1、即角動量 是守恒量。因而 也是守恒量。第五章 中心力場 5.1 中心力場中粒子運動的一般性質一、角動量守恒與徑向方程設質量為的粒子在中心力場中運動，則哈密頓量算符表示為：對于勢能只與 r 有關而與, 無關的有心力場，使用球坐標求 解較為方便。于是H可改寫為：1教書育人在求解中心力場中粒子的能量本征方程時，選用 為力學量完全集是很方便的。這是因為：當選用了守恒量完全集（ ， ， ）來對態進行分類以后，屬于同一個能級的諸簡并態的正交性問題將自動得到保證。能量本征方程為:考慮到中心力場的特點：球對稱性，選用球坐標系是方便的，此時利用xz球 坐 標ry2教書育人左邊第一項稱為徑向動能算符，第二項稱為離

2、心勢能。H的本征方程 此式使用了角動量平方 算符 L2 的表達式：3教書育人取 :分離變量,徑向方程可寫為： 4教書育人徑向波函數 或 的歸一化條件可寫成:，（不慢于 ）求解方程時，可作以下替換，使得計算更方便，令： 代入式得：由于波函數要求有限，所以要求這就是徑向方程的一個定解條件。 5教書育人（1）不同的中心力場中粒子的能量本征波函數的差別僅在于徑向波函數Rl(r)或l(r)，它們由中心勢V(r)的性質決定。一般而言，中心力場中粒子的能級至少為2l+1重簡并的。 注意：（2）在一定邊界條件下求解徑向方程，即可得出能量本征值E。對于非束縛態，E是連續變化的。對于束縛態，則E取離散值。（3）在

3、求解徑向方程時，由于束縛態邊界條件，將出現徑向量子數nr. 6教書育人二、兩體問題化為單體問題 兩個質量分別為m1和m2的粒子，相互作用 只依賴于相對距離。這個二粒子體系的能量本征方程為：ET為體系的總能量。引入質心坐標 和相對坐標 1x+r1r2rR 2Oyz二體運動可化為：I 一個具有折合質量的粒子在場中的運動 II 二粒子作為一個整體的質心運動。 7教書育人可以證明：其中 體系的總質量， 約化質量或折合質量。 對兩個粒子坐標的微商變換成對相對坐標和質心坐標的微商。 8教書育人則二粒子體系的能量本征方程可化為：此方程可分離變量，令得：9教書育人分解為二個本征方程: 描述質心運動，是能量為E

4、C的自由粒子的能量本征方程，EC是質心運動能量。即質心按能量為EC的自由粒子的方式運動。這沒有提供與體系內部狀態有關的任何信息。 描述相對運動，E是相對運動能量。可以看出與單粒子能量本征方程形式上相同，只不過應把m理解為約化質量，E理解為相對運動能量。10教書育人5.4 氫原子量子力學發展史上最突出得成就之一是對氫原子光譜和化學元素周期律給予了相當滿意得解釋。氫原子是最簡單的原子，其 Schrodinger方程可以嚴格求解，氫原子理論還是了解復雜原子及分子結構的基礎。11教書育人氫原子的原子核是一個質子，帶電+e，在它的周圍有一個電子繞著它運動 。它與電子的庫侖吸引能為（取無窮遠為勢能零點）這

5、是一個兩體問題。1x+r1r2rR 2Oyz12教書育人具有一定角動量的氫原子的徑向波函數滿足下列方程： 邊界條件：為電子的約化質量， me和mp分別為電子和質子的質量。 (1) 13教書育人一、氫原子的能級氫原子的能量本征值：(2)玻爾半徑：主量子數：n見110頁：氫原子的能級圖14教書育人15教書育人與En相應的歸一化的徑向波函數為：二、氫原子的波函數 合流超幾何函數16教書育人氫原子的束縛態能量本征函數為：、定態波函數的共同本征函數。是氫原子體系和主量子數角動量量子數磁量子數17教書育人18教書育人19教書育人1、能級簡并度氫原子的能級只與主量子數n有關，對應的本征態 因此能級是簡并的（

