1、Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University1工程圖學基礎Engineering Graphics Fundamentals 梁冬泰梁冬泰 Liang Dongtai Faculty of Mechanical Engineering and Mechanics Ningbo UniversityLesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University2復習REVIEWLesson 5Liang Do

2、ngtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University3fgfgbaabcededc結論：直線結論：直線ABAB不平行于定平面不平行于定平面Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University4baaffbcededkkcLesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University5fededfcaacbbmnmnrrss結論：兩平面平行結論：兩平面平

3、行Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University6bbacnlmcmalnfkfkVHMmnlBCackfFKNLLesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University7feefbaacbc12QV21kk步驟步驟：1 1、 過過EFEF作正垂平作正垂平面面Q Q。2 2、求、求Q Q平面與平面與ABCABC的交線的交線。3 3、求交線、求交線與與EFEF的交點的交點K K。Lesson 5Liang

4、 Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University8利用重影點。判別可見性( )feefbaacbc12432134（ ）kkLesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University9baccballnmmnPVQV1221kkee2 2、連接兩個共有、連接兩個共有點，畫出交線點，畫出交線KEKE。步驟：步驟：1 1、用直線與平面、用直線與平面求交點的方法求求交點的方法求出兩平面的兩個出兩平面的兩個共有點共有點K K、E E。Les

5、son 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University10利用重影點判別可見性baccballnmmnkeek3 4 ( )3 4 21( )1 2Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University11acbacbfeefkk例例 試過試過K K點作一直線平行于已知平面點作一直線平行于已知平面ABCABC，并與直，并與直線線EFEF相交相交 。Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of M

6、echanical Engineering, Ningbo University12FPCABEKH過已知點過已知點K K作平面作平面P P平行平行于于 ABCABC；直線；直線EFEF與平面與平面P P交于交于H H；連接；連接KHKH，KHKH即為所求。即為所求。Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University13mnhhnmffacbacbeekkPV11221、過點、過點K作平面作平面KMN/ ABC平面。平面。2、過直線、過直線EF作正垂作正垂平面平面P。3、求平面、求平面P與平面與平

7、面KMN的交線的交線。4、求交線、求交線 與與EF的交點的交點H。5、連接、連接KH，KH即即為所求。為所求。作圖步驟：作圖步驟：Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University14VHPAKLDCBELesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University15VPAKLDCBEHaadcbdcbeeknkn定理定理1 1：若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬若一直線垂直于一平面、則直線的水平

8、投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。平面的正平線的正面投影。Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University16acacnnkfdbdbfkVPAKLDCBEHLesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University17acacnnkfdbdbfkLesson 5Liang Dongtai,

9、Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University18hhhhhhkkSVkkPVkkQHLesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University19efemnmncaadbcdbfLesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University20AD若一直線垂直于一定平面，則若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。包含這條直線的所有平面都垂直

10、于該平面。Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University21AD兩平面垂直兩平面垂直兩平面不垂直兩平面不垂直ADLesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University22ghacachkkfdbdbfgLesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University23ghachackkbbgffdd結論：結論：因為因

11、為ADAD直線不在直線不在 A ABCBC平平面上，所以兩平面不垂直。面上，所以兩平面不垂直。Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University24以前的思考題: 過點A 作EF 線段的一條垂線ABbbaaOfeefX思考：思考：如果要求如果要求B B在在EFEF上怎上怎么做？么做？Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University25aefafeLesson 5Liang Dongtai, Faul

12、ty of Mechanical Engineering, Ningbo University26EQ過已知點A作平面與已知直線EF交于點K，連接AK，AK即為所求。FAKLesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University2721aefafe1221PVaefafe12kkLesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University28習題冊：習題冊： P1926 Lesson 5Liang Dongtai,

13、Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University29畫法幾何單個幾何元素和相互位置的投影規律及定理畫法幾何單個幾何元素和相互位置的投影規律及定理1 1、幾何元素與三投影體系的關系、幾何元素與三投影體系的關系2 2、幾何元素之間的關系、幾何元素之間的關系3 3、相關幾何定理及作圖方法、相關幾何定理及作圖方法Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University30平行問題：平行問題：1.1.過已知點作直線平行于已知平面過已知點作直線平行于已知平面2.

