1、第十三章 達朗貝爾原理 達朗貝爾原理 剛體慣性力系的簡化 達朗貝爾原理為解決非自由質點系動力學問題提供了另一種普遍方法。特點：用靜力學平衡問題的方法來研究動力學的不平衡問題, 又叫動靜法。引言 設一質點質量為m, 加速度為a, 作用于質點的主動力為F, 約束反力為FN 。由牛頓第二定律，有將上式改寫成令Im Fa13.1 質點的達朗貝爾原理Nm aFF0Nm FFaFI具有力的量綱, 且與質點的質量有關，稱其為質點的慣性力。它的大小等于質點的質量與加速度的乘積, 方向與質點加速度的方向相反。mFFNFIa即：在質點運動的任一瞬時, 作用于質點上的主動力、約束反力和假想加在質點上的慣性力構成形式

2、上的平衡力系。這就是質點的達朗貝爾原理。則有0NI FFF質點并非處于平衡狀態，這樣做的目的是將動力學問題轉化為靜力學問題求解。達朗貝爾原理與虛位移原理構成了分析力學的基礎。13.1 質點的達朗貝爾原理 例例1 球磨機的滾筒以勻角速度球磨機的滾筒以勻角速度w w 繞水平軸繞水平軸O轉動轉動, 內裝鋼球和需要粉碎的內裝鋼球和需要粉碎的物料物料, 鋼球被筒壁帶到一定高度脫離筒壁鋼球被筒壁帶到一定高度脫離筒壁, 然后沿拋物線軌跡自由落下然后沿拋物線軌跡自由落下, 從而從而擊碎物料擊碎物料, 如圖。設滾筒內壁半徑為如圖。設滾筒內壁半徑為r, 試求鋼球的脫離角試求鋼球的脫離角a a。 解：以某一尚未脫離

3、筒壁的鋼球為研究對象解：以某一尚未脫離筒壁的鋼球為研究對象, 受力如圖。鋼球未脫離受力如圖。鋼球未脫離筒壁前筒壁前, 作圓周運動作圓周運動, 其加速度為其加速度為0a2wran慣性力慣性力FI的大小為的大小為假想地加上慣性力假想地加上慣性力, 由達朗貝爾原理由達朗貝爾原理0:cos0nNIFFmgFOMrwaFFNmgFI2IFmrw)cos(2wgrmgN 這就是鋼球在任一位置這就是鋼球在任一位置 時所受的法向反力時所受的法向反力, 顯然當鋼球脫離筒壁顯然當鋼球脫離筒壁時時, FN0 , 由此可求出其脫離角由此可求出其脫離角a a為為)arccos(2grwa 設質點系由 n 個質點組成,

4、其中任一質點i的質量為mi, 其加速度為ai, 把作用在此質點上的力分為主動力的合力Fi、約束力的合力為FNi，對這個質點上假想地加上它的慣性力FIi-miai , 則由質點的達朗貝爾原理, 有NI0(1,2, )iiiin FFF13.2 質點系的達朗貝爾原理即：質點系中每個質點上作用的主動力、約束力和它的慣性力在形式上組成平衡力系。這就是質點系的達朗貝爾原理。 把作用在第i個質點上的所有力分為外力的合力為Fi(e), 內力的合力為Fi(i)，則有(e)(i)I0(1,2, )iiiin FFF13.2 質點系的達朗貝爾原理質點系中第個質點上作用的外力、內力和它的慣性力在形式上組成平衡力系。

5、由靜力學知，空間任意力系平衡的充分必要條件是力系的主矢和對于任一點的主矩等于零，即(e)(i)I0iii FFF(i)(e)I()()()0iOOOii MFMFMF因為質點系的內力總是成對出現, 且等值、反向、共線, 因此有Fi(i) = 0和MO(Fi(i) = 0, 于是的有 即：作用在質點系上的所有外力與虛加在每個質點上的慣性力在形式上組成平衡力系。這是質點系達朗貝爾原理的又一表述。13.2 質點系的達朗貝爾原理(e)I0ii FF(e)I()()0OiOi MFMF稱FIi為慣性力系的主矢， MO(FIi)為慣性力系的主矩。OxydOR例例 2 已知：已知：m ，R， w w。求：輪

