1、2022-7-51第七章第七章 計算機控制系統的計算機控制系統的 離散狀態空間設計離散狀態空間設計 狀態空間描述的基本概念狀態空間描述的基本概念 2 2 采用狀態空間模型的極點配置設計采用狀態空間模型的極點配置設計3 3 采用狀態空間模型的最優化設計采用狀態空間模型的最優化設計2022-7-52 狀態空間設計法是建立在矩陣理論基礎上、采狀態空間設計法是建立在矩陣理論基礎上、采用狀態空間模型對多輸入多輸出系統進行描述、分用狀態空間模型對多輸入多輸出系統進行描述、分析和設計的方法。用狀態空間模型能夠分析和設計析和設計的方法。用狀態空間模型能夠分析和設計多輸入多輸出系統、非線性、時變和隨機系統等復多

2、輸入多輸出系統、非線性、時變和隨機系統等復雜系統，可以了解到系統內部的變化情況。并且這雜系統，可以了解到系統內部的變化情況。并且這種分析方法便于計算機求解。種分析方法便于計算機求解。 2022-7-537 71 1 狀態空間描述的狀態空間描述的基本概念基本概念1 . 1 . 離散時間系統的狀態空間描述離散時間系統的狀態空間描述 設連續的被控對象的狀態空間表達式設連續的被控對象的狀態空間表達式 )()()(| )( )()()(00tCxtytxtx tButAxtxtt在在 作用下，系統的狀態響應為作用下，系統的狀態響應為)(tu tttAttABuetxetx00d)()()()(0)( 其

3、中其中 為系統的狀態轉移矩陣。為系統的狀態轉移矩陣。取取 ， ，考慮到零階保持器的作用，有，考慮到零階保持器的作用，有)(0ttAe kTt 0Tkt)1( )()(kTutx TktkT)1( TkkTTkTATAkTuBekTxeTkTx)1()()(d)()( 則則（5 51 11 1） （5 51 1） （5 51 13 3） （5 51 1） 2022-7-54 TkTt TtATAkTutBekTxeTkTx0)(d)()(作變量置換，令：作變量置換，令： 由此可得系統連續部分的離散化狀態空間表達式由此可得系統連續部分的離散化狀態空間表達式 )()()()()1(kCxkykGuk

4、Fxkx d ,0 TtATAtBeGeF其中：其中：式中：式中： 為為 維狀態向量，維狀態向量， 為為 維控制向量，維控制向量， 為為 維輸出向量，維輸出向量， 為為 維狀態轉移矩陣，維狀態轉移矩陣， 為為 維輸入矩陣，維輸入矩陣， 為為 維輸出矩陣。維輸出矩陣。)(kxn)(kum)(kyrFnn Gmn nr C（5 51 1） （5 51 1） （5 51 1） 2022-7-55可用迭代法求得，可用迭代法求得， ) 1() 2() 1 () 0() 1() 1()( ) 2() 1 () 0() 0() 2() 2() 3 () 1 () 0() 0() 1 () 1 () 2()

5、0() 0() 1 (kkkkkxxGuFGuGuFxFGuFxxGuFGuGuFFGuFxxGuFGuFGuFxxGuFxx1kk23210)()0()(kjjkGuFxFx1jkk即：即：以以k k0 0，1 1， 代入式（代入式（5 51 16 6）離散時間系統狀態方程的解離散時間系統狀態方程的解2022-7-56離散時間系統的能控性離散時間系統的能控性 描述的系統，描述的系統，如果存在有限個控制信號，如果存在有限個控制信號，能使系統從任意初始狀態轉移，能使系統從任意初始狀態轉移到終態，則系統是狀態完全能控的。到終態，則系統是狀態完全能控的。 )()()()()1(kCxkykGukFx

6、kx)0(u、) 1 (u ) 1(Nu)0(x)(Nx) 1() 2() 0() 0() 0()(21NNNNNNGuFGuGuFGuFxFx寫成矩陣形式寫成矩陣形式 ) 1() 1 ()0()0()(21NNNNNuuuGGFGFxFx能控性定義：能控性定義：對于式對于式根據狀態方程的解，有根據狀態方程的解，有2022-7-57則則 、 、 有解的充分必要條件，有解的充分必要條件，也即系統的能控性判據為也即系統的能控性判據為 )0(u) 1 (u) 1(Nu G GF FFGFGG G1 1N Nnrank式中式中: :n n為系統狀態向量的維數。為系統狀態向量的維數。得到輸出的能控性條件

7、為得到輸出的能控性條件為 rank1r NGCFCFGGC式中式中: : r r 為輸出向量的維數。為輸出向量的維數。2022-7-58描述的系統，描述的系統，如果如果能根據有限個采樣信號能根據有限個采樣信號，確定出系統的初始狀態確定出系統的初始狀態 ，則系統，則系統是狀態完全能觀的是狀態完全能觀的 。 離散時間系統的能觀性離散時間系統的能觀性 )()()()()1(kCxkykGukFxkx)0(Y、)(NY)0(x能觀性定義：能觀性定義：對于式對于式)1(Y根據狀態方程的解，從根據狀態方程的解，從0到到 時刻，各采樣時刻，各采樣瞬時的觀測值為：瞬時的觀測值為：)0() 1() 1( )0)

