1、1第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定9- -1 壓桿穩定性的概念壓桿穩定性的概念9- -2 細長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式細長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式9- -3 不同桿端約束下細長壓桿臨界力的不同桿端約束下細長壓桿臨界力的 歐拉公式歐拉公式壓桿的長度因數壓桿的長度因數9- -4 歐拉公式的應用范圍歐拉公式的應用范圍臨界應力總圖臨界應力總圖9- -5 實際壓桿的穩定因數實際壓桿的穩定因數9- -6 壓桿的穩定計算壓桿的穩定計算壓桿的合理截面壓桿的合理截面29- -1 壓桿穩定性的概念壓桿穩定性的概念實際的受壓桿件 實際的受壓桿件由于: 1. 其軸線并非理想的直線而存在初彎曲，2. 作用于桿上的

2、軸向壓力有“偶然”偏心，3. 材料性質并非絕對均勻，因此在軸向壓力作用下會發生彎曲變形，且由此引起的側向位移隨軸向壓力的增大而更快地增大。第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定3 對于細長的壓桿(大柔度壓桿)，最終會因為彈性的側向位移過大而喪失承載能力； 對于中等細長的壓桿(中等柔度壓桿)則當側向位移增大到一定程度時會在彎壓組合變形下發生強度破壞(壓潰)。 對于實際細長壓桿的上述力學行為，如果把初彎曲和材質不均勻的影響都歸入偶然偏心的影響，則可利用大柔度彈性直桿受偏心壓力作用這一力學模型來研究。第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定4 圖a為下端固定，上端自由的實際壓桿的力學模型；為列出用來尋求Fd 關系所需

3、撓曲線近似微分方程而計算橫截面上的彎矩時,需把側向位移考慮在內，即 M(x)=F(e+d-w)，這樣得到的撓曲線近似微分方程EIz w=F(e+d -w)和積分后得到的撓曲線方程便反映了大柔度桿偏心受壓時側向位移的影響。第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定(a)5 按照這一思路求得的細長壓桿在不同偏心距 e 時偏心壓力F 與最大側向位移d 的關系曲線如圖b所示。第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定(b) 由圖可見雖然偶然偏心的程度不同 (e3e2e1)，但該細長壓桿喪失承載能力時偏心壓力Fcr卻相同。其它桿端約束情況下細長壓桿的Fd 關系曲線其特點與圖b相同。6抽象的細長中心受壓直桿 由圖b可知，當偶然偏

4、心的偏心距e0時，細長壓桿的F-d 關系曲線就逼近折線OAB，而如果把細長壓桿抽象為無初彎曲，軸向壓力無偏心，材料絕對均勻的理想中心壓桿，則它的F-d 關系曲線將是折線OAB。第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定7 由此引出了關于壓桿失穩(buckling)這一抽象的概念：當細長中心壓桿上的軸向壓力F小于Fcr時，桿的直線狀態的平衡是穩定的；當FFcr時桿既可在直線狀態下保持平衡(d0)，也可以在微彎狀態下保持平衡，也就是說FFcr時理想中心壓桿的直線平衡狀態是不穩定的，壓桿在軸向壓力Fcr作用下會喪失原有的直線平衡狀態，即發生失穩。 Fcr則是壓桿直線狀態的平衡由穩定變為不穩定的臨界力(criti

5、cal force)。第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定8 從另一個角度來看，此處中心受壓桿的臨界力又可理解為：桿能保持微彎狀態時的軸向壓力。 顯然，理想中心壓桿是有偶然偏心等因素的實際壓桿的一種抽象。第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定9壓桿的截面形式及支端約束 壓桿的臨界力既然與彎曲變形有關，因此壓桿橫截面的彎曲剛度應盡可能大；圖a為鋼桁架橋上弦桿(壓桿)的橫截面，圖b為廠房建筑中鋼柱的橫截面。在可能條件下還要盡量改善壓桿的桿端約束條件，例如限制甚至阻止桿端轉動。第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定109-2 細長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式細長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式 本節以兩端球形鉸支(簡稱兩端鉸

6、支)的細長中心受壓桿件(圖a)為例，按照對于理想中心壓桿來說臨界力就是桿能保持微彎狀態時的軸向壓力這一概念，來導出求臨界力的歐拉(L.Euler)公式。第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定(a)11 在圖a所示微彎狀態下，兩端鉸支壓桿任意x截面的撓度(側向位移)為w，該截面上的彎矩為M(x)=Fcrw（圖b）。桿的撓曲線近似微分方程為 (a) crwFxMwEI 第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定(b)(a)上式中負號是由于在圖示坐標中，對應于正值的撓度w，撓曲線切線斜率的變化率 為負的緣故。 xyxwdddd12令k2=Fcr /EI，將撓曲線近似微分方程(a)改寫成該二階常系數線性微分方程(b)的通

