1、醫科高等數學醫科高等數學第一節第一節 函數函數一、函數的概念一、函數的概念二、復合函數二、復合函數三、函數的幾種性質三、函數的幾種性質一、函數的概念一、函數的概念 1 1常量與變量常量與變量: :注意注意: :常量與變量是相對常量與變量是相對“過程過程”而言的而言的. .而數值變化的量稱為而數值變化的量稱為變量變量(variable)(variable). .在某過程中數值保持不變的量稱為在某過程中數值保持不變的量稱為常量常量(constant)(constant), ,例如：兒童服藥劑量可能決定于兒童的體重，如例如：兒童服藥劑量可能決定于兒童的體重，如果時間較短，該兒童體重可視為果時間較短，

2、該兒童體重可視為常量常量；如果療程長達；如果療程長達數年，其體重就是一個數年，其體重就是一個變量變量函數的定義函數的定義因變量因變量自變量自變量)(xfy Dx是自變量的所有允許值的集合，稱為函數的定義是自變量的所有允許值的集合，稱為函數的定義域而應變量的所有對應值的集合則稱為函數的值域記域而應變量的所有對應值的集合則稱為函數的值域記為為DxyR定義定義1-1 設和是同一變化過程中的兩個變量，設和是同一變化過程中的兩個變量，如果對于變量如果對于變量 的每一允許的取值，按照一定的規律，的每一允許的取值，按照一定的規律，變量變量 總有一個確定值與之對應，則稱變量總有一個確定值與之對應，則稱變量 是

3、變量是變量 的函數變量的函數變量 稱為自變量，變量稱為自變量，變量 稱為應變是量稱為應變是量.記為記為xyyxxyxy()0 x)(0 xf自變量自變量因變量因變量對應法則對應法則f注意注意1 1：函數的兩要素為：函數的兩要素為： 定義域定義域與與對應法則對應法則. .xyDR21xy 例例如如，1 , 1 : D211xy 例例如如，)1 , 1(: D 注意注意2 2：函數的表示法有：公式法、圖像法和表格函數的表示法有：公式法、圖像法和表格法，甚至可以用一段文字來表述這三種表述各有特點法，甚至可以用一段文字來表述這三種表述各有特點并可以相互轉化并可以相互轉化 例例1-1 2003年中國非典

4、型肺炎年中國非典型肺炎(SARS)流行時流行時,感染人感染人數隨時間而變化的規律通過實際觀測的數據表示數隨時間而變化的規律通過實際觀測的數據表示,我們用我們用最引人注目的時間段里公布的全國疫情報告中的最引人注目的時間段里公布的全國疫情報告中的8組數據組數據來反映新增病例數來反映新增病例數N與時間與時間t關系關系.2003年全國年全國SARS流行高峰期新增病例報告流行高峰期新增病例報告報告日期(月.日) 4.28 5.1 5.4 5.7 5.9 5.12 5.15 5.17標示時間 1 4 7 10 12 15 18 20新增例數 203 187 163 159 118 75 52 28itiN

5、tNo282031 4 7 1015201218rttN )(以上數據也可以用以下圖形表示以上數據也可以用以下圖形表示 分段函數分段函數(piecewise function)(piecewise function) 在不同的區間上用不同的分析式子表示的函數，稱在不同的區間上用不同的分析式子表示的函數，稱為分段函數為分段函數0, 10, 12)(2xxxxxf例例1-212 xy12 xy例例1-3 歷史上著名的歷史上著名的Dirichlet函數函數是有理數是無理數xxxf, 1, 0)(這是一個分段函數，如圖這是一個分段函數，如圖 例例1-4 未成年人服用劑量的公式為未成年人服用劑量的公式為

6、 根根據此公式，到多大年齡時，該劑量達到成人的劑量？據此公式，到多大年齡時，該劑量達到成人的劑量？24)1(dacdc 顯然，令，可解出，故公式實際為顯然，令，可解出，故公式實際為23a23,23,24)1()(adadaafac23d24d0,10,00,1)(xxxxf當當當1-1xyo 定義為：當定義為：當 時時， ，例例1-5 設設)(xf0 xxxxf/)(當當 時，時， 則則0 x0)(xf二、復合函數二、復合函數 定義定義1-2 設在定義域設在定義域 上是變量上是變量 是變量是變量 的函的函數：數：. 在定義域上變量是變量在定義域上變量是變量 的函數：的函數： 如果對于變量的某些

7、值，變量的對應值恰在如果對于變量的某些值，變量的對應值恰在中因而能夠確定變量的值，則稱是的復合函數中因而能夠確定變量的值，則稱是的復合函數（compound function），記為），記為 Uyu)(ufy Dux)(xuxuUyyx)(xfy變量稱為復合函數的中間變量復合函數的概念可變量稱為復合函數的中間變量復合函數的概念可以推廣到多個函數的情形，此時復合函數是通過多個中間以推廣到多個函數的情形，此時復合函數是通過多個中間變量的傳遞而構成的變量的傳遞而構成的u),1lg(,arctan,xvvuuy 例例1-6 設設求求 關于關于yx的復合函數的復合函數例例1-7 設設,sin)(,)(2