8、 1 () 1 ()0()0(1xCFCxyCFxCxyCxyNNNTN)1( 2022-7-59寫成矩陣形式寫成矩陣形式 )0( ) 1() 1 ()0(1xCFCFCyyyNN則則 有解的充分必要條件，即系統的能觀性判據為有解的充分必要條件，即系統的能觀性判據為 )0(xn 1NCFCFCrank式中式中n n為系統狀態向量的維數為系統狀態向量的維數 。2022-7-5107 72 2 采用狀態空間模型的極點配置設計采用狀態空間模型的極點配置設計 圖圖5 52 2 按極點配置設計的控制器按極點配置設計的控制器狀態空間模型按極點配置狀態空間模型按極點配置設計的控制器由兩部分組設計的控制器由兩

9、部分組成：一部分是狀態觀測器，成：一部分是狀態觀測器，它根據所量測到的輸出它根據所量測到的輸出 重構出狀態重構出狀態 ；另一部；另一部分是控制規律，它直接反分是控制規律，它直接反饋重構的狀態饋重構的狀態 ，構成，構成狀態反饋控制。狀態反饋控制。 )(ky)(kx根據分離性原理，控制器的設根據分離性原理，控制器的設計可以分為兩個獨立的部分：計可以分為兩個獨立的部分：一是假設全部狀態可用于反饋，一是假設全部狀態可用于反饋，按極點配置設計控制規律；二按極點配置設計控制規律；二是按極點配置設計觀測器。是按極點配置設計觀測器。 )(kx2022-7-5111 1 按極點配置設計控制規律按極點配置設計控制

10、規律 設被控對象的離散狀態空間表達式為設被控對象的離散狀態空間表達式為 )()()()() 1(kkkkkCxyGuFxx控制規律為線性狀態反饋控制規律為線性狀態反饋 )()(kkLxu假設反饋的是假設反饋的是被控對象實際的全部狀態被控對象實際的全部狀態x x( (k k) )得閉環系統的狀態方程為得閉環系統的狀態方程為 )()() 1(kkxGLFx)()()(zzzxGLFX作作Z Z變換變換 顯然，閉環系統的特征方程為顯然，閉環系統的特征方程為 0GLFI z圖圖5-3 5-3 狀態反饋系統結構圖狀態反饋系統結構圖 2022-7-512如何設計反饋控制規律，如何設計反饋控制規律， 以使閉

11、環系統具有所期望的極點配置以使閉環系統具有所期望的極點配置 ？ 首先根據對系統的性能要求，找出所期望的閉環系統控制首先根據對系統的性能要求，找出所期望的閉環系統控制極點極點 ，再根據極點的期望值，再根據極點的期望值 ，求得閉環，求得閉環系統的特征方程為系統的特征方程為 ), 2 , 1(nizi iz 0)()()(1121 nnnnczzzzzzzzz 反饋控制規律應滿足如下的方程反饋控制規律應滿足如下的方程 )(|zzcGLFI如果被控對象的狀態為如果被控對象的狀態為 維，控制作用為維，控制作用為 維，則反饋維，則反饋控制規律為控制規律為 維，即維，即 中包含中包含 個元素。個元素。 nm

12、nm Lnm 2022-7-513例例7-17-1 對于單輸入系統，給定二階系統的狀態方程對于單輸入系統，給定二階系統的狀態方程)(1 . 0005. 0)()(101 . 00)1()1(2121kukxkxkxkx 設計狀態反饋控制規律設計狀態反饋控制規律 ，使閉環極點為，使閉環極點為L25. 08 . 02, 1jz 解解 根據能控性判據，因根據能控性判據，因 21 . 01 . 0015. 0005. 0rankrankFGG所以系統是能控的。期望的閉環特征方程為所以系統是能控的。期望的閉環特征方程為 07 . 06 . 1)()(221 zzzzzzzc 設狀態反饋控制規律設狀態反饋

13、控制規律21llL 2022-7-514取取 ，比較兩邊同次冪的系數，有，比較兩邊同次冪的系數，有)()(zzc 7 . 01 . 0005. 016 . 11 . 0005. 022121llll101 l5 . 32 l可得可得：即狀態反饋控制規律即狀態反饋控制規律為為 5 . 310L01 . 0005. 01)1 . 0005. 02(1005. 0101 . 011001|)(2121221llzllzllzzzGLFI閉環系統的特征方程為閉環系統的特征方程為 2022-7-5152 2 按極點配置設計狀態觀測器按極點配置設計狀態觀測器 在實際工程中，采用全狀態反饋通常是不現實在實際

14、工程中，采用全狀態反饋通常是不現實的。常用的方法是設計狀態觀測器，由測量的輸出的。常用的方法是設計狀態觀測器，由測量的輸出值值 重構全部狀態，實際反饋的只是重構狀重構全部狀態，實際反饋的只是重構狀態態 。即。即 )(ky)( kx)( )(kkxLu常用的狀態觀測器有三種。常用的狀態觀測器有三種。 圖圖5-4 5-4 狀態觀測器結構圖狀態觀測器結構圖2022-7-516狀態重構誤差的動態性能取決于特征方程根的分布。若狀態重構誤差的動態性能取決于特征方程根的分布。若狀態重構誤差為：狀態重構誤差為： ) 1( ) 1() 1(kkkxxx得狀態重構誤差方程為：得狀態重構誤差方程為： )( )()(

