1、Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain第四章 頻率域中的圖像增強 下面的函數曲線是上面4條函數曲線之和。Fourier在1807年認為：周期函數可以表示為周期函數可以表示為Sines和和Cosine的加權和。的加權和。這在當時倍受懷疑。Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency DomainChapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain3內容 引言 傅立葉變換 頻域增強原理 低通濾波（理想、巴特沃斯、高斯）、高通濾波、帶通/帶阻濾

2、波、同態濾波 快速傅立葉變換Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4引言 變換 目的：便于處理，抽取特性，能量集中（數據壓縮） 方法 1. 傅立葉變換 Fourier Transform 2. 離散余弦變換 Discrete Cosine Transform 3. 沃爾希-哈德瑪變換Walsh-Hadamard Transform 4. 斜變換 Slant Transform 5. 哈爾變換 Haar Transform 6. 離散小波變換 Discrete Wavelet Transform 7. 離散K-L變換 Discret

3、e Karhunen-Leave Transform 8. 奇異值分解SVD變換 Singular-Value DecompositioChapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain傅立葉變換的由來傅立葉變換的由來 關于傅立葉變換，無論是書本還是在網上可以很容易找到關于傅立葉變換的描述，但是大都是些故弄玄虛的文章，太過抽象， 盡是一些讓人看了就望而生畏的公式的羅列，讓人很難能夠從感性上得到理解。 Steven W. Smith, Ph.D. The Scientist and Engineers Guide to Digital Sign

4、al Processing. (http:/ 4 Image Enhancement in the Frequency Domain傅立葉變換的提出傅立葉變換的提出 讓我們先看看為什么會有傅立葉變換？讓我們先看看為什么會有傅立葉變換？ 傅立葉是一位法國數學家和物理學家的名字，英語原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830) Fourier對熱傳遞很感興趣，于1807年在法國科學學會上發表了一篇論文，運用正弦曲線來描述溫度分布。 論文里有個在當時具有爭議性的決斷： 任何連續周期信號可以由一組適當的正弦曲線組合而成。Chapter 4 Image Enhan

5、cement in the Frequency Domain傅立葉變換的提出傅立葉變換的提出 讓我們先看看為什么會有傅立葉變換？讓我們先看看為什么會有傅立葉變換？ 當時這篇論文的審稿人中，有兩位是歷史上著名的數學家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)。 當拉普拉斯和其它審稿人投票通過并要發表這個論文時，拉格朗日 堅決反對，在近50年的時間里，拉格朗日堅持認為傅立葉的方法無法表示帶有棱角的信號，如在方波中出現非連續變化斜率。 法國科學學會屈服 于拉格朗日的威望，拒絕了傅立葉的

6、工作，幸運的是，傅立葉還有其它事情可忙，他參加了政治運動，隨拿破侖遠征埃及，法國大革命后因會被推上斷頭臺而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年這個論文才被發表出來。Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain傅立葉變換的提出傅立葉變換的提出 誰是對的呢？誰是對的呢？ 拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的信號。 但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法 不存在能量差別，基于此，傅立葉是對的。Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain傅立葉變換的提出

7、傅立葉變換的提出 為什么我們要用正弦曲線來代替原來的曲線為什么我們要用正弦曲線來代替原來的曲線呢？呢？ 例如：我們也還可以用方波或三角波來代替呀，分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了 更加簡單地處理原來的信號。 用正余弦來表示原信號會更加簡單，因為正余弦擁有原信號所不具有的性質：正弦曲線保真度。一個正弦曲線信號 輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質，正因如此 我們才不用方波或三角波來表示。 （ 1）對線性系統而言，輸入正弦信號，輸出為同頻率的正弦信號，只有附加相移和幅度變化。（2）根據傅立葉變換性質，幾乎