6、緣橫截面的張力。求：輪緣橫截面的張力。解：解： 取上半部分輪緣為研究對象取上半部分輪緣為研究對象22wRRdRmFi02sin0TiyFFFww2sin221220mRdRmFT 例例3 重重P長長l的等截面均質細桿的等截面均質細桿AB, 其其A端鉸接于鉛直軸端鉸接于鉛直軸AC上上, 并以勻角速并以勻角速度度w w 繞該軸轉動繞該軸轉動, 如圖。求角速度如圖。求角速度w w 與角與角 的關系。的關系。 解：以桿解：以桿AB為研究對象為研究對象, 受力如圖。受力如圖。 桿桿AB勻速轉動勻速轉動, 桿上距桿上距A點點x x 的微元段的微元段dx x 的加速度的大小為的加速度的大小為2)sin(wx

7、na 微元段的質量微元段的質量dmPdx x/ /gl。在該微元段。在該微元段虛加慣性力虛加慣性力dFI, 它的大小為它的大小為2ddsindInPm aglw xxFxdxdFIanwBACyxBAxdPFAxFAyFI 于是整個桿的慣性力的合力的大小為于是整個桿的慣性力的合力的大小為220sindsin2lIPPFlglgw xxw設力設力FI 的作用點到點的作用點到點A的距離為的距離為d, 由合力矩定理由合力矩定理, 有有0( cos )( cos )dlIIFdFx即2202sind23sin2lPgldlPlgw xxw假想地加上慣性力假想地加上慣性力, 由質點系的達朗貝爾原理由質點

8、系的達朗貝爾原理()0:cossin02AIlMF dPFBAxdPFAxFAyFI代入代入FI 的數值的數值, 有有0) 1cos32(sin22wglPl)23arccos(2wlg故有故有 0或或 用達朗貝爾原理求解質點系的動力學問題，需要對每個質點加上各自的慣性力，這些慣性力也形成一個力系，稱為慣性力系。以FIR表示慣性力系的主矢。由質心運動定理及質點系的達朗貝爾原理13.3 剛體慣性力系的簡化(e)I0ii FF得(e)IIRiiCm FFFa此式表明：無論剛體作什么運動, 慣性力系的主矢都等于剛體的質量與其質心加速度的乘積, 方向與質心加速度的方向相反。13.3 剛體慣性力系的簡化

9、主矢的大小和方向與簡化中心的位置無關，主矩一般與簡化中心的位置有關。 剛體平移時，剛體內任一質點i的加速度ai與質心的加速度aC相同，有ai aC，任選一點O為簡化中心，主矩用MIO表示，有1. 剛體作平移a11FI1aiiFIiCOrCaC II()()iOiiiiiiCCCmmm MrFrarara1. 剛體作平移13.3 剛體慣性力系的簡化式中，rC為質心C到簡化中心O的矢徑。若選質心C為簡化中心，主矩以MIC表示，則rC0，有I0C M綜上可得結論：平移剛體的慣性力系可以簡化為通過質心的合力, 其大小等于剛體的質量與加速度的乘積,合力的方向與加速度方向相反。a11FI1aiiFIiCO

10、rCaC 2. 剛體繞定軸轉動 如圖所示, 具有質量對稱面且繞垂直于質量對稱面的軸轉動的剛體。其上任一點的慣性力的分量的大小為ttIiiii iFmamrann2Iiiii iFmamrw方向如圖所示。該慣性力系對轉軸O的主矩為ntIII()()OOiOiMMM FF13.3 剛體慣性力系的簡化FIinFIitiOMIOriwa一般證明 由于FIin通過O點, 則有 MO( FIin )= 0, 所以即IOOMJa 13.3 剛體慣性力系的簡化ttIII2()()()OOiiii iii iMMFrmrrmraa F 綜上：定軸轉動剛體的慣性力系, 可簡化為過轉軸O的一個慣性力FIR和一個慣性