15、)( )()() 1(kkCxkkkkkxCKGuxFGuFxx )()(kxKCF 預報觀測器的特征方程：預報觀測器的特征方程： 0KCFI z的特性是快速收斂的，則對于任何初始誤差的特性是快速收斂的，則對于任何初始誤差 ， 都將快都將快速收斂到零。因此，只要適當地選擇增益矩陣速收斂到零。因此，只要適當地選擇增益矩陣 ，便可獲得，便可獲得要求的狀態重構性能。要求的狀態重構性能。 KCF )0(x)(kxK預報觀測器預報觀測器觀測器方程觀測器方程 )( )()()( ) 1( kkykkkxCKGuxFx2022-7-517如果給出觀測器的極點，可求得觀測器的特征方程如果給出觀測器的極點，可求

16、得觀測器的特征方程 0)()()(1121 nnnnbzzzzzzzzz 為了獲得所需要的狀態重構性能，應有為了獲得所需要的狀態重構性能，應有 )(bzKCFFzI 通過比較兩邊通過比較兩邊z z的同次冪的系數，可求得的同次冪的系數，可求得 中的中的n n個未知數。個未知數。 對于任意的極點配置，對于任意的極點配置， 具有唯一解的充分必要條具有唯一解的充分必要條件是對象是完全能觀的。件是對象是完全能觀的。 KK2022-7-518現時觀測器現時觀測器觀測器方程觀測器方程 ) 1() 1() 1() 1( )()( ) 1( kkkkkkkxCyKxxGuxFx狀態重構誤差為狀態重構誤差為 )

17、1( ) 1() 1(kkkxxx狀態重構誤差方程：狀態重構誤差方程： ) 1( ) 1() 1(kkkxxx )1()1()1()()( kxCkyKkxkGukFx)( )(kkxxKFCF )(kxKCFF 2022-7-519現時觀測器特征方程：現時觀測器特征方程： 0|KCFFI z為使現時觀測器具有期望的極點配置，應有為使現時觀測器具有期望的極點配置，應有)(|zzbKCFFI 同理，通過比較兩邊同理，通過比較兩邊z z的同次冪的系數，可的同次冪的系數，可求得求得K K 中的中的n n個未知數。個未知數。降階觀測器降階觀測器 將原狀態向量分成兩部分，一部分是可以直將原狀態向量分成兩

18、部分，一部分是可以直接測量的接測量的 ，一部分是需要重構的，一部分是需要重構的 。)(kxa)(kxb2022-7-520被控對象的離散狀態方程可以分塊表示為被控對象的離散狀態方程可以分塊表示為 )()()()1()1()1(bababbbaabaabakuGGkxkxFFFFkxkxkx )()()() 1()()()() 1(babaaaaabababbbbkkkkkkkkxFuGxFxuGxFxFx即即 )()()()() 1(kkkkkCxyGuFxx比較比較abaaaaabababbb )()()1( )()()( )( )( )(FCkuGkxFkxkykuGkxFkGuFFkxk

19、x 得：得：2022-7-521觀測器方程觀測器方程: : )()()() 1(bababbbbkkkkuGxFxFx )()()() 1( babaaaaakkkkxFuGxFxK) 1() 1() 1(bbb kkkxxx )()()(bbabbbkkxxKFF 狀態重構誤差方程：狀態重構誤差方程： 0|abbb KFFI z降階觀測器特征方程：降階觀測器特征方程： 同理，使同理，使 ，通過比較兩，通過比較兩邊邊z z的同次冪的系數，可求得的同次冪的系數，可求得K K 中的中的n n個未知數。個未知數。(z)zbabbb| KFFI2022-7-5223 3 按極點配置設計控制器按極點配置

20、設計控制器 1 1）控制器組成）控制器組成 設被控對象的離散狀態空間描述為設被控對象的離散狀態空間描述為 kkkkk)()()()() 1(CxyGuFxx控制器由預報觀測器和狀態反饋控制律組成，即控制器由預報觀測器和狀態反饋控制律組成，即 kk kkkkk)( )()( )()()( ) 1( xLuxCyKGuxFx2 2）分離性原理）分離性原理閉環系統的狀態方程為閉環系統的狀態方程為 kkkkkk)( )()() 1( )( )() 1(xKCGLFKCxxxGLFxx kkkk)( )() 1( ) 1(xxKCGLFKCGLFxx矩陣形式：矩陣形式： 2022-7-523閉環系統的特

21、征方程為閉環系統的特征方程為 KCGLFKCGLFI zz)( )( 第二列加到第一列KCGLFIKCGLFI zz )( 第二行減去第一行KCGLFIGLFIGLGLFI zzz 0KCFIGLGLFI zz 0)()( zzbc可見，閉環系統的可見，閉環系統的2 2n n個極點由兩部分組成，一部分是按極個極點由兩部分組成，一部分是按極點配置設計的控制規律給定的點配置設計的控制規律給定的n n個極點，稱為控制極點，另個極點，稱為控制極點，另一部分是按極點配置設計的狀態觀測器給定的一部分是按極點配置設計的狀態觀測器給定的n n個極點，稱個極點，稱為觀測器極點。兩部分相互獨立，可分別設計為觀測器