8、全部實際信號都可以表示成傅里葉級數形式，包括正弦信號本身?？梢?，正弦信號是不可分的基本信號，而方波或三角波不是，所以不用方波或三角波。 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain傅立葉變換的分類傅立葉變換的分類根據原信號的不同類型，我們可以把傅立葉變換分為四種類別：根據原信號的不同類型，我們可以把傅立葉變換分為四種類別：非周期性連續連續信號 傅立葉變換（Fourier Transform）周期性連續連續信號 傅立葉級數(Fourier Series)非周期性離散離散信號 離散時域傅立葉變換（Discrete Time Fourier

9、Transform）周期性離散離散信號 離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform)Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain傅立葉變換的分類傅立葉變換的分類這四種傅立葉變換都是針對正無窮大和負無窮大的信號，即信號的的長度是無窮大的，我們知道這對于計算機處理來說是不可能的。那么有沒有 針對長度有限的傅立葉變換呢？沒有。因為正余弦波被定義成從負無窮小到正無窮大，我們無法把一個長度無限的信號組合成長度有限的信號。面對這種困難，方法是把長度有限的信號表示成長度無限的信號，可以把信號無限地從左右進行延伸，延伸的部分用

10、零來表示，這樣，這個信號就可以被 看成是非周期性離解信號，我們就可以用到離散時域傅立葉變換的方法。還有，也可以把信號用復制的方法進行延伸，這樣信號就變成了周期性離解信號，這時我們就可以用離散傅立葉變換方法進行變換。這里我們要學的是離散信號，對于連續信號我們不作討論，因為計算機只能處理離散的數值 信號，我們的最終目的是運用計算機來處理信號的。Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain傅立葉變換的分類傅立葉變換的分類但是對于非周期性的信號，我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來表示，這對于計算機來說是不可能實現的。所以對于離散信號的變換只有

11、離散傅立葉 變換（DFT）才能被適用。對于計算機來說只有離散的和有限長度的數據才能被處理，對于其它對于計算機來說只有離散的和有限長度的數據才能被處理，對于其它的變換類型只有在數學演算中才能用到。的變換類型只有在數學演算中才能用到。在計算機面前我們只能用DFT方法，后面我們要理解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號目的是為了能夠用數學方法來解決問題，至于考慮周期性信號是從哪里得到或怎樣得到是無意義的。Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain傅立葉變換的物理意義傅立葉變換的物理意義傅立葉變換是數字信號處理領域一種很重要

12、的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任傅立葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，何連續測量的時序或信號， 都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。限疊加。而根據該原理創立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、 振幅和相位。和傅立葉變換算法對應的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。因此，可以說， 傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域

13、信號進行處理、加工。最后還可以利用傅立葉 反變換將這些頻域信號轉換成時域信號。從現代數學的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。在不同的研究領域，傅里葉 變換具有多種不同的變體形式，如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換。Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain傅立葉變換的物理意義傅立葉變換的物理意義在數學領域，盡管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征?！比我狻钡暮瘮低ㄟ^一定的分解， 都能夠表示為正弦函數的線性組合

14、的形式，而正弦函數在物理上是被充分研究而相對簡單的函數類：1. 傅立葉變換是線性算子,若賦予適當的范數,它還是酉算子;2. 傅立葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;3. 正弦基函數是微分運算的本征函數,從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數的代數方程的求解.在線性時不變雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了 計算卷積的一種簡單手段;4. 離散形式的傅立葉的物理系統內,頻率是個不變的性質,從而系統對于復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取;5. 著名的卷積定理指出:傅里葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘積運算，從而利用數字計算機快速的算出(其算法稱為快速

15、傅立葉變換算法(FFT)。正是由于上述的良好性質,傅里葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率、統計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain圖像傅立葉變換的物理意義圖像傅立葉變換的物理意義圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區域，對應的頻率值很低； 而對于地表屬性變換劇烈的邊緣區域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區域，對應的頻率值較高。傅立葉變換在實際中有非常明顯的物理意義，設f是一個能量有限的 模擬信號，則

