1、第一章 函數(shù)、極限、連續(xù) 第1節(jié)函數(shù) 第2節(jié)極限 a) b) c) d) e) f) g) 反函數(shù)和原函數(shù)關(guān)于 y=x對(duì)稱。 只有定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)才能討論奇偶性。 多個(gè)奇函數(shù)之和為奇函數(shù)；多個(gè)偶函數(shù)之和為偶函數(shù)。 2k個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)； 2k+1個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；任意個(gè)偶函數(shù)的乘 積還是偶函數(shù)。(k=0,1,2 . )。 如果f(x)是周期函數(shù)，周期為 T,則f(ax+b)也是周期函數(shù)，周期為|T/a|。 基本初等函數(shù)包括：幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)。初等 函數(shù)即上述五大類函數(shù)，以及它們有限次的四則運(yùn)算與復(fù)合而成的函數(shù)。 一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連

2、續(xù)的。 a) 左右極限存在且相等 極限存在。 b) 如果函數(shù)在X0極限為A,則可以將函數(shù)改寫為 f(x)=A+cax)，其中l(wèi)im a(x) = 0。 X xo c) (等價(jià)無(wú)窮小) 極限存在 極限唯一。(極限唯一性) d) lim f (x) A，且A0,則在x的鄰域內(nèi)，f(x)0。(保號(hào)性) x x0 e) 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x3存在極限，則存在該點(diǎn)的一個(gè)去心鄰域 U,在U內(nèi)f(x)有界。(有 界性) f) 當(dāng) limf(x)=A , limg(x)=B ，那么 lim(f(x)+g(x)=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x)=limf(x)-limg(g)

3、 lim(f(x)*g(x)=limf(x)*limg(x)=A*B lim(f(x)/g(x)=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x) lim(f(x)A n=(limf(x)A n=A n lim(f(x)Ag(x)=A b (極限的四則運(yùn)算) 有限個(gè)無(wú)窮小之和仍然是無(wú)窮小。有限個(gè)無(wú)窮小之積仍然是無(wú)窮小。無(wú)窮小和有界 不等于0 h) 量乘積仍然是無(wú)窮小。 f (x) =l g (x) lim i. ii. l=0 , f(x)=o(g(x). l= s, f(x)是 g(x)低階. iii. 兩個(gè)準(zhǔn)則: iii. 0l m或-m |0 , I 豐 1,同階. iv. 1=1

4、，等價(jià)無(wú)窮小，記作 f(x) g(x). f （ x） - =1（1豐0），則稱f（x）是g（x）的k階無(wú)窮小。 g（x） X tanx arcsinx arctanx e -1 In(1+x) 1-COSX 1 X2 =1-COS X a X2 2 2 J1 x -1 lx =(1 X)a-1 a X tanX-X 1 x3 3 x-sinx 1 x3 6 X 特殊的，XT 0 時(shí) ax-1 xlna 要注重推廣形式。例如【XT0時(shí)，xsinx】，如果當(dāng)XTX0時(shí)，f（x） T 0,那么將 原式中X換成f（x）也成立。 利用函數(shù)的連續(xù)性（極限值等于函數(shù)值）。禾U用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)。 1.

5、抓小頭公式。（XT 0） 2.抓大頭公式。（Xm）（分子分母同除最高次項(xiàng)）（極限為【最高次項(xiàng) 的系數(shù)比】） 1. 夾逼準(zhǔn)則 特別的，如果lim i) 等價(jià)無(wú)窮小代換: XT 0 時(shí)，X sinx j) 只有因子才能進(jìn)行等價(jià)無(wú)窮小的代換。 k) I) 求極限的方法: i. ii. 抓頭公式（處理多項(xiàng)式比值的極限）。 iii. 兩個(gè)準(zhǔn)則: iv. 兩個(gè)重要極限: 2. 單調(diào)有界必有極限 1 0 口訣：倒倒抄。（結(jié)合抓頭公式） 無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)、 等價(jià)無(wú)窮小的代換 1. 有限個(gè)無(wú)窮小之和為無(wú)窮小。有限個(gè)無(wú)窮小之積為無(wú)窮小。無(wú)窮小與有界 量乘積為無(wú)窮小。 2. 12種等價(jià)無(wú)窮小的代換。 左右極限：求分

