1、第 5 章 晶體的感應雙折射 第 5 章 晶體的感應雙折射 5.1 電光效應電光效應 5.2 聲光效應聲光效應 5.3 晶體的旋光效應與法拉第效應晶體的旋光效應與法拉第效應 例題例題 第 5 章 晶體的感應雙折射 5.1 電電 光光 效效 應應 5.1.1 電光效應的描述電光效應的描述由前面的討論已知，光在晶體中的傳播規律遵從光的電磁理論，利用折射率橢球可以完整而方便地描述晶體折射率在空間各個方向的取值分布。顯然，外加電場對晶體光學特性的影響，必然會通過折射率橢球的變化反映出來。 因此，可以根據晶體折射率橢球的大小、形狀和取向的變化， 來研究外電場對晶體光學特性的影響。由空間解析幾何理論，描述

2、晶體光學各向異性的折射率橢球在直角坐標系(Ox1x2x3)中的一般形式為 第 5 章 晶體的感應雙折射 3 , 2 , 1,12jinxxijji(5.1-1) 若令 ijijBn21(5.1-2) 則折射率橢球的表示式可改寫為 1jiijxxB(5.1-3) 如果將沒有外加電場的晶體折射率橢球記為 10jiijxxB(5.1-4) 外加電場后晶體的感應折射率橢球用(5.1-3)式表示，則外加電場引起折射率橢球的變化，用折射率橢球系數的變化Bij描述將很方便，晶體的感應折射率橢球可表示成 第 5 章 晶體的感應雙折射 1)(0jiijijxxBB在這里，僅考慮Bij是由外加電場引起的，它應與外

3、加電場有關系。一般情況下，Bij可以表示成 Bij=ijkEk+hijpqEpEq+ i, j, k, p, q=1, 2, 3 (5.1-6) (5.1-5) 上式中，等號右邊第一項描述了Bij與Ek呈線性關系，ijk是三階張量，稱為線性電光系數，由這一項所描述的電光效應叫做線性電光效應， 或普克爾(Pockels)效應；等號右邊第二項描述了Bij與外加電場的二次關系，hijpq是四階張量， 稱為二次非線性電光系數，由這一項所描述的電光效應叫作二次電光效應，或克爾(Kerr)效應。 第 5 章 晶體的感應雙折射 5.1.2 晶體的線性電光效應晶體的線性電光效應1. 線性電光系數線性電光系數如

4、上所述，在主軸坐標系中，無外加電場晶體的折射率橢球為 1230322022101xBxBxB(5.1-7) 外加電場后，由于線性電光效應，折射率橢球發生了變化， 它應表示為一般折射率橢球的形式 1233323321331322322221221311321122111xBxxBxxBxxBxBxxBxxBxxBxB(5.1-8) 第 5 章 晶體的感應雙折射 根據前面的討論，折射率橢球的系數Bij實際上是晶體的相對介電常數ij的逆張量，故Bij也是二階對稱張量，有Bij=Bji。因而Bij只有六個獨立分量，(5.1-8)式可簡化為 1222211213313223233322222111xxB

5、xxBxxBxBxBxB(5.1-9) 將(5.1-9)式與(5.1-7)式進行比較可見，外加電場后，晶體折射率橢球系數Bij的變化為 第 5 章 晶體的感應雙折射 211231312323033333022222011111BBBBBBBBBBBBBBB(5.1-10) 考慮到Bij是二階對稱張量，將其下標i和j交換其值不變， 所以可將它的二重下標簡化成單個下標， 其對應關系為 654321123123332211BBBBBBBBBBBB(5.1-11) 第 5 章 晶體的感應雙折射 相應的Bij也可簡化為有六個分量的矩陣 123123332211654321BBBBBBBBBBBB對于線性