16、其傅立葉變換就表示f的譜。從純粹的數學意義上看，傅立葉變換是將一個函數轉換為一系列周期函數來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉換到空間域。換句話說，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數變換為圖像的頻率分布函數，傅立葉 逆變換是將圖像的頻率分布函數變換為灰度分布函數。Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain16FT-傅立葉變換傅立葉變換是在傅里葉級數正交函數展開的基礎上發展而產生的。傅立葉分析的研究與應用經歷了一百余年。1822年法國數學家傅立葉（J.Fourier,1768

17、-1830）在研究熱傳導理論時發表了“熱的分析理論”著作，提出并證明了將周期函數展開為正弦將周期函數展開為正弦級數的原理，奠定了傅里葉級數的理論基礎。級數的原理，奠定了傅里葉級數的理論基礎。泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把這一成果應用到電學中去。伴隨電機制造、交流電的產生與傳輸等實際問題的需要，三角函數、指數函數以及傅里葉分析等數學工具已得到廣泛的應用。1965年，Cooley, Tukey FFT傅立葉分析傅立葉級數分析（周期信號）傅立葉變換分析（任意信號）Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency DomainFT-傅立葉變換

18、傅氏變換在很多領域中應用很廣泛，這是因為 依靠它，建立起了非常完善的線性系統理論 通信及控制論的基礎 它被移植到光學中，形成光學信息處理的基礎傅氏光學 在圖像處理領域，傅氏變換和線性系統理論是進行圖像恢復和重構的重要手段。Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain傅立葉分析 傅立葉級數：任何周期函數都可以表示為不同頻率的正弦或余弦函數的和 傅立葉變換：非周期函數（曲線有限）可以表示成正弦或余弦函數乘以加權函數的積分 用傅立葉級數和傅立葉變換表示的函數特征可以完全通過反變換重建，而不丟失任何信息Chapter 4 Image Enhan

19、cement in the Frequency Domain傅氏變換是將信號分解為: 下面的函數曲線是上面4條函數曲線之和。Fourier在1807年認為：周期函數可以表示為周期函數可以表示為Sines和和Cosine的加權和。的加權和。這在當時倍受懷疑。Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain一維連續傅立葉變換Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain一維連續傅立葉變換周期與頻率的關系： T = 1 / fChapter 4 Image Enhancement in th

20、e Frequency Domain數學的棱鏡數學的棱鏡Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain數學的棱鏡數學的棱鏡傅立葉變換數學的顯微鏡數學的顯微鏡小波變換Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain一維連續傅立葉變換復數復數實數實數Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain一維離散傅立葉變換sincosjejChapter 4 Image Enhancement in the Frequency DomainCh

21、apter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 正變換是原信號f(x)在各基向量上的投影投影（矢量內積），得到各系數F(u)； 反變換是由各基向量的F(u)加權和加權和，得到原信號f(x)。Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain一維傅立葉變換例子一維傅立葉變換例子Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain一維傅立葉變換例子一維傅立葉變換例子Chapter 4 Image Enhancement in the Freque

22、ncy Domain一維傅立葉變換例子一維傅立葉變換例子Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain)()(tan)()()()()()(2/122)(uRuIacuuIuRuFeuFuFuj)()()()(222uIuRuFuPFourier譜：作業作業離散傅離散傅立葉變換：立葉變換：為什么幅度和為什么幅度和過零點都變為過零點都變為2倍？倍？Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain常用函數的傅立葉變換Chapter 4 Image Enhancement in the Fr

23、equency Domain二維連續傅立葉變換Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain二維離散傅立葉變換Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain二維傅立葉變換例子Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain二維傅立葉變換例子Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain二維傅立葉變換例子Chapter 4 Image Enhancement in the Fr