14、2.過已知點作平面平行于已知直線過已知點作平面平行于已知直線3.3.過已知點作平面平行于已知平面：平行平面的過已知點作平面平行于已知平面：平行平面的表示方法表示方法4.4.過已知直線作平面平行于另已知直線：線與面過已知直線作平面平行于另已知直線：線與面平行條件平行條件Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University31相交問題：相交問題： 一般位置直線與垂直面相交一般位置直線與垂直面相交 垂直線與一般位置平面相交垂直線與一般位置平面相交 一般位置平面與垂直面相交一般位置平面與垂直面相交 兩投影面

15、垂直相交兩投影面垂直相交 一般位置直線與一般位置平面相交一般位置直線與一般位置平面相交 兩一般位置平面相交：自己畫圖完成練習兩一般位置平面相交：自己畫圖完成練習Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University32垂直問題：垂直問題： 過已知點作直線垂直于已知平面過已知點作直線垂直于已知平面 過已知點作平面垂直于已知直線過已知點作平面垂直于已知直線( (與與1 1類似類似) ) 過已知點作平面垂直于已知平面：（除法線外再多加過已知點作平面垂直于已知平面：（除法線外再多加一任意線一任意線) ) 過已

16、知直線作平面垂直于已知平面：過已知直線作平面垂直于已知平面：( (過直線上一點作過直線上一點作已知平面的法線已知平面的法線) )Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University33問題總結：問題總結：求實長及與投影面的夾角直角三角形法求實長及與投影面的夾角直角三角形法已知面內的一投影，求另一個投影；已知面內的一投影，求另一個投影；已經一直線及直線外一點，過此點作直線的平行線已經一直線及直線外一點，過此點作直線的平行線過一點作已知的水平線、正平線的垂線過一點作已知的水平線、正平線的垂線過一點作平面

17、平行于已知直線過一點作平面平行于已知直線一般位置直線與一般位置面求交點：熟練掌握一般位置直線與一般位置面求交點：熟練掌握過一般位置直線上一點求相垂直的平面：熟練掌握過一般位置直線上一點求相垂直的平面：熟練掌握過一般位置平面上一點求其法線：熟練掌握過一般位置平面上一點求其法線：熟練掌握軌跡法：一些規律性軌跡的內容軌跡法：一些規律性軌跡的內容Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University34四類：四類：相對位置題；相對位置題；距離題；距離題；角度題；角度題；綜合題。綜合題。Lesson 5Lian

18、g Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University35軌跡法：根據已知條件和題目要求進行空間分析，：根據已知條件和題目要求進行空間分析，分別作出滿足題目各個要求的分別作出滿足題目各個要求的軌跡軌跡，然后求出這些，然后求出這些軌跡間的軌跡間的交點或交線交點或交線，即得所求答案。，即得所求答案。Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University36 與點定距離的點的軌跡與點定距離的點的軌跡: : 與兩點等距離的點的軌跡：與兩點等

19、距離的點的軌跡： 與不在一直線上的三點等距離的點的軌跡：與不在一直線上的三點等距離的點的軌跡： 與直線定距離的點的軌跡：與直線定距離的點的軌跡： 與直線兩端點等距離的點的軌跡：與直線兩端點等距離的點的軌跡： 與平行兩直線等距離的點的軌跡：與平行兩直線等距離的點的軌跡： 與兩平行平面等距離的點及等距離的直線的軌跡：與兩平行平面等距離的點及等距離的直線的軌跡：圓球圓球面面兩點連線的中垂面兩點連線的中垂面任意兩點連線的任意兩點連線的中垂面的交線中垂面的交線圓柱面圓柱面線段的中垂面線段的中垂面兩直線間公垂線的中垂面兩直線間公垂線的中垂面兩平面公垂線的中垂面兩平面公垂線的中垂面Lesson 5Liang

20、 Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University37：先假設最后解答已經作出，先假設最后解答已經作出， 然后應用有關的幾何定然后應用有關的幾何定理進行空間分析和邏輯推理，找出最后解答和已知條件條件之理進行空間分析和邏輯推理，找出最后解答和已知條件條件之間的幾何聯系，并由此得到解題的方法和步驟。間的幾何聯系，并由此得到解題的方法和步驟。Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University38例過點例過點M M作一平面垂直于作一平

21、面垂直于 ABC ABC，且平行于直線，且平行于直線DEDE。XOabcdemabcdem分析：過點分析：過點M M所作平面可由所作平面可由一對相交直線來決定，只一對相交直線來決定，只要使這一對相交直線分別要使這一對相交直線分別成為平面成為平面 ABC ABC的垂線和的垂線和直線直線DEDE的平行線即可。的平行線即可。Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University39Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo

22、University40例作一直線與兩交叉直線例作一直線與兩交叉直線ABAB、CDCD分別交于點分別交于點K K、L L，并，并垂直于垂直于EFG ( EFG ( e eg g/efef/OXOX ) )。Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University41Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University42例過點例過點M M作直線作直線MNMN同時與同時與ABCABC及及 EFG EFG平行平行

