1、1u掌握掌握Z Z變換性質、變換性質、Z Z反變換。反變換。u掌握線性差分方程及其求解。掌握線性差分方程及其求解。u掌握脈沖傳遞函數。掌握脈沖傳遞函數。 本次課學習要求：本次課學習要求：2p(1) (1) 線性性質線性性質: :滿足齊次性和疊加性。滿足齊次性和疊加性。3. Z3. Z變換的性質變換的性質( (定理）定理）),()(*11tfZzF若：)()(*22tfZzF)()(*22*11tfatfaZ則)()(2211zFazFa3u連續函數連續函數f(tf(t) )當當t0t0時為零，且具有時為零，且具有Z Z變變換為換為F(zF(z) )，則對于延遲，則對于延遲i i個采樣周期的函個

2、采樣周期的函數數f(t-iTf(t-iT) )，其，其Z Z變換為變換為p（2 2）延遲定理）延遲定理)()(zFziTtfZi4：nkziT)f(kTiT)f(tZ0 immif(mT)zziT)Zf(t 0mmif(mT)zziT)Zf(t)()(zFziTtfZi 0k)k(z T)k(i-iifz5)f(zF(z)f(f(mT)zzf(mT)zzT)Zf(tmmmm0001 (kT)zfF(z)z f(T)z)f(f(mT)zzf(mT)zzT)Zf(tkkmmmm 1020122202(3) (3) 超前定理超前定理 0101n)(kkk)Tzf(kzT)zf(kTT)Zf(t 10

3、)()()(ikkiizkTfzzFziTtfZ 10)()()(ikkiizkTfzzFziTtfZ6(4) (4) 復位移定理復位移定理)()(aTatzeFtfeZ )()(zFtfZ令：kkakTatzkTfetfeZ )()(0kaTkzekTf )(0則：則：)(aTzeF 7例例 試用復數位移定理計算函數試用復數位移定理計算函數 的的z變換。變換。aTte ttf )(令令2)1()() aTataTaTzeTzezeFteZ（解：解：2)1()( zTztfZ則則根據復數位移定理根據復數位移定理8若極限存在)(limzFz210)2()()0()()(zTfzTffzkTfzF

4、kk)()(zFtfZ令（5 5）初值定理）初值定理則函數的初值則函數的初值)(lim)(lim)0(0zFtffzt)(lim)0()(lim0tffzFtz證明：證明：對上式兩邊取對上式兩邊取 的極限的極限則有：則有：z9(6) (6) 終值定理終值定理)()1(lim)()1(lim(lim)(lim111zFzzFzkTftfzzkt ）)()(zFtfZ令 0)()()(kkzkTfzFtfZ)0()()()(0zfzzFzTkTfTtfZkk 證明：證明：兩式相減兩式相減10 00)()()()0()(kkkkzkTfzTkTfzFzfzzF 0)()(kkzkTfTkTfkzTf

5、TffTf .)()2()0()(kzff )0()(兩邊取兩邊取 的極限的極限1z)()1(lim)()1()(111limzFzzFzfzz 11例1：求 對應的f(t)初值和終值aTezzzF )(0) 1(lim)(lim)(1lim)(lim)(lim)0(10aTztaTzztezzztffezzzFtff12(7) (7) 卷積和定理卷積和定理0*)()()(*)()(kTkngkTetgtetc設：設： )()()(zGzEzC 則：則： 積分和設有兩個函數),()(21tftfdtfftf)()()(21的卷積分，記為和稱為)()(21tftf)(*)()(21tftftf1