24、equency Domain(a)在512*512黑圖中的20*40白塊(b)居中的傅氏頻譜，經log(1+p)變換 橫向相當是圖4.2d, 縱向是圖4.2b注意：頻譜中心搬移了！Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency DomainChapter 4 Image Enhancement in the Frequency DomainChapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain傅立葉變換性質Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domai

25、n傅立葉變換性質Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain傅立葉變換性質Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain傅立葉變換性質Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain傅立葉變換性質Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain傅立葉變換性質Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain卷積Chapter

26、 4 Image Enhancement in the Frequency DomainChapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain傅立葉變換性質Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain傅立葉變換性質Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain寫出以下公式并做必要使用說明： 卷積定理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain寫出以下公式并做必要使用說明： f(

27、t)*g(t) F(u)G(u) f(t)g(t) F(u)*G(u)Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain相關Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain傅立葉變換性質Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain傅立葉變換性質Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain傅立葉變換性質Chapter 4 Image Enhancement in the Fre

28、quency Domain傅立葉變換性質Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency DomainSeparability可分離性，2D1D:vyNjNyMxxuMjeeyxfMNvuF210102),(11),(Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domaina)f(x,y); b)F(u,y);c)F(u,v) 一次2D FT 可由兩次1D FT完成，O(n2)2O(n)Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain傅立葉變換性質Chap

29、ter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain傅立葉變換性質Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain傅立葉變換性質Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 低頻對應圖像的全局信息或平均信息 高頻對應圖像的細節或邊緣信息Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain第一種理解方式 看傅立葉變換的公式，頻率為0時，正好就是平均值Chapter 4 Image Enhance

30、ment in the Frequency Domain第二種理解方式 畫出DFT的所有基圖像，從中可以明顯看出這些信息。 以DCT的二維基為例，例如8*8 DCT變換的所有64個基函數，放在一塊對比一下，就立即知道這個事實。Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency DomainDCT基函數 每副圖像都會被切成88的小塊。 基函數：公式中x和y指像素在空間域（對應一維的時間域）的坐標，u和v指基函數頻率域中的坐標。這個基函數公式基于88的塊，x,y, u, v的取值范圍都是07。 圖像經DCT變換后，低頻信息集中在矩陣的左上角，高頻信息則向右下角

31、集中。直流分量在0,0處，0,1處的基函數在一個方向上是一個半周期的余弦函數，在另一個方向上是一個常數。Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency DomainDCT基函數Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain頻域增強原理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain關鍵步驟：),(*),(),(),(),(),(),(1yxfyxhvuGFyxgvuFvuHvuG頻域增強原理Chapter 4 Image Enhancement

32、 in the Frequency DomainChapter 4 Image Enhancement in the Frequency DomainChapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain頻率域高斯低通濾波器頻率域高斯高通濾波器對應的空間域低通濾波器對應的空間域高通濾波器Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain低通濾波Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain低通濾波Chapter 4 Image Enhanc

33、ement in the Frequency Domain低通濾波Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain低通濾波理想低通濾波器的空間濾波函數/模板原始函數卷積結果Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain低通濾波Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency DomainChapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain原圖(100%)5/250半徑，低通92%15/250半徑低

34、通94.6%30/250半徑低通96.4%80/250半徑低通98%230/250半徑，低通99.5%例例(續續1)：Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency DomainChapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain低通濾波D0為截止頻率為截止頻率Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain低通濾波Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency DomainILPFBLPF(n=2)Chap

35、ter 4 Image Enhancement in the Frequency DomainBLPF當n4時開始有明顯振鈴通常，BLPF在n=2時能折中折中有效的低通與可容忍的振鈴Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain低通濾波Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency DomainGaussian低通濾波器(GLPF)222/ ),(),(vuDevuH無振鈴效應Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency DomainBLPFGLPFCh