7、解為02 wkw(b)kxBkxAwcossin(c)第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定此式中有未知量A和B以及隱含有Fcr的k，但現在能夠利用的邊界條件只有兩個，即x=0，w=0 和 x=l，w=0，顯然這不可能求出全部三個未知量。這種不確定性是由F = Fcr時桿可在任意微彎狀態下(d可為任意微小值)保持平衡這個抽象概念所決定的。事實上，對于所研究的問題來說只要能從(c)式求出與臨界力相關的未知常數k就可以了。13 將邊界條件x=0，w=0代入式(c)得B=0。于是根據(c)式并利用邊界條件x=l，w=0得到0sinklA第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定kxBkxAwcossin(c)(a)注意

8、到已有B=0，故上式中的A不可能等于零，否則(c)式將成為w 0而壓桿不能保持微彎狀態，也就是桿并未達到臨界狀態。由此可知，欲使(c)成立，則必須sinkl=014滿足此條件的kl為，2 ,0kl或即，2 0crlEIF 由于 意味著臨界力Fcr 0，也就是桿根本未受軸向壓力，所以這不是真實情況。在kl0的解中，最小解 klp 相應于最小的臨界力，這是工程上最關心的臨界力。0crlEIF第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定由klp有crlEIF22crlEIF亦即15從而得到求兩端鉸支細長中心壓桿臨界力的歐拉公式：22crlEIF 此時桿的撓曲線方程可如下導出。前已求得B=0，且取klp，以此代入式

9、(c)得xlAwsin第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定注意到當x= l /2 時 w=d，故有 A=d。從而知，對應于klp，亦即對應于Fcr=p2EI/l 2，撓曲線方程為lxwsind可見此時的撓曲線為半波正弦曲線。16需要指出的是，盡管上面得到了A=d，但因為桿在任意微彎狀態下保持平衡時d為不確定的值，故不能說未知量A已確定。事實上，在推導任何桿端約束情況的細長中心壓桿歐拉臨界力時，撓曲線近似微分方程的通解中，凡與桿的彎曲程度相關的未知量總是不確定的。第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定(a)179-3 不同桿端約束下細長壓桿臨界力的不同桿端約束下細長壓桿臨界力的 歐拉公式歐拉公式壓桿的長度因數

10、壓桿的長度因數 現在通過二個例題來推導另一些桿端約束條件下求細長中心壓桿臨界力的歐拉公式。第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定18 例題例題9- -1 試推導下端固定、上端自由的等直細長中心壓桿臨界力的歐拉公式，并求壓桿相應的撓曲線方程。圖中xy平面為桿的彎曲剛度最小的平面，亦即桿最容易發生彎曲的平面。第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定19 解：解：根據該壓桿失穩后符合桿端約束條件的撓曲線的大致形狀可知，任意x橫截面上的彎矩為 wFxMdcr桿的撓曲線近似微分方程則為wFwEI dcr這里，等號右邊取正號是因為對應于正值的(d -w)， 亦為正。將上式改寫為 xyxwddddd EIFwEIFwcrcr

11、第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定20并令 有EIFkcr2d22kwkw 此微分方程的通解為dkxBkxAwcossin從而亦有kxBkkxAkwsincos 根據邊界條件x=0，w =0得Ak=0；注意到 不會等于零，故知A0，從而有wBcoskx+d。再利用邊界條件x=0，w=0得B=-d。于是此壓桿的撓曲線方程成為EIFkcr第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定(a) cos1kxwd21至此仍未得到可以確定隱含Fcr的未知量k的條件。為此，利用 x = l 時 w = d 這一關系，從而得出從式(a)可知d不可能等于零，否則w將恒等于零，故上式中只能coskl = 0。滿足此條件的kl的最小值

12、為kl = p/2，亦即 從而得到求此壓桿臨界力的歐拉公式：2crlEIF 2222cr24lEIlEIF(b)klcos1dd0cos kld亦即第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定22 以 kl = p/2 亦即 k = p/(2l)代入式(a)便得到此壓桿對應于式(b)所示臨界力的撓曲線方程：lxw2cos1d第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定23 例題例題9-2 試推導下端固定、上端鉸支的等直細長中心壓桿臨界力的歐拉公式，并求該壓桿相應的撓曲線方程。圖(a)中的xy平面為桿的最小彎曲剛度平面。第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定(a)24 解：解：1. 在推導臨界力公式時需要注意，在符合桿端約束條件的

13、微彎狀態下，支座處除軸向約束力外還有無橫向約束力和約束力偶矩。 在推導臨界力公式時這是很重要的一步，如果在這一步中發生錯誤，那么得到的結果將必定是錯誤的。第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定(b) 圖b示出了該壓桿可能的微彎狀態，與此相對應，B處應有逆時針轉向的約束力偶矩MB，并且根據整個桿的平衡條件MB 0可知，桿的上端必有向右的水平約束力Fy；從而亦知桿的下端有向左的水平約束力Fy 。252. 桿的任意x截面上的彎矩為 xlFwFxMycr從而有撓曲線近似微分方程：crxlFwFwEIy 上式等號右邊的負號是因為對應于正值的w， 為負而加的。 xyxwdddd第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定(b)

