1、發射衛星質量為m的衛星環繞的地球（質量為M）作半徑為R0的圓周運動，求衛星的速度u0。 在上述圓軌道的某一點Q沿切線從u0加速到u1，使之改變軌道，達到遠地點P距離地心為R1的橢圓軌道上，求加速后的速度u1，用u0和R0 ，R1表示。導出衛星遠離地球引力場范圍的最小速度u1，用u0表示。接第二問，衛星達到遠地點P的速度u2，用u0和R0 ，R1表示。在遠地點P再次變軌，從u2加速到u3，使之沿著半徑為R1的大圓軌道運行，求加速后的速度u3，用u2 和R0 ，R1表示。6. 如果衛星受到一個微小的擾動，偏離了原先半徑為R1的圓軌道，導出衛星到地心的距離r圍繞平均距離R1來回振動的周期T。7. 描

2、繪受到擾動的軌道以及原有圓軌道的草圖。提示：必要的話可以運用以下衛星軌道的運動方程：解：h取零級近似秋千問題. 一男孩通過交替蹲下和站起的方式來蕩秋千。圖示的是在擺動過程中男孩的質心軌跡。當男孩處于站立姿勢時，設秋千樞軸到男孩質心的距離為ru；而當男孩處在下蹲姿勢時，秋千樞軸到男孩質心的距離為rd。設比值rd/ru=21/10=1.072。為了使問題簡化，假定秋千質量可以忽略，秋千的擺幅很小，男孩的質量總是集中在其質心上；同時還假定男孩每次從下蹲到站立或者站立到下蹲的過程(即A到B，E到F)與秋千擺動本身相比進行得足夠地快，因此可以認為從下蹲到站立或者站立到下蹲是瞬間完成的。與此類似，另外兩個

3、下蹲過程(從C到D，從G到H)也被假定是瞬間過程。需要求解的問題是：男孩要將秋千擺動幅度增加一倍，或者說最大角速度增加一倍(即擺動幅度為初始幅度的兩倍，或最大角速度為原來的兩倍)，需要進行多少次（可以用分數表示）擺動才行。角動量守恒， 由B擺到最高點C機械能守恒， 由D擺到E的過程也滿足機械能守恒，即經過n個周期角速度增加的因子是。經過n個周期角速度增加的因子是 滑動摩擦下的諧振子力學里，經常用到所謂的相空間，即由體系所有粒子的坐標和動量（或者速度）構成的虛擬空間。相空間里的點稱為相點。每個相點確定了系統的一個狀態。當力學系統演化時，相應的相點的軌跡成為相軌跡。通常在相軌跡上畫一個箭頭來反應演

4、化的方向。給定力學系統的所有可能的相軌跡構成相圖。通過分析相圖就可以定性地給出力學系統的重要性質而無需將系統的動力學方程求解為顯函數形式（explicit form）。在許多情況下，相空間的應用是解決力學問題的最合適的方法。本題中，我們建議利用相空間來分析一個自由度的力學系統，即一個坐標描述的系統。在這種情況下，相空間是一個二維平面，相軌跡是該平面上一條曲線，它反映動量和坐標的依賴關系。作為一個例子，圖1給出了一個沿x軸正方向運動的自由粒子的相軌跡。xp0問題A 相圖（3.0分）A1 0.5分畫出自由質點相軌跡，該質點在兩個互相平行位于x = - L/2和x = L/2的全反射墻壁之間運動。A

5、2 研究諧振子的相軌跡，也就是質量為m受胡克力（F = - k x）作用的質點的相軌跡。0.5分寫出相軌跡的方程和相應的參數0.5分畫出諧振子的相軌跡。A3 1.5分考慮一個長度為L質量不計的剛性棒，一端固定，另一端有質量為m的質點（重力加速度為g）。用棒與鉛垂線之間夾角a作為描述系統的坐標。相平面是由()描繪的坐標平面，研究并畫出在任意角度a下該擺的相圖。設K為該系統不同性質的相軌跡種類的數目，求K的值。對每種相軌跡至少畫出一條典型的相軌跡。給出描述的每一種相軌跡的參數的取值范圍。（不要將平衡點當作相軌跡）。忽略空氣阻力。B. 滑動摩擦下的振子(7.0分)考慮運動的阻力，我們通常處理兩種類型

6、的摩擦力。第一類是與速度有關的摩擦力（粘滯摩擦），可用來表達，例如固體在氣體或液體中的運動。第二類是跟速度無關的摩擦力，其大小可用F=mN來表達，力的方向和接觸物體間的相對速度的方向相反（滑動摩擦），如一個固體在另一個固體表面的運動。作為第二種摩擦力的一個特例，考慮水平表面上和彈簧一端相連的物體，彈簧的另一端固定。該物體的質量是m，彈簧的彈性系數是k，物體和表面之間的摩擦系數是m。假定物體沿x軸作直線運動（取x=0為彈簧未伸縮的位置）。假定動摩擦系數和靜摩擦系數是相同的，初始時刻物體位于x=A0（A00）的位置，速度為零。B1. 1.0分寫出在滑動摩擦力下,簡諧振子的運動方程。B2. 2.0分

7、畫出這一振子的相軌跡，確定振子的平衡位置。B3. 1.0分振子是否在彈簧未拉伸狀態下完全停止運動？如果不是，確定振子能夠完全靜止的區域長度。B4. 2.0分確定振子的x正方向振動最大偏離量DA在一次振動后的減少。相鄰兩次到達最大正向偏離的時間間隔是多少？給出x正方向第n次最大偏離量A(tn)的表達式，其中tn是第n次達到正向最大偏離處的時間。B5. 1.0分畫出坐標與時間的關系，并估計物體總的振動周數N。A1. 0.5 pxppp-L/2L/2A2. 1.0 pA3. 1.5 p E2mgL 擺動； E2mgL 繞軸轉動K = 3 ，三種軌跡：振動，轉動，臨界點。B1. 1.0 p Ffr = mg, 02=k/m B2. 2.0 p ， 摩擦力的影響體現為平衡位置的漂移：相圖是兩組橢圓的組合：p0對應的上半平面的中心位于x-橢圓的一部分，p0對應