1、第第4 4章章 MATLAB MATLAB 數值計算數值計算 基本的數據分析 矩陣函數 多項式運算 函數和數值積分 數據分析 稀疏矩陣主要內容主要內容4.1 4.1 矩陣函數矩陣函數一、基本數據分析一、基本數據分析 函數函數功功 能能max求各列最大值求各列最大值min求各列最小值求各列最小值mean求各列平均值求各列平均值std求各列標準差求各列標準差median求各列中間元素求各列中間元素sum求各列元素和求各列元素和注：注：Matlab的基本數據處理功能是按列進行的。的基本數據處理功能是按列進行的。4.1 4.1 矩陣函數矩陣函數二、二、矩陣函數矩陣函數 矩陣的分析計算：矩陣的分析計算：

2、 求矩陣的行列式、秩、逆矩陣、特征求矩陣的行列式、秩、逆矩陣、特征 向量等等；向量等等； 矩陣的各種分解：矩陣的各種分解： （將一個大矩陣分解為多個簡單矩陣的連乘）（將一個大矩陣分解為多個簡單矩陣的連乘） 如：三角分解、正交分解、奇異值分解等。如：三角分解、正交分解、奇異值分解等。 4.1 4.1 矩陣函數矩陣函數二、二、矩陣函數矩陣函數 矩陣的交集運算：矩陣的交集運算： 格式：格式：intersect(A,B) 功能：返回值為向量功能：返回值為向量A，B的公共部分。的公共部分。矩陣的并集運算：矩陣的并集運算： 格式：格式：union(A,B) 功能：返回值為向量功能：返回值為向量A，B的公共

3、部分。的公共部分。4.1 4.1 矩陣函數矩陣函數三、三、線性方程組的求解（應用矩陣函數）線性方程組的求解（應用矩陣函數） 線性方程組一般形式：線性方程組一般形式：AX=B （A 為為 n m矩陣）矩陣） 當當n=m時，此方程成為時，此方程成為“恰定恰定”方程方程 當當nm時，此方程成為時，此方程成為“超定超定”方程方程(3) 當當nm時，此方程成為時，此方程成為“欠定欠定”方程方程 4.1 4.1 矩陣函數矩陣函數三、三、線性方程組的求解（應用矩陣函數）線性方程組的求解（應用矩陣函數） 1 1、恰定方程組的解、恰定方程組的解 (有唯一的一組解有唯一的一組解) AX=B A-1AX= A-1

4、B X= A-1B=AB 有兩種求解方法：有兩種求解方法：(1) X= inv(A)*B (速度較慢速度較慢) (2) X=AB (速度快速度快,精度高精度高) 例例 x1+2x2=8 2x1+3x2=13 121 282 313xx A=1,2;2,3;B=8;13;X=inv(A)*BXX=AB4.1 4.1 矩陣函數矩陣函數 2 2、超定方程組的解、超定方程組的解 (沒有精確解沒有精確解) AX=B （將（將A變為方陣變為方陣 ）AAx=AB X= (AA)-1 AB= pinv(A)*B (廣義逆廣義逆 )有兩種求解方法：有兩種求解方法：(1) X= pinv(A)*B(2) X=AB

5、 (用最小乘方法找一個精確解用最小乘方法找一個精確解)4.1 4.1 矩陣函數矩陣函數 例例 x1+2x2=1 2x1+3x2=2 3x1+4x2=5 1231 212 323 45xxx A=1,2;2,3;3,4;B=1;2;5;X=pinv(A)*BXX=AB4.1 4.1 矩陣函數矩陣函數3 3、欠定方程組的解、欠定方程組的解 (有無窮多個解有無窮多個解 )有兩種求解方法：有兩種求解方法：(1) X= pinv(A)*B （具有最小長度或范數的解）（具有最小長度或范數的解）(2) X=AB (具有最多零元素的解具有最多零元素的解) 例例 x1+2x2+3x3=1 2x1+3x2+4x3