6、34.Z4.Z反變換反變換定義：由定義：由Z Z域函數求時間域函數的過程域函數求時間域函數的過程, ,僅能僅能求出采樣函數脈沖序列的表達式求出采樣函數脈沖序列的表達式, ,即即)()()(*1tftfzFZ14(1) (1) 冪級數展開法冪級數展開法p 用長除法把用長除法把 按降冪展成冪級數，然后求按降冪展成冪級數，然后求得得 ，即，即將將 展成展成 p對應原函數為對應原函數為 ( )F z()f kT101101( ),mmmnnnb zb zbF znma za za( )F z012012( )F zc zc zc z TtcTtctckTf221015解：解：)2)(1(10)(zzz

7、zF21231110zzz5321150703010zzzz321203010zzz432326090302030zzzzz54343140210706070zzzzz54140150zzp對應原函數為對應原函數為 )3(7023010TtTtTtkTf 16(2) (2) 部分分式法部分分式法p 把把 分解為部分分式，再通過查表求出分解為部分分式，再通過查表求出原離散序列原離散序列。p 因為因為Z Z變換表中變換表中 的分子常有因子的分子常有因子 ，所以通，所以通常將常將 展成展成 的形式，即的形式，即 ( )F z( )F zz( )F z1( )( )F zzF z12112( )( )

8、iiAAAF zzF zzzzzzzz1( )()iiiz zAF z zz其中其中17解：解：)2)(1(10)(zzzzF)(kTf210110)( zzzzzF, 3 , 2 , 1 , 0),21(10)()(1 kzFZkTfk18(3) (3) 反演積分法（留數法）反演積分法（留數法）p在反演積分法中，離散序列在反演積分法中，離散序列 等于等于 各個極點上留數之和，即各個極點上留數之和，即()f kT1( )kF z z11()( )inkzzif kTres F z z表示表示 的第的第 i i 個極點。個極點。 ( )F ziz19p重極點的情況：設重極點的情況：設 有有n n

9、階重極點階重極點 ，則，則11 ( )() ( )limiikkzzizzres F z zzz F z z1111()( )1 ( )(1)!limiinnkkizznzzdzzF z zres F z zndzp單極點的情況：單極點的情況：( )F ziz20例例3：( )F z解：解： 有兩個極點：有兩個極點：z=1和和z=0.5,分別求出其留數分別求出其留數用留數法求用留數法求 的反變換。的反變換。2)1()5 . 0)(1(, 1112 zkzzzzzreszkkkTf5 . 02)5 . 0(2)( 所以所以)5 . 0)(1()(2 zzzzFkzkzzzzzresz5 . 0)

10、5 . 0()5 . 0)(1(, 5 . 05 . 012 21 1312zzzzE 25 . 01zzzzE 作業：試求下列函數E（z）的脈沖序列e*（t）（2） （1） 221.1.差分方程的定義差分方程的定義 )2()1()()2()1()(21021kxbkxbkxbkxakxakxrrrccc對于一般的線性定常離散系統，對于一般的線性定常離散系統，k k時刻的輸出時刻的輸出x xc c(k(k) )不但不但與與k k時刻的輸入時刻的輸入x xr r(k(k) )有關，而且還與有關，而且還與k k時刻以前的輸入時刻以前的輸入x xr r(k-1)(k-1)，x xr r(k-2)(k

11、-2)，有關，同時還與有關，同時還與k k時刻以前的輸出時刻以前的輸出x xc c(k-1)(k-1)，x xc c(k-2)(k-2)，有關，這種關系可用有關，這種關系可用n n階向后差分階向后差分方程來描述：方程來描述：232.2.差分方程的解法差分方程的解法（1 1） 迭代法迭代法若已知差分方程，并且給定輸出序列的初值，則可以若已知差分方程，并且給定輸出序列的初值，則可以利用利用遞推關系遞推關系，逐步地，逐步地算出輸出序列算出輸出序列。 首先要對差分方程兩端取首先要對差分方程兩端取Z Z變換，并利用變換，并利用Z Z變換的變換的位移定理，得到以位移定理，得到以z z為變量的代數方程，然后