6、段函數(shù)分段點(diǎn)的極限值。 1. 泰勒公式中系數(shù)表達(dá)式: 常用的麥克勞林公式: 使用前提：（1）分子分母都趨向于 0。（ 2）分子分母的極限都存在。（3） 分子分母導(dǎo)數(shù)的比值為一個(gè)定值或?yàn)闊o(wú)窮。 第一層次 II Ih 第二層次 0* 轉(zhuǎn)換成 8- 8：通分化為0 （常用換元的方法求解） 第三層次 ar 使用|已進(jìn)行轉(zhuǎn)化。. sinx . 1. lim 一=1 0 x （利用單位圓和夾逼準(zhǔn)則進(jìn)行證明） 2. lim (1 l)x x x 1 lim (1 x)x e x 0 （利用單調(diào)有界準(zhǔn)則進(jìn)行證明） V. Vi. vii. viii. ix. 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限。導(dǎo)數(shù)定義：增量比，取極限。構(gòu)造

7、出“增量比”的形 式，則極限就是導(dǎo)數(shù)。 定積分的定義求極限。（處理多項(xiàng)求和的形式） 泰勒公式 2. 當(dāng)0=0的時(shí)候，泰勒公式則稱為麥克勞林公式。 x. ex sinx cosx In (x+1) (1+x)m 洛必達(dá)法則 第3節(jié)連續(xù)與間斷 a) b) c) 連續(xù) 某點(diǎn)：極限值=函數(shù)值 函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù) 開(kāi)區(qū)間：在該區(qū)間中每個(gè)點(diǎn)都是連續(xù)的，則在開(kāi)區(qū)間連續(xù)。 閉區(qū)間：開(kāi)區(qū)間連續(xù)切在端點(diǎn)連續(xù) 間斷 第一類間斷點(diǎn)(左右極限都存在) 可去間斷點(diǎn)：左右極限相等 跳躍間斷點(diǎn)：左右極限不相等 第二類間斷點(diǎn)(左右極限至少有一個(gè)不存在) 無(wú)窮間斷點(diǎn)： 因趨于無(wú)窮而造成的不存在。 振蕩間斷點(diǎn)：因振蕩而不存在。 初等函

8、數(shù)的連續(xù)性 i. ii. iii. iv. 基本初等函數(shù)在相應(yīng)的定義域內(nèi)連續(xù)。 區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)做四則運(yùn)算形成的新函數(shù)在 I上仍然是連續(xù)函數(shù)。 連續(xù)函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的復(fù)合仍為連續(xù)函數(shù)。 原函數(shù)連續(xù)且單調(diào)，反函數(shù)必為連續(xù)且單調(diào)。 一切初等函數(shù)在相應(yīng)定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。 d) V. 閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 如果f(x)在a,b連續(xù)，則: 1. 2. 3. 4. f(x)在a,b有界。 有最大最小值 介值定理 零點(diǎn)定理：f(a)*f(b)B區(qū)間，f(x)單調(diào)增的區(qū)間；f(刈的區(qū)間，f(x)單調(diào)減的區(qū)間。 極值： 極值點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)沒(méi)有充要條件關(guān)系。 可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值為 0。(費(fèi)馬引理) 駐

9、點(diǎn)(導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn))不一定是極值點(diǎn)。 行判定。 最值(閉區(qū)間) 凹凸、拐點(diǎn) 凹凸： 視覺(jué)定位：俯視 g) + fg 凹函數(shù)： 凹函數(shù)：f 芒)凸函數(shù)：f (x) 拐點(diǎn)：可能出現(xiàn)在f 書)或f 不存在的點(diǎn)，但不一定是。 漸近線 水平漸近線：當(dāng)f(x)趨向于0時(shí)，極限存在，則該極限為水平漸近線。 斜漸近線：當(dāng)f(x)趨向于 冋時(shí)，f(x)-(kx+b)=0 ,則(kx+b)為該函數(shù)的斜漸近線。 其中，k左, Hni l(x)-盤劉 b= - - - 第一判定法：若在 可的鄰域內(nèi), V 削左右導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則 0是一 個(gè)極值點(diǎn)。 第二判定法：囤為駐點(diǎn)，且在 處，f(x)的二階導(dǎo)數(shù)存在。通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)進(jìn)