8、xxgxxf 試求試求)(),(xffxgf).(),(xggxfg解解：4222)()(,sin)(xxxffxxgf ).sin(sin)(,sin)(2xxggxxfg 可見，復合順序是關鍵另外，要注意：若經過變可見，復合順序是關鍵另外，要注意：若經過變量代入后，復合函數的定義域為空集，則此復合函數無意量代入后，復合函數的定義域為空集，則此復合函數無意義，或者說它們不能復合義，或者說它們不能復合 解解：這里，變量傳遞順序是規定好了的，這里，變量傳遞順序是規定好了的， 是的中是的中間變量，間變量， 是是 的中間變量，故依次代入可得的中間變量，故依次代入可得vu)1lg(arctan xy)

9、., 2( xuy 例例1-8 試把復合函數試把復合函數 分解為簡分解為簡單函數單函數)1lg(arctan xy解解：令令);1lg(arctan,xuuy或者令或者令) 1lg(,arctanxuuy也可以令也可以令).1lg(,arctan,xvvuuy根據需要，分解步驟可粗可細，但順序是不能任意改根據需要，分解步驟可粗可細，但順序是不能任意改變的在中學階段研究的比較深入的基本初等函數有以下變的在中學階段研究的比較深入的基本初等函數有以下六類：六類：例如例如，211,arcsinxuuy 就不能復合因為就不能復合因為, 1112 x)11arcsin(2xy 的定義域為空集的定義域為空集

10、 由基本初等函數（由基本初等函數（basic elementary function）經過有）經過有限次的四則運算和函數復合運算所得到的僅用一個式子表限次的四則運算和函數復合運算所得到的僅用一個式子表達的函數，稱為達的函數，稱為初等函數初等函數（elementary function）（5）三角函數）三角函數,cot,tan,cos,sinxyxyxyxy.csc,secxyxy（6）反三角函數）反三角函數,arctan,arccos,arcsinxyxyxy.csc,sec,cotxarcyxarcyxarcy（4）對數函數）對數函數);1, 0(logaaxya（3）指數函數）指數函數);

11、1,0(aaayx（2）冪函數）冪函數);( 為為任任意意實實數數 xy （1）常函數）常函數);( 是是實實數數ccy 1函數的有界性函數的有界性:.),()(內內無無界界在在則則稱稱函函數數如如果果不不存存在在這這樣樣的的baxfM，三、函數的幾種簡單性質三、函數的幾種簡單性質對對于于所所若若存存在在正正數數內內有有定定義義在在設設函函數數,.),()(Mbaxf.),()(,)(),(內有界內有界在在則稱函數則稱函數恒有恒有有的有的baxfMxfbax有界有界M-Myxoy=f(x)bay無界無界M-Mxo0 xbaRxy上上有有界界在在函函數數例例如如sin,.), 1 ,)2 , 0

12、(1上上有有界界在在內內無無界界在在而而函函數數xy2函數的單調性函數的單調性:如如果果總總有有時時當當和和內內的的任任意意兩兩點點設設對對于于區區間間,),(2121xxxxba.),()(),()(,21內內是是單單調調遞遞減減的的在在則則稱稱函函數數總總有有時時baxfxfxf2121;),()(),()(xxbaxfxfxf當當內內是是單單調調遞遞增增的的在在則則稱稱函函數數有有.減減函函數數統統稱稱為為單單調調函函數數單單調調遞遞增增函函數數與與單單調調遞遞)(xfy )(1xf)(2xfxyoab)(xfy )(1xf)(2xfxyoba增函數增函數減函數減函數3函數的奇偶性函數的

13、奇偶性:偶函數偶函數yx)(xf )(xfy ox-x)(xf)( xf yx)(xfox-x)(xfy 奇函數奇函數有有對于對于關于原點對稱關于原點對稱設設,DxD)()(xfxf;)(為為偶偶函函數數稱稱xf)()(xfxf有有對對于于,Dx.)(為為奇奇函函數數稱稱xf4函數的周期性函數的周期性:使使得得在在定定義義域域內內恒恒成成立立若若存存在在一一個個正正常常數數對對于于函函數數,),(Txf.)(),()(為為這這個個函函數數的的周周期期正正數數為為周周期期函函數數則則稱稱TxfTxfxf.期期稱為這個函數的最小周稱為這個函數的最小周滿足此關系的最小正數滿足此關系的最小正數.cot

14、,tan,cos,sin都都是是周周期期函函數數如如xxxx小結小結:函數的定義函數的定義 常量變量常量變量 分段函數分段函數復合函數復合函數 基本初等函數基本初等函數 初等函數初等函數函數的性質：有界性單調性奇偶性周期性函數的性質：有界性單調性奇偶性周期性一、極限的概念一、極限的概念二、無窮小及其性質二、無窮小及其性質三、極限的四則運算法則三、極限的四則運算法則四、兩個重要極限四、兩個重要極限第二節極限第二節極限( (limitlimit) )一、極限的概念一、極限的概念.1時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數數 xxx連續型的變化連續型的變化1 1、 函數的極限函數的極限xxy01通