23、 。XOcdefcaef分析分析1(1(逆推法逆推法) )：假設要求的：假設要求的直線直線MNMN已經作出，則根據幾何已經作出，則根據幾何定理，直線定理，直線MNMN必平等于必平等于ABCABC與與EFGEFG的交線的交線KLKL，因此要求，因此要求直線直線MNMN，只要先求出，只要先求出ABCABC與與EFGEFG的交線的交線KLKL，然后過點，然后過點M M作作直線平行交線直線平行交線KLKL即可。即可。分析分析2 2（軌跡法）：所求解（軌跡法）：所求解MNMN軌跡之一為過點軌跡之一為過點M M且與且與ABCABC平平行的平面；軌跡之二為過點行的平面；軌跡之二為過點M M與與EFGEFG平

24、行的平面，兩軌跡平行的平面，兩軌跡的交線好為所求。的交線好為所求。ggbbmm選取最簡潔的方法！選取最簡潔的方法！Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University43Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University44例例 已知點已知點K K到到ABCABC距離為距離為18mm18mm，求點，求點K K正面投影正面投影 。XOcaca分析：點分析：點K K的軌跡是與的軌跡是與ABCABC距離為距離

25、為18mm18mm的平的平面面P P，點，點K K即在平面即在平面P P內，內，則可利用平面內求點則可利用平面內求點的作圖方法求出所缺的作圖方法求出所缺投影投影k k 。bbkLesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University45Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University46例在直線例在直線ABAB上求作一點上求作一點K K與已知兩點與已知兩點E E、F F等距離。等距離。XOabbb分析：點

26、分析：點K K要與要與E E、F F兩兩點等距離，其軌跡之一點等距離，其軌跡之一是是E E、F F兩點連線的中垂兩點連線的中垂面面P P，而點，而點K K又要在直線又要在直線ABAB上，因此，上述中垂上，因此，上述中垂面面P P與直線與直線ABAB的交點就的交點就是所求的點是所求的點K K。ffeeLesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University47Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University

27、48例已知直角三角形的一個直角邊例已知直角三角形的一個直角邊ABAB，并知其斜邊，并知其斜邊ACAC平行于直線平行于直線DEDE，試完成，試完成ABC ABC 的兩投影。的兩投影。XOdede分析：分析：首先分析直角關系。首先分析直角關系。 ABCABC的一個直的一個直角邊為角邊為ABAB，而斜邊為，而斜邊為ACAC，則，則BB90900 0，AB BCAB BC。其次進行空間的分析。直角其次進行空間的分析。直角ABCABC的斜的斜邊平行線直線邊平行線直線DEDE，當過點，當過點A A作直線作直線DEDE的平行的平行線線AFAF時，斜邊時，斜邊ACAC必在直線必在直線AFAF上，再根據直上，再

28、根據直角邊角邊AB BCAB BC，點，點C C又在過點又在過點B B所作的所作的ABAB垂線垂線的軌跡平面的軌跡平面P P內，因此直線內，因此直線AFAF與平面與平面P P的交的交點就是所求的點點就是所求的點C C。babaLesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University49Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University50例已知等腰例已知等腰ABC ABC 的正面投影及底邊的正面投影及底邊A

29、BAB的水平投影，的水平投影，試完成試完成ABC ABC 的水平投影。的水平投影。XOabab分析：首先分析直角關系。分析：首先分析直角關系。 等腰等腰ABCABC的的底邊為底邊為ABAB，則高，則高CDCD必垂直平分必垂直平分ABAB。其次進行空間的分析。因其次進行空間的分析。因CDABCDAB，且，且D D為底為底邊邊ABAB的中點，則點的中點，則點C C在過點在過點D D并垂直于底邊并垂直于底邊ABAB的平面的平面P P。點。點C C在平面在平面P P內，故可用平面內內，故可用平面內求點的作圖方法求出所缺的投影。求點的作圖方法求出所缺的投影。cLesson 5Liang Dongtai,

30、 Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University51Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo University52例已知矩形例已知矩形ABCDABCD的一邊的一邊BCBC，另一邊，另一邊ABAB平行于平行于，且頂點且頂點A A位于位于H H面上方面上方10mm10mm處，試完成該矩形的兩投影。處，試完成該矩形的兩投影。XOcbcb分析：首先分析直角關系。由于矩形分析：首先分析直角關系。由于矩形ABCDABCD的一邊為的一邊為BCBC，另一邊為，另一邊為ABAB，則，則BB90900 0，ABBCABBC。其次進行空間分析。矩形其次進行空間分析。矩形ABCDABCD的邊的邊BCBC已已知，另一邊知，另一邊ABBCABBC，則點，則點A A必在過點必在過點B B所作的所作的垂直于邊垂直于邊BCBC的平面的平面P P內，再根據內，再根據AB AB I II I II IIIIII及點及點A A在在H H面上方面上方10mm10mm的條件即可求出點的條件即可求出點A A，完成該矩形。完成該矩形。321321Lesson 5Liang Dongtai, Faulty of Mechanical Engineering, Ningbo