11、力偶MIO。力FIR的大小等于剛體的質量與其質心加速度大小的乘積, 方向與質心加速度方向相反，作用線過轉軸；力偶MIO的矩等于剛體對轉軸的轉動慣量與其角加速度大小的乘積, 轉向與角加速度的轉向相反。討論以下三種特殊情況：2. 當剛體作勻速轉動時, a0, 若轉軸不過質心, 慣性力系簡化為一慣性力FI , 且FI maC, 同時力的作用線通過轉軸O。1. 當轉軸通過質心C時, aC0, FI0, MICJCa。此時慣性力系簡化為一慣性力偶。3. 當剛體作勻速轉動且轉軸通過質心C時, FI0, MIC0, 慣性力系自成平衡力系。 13.3 剛體慣性力系的簡化3. 剛體作平面運動(平行于質量對稱面）

12、 工程中，作平面運動的剛體常常有質量對稱平面，且平行于此平面運動。當剛體作平面運動時，其上各質點的慣性力組成的空間力系，可簡化為在質量對稱平面內的平面力系。13.3 剛體慣性力系的簡化 取質量對稱平面內的平面圖形如圖所示, 取質心C為基點, 設質心的加速度為aC，繞質心轉動的角速度為w，角加速度為a，與剛體繞定軸轉動相似，此時慣性力系向質心C簡化的主矩為ICCMJa FIRCMICaCwa綜上可得結論：有質量對稱平面的剛體，平行于此平面運動時，剛體的慣性力系簡化為在此平面內的一個力和一個力偶。力過質心；力偶的矩等于剛體對過質心且垂直于質量對稱面的軸的轉動慣量與角加速度的乘積, 轉向與角加速度相

13、反。13.3 剛體慣性力系的簡化ICCMJa DBA 例例3 如圖所示如圖所示, 均質桿均質桿AB的質量的質量m40 kg, 長長l4 m, A點以鉸鏈點以鉸鏈連接于小車上。不計摩擦連接于小車上。不計摩擦, 當小車以加速度當小車以加速度a15 m/s2向左運動向左運動時時, 求求D處和鉸處和鉸A處的約束反力。處的約束反力。 解：以桿為研究對象解：以桿為研究對象, 受力如圖受力如圖, 建建立如圖坐標。立如圖坐標。 桿作平動桿作平動, 慣性力的大小為慣性力的大小為FIma。假想地加上慣性力假想地加上慣性力, 則由質點系的達朗貝則由質點系的達朗貝爾原理爾原理()0cos30sin300222ADIM

14、lllmgFFF于是得于是得( cos30sin30 )DFm gaFIlA30DBh1maaFDmgFAxFAyxy 0sin300 xAxIDFFFF0cos300yAyDFFFmg代入數據代入數據, 解之得：解之得：617.9357.8239.47AxAyDFNFNFN DBAFIaFDmgFAxFAyxyBC ABMlC 例例4 均質桿均質桿AB長長l, 重重W, B端與重端與重G、半徑為、半徑為r的均質圓輪鉸接。在圓輪的均質圓輪鉸接。在圓輪上作用一矩為上作用一矩為M的力偶的力偶, 借助于細繩提升重為借助于細繩提升重為P的重物的重物C。試求固定端。試求固定端A的的約束反力。約束反力。

15、解：先以輪和重物為研究對象解：先以輪和重物為研究對象, 受力受力如圖。假想地加上慣性力如圖。假想地加上慣性力2I122BBGaGrMJragrgaICPFag由質點系的達朗貝爾原理由質點系的達朗貝爾原理aMGFBxFByMIBaPFICII()0()0BBCMMMr PFFgPGrrPMa)2()(2代入代入MIB 和和FIC得得 再以整體為研究對象再以整體為研究對象, 受力如圖受力如圖, 假假想地加上慣性力想地加上慣性力00 xAxFFI00yAyCFFWGPFII()0()()02AABCMlmWGlMMPFlrFBCAaMGFAxFAyMIBPFICaWmA2()(2 )AyMrPFWG

16、PPr GP()2()()2(2 )(2 )AWMrPrGMmlGMGlrPGPr GP代入代入MIB 和和FIC解得解得由質點系的達朗貝爾原理由質點系的達朗貝爾原理jOxyCBA 質量為質量為m, 長為長為l的均質直桿的均質直桿AB的一端的一端A焊接于半徑為焊接于半徑為r的圓盤邊緣上的圓盤邊緣上, 如如圖。今圓盤以角加速度圖。今圓盤以角加速度a a 繞其中心繞其中心O轉動。求圓盤開始轉動時轉動。求圓盤開始轉動時, AB桿上焊接桿上焊接點點A處的約束反力。處的約束反力。 解：以桿為研究對象解：以桿為研究對象, 受力如圖受力如圖, 建立如建立如圖坐標。圖坐標。t22( )2CClaaOCraa將