22、極點。兩部分相互獨立，可分別設計 。 2022-7-5243 3）數字控制器實現）數字控制器實現設狀態反饋控制規律為設狀態反饋控制規律為 )( )(kkxLu代入預報觀測器方程代入預報觀測器方程 kkkkk)( )()()( ) 1( xCyKGuxFx觀測器與控制規律的關系觀測器與控制規律的關系 )()( )() 1( kkkKyxKCGLFx zzzzKKCGLFILYUD1)()()()(得控制器的脈沖傳遞函數為得控制器的脈沖傳遞函數為 )()()(1zzzKYKCGLFILU將脈沖傳遞函數轉將脈沖傳遞函數轉換為差分方程，就換為差分方程，就可以在計算機上實可以在計算機上實現數字控制器。現

23、數字控制器。2022-7-525 ，無阻尼自然頻率，無阻尼自然頻率 ； 觀測器極點所對應的衰減速度比控制極點所對應的觀測器極點所對應的衰減速度比控制極點所對應的衰減速度快約衰減速度快約3 3倍。倍。例例7 73 3 設被控對象的傳遞函數為設被控對象的傳遞函數為 ，采樣，采樣周期周期 ，采用零階保持器，試設計狀態反饋控制器，采用零階保持器，試設計狀態反饋控制器，要求：要求：sT1 . 0 )10(10)( sssG6 . 0 4 n 閉環系統的性能相應于二階連續系統的阻尼比閉環系統的性能相應于二階連續系統的阻尼比解解 被控對象的等效微分方程為被控對象的等效微分方程為 )(10)(10)(tuty

24、ty 定義兩個狀態變量定義兩個狀態變量 )()( )()(121txtxtytx 2022-7-526則被控對象的連續狀態空間表達式則被控對象的連續狀態空間表達式)(100)()(10010)()()()(2121tutxtxtutxtxtxBA)()(01)()(21txtxttCxy離散狀態空間表達式離散狀態空間表達式)()()()() 1(kkkkkCxyGuFxx368. 00063. 010)1 ( 1 . 011010TTTeeeAF其中：其中： 632. 0037. 011 . 01 . 0d10100TTTeeTteBGTA01C2022-7-527判斷被控對象的能控性和能觀性

25、判斷被控對象的能控性和能觀性 2233. 0632. 0077. 0037. 0rankrankFGG2063. 0101rankrankCFC因此，被控對象是能控且能觀的。因此，被控對象是能控且能觀的。根據能控性判據和能觀性判據根據能控性判據和能觀性判據 設計狀態反饋控制規律設計狀態反饋控制規律L 設狀態反饋控制規律為設狀態反饋控制規律為 ，對應的特征方程為，對應的特征方程為 21llL 21632. 0037. 0368. 00063. 0100llzzzGLFI)632. 0026. 0368. 0()632. 0037. 0368. 1(21212llzllz 0 2022-7-528

26、根據對閉環極點的要求，對應的極點和特征方程為根據對閉環極點的要求，對應的極點和特征方程為2 . 34 . 2122, 1jsnn 248. 0747. 032. 024. 02, 1jeezjsT )248. 0747. 0()248. 0747. 0()(jzjzzc 0620. 0494. 12 zz由由 ，可得，可得)(zGLFI zc 620. 0632. 0026. 0368. 0494. 1632. 0037. 0368. 12121llll解得解得L L1 12 2，L L2 20.3170.317，即，即 317. 02 L2022-7-529 設計狀態觀測器設計狀態觀測器 選

27、用現時觀測器，設觀測器增益矩陣為選用現時觀測器，設觀測器增益矩陣為 TkkK 21 現時觀測器的特征方程為現時觀測器的特征方程為 368. 00063. 0101368. 00063. 010021kkzzzKCFFI2211063. 0368. 0063. 0063. 01kzkkkz 0)368. 0368. 0()063. 0368. 1(1212 kzkkz487. 03)24. 0(2, 1 ez依題意：依題意：對應的特征方程為對應的特征方程為0237. 0974. 0)487. 0()487. 0()(2 zzzzzb 2022-7-530解得解得 ， ，即，即 由由 ，可得，可得

28、 )(zzbKCFFI 237. 0368. 0368. 0974. 0063. 0368. 1121kkk356. 01 k603. 02 k T 603. 0356. 0 K 組成控制器組成控制器 )( )()( )()()( ) 1( kk kkkkkxLuxCyKGuxFx317. 02L T 603. 0356. 0 K其中其中 ，。2022-7-5317 73 3 采用狀態空間模型的最優化設計采用狀態空間模型的最優化設計針對隨機系統按最優化方法設計控制器。針對隨機系統按最優化方法設計控制器。 假定被控對象是線性的，系統性能指標是狀態假定被控對象是線性的，系統性能指標是狀態和控制的二