36、apter 4 Image Enhancement in the Frequency DomainGLPF應用實例：Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain其它LPF實例：過濾眼角魚尾紋Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency DomainNOAA衛星在墨西哥灣和佛州的雷達輻射圖像：低通濾波是一種消除掃描線的粗糙方法Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain低通濾波Chapter 4 Image Enhancement in

37、the Frequency Domain高通濾波Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain高通濾波Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain高通濾波Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain高通濾波IHPFBHPFGHPFChapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain上述3種濾波器的空間響應：Chapter 4 Image Enhancement in the

38、Frequency Domain不同截止頻率參數的IHPF所得效果：00),(1),(0),(DvuifDDvuifDvuHChapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain不同截止頻率參數的BHPF所得效果：nvuDDvuH20),(/11),(Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain不同截止頻率參數D0的GHPF所得效果：2022/ ),(1),(DvuDevuHChapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain帶通和帶阻濾波

39、帶通和帶阻濾波Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain帶通和帶阻濾波帶通和帶阻濾波Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain帶通和帶阻濾波帶通和帶阻濾波Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain帶通和帶阻濾波帶通和帶阻濾波Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain帶通和帶阻濾波帶通和帶阻濾波Chapter 4 Image Enhancement in th

40、e Frequency Domain同態濾波同態濾波Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain同態濾波同態濾波照度分布i(x,y)屬低頻，物體反射r(x,y)屬高頻，高頻應增強Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain同態濾波同態濾波Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain同態濾波同態濾波照度分布i(x,y)屬低頻，物體反射r(x,y)屬高頻，高頻應增強Chapter 4 Image Enhancement in

41、the Frequency Domain同態濾波同態濾波增強實例：Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain頻域中的Laplacian22)2/()2/(),(NvMuvuH原點(M/2,N/2)有峰值0),()2/()2/(),(2212vuFNvMuFyxf),()2/()2/(1),(),(),(2212vuFNvMuFyxfyxfyxg 負負得正，實際上是原圖f加上高通圖f”，邊緣得到增強Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain頻域中的Laplacian22)2/(

42、)2/(),(NvMuvuH頻域：空間域：上式的圖形/圖像4角高頻為負系數中點有峰值0剖面的實際值下降快Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain),()2/()2/(1),(),(),(2212vuFNvMuFyxfyxfyxgChapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain),(),(),(yxfyxfyxflphp),(),(),(yxfyxAfyxflphbUnsharp Masking: (鈍化掩膜）High-boost filtering: (提升濾波),(),(),(

43、) 1(),(yxfyxfyxfAyxflphb),(),() 1(),(yxfyxfAyxfhphbwhere A=1Unsharp Masking, High-boost filtering,High-frequency Emphasis FilteringChapter 4 Image Enhancement in the Frequency DomainHigh-boost filtering),() 1(),(vuHAvuHhphbA=1),(1),(vuHvuHlphpChapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain),(),(

44、vubHavuHhphfeHigh-Frequency Emphasis FilteringBHPFHist-EqualizationHfeF(a=0.5 b=2.0)Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain位移：位移：如果 F(u,v) f(x,y)則 F(u-M/2, v-N/2) (-1)(x+y)f(x,y)4.6 Implementation of FT4.6.1 2D FT的特性的特性1423F0,04321F0,0變換后重排后Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Do

45、mainF(u-M/2, v-N/2) (-1)(x+y)f(x,y)Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain比例尺與旋轉 af(x,y)aF(u,v) f(ax,by) F(u/a,v/b)/|ab|但是，如果f(x,y)與圖框一起放大，F(u,v)不變。f(x,y)旋轉角， F(u,v)也在同方向旋轉角Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency DomainPeriodicity and conjugate symmetry周期性F(u,v)=F(u+M,v)=F(u,v+N)=F(