15、過上面演示實驗的觀察可知通過上面演示實驗的觀察可知:11)( xxxfx時時，當當記為：記為：Axfx )(lim注意：注意：)(lim)(limxfxfxx 與與為單側極限為單側極限 定義定義1-3 當自變量當自變量 的絕對值無限增大時，如果的絕對值無限增大時，如果 函函數數 無限趨于某一個常數無限趨于某一個常數A，就稱當，就稱當 趨于無窮大時，趨于無窮大時，函數函數 以以A為極限為極限.)(xf)(xfxx2 2 解：解：2arctanlim2arctanlimxxxx例例1-9 求函數求函數 的單側極限的單側極限xxfarctan)( 時當x考慮函數考慮函數)2( xX024242 xx

16、y0 xx2 2、 時函數的極限時函數的極限2x4y當當 時時,記為：記為：Axfxx )(lim00 x 定義定義1-4 設函數設函數 在點在點 的附近有定義的附近有定義(但在但在這一點可以沒有定義這一點可以沒有定義),當自變量當自變量 以任意方式無限趨以任意方式無限趨近定點近定點 時時,若函數若函數 無限無限 趨近一個常數趨近一個常數A，就稱，就稱當當 趨于趨于 時，函數時，函數 以以A為極限。為極限。)(xf)(xfxx0 x0 x)(xf 定義定義1-5 (極限的分析定義極限的分析定義) 設函數設函數 在點在點 的附近有定義的附近有定義(但在這一點可以沒有定義但在這一點可以沒有定義),

17、如果對于預如果對于預先給定的多么小的正數先給定的多么小的正數 ,總存在一個正數總存在一個正數 ,對對滿足不等式滿足不等式 的一切的一切 ,函數函數 的對應值的對應值總滿足不等式總滿足不等式則稱則稱:當當 時，函數時，函數 以常數以常數A為極限。為極限。)(xf)(xfx0 x)(xf0000 xx Axf)(0 xx .)()(lim0)(0AxfAxfxx 或或.)()(lim0)(0AxfAxfxx 或或注注：左極限與右極限都稱之為單側極限：左極限與右極限都稱之為單側極限.,0極極限限所所以以又又分分為為左左極極限限與與右右可可以以有有兩兩個個方方向向xx 左極限左極限從左邊趨于從左邊趨于

18、x0 x,記為記為右極限右極限從右邊趨于從右邊趨于x,記為記為0 x例例1-10yox1xy 112 xy時時的的單單側側極極限限當當求求設設0)(0, 10,1)(2 xxfxxxxxf解：解：1)(lim1)(lim00 xfxfxx.)()()(lim:000AxfxfAxfxx定理.lim0不存在不存在驗證驗證xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例1-11證證1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 xxxf12)( 例例1-12 判斷函數判斷函數 當當 時極限是否存在時極限是

19、否存在? ?0 x解解:,1,0 xx時時當當.21x則則,1,0 xx時時當當;021x則則.2)(,01的極限存在的極限存在時時所以當所以當xxfx3數列極限數列極限如如;,2,8,4,2n;,21,81,41,21n,.1,.,34,23,2nn nn1 ),(),2(),1(nfff數列數列 若函數若函數 的定義域是正整數集的定義域是正整數集, ,當當 從小到從小到大取值大取值, ,全體對應函數值的排列全體對應函數值的排列稱為數列稱為數列(sequence of numbers)(sequence of numbers)通常通常 表示，且表示，且稱稱 為數列的第項，亦稱通項為數列的第項

20、，亦稱通項(general term(general term）, ,并用并用 記此數列記此數列nna)(nf)(nfnan nan21 n2;,)1( , 1 , 1, 11 n;,)1(,34,21, 21nnn 觀察數列觀察數列 的變化趨勢：的變化趨勢：n10 x121514131nnn 1) 1(1) 1(n通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察:01,nxnn時時當當01limnn所以有：所以有：為為極極限限以以則則稱稱趨趨于于某某一一常常數數若若時時當當一一般般地地axaxn，nn, 記為記為：axnnlim解解：1)111 (lim1limlim, 0) 1(limlimn

21、nnbnannnnnnnn., 1 ,0, 1 ,0的的極極限限不不存存在在可可知知由由于于nncc 4極限存在的判別準則極限存在的判別準則)()()(21xfxfxf .)(lim),(lim)(lim21AxfxfAxf 則則且且三三個個函函數數若若在在同同一一變變化化過過程程中中夾夾逼逼準準則則準準則則, )1( 之之間間有有關關系系)(),(),(21xfxfxf例例1-13判斷判斷極限是否存在？極限是否存在？2) 1(11) 1(nnnnn、cnn、na 例例1-14用夾逼準則求用夾逼準則求xxxx2sinlim解解:02sin10222xxxxxxxxxx由由于于0sinlim22