14、26令 k2=Fcr /EI，將上式改寫為xlEIFwkwy 2亦即xlFFkwkwy cr22第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定此微分方程的通解為(a) cossincrxlFFkxBkxAwy從而亦有(b) sincoscrFFkxBkkxAkwy式中共有四個未知量：A，B，k，Fy。27 對于此桿共有三個邊界條件。由邊界條件x=0，w =0 得 A=Fy /(kFcr)。又由邊界條件x=0，w=0 得 B=-Fy l /Fcr。將以上A和B的表達式代入式(a)有(c) cossin1crxlkxlkxkFFwy第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定(a)再利用邊界條件x=l，w=0，由上式得0cos

15、sin1crkllklkFFy28由于桿在微彎狀態下保持平衡時，Fy不可能等于零，故由上式得 滿足此條件的最小非零解為kl=4.49，亦即 ，從而得到此壓桿求臨界力的歐拉公式：49. 4crlEIF2222cr7 . 049. 4lEIlEIF0cossin1kllklkklkl tan亦即第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定29 3. 將 kl = 4.49，亦即 k = 4.49/l 代入式(c)即得此壓桿對應于上列臨界力的撓曲線方程：lxkxkxFlFwy1cos49. 4sincr利用此方程還可以進一步求得該壓桿在上列臨界力作用下撓曲線上的拐點在 x = 0.3l 處(圖b)。第九章第九章

16、壓桿穩定壓桿穩定(b)30壓桿的長度因數和相當長度第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定31 表9-1中列出了幾種典型的理想桿端約束條件下，等截面細長中心受壓直桿的歐拉公式。從表中可見，桿端約束越強，壓桿的臨界力也就越高。表中將求臨界力的歐拉公式寫成了同一的形式：22cr lEIF式中， 稱為壓桿的長度因數，它與桿端約束情況有關； l 稱為壓桿的相當長度(equivalent length)，它表示某種桿端約束情況下幾何長度為l的壓桿，其臨界力相當于長度為 l 的兩端鉸支壓桿的臨界力。表9-1的圖中從幾何意義上標出了各種桿端約束情況下的相當長度 l。第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定32 運用歐拉公式計算

17、臨界力時需要注意：(1)當桿端約束情況在各個縱向平面內相同時(例如球形鉸)，歐拉公式中的 I 應是桿的橫截面的最小形心主慣性矩 Imin。(2)當桿端約束在各個縱向平面內不同時，歐拉公式中所取用的I應與失穩(或可能失穩)時的彎曲平面相對應。例如桿的兩端均為如圖所示柱形鉸的情況下：xyz軸銷第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定33對應于桿在xy平面內失穩，桿端約束接近于兩端固定，22cr5 . 0lEIFz對應于桿在xz平面內的失穩，桿端約束相當于兩端鉸支，22crlEIFy而取用的臨界力值應是上列兩種計算值中的較小者。第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定xyz軸銷349- -4 歐拉公式的應用范圍歐拉公式

18、的應用范圍臨界應力總圖臨界應力總圖. 歐拉公式應用范圍 在推導細長中心壓桿臨界力的歐拉公式時，應用了材料在線彈性范圍內工作時的撓曲線近似微分方程，可見歐拉公式只可應用于壓桿橫截面上的應力不超過材料的比例極限sp的情況。 按照抽象的概念，細長中心壓桿在臨界力Fcr作用時可在直線狀態下維持不穩定的平衡，故其時橫截面上的應力可按scrFcr /A來計算，亦即(a) /222222crcrsEilEAlEIAF第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定35式中，scr稱為臨界應力； 為壓桿橫截面對于失穩時繞以轉動的形心主慣性軸的慣性半徑；l /i為壓桿的相當長度與其橫截面慣性半徑之比，稱為壓桿的長細比(slend

19、erness)或柔度，記作，即AIi/il 根據歐拉公式只可應用于scrsp的條件，由式(a)知該應用條件就是p22crssE亦即 p2sEp 或寫作第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定36可見 就是可以應用歐拉公式的壓桿最小柔度。對于Q235鋼，按照 E206 GPa，sp 200 MPa，有p2psE100Pa10200Pa10206692p2psE 通常把p的壓桿，亦即能夠應用歐拉公式求臨界力Fcr的壓桿，稱為大柔度壓桿或細長壓桿，而把p的壓桿，亦即不能應用歐拉公式的壓桿，稱為小柔度壓桿。第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定37 圖中用實線示出了歐拉公式應用范圍內(p)的scr -曲線，它是一條雙曲線，稱為歐拉臨界力曲線，簡稱歐拉曲線。需要指出的是，由于實際壓桿都有初彎曲，偶然偏心和材質不勻，所以從實驗數據來分析，可以應用歐拉公式求臨界力的最小柔度比這里算得的p要大一些。第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定38. 壓桿的臨界應力總圖 臨界應力總圖是指同一材料制作的壓桿，其臨界應力scr隨柔度 變化的關系曲線。第九章第九章 壓桿穩定壓桿穩定 在p的部分，有歐拉公式scr p2E/2表達scr關系；但在壓桿柔度很小時，由于該理論存在的不足，計算所得scr可能會大于材料的屈服極限s