17、慣性力系向轉軸簡化將慣性力系向轉軸簡化, 慣性力的大小為慣性力的大小為aOrABlamgaCFIMIOFAxFAymA22( )2IClFmam ra2I22222()11()()1243OOCMJJm OClmlm rmlmraaaa 由質點系的達朗貝爾原理由質點系的達朗貝爾原理0sin0 xAxIFFFj0cos0yAyIFFFmgjCBAamgaCFIMIOFAxFAymAjOxyI()0sin02AAOIlMmMmgFrjF22sin4rlrj22cos24llrj將已知數值代入以上三式將已知數值代入以上三式, 解之得解之得AxFmra2AylFmgma21123AmmglmlarC

18、例例6 重重P、半徑為、半徑為r的均質圓輪沿傾角為的均質圓輪沿傾角為 的斜面向下滾動。求輪心的斜面向下滾動。求輪心C的加的加速度速度, 并求圓輪不滑動的最小摩擦系數。并求圓輪不滑動的最小摩擦系數。 解：以解：以圓輪圓輪為研究對象為研究對象, 受力如圖受力如圖, 建立如圖坐標。建立如圖坐標。 圓輪作平面運動圓輪作平面運動, 輪心作直線運動輪心作直線運動, 則則Cara將慣性力系向質心簡化將慣性力系向質心簡化, 慣性力和慣性力偶矩的大小為慣性力和慣性力偶矩的大小為IPFrga22IPMrgaCrFSFIMIFNPaxyaC則由質點系的達朗貝爾原理則由質點系的達朗貝爾原理0cos0 xNFFPcos

19、NFP ()00CSIMF rMF解之得解之得2sin3Cagsin3SPF由于圓輪沒有滑動由于圓輪沒有滑動, 則則Ff N, 即即sincos3Pf P由此得由此得1tan3f所以所以, 圓輪不滑動時圓輪不滑動時, 最小摩擦系數最小摩擦系數min1tan3f0sin0ySIFPFFrCFSFIMIFNPaxyaC例題例題 9 已知已知兩均質直桿自水平位置無初速地釋放。兩均質直桿自水平位置無初速地釋放。求求兩桿的兩桿的角加速度和角加速度和O、A處的約束反力。處的約束反力。解解: (1) 取系統為研究對象取系統為研究對象ABOMI1MI2mgmgFI2FI1BAOa1a20232320)(221

20、lFlmglmgMMMOF12111312aamlMlmF222212121)2(aaamlMllmF(2) 取取AB 桿為研究對象桿為研究對象MI2mgFI2FAFAxBAa20220)(22lFlmgMMAFlg32321aalglg73,7921aalg1251121aa(3) 取取AB 桿為研究對象桿為研究對象MI2mgFI2FAyFAxBAa a200002FmgFFFFAyyAxxmgFFAyAx1410 (4) 取系統為研究對象取系統為研究對象MI1MI2mgmgBAOa a1000021FFmgmgFFFFOyyOxxmgFFOyOx720 例例7 均質桿的質量為均質桿的質量為

21、m, 長為長為2l, 一端放在光滑地一端放在光滑地面上面上, 并用兩軟繩支持并用兩軟繩支持, 如圖所示。求當如圖所示。求當BD繩切斷的繩切斷的瞬時瞬時, B點的加速度點的加速度AE繩的拉力及地面的反力。繩的拉力及地面的反力。 解：以解：以AB桿為研究對象桿為研究對象,桿桿AB作平面運動作平面運動, 如如圖圖, 以以B點為基點點為基點, 則則C點的加速度為點的加速度為tnCBCBCBaaaa其中其中tCBalan20CBalw將慣性力系向質心將慣性力系向質心C簡化簡化, 得慣性力得慣性力FIFIeFIr , 其其中中FIe maB , FIr matCB mla a 和慣性力偶和慣性力偶, 其力