6、=2 1231 2 312 3 42xxx A=1,2,3;2,3,4;B=1;2;X=pinv(A)*BXX=AB4.2 4.2 多項式運算多項式運算 一、多項式的表示一、多項式的表示 一般形式：一般形式： 用系數向量來表示：用系數向量來表示：p=an an-1 a1 a0 1110( )nnnnf xa xaxa xa %B(s)=3*s2+6*s+9%A(s)=2*s3+4*s2+6*s+8B=3 6 9;A=2 4 6 8;4.2 4.2 多項式運算多項式運算 二、二、多項式的運算多項式的運算 1、多項式的加減多項式的加減 對應系數相加減，如果系數長度不等，應在前對應系數相加減，如果系

7、數長度不等，應在前面補零面補零 。 例如：例如：p1=1 2 3; p2=1 3 5; p3=1 3 則：則：p1+p2=2 5 8 p1+p3=1 3 6 4.2 4.2 多項式運算多項式運算 2、多項式的乘法（數組卷積）、多項式的乘法（數組卷積）232() ()()()axbxcdxeadxaebd xbecd xce abcdeadbddcaebeecadbdae dcbeec 4.2 4.2 多項式運算多項式運算 2、多項式的乘法、多項式的乘法 格式：格式：conv(p1,p2) (卷積卷積) 例如：例如：p1=1 1; p2=1 2; p3=conv(p1,p2)=1 3 2 ;4.

8、2 4.2 多項式運算多項式運算 3、多項式的除法多項式的除法 （數組解卷積）（數組解卷積） 格式：格式：q,r=deconv(p1,p2) (q商，商，r余數余數) 例如：例如：p1=1 1; p3=1 3 2; q ,r=deconv(p3,p1) 4.2 4.2 多項式運算多項式運算 三、多項式的求解三、多項式的求解 1、多項式的求導（微分）、多項式的求導（微分） 格式：格式：polyder(p) 例如：例如：p=1 2 3 4; polyder(p)的運算結果為的運算結果為3 4 3 32( )234f xxxx 2( )343fxxx4.2 4.2 多項式運算多項式運算 2、多項式的

9、求根、多項式的求根 格式：格式： roots(p) (由多項式求根由多項式求根)例如：例如：p=1 3 2; roots(p)的運算結果為的運算結果為-2 ; -1 格式：格式： poly(r) (由根求多項式由根求多項式) 當當r為向量時，為向量時，poly 把把r作為根求出多項式。作為根求出多項式。如：如：r=-2; -1，poly(r)的運算結果為的運算結果為1 3 2 當當r為方陣時為方陣時,poly(r) 即為方陣即為方陣r的特征多項式的特征多項式 232(1)(2)xxxx 4.2 4.2 多項式運算多項式運算 3、多項式的求值、多項式的求值 格式：格式： polyval(p,v)

10、 (返回當返回當x=v時多項式的值時多項式的值,v 可以是復數可以是復數) 例如：例如： p=1 2 3; polyval(p,1) 的運算結果為的運算結果為6 2( )23(1)6f xxxf Question: Question: 232369( )2468ssH ssss 求出該系統的頻率響應并畫出頻率特性？求出該系統的頻率響應并畫出頻率特性？例題例題 clc;clear all;%多項式求值的應用%B(s)=3*s2+6*s+9%A(s)=2*s3+4*s2+6*s+8%H(s)=B(s)/A(s)B=3 6 9;A=2 4 6 8;w=linspace(0,10);BB=polyva

11、l(B, j*w);AA=polyval(A, j*w);subplot(2,2,1);plot(w,abs(BB ./ AA);subplot(2,2,3);plot(w,angle(BB ./ AA);w1=logspace(-1,1);B1=polyval(B,j*w1);A1=polyval(A,j*w1);subplot(2,2,2);semilogx(w1,abs(B1./A1);subplot(2,2,4);semilogx(w1,angle(B1./A1);例題例題 4.2 4.2 多項式運算多項式運算 四、多項式的擬合四、多項式的擬合 多項式的擬合就是用多項式函數所表示的曲線