29、次型函數，則系統的綜合問題就是尋求和控制的二次型函數，則系統的綜合問題就是尋求允許的控制信號序列，使性能指標函數最小，這類允許的控制信號序列，使性能指標函數最小，這類問題稱為線性二次型（問題稱為線性二次型（Linear QuadraticLinear Quadratic）控制問）控制問題。如果考慮系統中隨機的過程干擾和量測噪聲，題。如果考慮系統中隨機的過程干擾和量測噪聲，且過程干擾和量測噪聲均是具有正態分布的白噪聲，且過程干擾和量測噪聲均是具有正態分布的白噪聲，這類問題稱為線性二次型高斯（這類問題稱為線性二次型高斯（Linear Quadratic Linear Quadratic Gauss

30、ianGaussian）控制問題。）控制問題。2022-7-532 最優控制器也是由兩部分組成，一部分是最優控制器也是由兩部分組成，一部分是狀態最優估計器；另一部分是最優控制規律。狀態最優估計器；另一部分是最優控制規律。 圖圖55 最優調節器結構圖最優調節器結構圖LQGLQG)( kx 其設計也可分為兩個獨立的部分：一是將系統看其設計也可分為兩個獨立的部分：一是將系統看作確定性系統；二是考慮隨機的過程干擾作確定性系統；二是考慮隨機的過程干擾 v 和量測和量測噪聲噪聲w，設計狀態最優估計器。，設計狀態最優估計器。2022-7-5331 1 最優控制規律設計最優控制規律設計 有限時間最優調節器設計

31、有限時間最優調節器設計 )()() 1(kkkGuFxx )0(0 xx )()()()()()(100 Nk2T1TTkuQkukxQkxNxQNxJ設連續被控對象的離散化狀態方程為設連續被控對象的離散化狀態方程為 初始條件初始條件給定二次型性能指標函數給定二次型性能指標函數 線性二次型最優控制的任務是尋求最優控制序列線性二次型最優控制的任務是尋求最優控制序列 （k0，1，N1），在把初始狀態），在把初始狀態x(0) 轉移到轉移到x(N) 的過程中，使性能指標函數最小。的過程中，使性能指標函數最小。 )(ku2022-7-534 求解二次型最優控制問題可采用變分法、動態規劃法等求解二次型最優

32、控制問題可采用變分法、動態規劃法等方法。這里采用離散動態規劃法來進行求解。方法。這里采用離散動態規劃法來進行求解。 動態規劃法的基本思想是：將一個多級決策過程轉變動態規劃法的基本思想是：將一個多級決策過程轉變為求解多個單級決策優化問題，這里需要決策的是控制變為求解多個單級決策優化問題，這里需要決策的是控制變量量 （k0，1，N1）。）。令二次型性能指標函數令二次型性能指標函數 )(ku )()()()()()(1210NikTTTikkkkNNJuQuxQxxQx )()()()( )()()()()()(1121210 kkkkiiiiNNNikTTTTTuQuxQxuQuxQxxQx ii

33、iiJTTi)()()()(211uQuxQx其中：其中：iN1、N2、0。下面下面從最末一級往前逐級求解最優控制序列。從最末一級往前逐級求解最優控制序列。 2022-7-535 NNJTN)()(0 xQx NNNNJJTTNN) 1() 1() 1() 1(211 uQuxQx NNNNNNTTT ) 1() 1() 1() 1()()(210 uQuxQxxQx ) 1() 1( ) 1() 1(0 NNNNTGuFxQGuFx NNNNTT) 1() 1() 1() 1(00 uQuxQx 首先求解首先求解 ，以使，以使 最小。求最小。求 對對u (N1) 的的一階導數并令其等于零：一

34、階導數并令其等于零： ) 1( Nu NNNNddJTTTTN) 1(2) 1(2) 1(2) 1(2001 uQuFQGxFQGu1 NJ由上式和連續被控對象的離散化狀態方程，有由上式和連續被控對象的離散化狀態方程，有1 NJ2022-7-536 ) 1() 1(0102 NNTT FxQGGQGQu NN) 1() 1( xL進一步求得最優的控制決策為進一步求得最優的控制決策為 )()()1(12FNSGGNSGQNLTT )(0QS N其中其中得得 )1()1()1(1 NxNSNxJTN )1()()1()1( NGLFNSNGLFNST )1()1(21 NLQNLQT依次，可求的依

35、次，可求的 、 、 。 )2( Nu)3( Nu)0(u、其中其中2022-7-537計算計算 公式歸納：公式歸納： kkk)()()(xLu ) 1() 1()(12FSGGSGQL kkkTT )()()() 1()()(21 kkkkkkTTLQLQGLFSGLFS )(0 NQS 0 , 2, 1NNk最優性能指標為最優性能指標為 )0()0()0(minxSxTJ 滿足上式的最優控制一定存在且是唯一的。滿足上式的最優控制一定存在且是唯一的。其中其中 )(ku利用以上公式可以逆向遞推計算出利用以上公式可以逆向遞推計算出S S ( (k k) )和和L L ( (k k) )。 2022