22、偶其力偶的矩為的矩為AECBxy30oBCAED30oFTFNmgFIeFIrMIaBaBa tCBa a2211(2 )123ICMJmlmlaaa在在BD繩切斷的瞬時繩切斷的瞬時, 受力如圖受力如圖, 建立如圖坐標。建立如圖坐標。由質點系的達朗貝爾原理由質點系的達朗貝爾原理II0cos300 xTerFFFFI0sin300yNrFFFmgsin300(2)NFmlmga()0cos30sin300CTNIMF lF lMFcos300(1)TBFmamla21cos30sin300(3)3TNF lF lmlaAECBxy30oFTFNmgFIeFIrMIBA30ox x以以B為基點為基

23、點, 則則A點的加速度為點的加速度為tntnAABABABaaaaa其中其中n2n2020AAABavAEalw將上式投影到將上式投影到x x 軸上得軸上得t0cos30BABaa 2cos30(4)Bala聯立求解（聯立求解（1）（4）式）式, 得得ggaB833302sin4332 cos308Baglla13 3216TBFmamg113tan30216NBFmgmamgaBaBa tCBa aa tA 例例8ABrRO 如圖所示, 均質桿AB長為l, 重為Q, 上端B靠在半徑為R的光滑圓弧上（R=l ）, 下端A以鉸鏈和均質圓輪中心A相連, 圓輪重P, 半徑為r, 放在粗糙的地面上,

24、由靜止開始滾動而不滑動。若運動開始瞬時桿與水平線所成夾角 , 求此瞬時A點的加速度。45raAA 輪和桿均作平面運動輪和桿均作平面運動, 將慣性力系分別向質心簡化將慣性力系分別向質心簡化, 則慣性力和慣性則慣性力和慣性力偶的矩的大小分別為力偶的矩的大小分別為ABrROCAaACxaCyaBa 解：設系統運動的初瞬時解：設系統運動的初瞬時, 圓輪中心的加速度圓輪中心的加速度為為 , 角加速度為角加速度為 ；AB桿的角加速度為桿的角加速度為 , 質心質心C的加速度為的加速度為 、 。如圖。如圖。AaACxaCya ABrROCAaACxaCyaAgAagPFrargPMAgA221CxgCxagQ

25、FCygCyagQF2121lgQMgC 先以整體為研究對象先以整體為研究對象, 受力如圖。假想地加上慣性力和慣性力偶受力如圖。假想地加上慣性力和慣性力偶, 則則由質點系的達朗貝爾原理由質點系的達朗貝爾原理ABCAaACxaCyaFANKBNPQgAFgAMgCyFgCxFgCM0)(FmK0)sin2(cos2cos2)sin(gAgAgCgCxgCyBMrFMlrFlQlFrlN(1) ABCCxaCyaBNQgCyFgCxFgCMAXAY 再以再以AB為研究對象為研究對象, 受力如圖。假想地加上受力如圖。假想地加上慣性力和慣性力偶慣性力和慣性力偶, 則由質點系的達朗貝爾原理則由質點系的達

26、朗貝爾原理0)(FmA0sin2cos2cos2gCgCxgCyBMlFlFlQlN（2） AB桿作平面運動桿作平面運動, 先以先以B點為基點點為基點, 則則A點的加速度為點的加速度為nABABnBBAaaaaa其中其中02RvaBnB02wlanABlaAB其加速度合成矢量圖如圖所示。其加速度合成矢量圖如圖所示。ABaAaABax 將其投影于 軸, 得xlaaABAcos（3） 再以再以A為基點為基點, 則則C點的加速度為點的加速度為CAACaaa其中其中2laCA , 加速度合成矢量圖如圖。加速度合成矢量圖如圖。CCAaAaCxaCyax 將其投影于將其投影于 、 軸軸, 得得xcos2coslaaaaACAACx（4）sin2sinlaaCACy（5） 由式（由式（3）、（）、（4）、（）、（5）可將）可將 、 、 都化為都化為 的函數的函數, 即即CxaCyaAacoslaA)cos211 (2ACxaaACyaacossin21 將其代入式（將其代入式（1）、（）、（2）, 并取并取 , 聯立該兩方程可解得聯立該兩方程可解得45gPQQaA)94(2300 xIxRxBxAxFFFFF 13-4 13-4 繞定軸轉動剛體的