12、多項式的擬合就是用多項式函數所表示的曲線來描述一些已知的點，使這些點盡量逼近曲線。來描述一些已知的點，使這些點盡量逼近曲線。 格式：格式：p=polyfit(x,y,n) x,y為已知的點坐標向量，為已知的點坐標向量，n為多項式的冪次為多項式的冪次 x=0 10 20;y=20 80 40;subplot(2,1,1);plot(x,y,*r);p=polyfit(x,y,2);subplot(2,1,2);plot(0:20),polyval(p,(0:20);4.2 4.2 多項式運算多項式運算 例題例題 4.2 4.2 多項式運算多項式運算 五、多項式的插值五、多項式的插值 插值是在一些

13、已知點之間插入一些點，插值是在一些已知點之間插入一些點，使這些點的連線與已知點連線更逼近使這些點的連線與已知點連線更逼近. 4.2 4.2 多項式運算多項式運算 1、一維插值（平面插值）、一維插值（平面插值） 格式：格式：yi=interp1(x,y,xi,method) x,y 為已知的點坐標向量，為已知的點坐標向量， xi,yi為插入點的為插入點的x和和y坐標向量坐標向量.method：linear (線性，默認線性，默認) cubic(三次，拐角更光滑三次，拐角更光滑) cubic spline (三次樣條三次樣條)%平面插值平面插值x=0 10 20;y=20 80 40;plot(x

14、,y,r);yi=interp1(x,y,(0:20),cubic);hold on;plot(0:20),yi);例題例題 4.2 4.2 多項式運算多項式運算 2、二維插值（立體）、二維插值（立體） 格式：格式：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method)x,y為已知的點坐標向量，為已知的點坐標向量，z為矩陣（為矩陣（x,y對應點對應點的值）的值）xi，yi 為插入點的為插入點的 X,Y 坐標向量坐標向量 method：同：同 上上 zi為為xi,yi的插入值。的插入值。%立體插值立體插值x=(-4:1:4);y=x;x1,y1=meshgrid(x,y);z=peaks(

15、x1,y1); subplot(2,1,1); mesh(x1,y1,z);xi=(-4:0.2:4);yi=xi;zi=interp2(x,y,z,xi,yi,cubic);subplot(2,1,2);mesh(xi,yi,zi+20);例題例題 4.3 4.3 函數和數值積分函數和數值積分一、函數的繪圖及分析一、函數的繪圖及分析 1、繪制函數曲線、繪制函數曲線 格式：格式： fplot(函數名函數名,lims，s) 功能：功能： 繪制指定函數的曲線，繪制指定函數的曲線， lims為為x,y 軸的最小最大值軸的最小最大值, s可指定線形可指定線形 函數和數值積分庫(funfun) 特殊函數

16、庫（specfun）%函數的繪圖函數的繪圖subplot(3,1,1);fplot(sin,2*pi*-1 1);subplot(3,1,2);fplot(sin(x) tan(x),2*pi*-1 1 -1 1);subplot(3,1,3);fplot(humps,0 1,rd); 例題例題 4.3 4.3 函數和數值積分函數和數值積分2、函數的簡易繪圖、函數的簡易繪圖 格式：格式：ezplot(函數名函數名,lims) 例如：例如：ezplot(sin) ezplot(x2 - x - 1) ; ezplot(sin(t),cos(t); (畫一橢圓畫一橢圓) 除除 ezplot外，還有

17、：外，還有： ezpolar, ezplot3， ezmesh , ezsurf等。等。 %函數簡易的繪圖函數簡易的繪圖subplot(3,1,1);ezplot(sin);subplot(3,1,2);ezplot(x2-x-1);subplot(3,1,3);ezplot(sin(t),cos(t);例題例題 4.3 4.3 函數和數值積分函數和數值積分3、求函數極小值、求函數極小值 格式：格式：fmin(函數名函數名,x1,x2) 求函數在求函數在x=x1 x2之間的極小值之間的極小值 4、求函數零點、求函數零點 格式：格式：fzero(函數名函數名,x0)。 求函數在求函數在x0附近的