22、2xxxx所以所以)(2單單調調有有界界數數列列必必有有極極限限單單調調有有界界準準則則準準則則滿滿足足條條件件如如果果數數列列nx,121nnxxxx單調增加單調增加,121nnxxxx單調減少單調減少單調數列單調數列.),(的的極極限限必必存存在在則則有有界界的的都都有有且且對對一一切切nnxMxn例如例如, 0sinlim0 xx.0sin時時的的無無窮窮小小是是當當函函數數xx,01limxx.1時時的的無無窮窮小小是是當當函函數數xx注意：注意： 1.無窮小是變量無窮小是變量,不能與很小的數混淆不能與很小的數混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數零是可以作為無窮小的唯一的數.定義定義

23、1-6則則的極限為零的極限為零函數函數時時或或如果如果,)(,)(0 xfxxx，xfxxx簡簡稱稱無無窮窮小小為為無無窮窮小小量量時時或或稱稱)()(0定義定義1-7則則函函數數時時或或如如果果,)(,)(0 xfxxx，xfxxx簡簡稱稱無無窮窮大大為為無無窮窮大大量量時時或或稱稱)()(0二、二、 無窮小量及其性質無窮小量及其性質1.無窮小量和無窮大量無窮小量和無窮大量性質性質1 1 有限個無窮小的代數和或乘積還是無窮小有限個無窮小的代數和或乘積還是無窮小. .2無窮小的性質與定理無窮小的性質與定理定理定理1-10)(lim)(limAxfAxf性質性質2 2 有界變量或常數與無窮小的乘

24、積是無窮小有界變量或常數與無窮小的乘積是無窮小. .即：即：.)(:)(是無窮小是無窮小為為為極限的充分必要條件為極限的充分必要條件以以函數函數xfAxf.0)(lim)()(lim, xAxfAxf 其其中中表表示示為為可可把把因因此此即：即：. 0)()(lim0)()(lim)(xfxxfxM、xf則則若若例例0sinlimxxx.sin,01,是是有有界界變變量量而而時時這這是是因因為為當當xxx性質性質3 3 在同一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數為無窮小無窮大的倒數為無窮小; ;恒不恒不為零的無窮小的倒數為無窮大為零的無窮小的倒數為無窮大. .在自變量的同一變化過程中，兩個無窮

25、小趨于零的在自變量的同一變化過程中，兩個無窮小趨于零的快慢可能會有所不同于是兩個無窮小的商是否會有極限，快慢可能會有所不同于是兩個無窮小的商是否會有極限，完全取決于兩個無窮小趨于零的快慢反過來，兩個無窮完全取決于兩個無窮小趨于零的快慢反過來，兩個無窮小量的商是否有極限，以及有什么樣的極限，可以提示兩小量的商是否有極限，以及有什么樣的極限，可以提示兩個無窮小的差異個無窮小的差異x0lim20 xxx22lim0 xxx 20limxxx)(1sinlim0不不存存在在xxxx 例如例如3無窮小量的比較與階無窮小量的比較與階);(, 0lim) 1 (o記記作作較較高高階階的的無無窮窮小小是是比比

26、就就說說如如果果定義定義1-81-8. 0,且且窮窮小小是是同同一一過過程程中中的的兩兩個個無無設設;),0(lim)3(是是同同階階的的無無窮窮小小與與就就說說如如果果CC;, 1lim記記作作是是等等價價的的無無窮窮小小與與則則稱稱如如果果特特殊殊地地.),0, 0(lim)4( 無無窮窮小小階階的的的的是是就就說說如如果果kkCCk;,lim)2( 較較高高階階的的無無窮窮小小是是比比或或者者說說較較低低階階的的無無窮窮小小是是比比就就說說如如果果例例1-15 112 x所以：所以： 與與 為同階無窮小為同階無窮小xxxx11lim20因為因為) 11() 11)(11(lim2220

27、xxxxx111lim20 xx21證證(1).)(lim,)(limBxgAxf. 0, 0.)(,)(其中BxgAxf由無窮小運算法則由無窮小運算法則, ,得得: :三、極限的運算法則三、極限的運算法則只證只證(1)和和(2)定理定理1-2則有則有若若,)(lim,)(limBxgAxf)0()(lim)(lim)()(lim)3()()(lim)()(lim)2()(lim)(lim)()(lim)1 (BBAxgxfxgxfBAxgxfxgxfBAxgxfxgxf)()()(BAxgxf. 0.) 1 ( 成立)()()(BAxgxfABBA)()(BA. 0.)2(成立推論推論1 1

28、即即: :常數因子可以提到極限記號外面常數因子可以提到極限記號外面. .則則為為常常數數而而存存在在若若,)(limcxf)(lim)(limxfcxcfnnxfxf)(lim)(lim推論推論2 2則則為為正正整整數數而而存存在在若若,)(limnxf例例1-16 求求11lim22xxx解解：11lim22xxx1lim1limlim2222xxxxx31例例1-17 求求11lim21xxx解解：11lim21xxx) 1)(1(1lim1xxxx) 1(1lim1xx21.1后后再再求求極極限限因因子子先先約約去去不不為為零零的的無無窮窮小小 x.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分