36、-7-538無限時間最優調節器設計無限時間最優調節器設計設被控對象的狀態方程為設被控對象的狀態方程為 )()() 1(kkkGuFxx 當當NN時，其性能指標函數簡化為時，其性能指標函數簡化為 )()()()(021kTTkkkkJuQuxQx其中其中 是非負定對稱陣，是非負定對稱陣， 是正定對稱陣。是正定對稱陣。假定假定F，G是是能控的，且能控的，且F，D是能觀的，其中是能觀的，其中D為能使為能使DTDQ1成立成立的任何矩陣。的任何矩陣。計算機控制系統的最優設計，計算機控制系統的最優設計，最經常碰到的是離散定常系統最經常碰到的是離散定常系統終端時間無限的最優調節器問終端時間無限的最優調節器問

37、題。當終端時間題。當終端時間N N時，矩時，矩陣陣S S ( (k k) ) 將趨于某個常數，因此將趨于某個常數，因此可得到定常的最優反饋增益矩可得到定常的最優反饋增益矩陣陣L L，便于工程實現。，便于工程實現。 0 xx(0)1Q2Q2022-7-539存在，且是與存在，且是與 無關的常數陣。無關的常數陣。 )() 1() 1() 1() 1()(0112 QSQFSGGSGQGSSFSNkkkkkTTT或或：的解，那么對于任何非負定對稱陣的解，那么對于任何非負定對稱陣 ，有，有0Q0Q設設S S ( (k k) )是如下的黎卡堤（是如下的黎卡堤（RiccatiRiccati）方程）方程 )

38、()()()() 1()()() 1() 1()(02112 QSLQLQGLFSGLFSFSGGSGQLNkkkkkkkkkTTTT可以證明有以下幾點結論：可以證明有以下幾點結論： ),(lim),(lim NkNkNNSSS2022-7-540 穩態控制規律穩態控制規律 kkTTSFGSGGQLLxu12)()()(是使上面性能指標函數是使上面性能指標函數J J極小的最優反饋控制規律，最極小的最優反饋控制規律，最優性能指標函數為優性能指標函數為 JT)0()0(minSxx 所求得的最優控制規律使得閉環系統是漸近穩定。所求得的最優控制規律使得閉環系統是漸近穩定。 S S是如下的黎卡堤代數方

39、程是如下的黎卡堤代數方程 kTTTT1212)()()(QLQLGLFSGLFSSFGSGGQL TTT112)(QFSGSGGQSGSFS或：或：的唯一正定對稱解的唯一正定對稱解 。2022-7-541 該結論說明了：當滿足上述結論中所給條件該結論說明了：當滿足上述結論中所給條件時，最優的反饋控制規律是常數陣；并且使得閉時，最優的反饋控制規律是常數陣；并且使得閉環系統是漸近穩定的。同時該結論也指出了計算環系統是漸近穩定的。同時該結論也指出了計算最優反饋控制規律的途徑，它既可以通過直接黎最優反饋控制規律的途徑，它既可以通過直接黎卡堤代數方程求解，也可以通過迭代法解黎卡堤卡堤代數方程求解，也可以

40、通過迭代法解黎卡堤差分方程求得。同時也可以看出，結論條件差分方程求得。同時也可以看出，結論條件“是是正定對稱陣正定對稱陣”可以放寬到可以放寬到“是正定對稱陣是正定對稱陣”。2022-7-542例例74 考慮離散系統：考慮離散系統：)()() 1(kukxkGFx)()()(kkkDuCxy其中：3333.991;13600; 0 . 0 ; 0 . 0 ; 0 . 0 5833. 3502132. 0 0 . 0 0843. 0 0 . 0 0 . 0 3581. 02111. 01415. 00 . 0 0 . 0 4635.4050 . 0 4193.156667.9741360049.

41、00 . 0 1937. 0F6667.97413600000G00001C 0D設計最優控制器，使性能指標：設計最優控制器，使性能指標：021)()()()(21kkkkkuQxQxJTT Tu u最小。最小。2022-7-543解解 選選 和和 ， 。通過通過MATLABMATLAB仿真，可解得兩種情況下的最優反饋增益矩陣為：仿真，可解得兩種情況下的最優反饋增益矩陣為：1111101diagQ11111001diagQ12Q9197. 09961. 03575. 08045. 17398. 01L9224. 09963. 06208. 05601. 80123. 72L0510152000

42、.1Output value y=x1Time(sec)0510152000.811.21.4Output value y=x1Time(sec) (a) (a) 權矩陣權矩陣 較小的情況較小的情況 (b) (b) 權矩陣權矩陣 較大的情況較大的情況 1Q1Q2022-7-544解解 選選 ， 和和 。通過通過MATLABMATLAB仿真，可解得兩種情況下的最優反饋增益矩陣為：仿真，可解得兩種情況下的最優反饋增益矩陣為：1111101diagQ102Q12Q8493. 03116. 01252. 06430. 01292. 01L9197. 09961.