46、u+M,v+N)f(x,y)=f(x+M,y)=f(x,y+N)=f(x+m,y+N)共軛對稱 (共軛: z=a+jb, z*=a-jb )F(u,v)=F*(-u,-v)|F(u,v)|=|F(-u,-v)|Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain線性組合k1 f(x,y) + k2 g(x,y) k1 F(u,v) + k2 G(u,v) 但是,通常：f(x,y)g(x,y) F(u,v)G(u,v)Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain利用正向FT做反向FT則該反

47、向FT的運算式與正向相同對計算結果f*(x)求共軛后乘M即得f(x)MuxjMueuFMxfM/210*)(1)(110/21, 2 , 1 , 0)(1)(MxMuxjMuforexfMuF10/21, 2 , 1 , 0)()(MuMuxjMxforexFxf正向FT:反向FT:對反向FT兩邊取共軛, 除以M得：Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain周期信號引起卷積混疊的現象：j圖實際上是由e圖的梯形復制平移后疊加Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain為避免卷積混

48、疊需要加大信號周期：Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domainf*h，設f與h為大小相同的正方形；Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain理想低通濾波器卷積實現中的擴充實例Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency DomainConvolution & Correlation Theorems Convolution1010),(),(1),(*),(MmNnnymxhnmfMNyxhyxf),(),(),(*),()

49、,(),(),(*),(yxhyxfvuHvuFvuHvuFyxhyxf卷積定理：卷積定理：Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency DomainCorrelation1010),(),(1),(),(MmNnnymxhnmfMNyxhyxf相關定理相關定理:),(),(),(),(),(),(),(),(*yxhyxfvuHvuFvuHvuFyxhyxfChapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain相關匹配的實現舉例：擴充：Chapter 4 Image Enhancement in th

50、e Frequency Domain表4.1、2D-FFT的一些特性平均值頻率譜相位角位移變換對Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain表4.1、2D-FFT的一些特性(續1）共軛對稱分配率變比例周期性可分性旋轉Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain表4.1、2D-FFT的一些特性(續2）卷積相關卷積定理卷積定理相關定理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain表4.1、2D-FFT的一些特性(續3）一些有用的

51、變換對：脈沖1高斯高斯Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency DomainDFT與FFT 的計算量之比MMMMMMC222loglog)(M=2n時，nMMnCn2log)(2Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain傅立葉變換的分類傅立葉變換的分類每種傅立葉變換都分成實數和復數兩種方法，對于實數方法是最好理解的，但是復數方法就相對復雜許多了，需要懂得有關復數的理論知識，不過，如果理解了實數離散傅立葉變換(real DFT)，再去理解復數傅立葉就更容易了。所以我們先把復數的傅立葉放到一

52、邊去，先來理解實數傅立葉變換，在后面 我們會先講講關于復數的基本理論，然后在理解了實數傅立葉變換的基礎上再來理解復數傅立葉變換。Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain圖像傅立葉變換的物理意義圖像傅立葉變換的物理意義傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續空間（現實空間）上的采樣得到一系列點的集合，我們習慣用一個二維矩陣表示空間上各點，則圖像可由z=f(x,y) 來表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個維度上的關系就由梯度來表示，這樣我們可以通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應關系。為什么要提梯度？因

53、為實際上對圖像進行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當然頻譜圖上的各點與圖像上各點并不存在一一對應的關系，即使在不移頻的情況 下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，實際上圖像上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大?。梢赃@么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，我們首先就可以看出， 圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗的點數更多，那么實際圖像是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較?。粗?，如果頻譜圖中亮的點數多，那么實際圖 像一定

54、是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。對頻譜移頻到原點以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點為圓心，對稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰 地看出圖像頻率分布以外，還有一個好處，它可以分離出有周期性規律的干擾信號，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移頻到原點的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點為中心，對稱分布的亮點集合，這個集合就是干擾噪音產生的，這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾。Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain圖像傅立葉變換的物理意義圖像傅立葉變換的物理意義另外我還想說明以下幾點： 1、圖像經