29、子分子時時x)00(型型解解：例例1-18 求求321lim3xxx41)21)(3(3lim)21)(3()21)(21(lim321lim333xxxxxxxxxxxx解解:當當 時時,分子、分母都是無窮小所以先進行分子、分母都是無窮小所以先進行分子有理化來消去分子、分母里的無窮小因子分子有理化來消去分子、分母里的無窮小因子3x例例1-19 解解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無窮小與無窮大的關系由無窮小與無窮大的關系,得得.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xx

30、xx解：解：.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x)(型型 .,3再求極限再求極限分出無窮小分出無窮小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 .147532lim2323 xxxxx求求例例1-20 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當當當當當當為為非非負負整整數數時時有有和和所所以以當當nmba,0,000)2(lim2xxxx求求例例1-21 解：解：)2(lim2xxxxxxxxxxxx2)2)(2(lim222xxxx22lim22212limxx

31、1(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圓心角圓心角設單位圓設單位圓ADxABxCBxtan,sin弧弧于是有于是有.CBCOABDODOBADA 交交于于的的垂垂線線作作，并并過過交交于于線線的的延延長長與與作作單單位位圓圓的的切切線線過過,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形CBOAB的高為的高為四、兩個重要極限四、兩個重要極限xoBDAC由上圖可知由上圖可知:的面積的面積的面積的面積扇形扇形面積面積OADOABOAB即即xxxtan2121sin211sincosxxx1sinlim. 1cos,00 xxxxx由由夾夾逼逼準準則則知知時時當當則則時時當當, 0,0 x

32、x1)sin(limsinlim00 xxxxxx綜合兩者即得綜合兩者即得1sinlim0 xxxxxx2sinlim0求求例例1-22 解：解：xxx2sinlim0222sinlim222sin2lim00 xxxxxx例例1-23 xxx1sinlim求求xxx1sinlim解：解：所所以以時時則則當當令令. 0,1txxt1sinlim0ttt2202sin2limxxx220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 2120cos1limxxx求求例例1-24 解：解：20cos1limxxx(2)exxx )11(limnnnx)11 ( ).1

33、1()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn 21!2)1(1! 11nnnnnnnnnnnn1!)1()1( ).11 ()221)(111 ()!1(1)111 ()221)(111 (!1)111 (! 2111)111 (11nnnnnnnnnnnnxnn先利用單調有界數列必有極限證明先利用單調有界數列必有極限證明ennn)11 (lim,1nnxx 顯顯然然 ;是是單單調調遞遞增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存存在在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e又因為又因為,1時時當

34、當 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx , xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx10)1 (lim解解:xxx3)21 (lim求求例例1-25 xxx3)21 (lim)3)(2(2)21(limxxxxx6

35、62)21(limexxxxxxx)11(lim求求例例1-26 解法解法1:xxxx)11(limxxx)121 (lim)121 ()121(lim221xxxx221ee解法解法2:xxxx)11(limxxxxx)11 ()11 (lim211)11(lim)11 (limeeexxxxxxxxx10)21 (lim求求例例1-27 解解:xxx10)21 (lim22210)21(limexxx .兩個重要極限兩個重要極限（3）夾逼準則）夾逼準則; 單調有界準則單調有界準則 . exxx101limexxx11lim：1sinlim0 xxx小結小結:1（1）函數極限）函數極限0 x

36、xx（2）數列極限）數列極限2（1）無窮小與無窮大）無窮小與無窮大 （2）無窮小的性質和定理）無窮小的性質和定理 （3）無窮小階的比較）無窮小階的比較3極限的四則運算法則極限的四則運算法則一、連續函數的概念一、連續函數的概念二、初等函數的連續性二、初等函數的連續性三、閉區間上連續函數的性質三、閉區間上連續函數的性質第三節函數的連續性第三節函數的連續性連續變化的曲線對應的函數為連續函數連續變化的曲線對應的函數為連續函數如同體溫的升降、血液的流動、機體的成長等，在生如同體溫的升降、血液的流動、機體的成長等，在生命科學范疇里，很多變量的變化都是連續不斷的函數的命科學范疇里，很多變量的變化都是連續不斷

37、的函數的連續性正是客觀世界中事物連續變化現象的反映連續性正是客觀世界中事物連續變化現象的反映01.函數的增量函數的增量.,)(0000的的增增量量稱稱為為自自變變量量在在點點鄰鄰域域的的任任意意對對的的鄰鄰域域內內有有定定義義在在設設函函數數xxxxxxxxf .)(),()(0的的增增量量相相應應于于稱稱為為函函數數xxfxfxfyxy00 xxx 0)(xfy y 一、連續函數的概念一、連續函數的概念x 2 2函數連續性的定義函數連續性的定義,00 xxx就是就是).()(00 xfxfy就就是是 定義定義1-9 設函數設函數 在點在點 及其附近有定義，及其附近有定義，如果如果 時，也有時

38、，也有 ，即，即則稱函數則稱函數 在點在點 處連續處連續(continuous)，稱，稱 為為 的連續點的連續點(continuous point).)(xfy0 x0 x0y0)()(limlim00000 xfxxfyxx)(xfy0 x0 x)(xf,0 xxx設設)()(0 xfxfy注意注意:故定義中故定義中1-9的極限式等價于的極限式等價于)()(lim00 xfxfxx因此，函數在一點連續的充分必要條件是同時滿足因此，函數在一點連續的充分必要條件是同時滿足:;)()1(0處處有有定定義義在在點點xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx 例