43、03575. 08045. 17398. 02L05101520012345control input uTime(sec)0510152000.511.52control input uTime(sec) (a) (a) 權矩陣權矩陣 較小的情況較小的情況 (b) (b) 權矩陣權矩陣 較大的情況較大的情況 2Q2Q2022-7-5452 2 狀態最優估計器設計狀態最優估計器設計 目前有許多狀態估計方法，這里介紹目前有許多狀態估計方法，這里介紹KalmanKalman濾波器。濾波器。 設被控對象的離散狀態空間表達式為設被控對象的離散狀態空間表達式為 )()()()()()() 1(kkkkk

44、kkwCxyvGuFxx其中：其中：x (k)為為n維狀態向量，維狀態向量，u (k)為為m維控制向量，維控制向量，y (k)為為r維輸出向量，維輸出向量，v (k)為為n維過程干擾向量，維過程干擾向量，w (k)為為r維測量噪聲維測量噪聲向量。假設向量。假設v (k) 和和w (k) 均為離散化處理后的高斯白噪聲序均為離散化處理后的高斯白噪聲序列，且有列，且有 )()( , 0)(kjTjkEkEVvvv )()( , 0)(kjTjkEkEWwww 0 1jkjkkj設設V為非負定對稱陣，為非負定對稱陣，W為正定對稱陣，并設為正定對稱陣，并設v (k) 和和w (k) 不相關。不相關。1

45、1）KalmanKalman濾波公式的推導濾波公式的推導2022-7-546 由于系統中存在隨機的干擾由于系統中存在隨機的干擾v (k)和隨機的量測噪聲和隨機的量測噪聲w (k)，因此系統的狀態向量因此系統的狀態向量x (k)也是隨機向量，也是隨機向量，y (k)是能夠量測的輸是能夠量測的輸出量。若記出量。若記x (k)的估計量為的估計量為問題：如何根據輸出量問題：如何根據輸出量y (k) 估計出估計出x (k) )( )()(kkkxxx)( kx則：則：為狀態的估計誤差，因而為狀態的估計誤差，因而 )()()(kkkTxxEP為狀態估計的協方差陣。顯然為狀態估計的協方差陣。顯然P P (

46、(k k) )為非負定對稱陣。這里為非負定對稱陣。這里估計的準則為：根據量測量估計的準則為：根據量測量y y ( (k k) )，y y ( (k k1) 1)，最優地，最優地估計出，以使估計出，以使P P ( (k k) )極小（因極小（因P P ( (k k) )是非負定對稱陣，因此可是非負定對稱陣，因此可比較其大小）。這樣的估計稱為比較其大小）。這樣的估計稱為最小方差估計。最小方差估計。 2022-7-547根據最優估計理論，最小方差估計為根據最優估計理論，最小方差估計為 kkkk),1(),(| )()(yyxEx 即即x(k)最小方差估計等于在直到最小方差估計等于在直到k時刻的所有量

47、測量時刻的所有量測量y的情的情況下況下x(k)的條件期望。的條件期望。 引入更一般的記號引入更一般的記號 ),1(),(| )()|( kkjkjyyxEx若若 ，表示根據直到現時刻的量測量來估計過去時刻的狀，表示根據直到現時刻的量測量來估計過去時刻的狀 態，稱為內插或平滑；態，稱為內插或平滑； ，表示根據直到現時刻的量測量來估計將來時刻的狀，表示根據直到現時刻的量測量來估計將來時刻的狀態，稱為預報或外推；態，稱為預報或外推； ，表示根據直到現時刻的量測量來估計現時刻的狀態，表示根據直到現時刻的量測量來估計現時刻的狀態，稱為濾波。稱為濾波。 這里所討論的狀態最優估計問題即是指這里所討論的狀態最

48、優估計問題即是指濾波問題濾波問題。 jk jk jk 2022-7-548引入如下記號引入如下記號 ) 1|1( ) 1( kkkxx；k k1 1時刻的狀態估計時刻的狀態估計 ) 1( ) 1() 1(kkkxxx；k k1 1時刻的狀態估計誤差時刻的狀態估計誤差 ) 1() 1() 1(kkkTxxEP；k k1 1時刻的狀態估計誤差協方差陣時刻的狀態估計誤差協方差陣 ) 1|( kkx； 一步預報估計一步預報估計 ) 1|( )() 1|(kkkkkxxx； 一步預報估計誤差一步預報估計誤差) 1|() 1|() 1|( kkkkkkTxxEP；一步預報估計誤差誤差協方差陣；一步預報估計

49、誤差誤差協方差陣)|( )( kkkxx同樣，如：同樣，如：；k k時刻的狀態估計時刻的狀態估計 2022-7-549求一步預報誤差求一步預報誤差 ),1(),(| )() 1|( kkkkkyyxEx ),1(),(| ) 1() 1() 1( kkkkkyyvGuFxE ),1(),(| ) 1(),1(),(| ) 1( kkkkkkyyGuEyyFxE ),1(),(| ) 1( kkkyyvE根據前面的定義，上式中第一項為根據前面的定義，上式中第一項為 ， 是輸入到是輸入到控制對象的確定量控制對象的確定量 ，因此上式中的第二項為，因此上式中的第二項為 。第三。第三項中項中 、 、均與

50、均與 不相關，則第三項為零。不相關，則第三項為零。 ) 1( kxF ) 1( ku) 1( kGu)(ky) 1( ky) 1( ku求得一步預報方程為求得一步預報方程為 ) 1() 1( ) 1|( kkkkGuxFx2022-7-550根據上式，可求得根據上式，可求得一步預報估計誤差一步預報估計誤差為為 ) 1|( ) 1() 1|( kkkkkxxx ) 1() 1( ) 1() 1() 1( kkkkkGuxFvGuFx ) 1() 1( kkvxF可進一步求得可進一步求得一步預報誤差的協方差陣一步預報誤差的協方差陣為為 ) 1|() 1|() 1|( kkkkkkTxxEP ) 1

