1、第二章 穩定性2.1 運動穩定性的概念2.1.2 運動及其穩定性考慮系統式中xRn, f是n維向量值函數,時間tR,假定f充分光滑以保證方程有關的初值問題的解的存在唯一性以及解對初值的連續依賴性,為簡單起見,假定解對所有tR存在.在上述假定下, 每一個初始狀態x(t0)=x0確定唯一解. 為了表示該解是由初始條件t0, x0確定的, 常記為x(t)= x(t; x0, t0).)2 . 1 . 2(),(txfx 一個系統隨初態不同有很多解, 設我們所關心的的一個運動為g(t)= x(t; x0, t0)稱它為給定運動或未被擾運動. 若在受到擾動, 狀態由x0變為 ,由 確定的運動 稱為被擾運

2、動.定義定義1.2.1 在系統(2.1.1)的給定運動g(t)的某個鄰域中, 式中H0.0 x0 x),;(00txtxHtgtx)()(如果對于任意給定的正數0(0,對于滿足 的任一初態 , 0, T=T(, t0, )0, 使得 tt0+T3)若 00, 0, , t1 t0, 使得則稱g(t)不穩定. ),;()(00txtxtx0)()(limtgtxt)(000trxx0 x0 x)()(tgtx0 x000)()(tgtxxx注1: 穩定性定義中只考慮g(t)的H-鄰域中運動的性態. 也就是說穩定,漸近穩定都是局部的概念.注2: 給定運動g(t)的穩定性實際上就是方程(2.1.1)

3、的解對初始狀態x0= x(t0)相對于所有的tt0,)一致連續性:例2.1.1 考察一維運動方程:),;(),;(lim000000txtgtxtxxx002)(0,xtxaxax因此,得到給定運動方程為而從 出發的運動為 ,因而有若取=, 則當 時,且有由定義可知,給定運動 是漸近穩定的.)(002)(ttaextg0 x)(002ttaex00)()(0)(0)()(020202xxeexextgtxttattatta00 xx0,)()(tttgtx0lim)()(lim00)(02xxetgtxttatt)(002)(ttaextg若運動方程為則由于 , 無論 如何小都有|x(t)-g

4、(t)|, (t ). 因此g(t)不穩定.例2.1.2 考察一維系統解方程得到給定運動為 .若初態 , 則相應的解為002)(, 0,xtxaxax000)(,)()(02ttxxetgtxtta00 xx , 1)0(,1xtxx teetgtt)1 (2)(texetxtt)1 (2)(00)0(xx顯然,對 0, 取=, 則由 可知因而g(t)穩定, 同時還有所以g(t)還漸近穩定. 但是當t時, 卻有g(t)-, 即運動g(t)無界. 這說明運動的穩定性與運動的有界性不是一回事.,1)()(0 xetgtxt10 x. 0,1)()(0txetgtxt01lim)()(lim0 xe

5、tgtxttt2.1.3 零平衡態的穩定性平衡狀態給定系統 , 我們稱滿足 的點為系統的平衡狀態, 也即解x(t)=xe(常向量), 所以平衡狀態滿足2. 運動的擾動方程考慮 y(t)=x(t)-g(t), 式中g(t)是從x0出發的給定運動, x(t)是從 出發的被擾運動, 稱為初始擾動, y(t)稱為擾動. 由于g(t), x(t)都是運動方程的解, 因而給定運動g(t)的擾動方程),(txfx 0 x 0),(txfe0 x000)(xxty滿足:且有F(0,t)=0. 這樣我們得到:系統 的給定運動g(t)的穩定性, 等價于給定運動g(t)的擾動方程 的零平衡態的穩定性. 因此, 我們

6、只需研究擾動方程 零平衡態的穩定性.3. 穩定性定義的改述由于對運動穩定性的研究歸結為對零平衡態穩定),(),(),()(),(),()()()(ttyFttgfttgtyfttgfttxftgtxty),(txfx ),()(ttyFty),()(ttyFty性的研究, 因此穩定性的定義我們改述為關于零平衡態原點的各種穩定性的定義.定義2.1.2 給定系統f充分光滑以使通過任一點(x0,t0)存在唯一解. 考慮原點的H-鄰域|x|0(H), = (, t0), 使得 |x(t)|0, 0, T=T(, t0, x0)0, 使當| x0 |r | x(t; t0, x0)|0, 0, x0,