39、例1-28 討論函數討論函數 在在 的連續性的連續性 0, 00,1sin)(xxxxxf0 x解解:0)0() 1 (f 01sinlim)2(0 xx x)0()(lim)3(0fxf x所以所以 在在 連連續續0 x)(xf3.單側連續單側連續.)(),()(lim)(;)(),()(lim)(00000000處處右右連連續續在在點點則則稱稱在在且且處處的的右右極極限限存存在在若若函函數數處處左左連連續續在在點點則則稱稱處處的的左左極極限限存存在在且且在在若若函函數數xxfxfxfxxfxxfxfxfxxf xxxx顯然：顯然：.)()(00處既左連續又右連續處既左連續又右連續在在是函數

40、是函數處連續處連續在在函數函數xxfxxf 即：即：)(lim)()(lim000 xfxfxfxxxx 例例1-29 ?,00,sin0,)(問問應應滿滿足足何何種種關關系系處處的的連連續續在在設設函函數數 xxxbxxbxaxf 解解: :af)0(bbxbxbxbxabaxxfxxxx sinlimsinlim,)(lim)(lim0000又又afxfxfxx )0()(lim)(lim00ba 4. 4. 連續函數與連續區間連續函數與連續區間 在區間上每一點都連續的函數在區間上每一點都連續的函數, ,叫做在該區間上的叫做在該區間上的連連續函數續函數, ,或者說函數在該區間上連續或者說函

41、數在該區間上連續. .,)(,),(上上連連續續在在閉閉區區間間則則稱稱函函數數處處左左連連續續在在右右端端點點處處右右連連續續并并且且在在左左端端點點內內連連續續如如果果函函數數在在開開區區間間baxfbxaxba 連續函數的圖形是一條連續而不間斷的曲線連續函數的圖形是一條連續而不間斷的曲線.例例1-301-30.),(sin內內連連續續在在區區間間函函數數證證明明 xy證明：證明：),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則,0,時時當當對任意的對任意的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時時當

42、當.),(sin都是連續的都是連續的對任意對任意函數函數即即 xxy:)(0條件條件處連續必須滿足的三個處連續必須滿足的三個在點在點函數函數xxf;)() 1 (0處處有有定定義義在在點點xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或或間間斷斷點點點點的的不不連連續續為為并并稱稱點點或或間間斷斷處處不不連連續續在在點點函函數數則則稱稱要要有有一一個個不不滿滿足足如如果果上上述述三三個個條條件件中中只只xfxxxf 5 5函數的間斷點函數的間斷點跳躍間斷點跳躍間斷點.)(),0()0(,)(0000斷斷點點的的跳跳躍躍間間為為函函

43、數數則則稱稱點點但但右右極極限限都都存存在在處處左左在在點點如如果果xfxxfxfxxf )(lim)(lim00 xfxfxx.0為為函函數數的的跳跳躍躍間間斷斷點點 xoxy.0, 0,1, 0,)(處的連續性處的連續性在在討論函數討論函數 xxxxxxf例例1-1-3131解解：1)(lim, 0)(lim00 xfxfxx可去間斷點可去間斷點.)(,)(),()(lim,)(00000的的可可去去間間斷斷點點為為函函數數稱稱點點則則處處無無定定義義在在點點或或但但處處的的極極限限存存在在在在點點如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx oxy112xy 1xy2 , 1,11, 10,

44、 1,2)(xxxxxxf 討論函數討論函數例例1-321-32在在 的連續性的連續性1x解：解：, 1)1( f2)(lim1 xfx) 1 (f.0為為函函數數的的可可去去間間斷斷點點所所以以x 注意注意 ： 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數的定義的定義, 則可使其變為連續點則可使其變為連續點.2)(lim, 2)(lim11 xfxfxx又又如例如例1-32中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續處連續在在則則 xxxxxxf跳躍間斷點跳躍間斷點與與可去間斷點可去間斷點統稱為統稱為第一類間斷點第一類間斷點. .特點：特點：.0處

45、處的的左左、右右極極限限都都存存在在函函數數在在點點 xoxy112第二類間斷點第二類間斷點.)(,)(00的第二類間斷點的第二類間斷點為函數為函數則稱點則稱點在在右極限至少有一個不存右極限至少有一個不存處的左、處的左、在點在點如果如果xfxxxf例例1-331-33.0, 0, 0,1)(處的連續性處的連續性在在討論函數討論函數 xxxxxxfoxy.0為為函函數數的的第第二二類類間間斷斷點點x解：解：)(lim, 0)(lim00 xfxfxx這種情況稱為這種情況稱為無窮間斷無窮間斷點點解：解：,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為為第第二二類類間間斷