55、過二維傅立葉變換后，其變換系數矩陣表明：若變換矩陣Fn原點設在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數短陣的中心附近(圖中陰影區)。若所用的二維傅立葉 變換矩陣Fn的原點設在左上角，那么圖像信號能量將集中在系數矩陣的四個角上。這是由二維傅立葉變換本身性質決定的。同時也表明一股圖像能量集中低頻區域。 2 、變換之后的圖像在原點平移之前四角是低頻，最亮，平移之后中間部分是低頻，最亮，亮度大說明低頻的能量大（幅角比較大）。Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain一個關于實數離散傅立葉變換一個關于實數離散傅立葉變換(Real DFT)的例子的例子

56、先來看一個變換實例，一個原始信號的長度是16，于是可以把這個信號分解9個余弦波和9個正弦波（一個長度為N的信號可以分解成N/2+1個正余弦信號，這是為什么呢？ 結合下面的18個正余弦圖,我想從計算機處理精度上就不難理解，一個長度為N的信號，最多只能有N/2+1個不同頻率，再多的頻率就超過了計算機所能所處理的精度范圍）， 如下圖，9個正弦信號：Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain一個關于實數離散傅立葉變換一個關于實數離散傅立葉變換(Real DFT)的例子的例子把以上所有信號相加即可得到原始信號，至于是怎么分別變換出9種不同頻率信

57、號的，我們先不急，先看看對于以上的變換結果，在程序中又是該怎么表示的，我們可以看看 下面這個示例圖。下圖中左邊表示時域中的信號，右邊是頻域信號表示方法，從左向右表示正向轉換(Forward DFT)，從右向左表示逆向轉換(Inverse DFT)，用小寫x表示信號在每個時間點上的幅度值數組, 用大寫X表示每種頻率的副度值數組, 因為有N/2+1種頻率，所以該數組長度為N/2+1，X數組又分兩種，一種是表示余弦波的不同頻率幅度值：Re X，另 一種是表示正弦波的不同頻率幅度值：Im X，Re是實數(Real)的意思，Im是虛數(Imagine)的意思，采用復數的表示方法把正余弦波組合起來進行表示

58、，但這里我們不考慮復 數的其它作用，只記住是一種組合方法而已，目的是為了便于表達（在后面我們會知道，復數形式的傅立葉變換長度是N，而不是N/2+1）。Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain用用Matlab實現快速傅立葉變換實現快速傅立葉變換FFT是離散傅立葉變換的快速算法，可以將一個信號變換到頻域。有些信號在時域上是很難看出什么特征的，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出特征了。這就是很多 信號分析采用FFT變換的原因。另外，FFT可以將一個信號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經常用的。雖然很多人都知道FFT是什么，可以用來做

59、什么，怎么去做，但是卻不知道FFT之后的結果是什意思、如何決定要使用多少點來做FFT?，F在就根據實際經驗來說說FFT結果的具體物理意義。一個模擬信號，經過ADC采樣之后，就變成了數字信號。采樣定理告訴我們，采樣頻率要大于信號頻率的兩倍，這些我就不在此啰嗦了。采樣得到的數字信號，就可以做FFT變換了。N個采樣點，經過FFT之后，就可以得到N個點的FFT結果。為了方便進行FFT運算，通常N取2的整數次方。Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain用用Matlab實現快速傅立葉變換實現快速傅立葉變換假設采樣頻率為Fs，信號頻率F，采樣點數為

60、N。那么FFT之后結果就是一個為N點的復數。每一個點就對應著一個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。 具體跟原始信號的幅度有什么關系呢？假設原始信號的峰值為A，那么FFT的結果的每個點（除了第一個點直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一個點就是直流分量， 它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的信號的相位。第一個點表示直流分量（即0Hz），而最后一個點N的再下一個點（實際上這個點是不存在的， 這里是假設的第N+1個點，也可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最后）則表示采樣頻率Fs，這中間被N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率依次增加。例如某點n所 表示的