7、t1 t0, 使得| x0 |0, a0, 使得|x(t)|Me-a(t-t_0) | x0|則稱原點是全局指數穩定的, 簡稱按指數穩定.按指數穩定不僅可以保證原點漸近穩定,而且表明了任意擾動至少具有e-at的衰減率. 常數a稱為穩定度或衰減度., 0), 0(),(tftxfx 2.2 Lyapunov直接法2.2.1 穩定性概念的進一步擴展定義2.2.1 (一致穩定) 給定系統若0(H), = (), 使得|x0| |x(t)|, tt0,則稱原點一致穩定. )3 . 1 . 2(, 0), 0(),(tftxfx 定義2.2.2 (等度漸近穩定) 在系統(2.1.3)中, 若1)原點穩定

8、2)在區域|x|0, 0, T=T(, r, t0)0, 使當| x0 |r(t0), tt0+T | x(t; t0, x0)|0(r0, T=T()0, 使得| x0 |r| x(t; t0, x0)|,tt0+T,t0則稱原點一致漸近穩定.注: 等度穩定性中, 要求解對x0一致趨于零, 而一致漸近穩定要求對x0和初始時刻t0兩者都要一致趨于零. 因此, 一致漸近穩定首先是等度穩定的, 同時r, T均與t0無關. 但是, 它仍是局部概念, 即只考慮與原點充分靠近的初值,r可以充分小.定義2.2.4 (全局漸近穩定) 如果系統(2.1.3)在整個空間Rn內有定義且原點穩定;若r為可以任意大的

9、正實數, 當x0滿足| x0 |0,T=T(,r, t0)0, 使得 tt0+T| x(t; t0, x0)|,則稱原點全局漸近穩定.如果存在某個常數B=B(t0, x0), 使得對于t t0, 有| x(t; t0, x0)|B, 則稱運動是有界的. 如果對一切|x0|r, 都有| x(t; t0, x0)|0和t0, 當|x0|0, T=T(,r, t0),使|x(t; x0, t0)|0, B=B(r), 使得|x0|r |x(t; x0, t0)| B,t t0, t0.3) r0, (r可以任意大) 0,T=T(,r)0, 使得| x0 |r| x(t; t0, x0)|, T t0

10、+T則稱原點全局一致漸近穩定.l對于線性時變系統，漸近穩定全局漸近穩定；一致漸近穩定一致全局漸近穩定l對于定常系統，穩定一致穩定；漸近穩定一致漸近穩定全局漸近穩定全局一致漸近穩定2.2.2 V函數法的基本思想Lyapunov提出了研究穩定性的兩種方法:1.間接法: 基于將 的右端函數展成級數,逐漸考慮高次項來判斷原點的穩定性.2.直接法或V函數法.),(txfx 考慮系統取一個函數式中當0C0內的連續函數W(x). W(x)具有連續偏導數, 并且有W(0)=0.1) 若W(x)0, 僅當x=0時, W(x)=0, 則稱W(x)是正定的.)(2)(42()26()(222121212212211

11、xxxxxxxxxxxVxxVxV0)(xV2) 若有W(x)0, 則稱W(x)是半正定的.3) 若-W(x)是正定的, 則稱W(x)是負定的. 若-W(x)0, 則稱W(x)是半負定的.4) 若W(x)不是上述四種情況, 則稱其為變號的或不定的.現在考慮在給定區域:t t0, |x|H (2.2.2)上定義的函數V(t,x), 且V(t,x)具有連續偏導數, 并且V(t,0)=0.定義2.2.6 如果在區域|x|H內存在正定函數W(x), 使得V(t,x)滿足V(t,x) W(x), 則稱V(t,x)是正定的; 如果V(t,x)- W(x),則稱V(t,x)是負定的.正定性的這種定義保證當|x|為常數時, V(t,x)不會因t的變化而從正值趨向零. 例如, 函數盡管V(t,x)0(x0), 但它不是正定的, 因為當x固定時, V(t,x)0, t0.)(),(2221xxextVt定義2.2.7 若在區域(2.2.2)內, 存在常數L0, 使得|V(t,x)|0, 不論其如何小, 均可找到異于零的正數h, 使得只要|x|h,就有|V(t,x)| , tt0,注: 顯然, 若V不依賴時間t, 由其連續性可知, 其必然具有無窮小上界. 但依賴于t的函數V(t