46、斷點點 xxy1sin 1-1-0.50.5yx.01sin)(處的連續性處的連續性在在討論函數討論函數 xxxf例例1-341-34這種情況稱為這種情況稱為振蕩間斷點振蕩間斷點第一類間斷點第一類間斷點:可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點第二類間斷點:無窮型無窮型,振蕩型振蕩型.間斷點間斷點可去型可去型第一類間斷點第一類間斷點oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 xoyx0 x例如例如,),(cos,sin內連續內連續在在xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定義義域域內內連連續續故故xxxx.)0)()()(),()(),()(

47、,)(),(000處處也也連連續續在在點點則則處處連連續續在在點點若若函函數數xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 性質性質1二、初等函數的連續性二、初等函數的連續性性質性質2.)(),(,)(,)(00000處連續處連續在在則復合函數則復合函數且且處連續處連續在在函數函數處連續處連續在在若函數若函數xxxfyxuxxxuuuxfy 注注：極限符號可以與函數符號互換極限符號可以與函數符號互換. 1 )1(limln10 xxx eln xxx10)1ln(lim 原式原式解：解：).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufax xxxxxx則則有有連連續續在在點點

48、函函數數若若性質性質3.)1ln(lim0 xxx 求求例例1-351-35. 1 )1ln(lim0yyy 原式原式解：解：,1yex 令令),1ln(yx 則則. 0,0yx時時當當yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx xexx1lim0求求例例1-361-36 所有基本初等函數在定義域內是連續的所有基本初等函數在定義域內是連續的. .由連續函數由連續函數的性質可知的性質可知: :一切初等函數在其定義區間內都是連續的一切初等函數在其定義區間內都是連續的. .故故對初等函數對初等函數, ,求極限就是求這一點的函數值求極限就是求這一點的函數值例例1-371-

49、37. 1coslim0 xxe求求11cos0 e原原式式解：解：例例1-381-38218arctanlimxxx求求12181arctan原原式式解：解：三、三、 閉區間上連續函數性質閉區間上連續函數性質)()(,11xffba)()(,22xffbaab1 2 定理定理1-3（最值定理）（最值定理） 若函數若函數 閉區間閉區間 上連續，則上連續，則 在閉區間在閉區間 上必有最大值和最上必有最大值和最小值小值)(xfy )(xfy ,ba,ba 推論推論（有界性定理）（有界性定理） 若函數若函數 閉區間閉區間 上連續，則上連續，則 在閉區間在閉區間 上必有界上必有界)(xfy )(xfy

50、 ,ba,bayabBA 定理定理1-4（介值定理）（介值定理） 若函數若函數 閉區間閉區間 上連續，則對介于上連續，則對介于 和和 之間的任何數之間的任何數 ，至少，至少存在一個存在一個 ，使得，使得 )(xfy ,ba)(af)(bf),(ba)(f 其幾何意義為：其幾何意義為：連續曲線弧連續曲線弧 與水平直線與水平直線至少相交于一點至少相交于一點 )(xfy y推論推論1：在閉區間上連續函數必取得介于最大值和最：在閉區間上連續函數必取得介于最大值和最小值之間的任何值。小值之間的任何值。 推論推論2（零點存在定理）若函數（零點存在定理）若函數 閉區間閉區間 上連續，且上連續，且 與與 異號

51、（即異號（即 ） ，則，則至少存在一個至少存在一個 ，使得，使得 )(xfy ,ba)(af)(bf),(ba0)(f0)()(bfaf因此，稱為函數的零點，它就是方程因此，稱為函數的零點，它就是方程的根的根)(xf0)(xf注：注：零點不一定唯一零點不一定唯一ba)(xf例例1-39 證明在區間證明在區間 內至少有一點滿足內至少有一點滿足)2,0(0cos)1 (sin)(f 證明：證明： 是初等函數，其定義域是初等函數，其定義域為，則為，則 在閉區間上連續在閉區間上連續cos)1 (sin)(f),()(f2, 0又因為又因為1)2(, 1)0(ff由零點定理知，在區間至少存在一點，由零點

52、定理知，在區間至少存在一點，使得使得)2, 0(00cos)1 (sin)(0000f1函數連續的定義函數連續的定義2間斷點間斷點類型：類型：第一類第一類第二類第二類可去型可去型跳躍型跳躍型無窮無窮振蕩振蕩初等函數的連續性初等函數的連續性閉區間上連續函數的性質閉區間上連續函數的性質小結小結:介值定理介值定理最值定理最值定理第一節第一節 導數的概念導數的概念一、函數的瞬時變化率一、函數的瞬時變化率三、導數的幾何意義三、導數的幾何意義四、可導與連續的關系四、可導與連續的關系二、導數的定義二、導數的定義一、函數的瞬時變化率一、函數的瞬時變化率處的處的在在則稱此極限表示函數則稱此極限表示函數存在存在如

53、果平均變化率的極限如果平均變化率的極限時時當當或平均變化率或平均變化率的差商的差商處關于處關于在在稱為函數稱為函數這兩個增量的比值這兩個增量的比值和和分別為分別為則自變量與函數的增量則自變量與函數的增量變到變到函數值從函數值從時時變到變到的自變量值從的自變量值從當函數當函數00000000000000000)(,)()(lim)()(lim,.,)()()()()(),()(),()(,)(xxfxxfxxfxxxfxfxy xxxxxfyxxfxxfxxxfxfxy xfxfyxxxxfxfxxxfy xx瞬時變化率瞬時變化率. 例例2-1 設質點設質點 做直線運動做直線運動,運動規律由函數

