+2=0，xR，B=x|0 x6，xN，則滿足條件ACB的集合C的個數為（ ）A3B4C8D16C【詳解】由ACB，則集合C中必有元

15、素1,2，而元素3,4,5可以沒有，可以有1個，或2個，或3個.即滿足條件的集合C為：1,2，1,2，3，1,2，4，共8個 故選：C9、若1，2M0，1，2，3，則滿足條件的集合M的個數為（ ）A7B8C31D32B【詳解】由題意，因為1,2M0,1,2,3,4，所以集合M中至少含有1，2兩個元素，至多含有0，1，2，3，4這5個元素，因此集合M的個數即為集合0,3,4的子集個數，即為23=8個.故選：B10、已知集合M滿足1M1,2,3，則滿足條件的集合M的個數是（ ）A2B3C4D5B【詳解】因為集合M滿足1M1,2,3，所以滿足條件的集合M有：1,2,1,2，即集合M的個數是3，故選：

16、B.11、下列集合與集合A=1,3相等的是（ ）A1,3B1,3Cxx2-4x+3=0Dx,yx=1,y=3C【詳解】A項不是集合，B項與D項中的集合是由點坐標組成，C項：x2-4x+3=0，即x-3x-1=0，解得x=3或x=1，集合xx2-4x+3=0即集合1,3，因為若兩個集合相等，則這兩個集合中的元素相同，所以與集合A=1,3相等的是集合xx2-4x+3=0，故選：C.12、已知aR，若集合，則a2019+b2019的值為（ ）AB-1C1D2B【詳解】因為，所以ba=0a=a+ba2=1，解得b=0a=1或b=0a=-1，當時，不滿足集合元素的互異性，故a=-1，b=0，a2019+b2019=-12019+02019=-1，故選：B.13、下列四個命題中，其中正確命題的個數為（ ）與1非常接近的全體實數能構成集合；-1,(-1)2表示一個集合；空集是任何一個集合的真子集；任何一個非空集合必有兩個以上的子集.A0個B1個C2個D3個C【詳解】不確定，所以不能構成集合；可以構成集合；空集是任何非空集合的真子集；對于非空集合，至少有一個元素，所以子集的個數為2n2.、正確故選：C14、已知集合M滿足，則符合條件的集合M有_個7【詳解】據子集的定義，可得集合M必定含有1、2