10、 最值可能出現(xiàn)在(1)極值點(diǎn)(2) 區(qū)間端點(diǎn)。 凸函數(shù): 鉛直漸近線：當(dāng)f(x)趨向于 冋時(shí)，極限趨向于 回，則岡為該函數(shù)的鉛直漸近線。 函數(shù)圖像的描繪 利用極值點(diǎn)、拐點(diǎn)、與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、單調(diào)性、凹凸性、漸近線進(jìn)行描繪。 6 曲率 1 . 2 弧微分：ds=kiAQL蘭 曲率即：角度在單位弧長(zhǎng)的變化。 T 曲率半徑： 曲率圓：從弧上某點(diǎn)出發(fā)，向凹側(cè)沿法線方向移動(dòng) b的心處I即得到曲率圓的圓心。 第三章一元函數(shù)積分學(xué) 第1節(jié)不定積分 定義 1. F (x)=f(x)稱 F(x)為 f(x)的原函數(shù)。F(x)+C =f(x)稱 F(x)+C 為 f(x)的原函數(shù)組。 2. ”山山=嗆1王11為f（x

11、）的不定積分。 1F 龍=J lG)ibc J lG)ibc = = F(x)F(x) + d 2./(皿1 = F3 + d = fwl 4 |f(fi(H) fzCOMH = l&Wjf 工 基本幾分公式 24個(gè)公式=13 （基本導(dǎo)數(shù)表）+11 （常用公式） （四）積分方法 1.湊微分法（第一換元法） (一) (二) 性質(zhì) (三) 妝 曲率：K= / 甲00 - y仗) 0, 血a,b,貝y八加 * q 若 f(x) g(x),罔a,b，則 EEB三巫函 8. （三）基本定理 m w f(x) w M ,底a,b，貝U m(b-a) 0時(shí)收斂，值為t 常用公式： （二）無(wú)界函數(shù)的廣

12、義積分（瑕積分） 。當(dāng)p1時(shí)發(fā)散。 f（x）在a點(diǎn)無(wú)界: 不存在，稱積分發(fā)散。 方仕）必=Hm JW必 - - ,若極限存在，稱積分收斂。若極限 f（x）在b點(diǎn)無(wú)界: 不存在，稱積分發(fā)散。 f必二 liiTi 點(diǎn)丁“）必 ，若極限存在，稱積分收斂。若極限 f（x）在 c點(diǎn)無(wú)界： 稱原廣義積分是收斂的。若至少有一個(gè)廣義積分極限不存在，稱原廣義積分是發(fā)散的。 ，若兩個(gè)廣義積分極限都存在, 第4節(jié)定積分的應(yīng)用 （一）微元法：U 1. 確定變量X,確定x的范圍a,b。 2. dx 7Du=f（x）dx （二）幾何問(wèn)題 1.面積： （1）直角坐標(biāo)系 （2）極坐標(biāo)系：sJSZ 極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系：

13、亙互0片以曲IS畫P隕卅 Sf (龍)-lim ，若極限存在，稱廣義積分是收斂的。若極限不存 2.體積: (1)截面面積已知的幾何體的體積: (2 )旋轉(zhuǎn)體的體積：繞 x軸轉(zhuǎn)：Vkf%)； ;繞y軸轉(zhuǎn): 3.曲線的弧長(zhǎng) (1) 參數(shù)方程: (2) 直角坐標(biāo)系: S=： Jl + y (jdx (3) (三)物理問(wèn)題 運(yùn)用微元法三步求解。 極坐標(biāo)系: 黑f + F麗羽 第四章多元函數(shù)微分學(xué) 第1節(jié)基本概念 (1) 多元函數(shù)： 二元函數(shù)：z=f(x,y) D定義域 幾何意義：曲面 二元函數(shù)的極限： 趨向方式有無(wú)數(shù)種，若不同趨向方式得到的極限不同, 二元函數(shù)的連續(xù) 極限值等于函數(shù)值，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)