18、過零點附近的過零點 。 例如：例如：fzero(humps,1)=1.29954.3 4.3 函數和數值積分函數和數值積分二、特殊函數二、特殊函數 特殊的數學函數，特殊的數學函數， 如：貝塞爾函數、誤差函數等。如：貝塞爾函數、誤差函數等。4.3 4.3 函數和數值積分函數和數值積分三、函數的數值積分三、函數的數值積分 1、定積分（一維數值積分）、定積分（一維數值積分） 格式：格式：quad(函數名函數名,x1,x2) （或（或 quad8 ，高階方法），高階方法） 對函數在區間對函數在區間x1,x2內的定積分內的定積分 例如：例如： quad(humps,0,1)=29.8583 利用定積分可

19、以求不定積分的數值解利用定積分可以求不定積分的數值解4.3 4.3 函數和數值積分函數和數值積分三、函數的數值積分三、函數的數值積分 2、二重數值積分、二重數值積分 格式：格式： dblquad(函數名函數名,x1,x2,y1,y2)4.3 4.3 函數和數值積分函數和數值積分四、常微分方程的求解四、常微分方程的求解 (ODE ,Ordinary Differential Equation ) 格式：格式：x,y=ode23(函數名函數名,x0,xn,y0) (2,3階階) 或或 ode45 (4,5階階)函數名為微分方程名（含函數名為微分方程名（含x,y）x0,xn為為x區間，區間，y0為為

20、y初值。初值。4.3 4.3 函數和數值積分函數和數值積分四、常微分方程的求解四、常微分方程的求解 例如：求微分方程：例如：求微分方程： dy/dx=-3y+2x, y(1)=2 區間為區間為1,3的解的解首先建立函數：首先建立函數：f=myde(x,y) (myde.m) f= -3*y+2*xx,y=ode23(myde,1,3,2)4.4 4.4 數據分析和傅立葉變換數據分析和傅立葉變換 一、數據的基本分析一、數據的基本分析 (按列分析按列分析)1、求最大最小值：、求最大最小值：max(data) / min(data) 例如：例如：a=1 2 3;2 3 4;4 5 6 ;max(a)

21、=4 5 62、求平均值：、求平均值：mean(data) 例如：例如： mean(a)=2.33 3.33 4.33 3、求和：、求和：sum(data) 例如：例如：sum(a)=7 10 134、差分：、差分：diff(data) (后面元素后面元素-前面元素值前面元素值) 例如：例如： diff(a) =1 1 1;2 2 24.4 4.4 數據分析和傅立葉變換數據分析和傅立葉變換 二、相關與卷積二、相關與卷積 對兩組數據（或兩個信號），可求其相關、對兩組數據（或兩個信號），可求其相關、協方差和卷積等協方差和卷積等 1、求協方差：、求協方差： cov(x) 求求x 的協方差陣的協方差陣

22、 cov(x,y) 求求x ,y的協方差的協方差2、求相關系數、求相關系數 corrcoef(x) 求求x的自相關陣的自相關陣 corrcoef(x,y) 求求x,y的互相關系數的互相關系數4.4 4.4 數據分析和傅立葉變換數據分析和傅立葉變換 二、相關與卷積二、相關與卷積 3、求卷積、求卷積 conv(x,y)4.4 4.4 數據分析和傅立葉變換數據分析和傅立葉變換 三、傅立葉變換三、傅立葉變換 可對數據（離散信號）求傅立葉變換可對數據（離散信號）求傅立葉變換 1、離散傅立葉變換：、離散傅立葉變換： fft(x) 對序列對序列x求求DFT fft(x,N) 對序列對序列x求求FFT例如：例如：x=1 2 3 4 y=fft(x)=10 -2+ 2i -2 -2- 2i 2、離散傅立葉反變換：、離散傅立葉反變換： ifft( )同上。同上。4.5 4.5 稀疏矩陣稀疏矩陣 工程中會遇到很大的矩陣，其元素大多數為工程中會遇到很大的矩陣，其元素大多數為0。描述這類矩陣時