51、() 1() 1() 1( kkkkvxFvxFE ) 1() 1() 1() 1( kkkkTTTvxEFFxxEF ) 1() 1() 1() 1( kkkkTTTvEvFxEvF簡化為簡化為 VFFPPTkkk) 1() 1|(2022-7-551 該估計器方程具有明顯的物理意義。式中第一項該估計器方程具有明顯的物理意義。式中第一項 是是 的一步最優預報估計，它是根據直到的一步最優預報估計，它是根據直到 時刻的所時刻的所有量測量的信息而得到的關于有量測量的信息而得到的關于 的最優估計。式中第二項的最優估計。式中第二項是修正項，它是根據最新的量測信息是修正項，它是根據最新的量測信息 對最優

52、預報估計進對最優預報估計進行修正。在第二項中行修正。在第二項中 其中其中 稱為狀態估計器增益，或稱為狀態估計器增益，或KalmanKalman濾波器增益。濾波器增益。設設x(k)的最小方差估計具有如下的形式的最小方差估計具有如下的形式 ) 1|( )()() 1|( )( kkkkkkkxCyKxx)(kK) 1|( kkx)(kx1 k)(kx)(ky ) 1|( )()( kkkkxCyy是關于量測量是關于量測量 的一步預報估計。的一步預報估計。)(ky2022-7-552 ) 1|( )() 1|( )() 1|( kkkkkkkkxCyyyy是關于量測量的一步預報誤差，它包含了最新量測

53、量的信息。是關于量測量的一步預報誤差，它包含了最新量測量的信息。 因此因此x(k)x(k)的最小方差估計所表示的最優狀態估計可以看成的最小方差估計所表示的最優狀態估計可以看成是一步最優預報與最新量測量信息的加權平均，其中增益矩陣是一步最優預報與最新量測量信息的加權平均，其中增益矩陣 可認為是加權矩陣。從而可認為是加權矩陣。從而問題變為如何合適地選擇問題變為如何合適地選擇 ，以獲得的最小方差估計，即使得狀態估計誤差的協方差以獲得的最小方差估計，即使得狀態估計誤差的協方差 )(kK)(kK )( )( )( )()()()( TTkkkkkkkxxxxExxEP 為最小。為最小。 現在的問題變為：

54、現在的問題變為：尋求尋求 ，以使，以使 極小。極小。 )(kK)()()(kkkTxxEP 2022-7-553極小。極小。J J表示表示 的各個分量的方差之和，因而它是標量。的各個分量的方差之和，因而它是標量。 )(kP可以證明，使可以證明，使 極小等價于使如下的標量函數極小等價于使如下的標量函數 kkJT)()(xxE)(kx由以上公式，由以上公式，可得可得 的狀態估計誤差為的狀態估計誤差為 )(kx )( )()(kkkxxx ) 1|( )()()() 1|( )( kkkkkkkkxCwCxKxx)()() 1|()() 1|(kkkkkkkwKxCKx )()() 1|()(kkk

55、kkIwKxCK 2022-7-554進一步求得狀態估計誤差的協方差陣為進一步求得狀態估計誤差的協方差陣為 )()()(kkkTxxEP )()() 1|()()()() 1|()(TkkkkkkkkkkwKxCKIwKxCKIE TTCkkkkkk)() 1|() 1|()(KIxxECKI )()()()(kkkkTTKwEwK )()()() 1|()(kkkkkkTTWKKCKIPCKI 由于由于 與與 不相關，因此交叉相乘項的期望不相關，因此交叉相乘項的期望值為零。值為零。 )(kw) 1|( kkx取取 ，使，使 為為 ， 變為變為 )(kK)(kK)()(kkKK)(kP)()(

56、kkPP2022-7-555)()()(kkkKKKPPP )()()()( )() 1|()()() 1|()( kkkkkkkkkkkkTTTTTKWKWKKKCPCKICKIPCK )()() 1|()( )()() 1|()( kkkkkkkkkkTTTTKWKCPCKIWKCKICPK )()( kRkTTKRK 其中其中 kkkk TWKCPCKIR)() 1|()( 如果如果 能使能使 取極小值，那么，對于任意的增量取極小值，那么，對于任意的增量 均應有均應有 。 )(kK)(kP)(kK0)( kP則必須有則必須有 WKCPCKIR)() 1|()( k-kkkT 0) 1|()() 1|(WCCPKCPTTkkkkk2022-7-556KalmanKalman濾波公式歸納濾波公式歸納 kkkk) 1() 1( ) 1|( GuxFx kkkkkkk) 1|( )()() 1|( )( xCyKxx kkkkkTT1) 1|() 1|()(WCCPCPK kkkTVFFPP) 1() 1|( kkkkkkTT)()()() 1()()(WKKCKIPCKIP)0( x)0(P和和 給定，給定，k k1 1，2 2， 若若KalmanKalman濾波增益矩陣已知，則根據以上公式遞推計算出濾波增益矩陣已知，則根據以上公