6、除n=1外），簡并度為討論：20教書育人2、氫原子核外電子的幾率分布當氫原子處于nlm態時，在點周圍的體積元內發現電子的幾率為:人們常常形象地把這個幾率分布叫做“幾率云”或“電子云” .21教書育人（1）在(r, r+dr)球殼中找到電子的幾率徑向概率分布 稱為徑向幾率密度或徑向分布函數。取最大值的半徑稱為最可幾半徑。使22教書育人例如：氫原子處于基態，求最可幾半徑?解： 令經檢驗為最大值時是最可幾半徑 所以23教書育人1，02，03，04，00 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36r / a0a0Wn l(r)0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1Wn l

7、 (r) r 的函數關系n，lRn l (r) 的節點數 n r = n 124教書育人2，13，14，10 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48r / a0a0Wn l(r)0.24 0.20 0.16 0.12 0.08 0.04Wn l (r) r 的函數關系n，lRn l (r) 的節點數 n r = n 125教書育人討論：、關于描述氫原子核外電子分布問題舊量子論：電子在核外作軌道運動 量子力學： 由于電子的波粒二象性使軌道概念失去了意義，氫原子核外電子是以幾率分布的形式出現。、關于氫原子的第一玻爾軌道半徑 量子力學幾率分布的觀點解釋a的物理意義：當氫原

8、子處于1s態時，在r=a處找到電子的幾率最大，在ra的區域仍有電子分布，只不過幾率較小而已。 26教書育人對 r ( 0) 積分Rnl(r)已歸一電子在 (,) 附近立體角 d = sin d d內的幾率右圖示出了各種 ,m態下，Wm() 關于 的函數關系，由于它與 角無關，所以圖形都是繞z軸旋轉對稱的立體圖形。該幾率與 角無關例1. =0, m=0，有 ： W00 = (1/4)，與 也無關，是一個球對稱分布。xyz(2) 在中找到電子的幾率角向分布方向的立體角27教書育人例2. =1, m= 1時，W1,1() = (3/8)sin2 。在 = /2時，有最大值。 在 = 0 沿極軸方向（

9、z向）W1,1 = 0。例3. = 1, m = 0 時，W1,0() = 3/4 cos2。正好與例2相反，在 = 0時，最大；在 =/2時，等于零。zzyxxyZ28教書育人m = -2m = +2m = +1m = -1m = 0 = 229教書育人證明：的氫原子中的電子，在的方向上被發現的幾率最大。解： 的電子，其 當時為最大值。即在方向發現電子的幾率最大。 在其它方向發現電子的幾率密度均在之間。例題130教書育人3、類氫離子 以上結果對于類氫離子（He+，Li+，Be+等，這些離子的原子核外，只有一個電子）也都適用。但需把核電荷+e換為+Ze（Z是核所帶正電荷數），而換為相應的約化質

10、量。特別是類氫離子的能級公式為 31教書育人設氫原子處于狀態 求氫原子能量、角動量平方、角動量z分量的可能值及其幾率，并求其平均值。例題232教書育人的可能值為： ，解：能量的可能值為： 概率分別為：1/3，1/2，1/6概率分別為：1/3，1/2，1/6概率分別為：1/3，1/2，1/6 的可能值為： ，平均值分別為：33教書育人設氫原子處于狀態求氫原子能量、角動量平方及角動量Z分量的可能值，這些可能值出現的幾率和這些力學量的平均值。例題334教書育人氫原子處在基態，求： (1)r的平均值；(2)勢能 的平均值； (3)最可幾半徑； (4)動能的平均值； 例題435教書育人 解：(1) 36

11、教書育人(3)電子出現在r+dr球殼內出現的幾率為 令 當為幾率最小位置 是最可幾半徑。 37教書育人(4) 38教書育人解： （1）三維諧振子 Hamilton 量例1. 求三維諧振子能級，并討論它的簡并情況5.3 二維、三維各向同性諧振子 （105頁） 39教書育人（2）本征方程及其能量本征值解得能量本征值為：則波函數三方向的分量 分別滿足如下三個方程：因此，設能量本征方程的解為： 如果系統 Hamilton 量可以寫成 則必有：40教書育人（3）簡并度當 N 確定后，能量本征值確定，但是對應同一N值的 n1, n2, n3 有多種不同組合，相應于若干不同量子狀態，這就是簡并。其簡并度可決定如下：當n1 , n2 確定后， n3 = N - n1 - n2，也就確定