14、。 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)： D為閉區(qū)域，f(x,y)在D上連續(xù)，則： 1. 則極限不存在 (極限唯一性)。 2. 3. 4. f(x,y)在D上有界。 存在最大最小值。 可應(yīng)用介值定理。 可應(yīng)用零點(diǎn)定理。 第2節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分 (1) 偏導(dǎo)數(shù)：z=f(x,y) 對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù): g I轡館刃斗r如二$ Z 旳 *0 第3節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用 (數(shù)二只要求極值、 最值問(wèn)題) (1) 二元函數(shù)的極值問(wèn)題(無(wú)條件) 極值點(diǎn)：可能是一階偏導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點(diǎn)。 判定極值點(diǎn)：當(dāng)求出某點(diǎn)可能為極值點(diǎn) 畫!)，帶入河屋、囚攜、囚丘。 。當(dāng)其 小于零: 為極小值點(diǎn)Hm - - = =/龍$)= f f2伍$

15、) 對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)： S _ _ 1 _ : 二階偏導(dǎo)數(shù)：若 麼列和壓列連續(xù)，則臣珂等于匣巫。 全微分：z=f(x,y) 若闖=逼塚+o(L2 +歸則z可微。 dz=Adx+Bdy+ oj#， 偏導(dǎo)數(shù)與全微分的關(guān)系 ZZ3=Hldy 0全微分存在 胡、 0 存在 全微分存在目函數(shù)連續(xù) 亟I、囚連續(xù)EE可微 偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 直接計(jì)算：對(duì)不求導(dǎo)的變量當(dāng)作常量處理(二元 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)(鏈?zhǔn)椒▌t) 1.z=f(u,v) u=u(x,y) v=v(x,y) 元)。 Jr. 西巫兩別 丹% 囲+應(yīng)*砂 畫樹狀圖找到求導(dǎo)路徑 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 左右同時(shí)求導(dǎo) 多元隱函數(shù)求導(dǎo)公式: 片產(chǎn)q為極大值點(diǎn) 大于零： 不

16、是極值點(diǎn) 等于零： 無(wú)法判斷 條件極值 先構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，再求各值的偏導(dǎo)數(shù)。 閉區(qū)域上的最值 1. 先找極值。 2. 邊界點(diǎn)（條件極值）。 3. 比較，選出最大最小值。 第1節(jié)二重積分 幾何意義：f（x,y）0，以D為底，以f（x,y）為頂?shù)那斨w的體積。 計(jì)算 坐標(biāo)系選擇： 極坐標(biāo)系： 1. D :圓（環(huán)）、扇（環(huán)） 2. f（x,y）： k + y 除此之外一般選擇直角坐標(biāo)系。 第六章常微分方程 第1節(jié)基本概念 常微分方程 含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程。 階 未知函數(shù)有幾階導(dǎo)，就是幾階的微分方程。 3.第五章 重積分 a) 直角坐標(biāo)系下：業(yè) q 口訣：后積先定限 b) 極坐標(biāo)系下：先積r后積

17、 1 Jf/pf (兀y)dT S J仙;嚅/ (FmdmnhkHr 1. 2. 通解：含有任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與階數(shù)相同。 特解：通解中的任意常數(shù)確定。 4. 線性方程 y和y的各階導(dǎo)數(shù)都是以一次式出現(xiàn)的。 第2節(jié)一階微分方程 Iy 那么=u(x)+虛 帶入原方程 l 血 I i.-r f(u)S 應(yīng)口= (可分離變量) 一階線性微分方程 通式：LJ+P(xy=Q(x)，若Q(x),則稱之為一階線性齊次微分方程。 一階線性齊次微分方程通解: 一階線性非齊次微分方程通解: 第3節(jié)高階微分方程 1.可降階的高階微分方程 a) 逐次積分解決。 b) C) 令0=p(y),則H WI。代入原式。1. 2. 可分離變量的微分方程: 轉(zhuǎn)化：H=f(x)Eg(x) 兩邊同時(shí)積分 齊次微分方程： V 如果也d=f(k),那么設(shè)y=u,貝U y=龍u(x) a 令u(x)=田,則畫口。 代入原式。 初始條件: y(切軻，如,# 3. 特征方程： 巴匕匹土g三d 是齊次方程的通解。 是齊次方程的通解。 則訐存對(duì)茫+ 曲冏是齊次方程的通解。 Z是特征方程的k重根。Qn是和Pn相同形式多項(xiàng)式。 m=max n,l 2. 線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 通式(二階為例)： +|)(x)y|+Q(xf1y=f(x)若 f(x)=0 則為齊次。 (1) 若y(x)為齊次的解，貝y ky(x)仍然是它的解。 (2) 卜