12、對代為變量的代數方程，然后對代數方程的解數方程的解 取取Z Z反變換，求得輸出序列反變換，求得輸出序列)(zXc)(kTxc（2 2）Z Z變換法變換法24初始條件：初始條件：x xc c(0)=0, x(0)=0, xc c(1)=1(1)=1 0)(2) 1(3) 2(kxkxkxccc10)()()(ikkiizkTfzzFziTtfZ例例 1 1 求解求解251. 1. 脈沖傳遞函數的定義脈沖傳遞函數的定義在初始條件為零的采樣和數字系統中，環節或系在初始條件為零的采樣和數字系統中，環節或系統輸出脈沖序列的統輸出脈沖序列的Z Z變換與輸入脈沖序列的變換與輸入脈沖序列的Z Z變換之變換之比

13、，稱為該環節或系統的脈沖傳遞函數。記比，稱為該環節或系統的脈沖傳遞函數。記( )( )( )( )( )ccrrXzx kZW zXzx kZ輸出脈沖序列的 變換輸入脈沖序列的 變換26W(s)(txr)(*txr)(txc)(txc)(zW)()()(sWsXsXrc p離散化)()()(sWsXsXrcpZ Z變換變換)()()(zWzXzXrc)()()(zXzXzWrc27 (1) (1) 串聯各環節之間有采樣開關的情況串聯各環節之間有采樣開關的情況2.2.開環系統脈沖傳遞函數開環系統脈沖傳遞函數)()()(12zXzWzXcc)()()()()(21zWzWzXzXzWrcu 兩個串

14、聯環節間兩個串聯環節間有采樣開關有采樣開關時，其脈沖傳遞函數等時，其脈沖傳遞函數等于這于這兩個環節的脈沖傳遞函數的乘積兩個環節的脈沖傳遞函數的乘積。)()()(12zXzWzWr28(2) (2) 串聯各環節之間無采樣開關的情況串聯各環節之間無采樣開關的情況12( )( )( )( )( )crXzW zZ W s W sXz)()()()(21sWsWsXsXrc)()()()(21sWsWZzXzXrcu兩個相串聯環節間兩個相串聯環節間無采樣開關無采樣開關時，脈沖傳遞函數等于這時，脈沖傳遞函數等于這兩個環節兩個環節傳遞函數乘積的傳遞函數乘積的Z Z變換變換。29例例1：開環離散系統如圖，試

15、求開環脈沖傳遞函數：開環離散系統如圖，試求開環脈沖傳遞函數 zGTezzsZ2222 TezzsZ5555 TTezezzsZsZ522105522 zG解解: (a) TTTTezezeezssZzG52523105522(b)30（3 3）并聯環節脈沖傳遞函數）并聯環節脈沖傳遞函數)(1sW)(2sW)(txr)(2txr)(txc)(1txr)()()()()(21zWzXzWzXzXrrc)()()()()(21zWzWzXzXzWrcu 并聯環節之間并聯環節之間均有采樣開關均有采樣開關，則總的脈沖傳遞函數等，則總的脈沖傳遞函數等于各并聯環節脈沖傳遞函數的代數和。于各并聯環節脈沖傳遞函

16、數的代數和。31 11( )( )( )1( )cBrWzXzWzXzW H z（1 1）具有負反饋的線性離散系統）具有負反饋的線性離散系統 4. 4. 閉環系統脈沖傳遞函數閉環系統脈沖傳遞函數32( )( )( )( )( )1( )( )CBrXzD z W zWzXzD z WH z（2 2）具有數字校正裝置的閉環離散系統）具有數字校正裝置的閉環離散系統 33（3 3）具有有擾動信號輸入的閉環離散系統）具有有擾動信號輸入的閉環離散系統 )(2sW)(txr)(txc)(sE)(sE)(1sW)(sN0)(txr令0)(sN令)(1)()(212zWWzNWzXc)(1)()()()(2121zWWzWWzXzXzWrcBp 不能得出對擾動的脈