54、運動規律由函數 表示表示.其中其中 是時刻是時刻, 是位移是位移.當時間由當時間由 變到變到 時時,質點的位移為質點的位移為 .在時間段在時間段 內的平均速度為內的平均速度為M)(tss ts0t)()(00tsttssttt0,00tttttsttstsv)()(00若質點若質點 做變速運動做變速運動 M若質點若質點 做勻速運動做勻速運動, 就為此質點的運動速度就為此質點的運動速度. Mv就為此質點就為此質點 在在 時的瞬時速度時的瞬時速度M0tt ttsttsvvtt)()(limlim0000 例例2-2 傷口的愈合一般要經歷一個過程傷口的愈合一般要經歷一個過程.設設 是是傷口面積傷口面

55、積 , 是時間是時間,則則 是時間段是時間段 上的變化量上的變化量. 表示傷口在愈合表示傷口在愈合, 表示傷口在潰爛表示傷口在潰爛.而而 表表示這一段時間里示這一段時間里 的平均變化量的平均變化量.若若 時時, 的平的平均變化量的極限存在均變化量的極限存在,則則)(tAA tAt0A0At0tAtA /ttAttAtAtt)()(limlim00就是就是 時刻的時刻的 瞬時變化率瞬時變化率tA二、導數的定義二、導數的定義,)(,)(,)()(limlim);()(,)(,)(000000000000 xxxxyxxxfyxxfyxxfxxfxy xyxfxxfyyxxxxxxxfy 記為記為的

56、導數的導數處關于處關于在點在點函數函數并稱這個極限為并稱這個極限為處可導處可導在點在點則稱函數則稱函數存在存在之比的極限之比的極限與與如果如果有增量有增量相應地函數相應地函數時時仍在該鄰域內仍在該鄰域內點點處有增量處有增量在在當自變量當自變量的某個鄰域內有定義的某個鄰域內有定義在點在點設函數設函數定義定義2-1.)(,00 xxxxdxxdfdxdy),(0 xf.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 導數定義其它常見形式：導數定義其它常見形式：.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000即即單側導數單側導數左導數左導數

57、:xxfxxfxfx)()(lim)(0000右導數右導數:xxfxxfxfx)()(lim)(0000注意：注意：函數在一點可導的函數在一點可導的充分必要條件為充分必要條件為：)()(00 xfxf.),()(,),()(內內可可導導在在開開區區間間就就稱稱函函數數都都可可導導內內的的每每一一點點在在開開區區間間如如果果函函數數baxfbaxfy （1）2導函數導函數.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx 或或記記作作的的導導函函數數這這個個函函數數叫叫做做原原來來函函數數值值的的一一個個確確定定的的導導數數都都對對應應著著對對于于任任一一xxfxxfyx )()(

58、lim0即即很明顯：很明顯：.)()(00 xxxfxf ba,都存在，就說都存在，就說)(xf在閉區間在閉區間上可導上可導. .如果如果)(xf在開區間在開區間內可導，且內可導，且)(af 及及)(bf （2）),(ba例例2-3已知函數已知函數 求導函數求導函數 及及xxf)()(xf )9(f 解解: 先求導函數先求導函數,按照按照“取增量、算比值、求極限取增量、算比值、求極限”三步進行計算三步進行計算xxxxfxxfy)()() 1 (求求增增量量xxxxxxxxxfxxfxy1)()() 2 (算比值算比值xxxxxyxfxx211limlim)() 3(00求極限求極限61921)

59、()9(9xxff所以所以例例2-4 設傷口愈合過程中，傷口面積是時設傷口愈合過程中，傷口面積是時間的函數間的函數Carrel和和Hartmann認為是指數函數：認為是指數函數：, 是最初的傷口面積，是由傷口類型和治療條件決是最初的傷口面積，是由傷口類型和治療條件決定的參數常數根據一組實測數據，確定出定的參數常數根據一組實測數據，確定出 .若不要求非常精確若不要求非常精確,則取則取 試求試求 的變化率的變化率)(tAAt)(tAkteAtA0)(0Ak05105833. 0,252.1110kAtetA05. 0111)()(tA解解: 仍按三步套路仍按三步套路)1(111111)1 (05.

60、 005. 005. 0)(05. 0ttttteeeeAteexAtt1111)2(05. 005. 0)05. 0(1111lim111lim) 3(05. 005. 0005. 00ttxtxeteexA三、導數的幾何意義三、導數的幾何意義切線：切線：割線的極限割線的極限 割線割線MN繞點繞點M旋轉而旋轉而趨向極限趨向極限位置位置MT,直線直線MT就稱為曲就稱為曲線線C在點在點M處的處的切切線線.MTyoxNNNN).,(),(00yxNyxM設設的斜率為的斜率為割線割線MN00tanxxyy xxfxxf)()(00的的斜斜率率為為切切線線MT.)()(limtan000 xxfxxf