6、電光系數ijk，因其前面兩個下標i, j互換對Bij沒有影響，所以也可將這兩個下標簡化為單個下標。 經過這些簡化后，只計線性電光效應的(5.1- 6)式，可以寫成如下形式：Bi=ijEj i=1, 2, , 6; j=1, 2, 3 (5.1-13) (5.1-12) 第 5 章 晶體的感應雙折射 相應的矩陣形式為 321636261535251434241333231232221131211654321EEEBBBBBB(5.1-14) 式中的(63)矩陣就是線性電光系數矩陣，它可以描述外加電場對晶體光學特性的線性效應。 第 5 章 晶體的感應雙折射 2. 幾種晶體的線性電光效應幾種晶體的線

7、性電光效應1) KDP型晶體的線性電光效應KDP(KH2PO4,磷酸二氫鉀)晶體是水溶液培養的一種人工晶體， 由于它很容易生長成大塊均勻晶體，在0.21.5 m波長范圍內透明度很高，且抗激光破壞閾值很高，因此在光電子技術中有廣泛的應用。它的主要缺點是易潮解。KDP晶體是單軸晶體，屬四方晶系。屬于這一類型的晶體還有ADP(磷酸二氫氨)、KD*P(磷酸二氘鉀)等，它們同為42 m晶體點群，其外形如圖 5-1所示，光軸方向為x3軸方向。 第 5 章 晶體的感應雙折射 圖 5-1 KDP型晶體外型圖第 5 章 晶體的感應雙折射 (1) KDP型晶體的感應折射率橢球KDP型晶體無外加電場時，折射率橢球為

8、旋轉橢球，在主軸坐標系(折射率橢球主軸與晶軸重合)中，折射率橢球方程為 1)(2303222101xBxxB(5.1-15) 式中， eennnnBBnnB,;/1/1;/1/102230302202101分別為單軸晶體的尋常光和非常光的主折射率。 第 5 章 晶體的感應雙折射 當晶體外加電場時，折射率橢球發生形變。通過查閱手冊， 可以得到KDP(42 m晶類)型晶體的線性電光系數矩陣為，(5.1-16) 634141000000000000000ij第 5 章 晶體的感應雙折射 321634141654321000000000000000EEEBBBBBB(5.1-17) 由(5.1-14)

9、式, 其i為 第 5 章 晶體的感應雙折射 因此 363624151414321000EBEBEBBBB(5.1-18) 再由(5.1-10)、(5.1-9)式可得KDP型晶體的感應折射率橢球表示式為12)(22136313232141230322022101xxExxExxExBxBxB(5.1-19) 第 5 章 晶體的感應雙折射 (2) 外加電場平行于光軸的電光效應相應于這種工作方式的晶片是從KDP型晶體上垂直于光軸方向(x3軸)切割下來的， 通常稱為x3 -切割晶片。在未加電場時，光沿著x3方向傳播不發生雙折射。當平行于x3方向加電場時，感應折射率橢球的表示式為 12)(2136323

10、03222101xxExBxxB(5.1-20) 或 122136322322221xxEnxnxxeo(5.1-21)第 5 章 晶體的感應雙折射 為了討論晶體的電光效應，首先應確定感應折射率橢球的形狀，也就是找出感應折射率橢球的三個主軸方向及相應的長度。為此，我們進一步考察感應折射率橢球的方程式。由(5.1-21)式可以看出，這個方程的x23項相對無外加電場時的折射率橢球沒有變化，說明感應折射率橢球的一個主軸與原折射率橢球的x3軸重合，另外兩個主軸方向可繞x3軸旋轉得到。假設感應折射率橢球的新主軸方向為 ，則由 構成的坐標系可由原坐標系(O-x1x2x3)繞x3軸旋轉角得到，相應的坐標變換

11、關系為 321xxx、321xxx、第 5 章 晶體的感應雙折射 33212211cossinsincosxxxxxxxx(5.1-22) 將上式代入(5.1-21)式， 經過整理可得： 1)sin(21cossin21cossin2121223632 322 236322 13632xxcisExnxEnxEneoo由于x1，x2，x3為感應折射率橢球的三個主軸方向，所以上式中的交叉項為零，即應有 0)sin(cos22122363xxE(5.1-23) 第 5 章 晶體的感應雙折射 因為該式中的63、E3不為零，只能是cos2-sin2=0所以=45故x3-切割晶片沿光軸方向外加電場后，感

12、應折射率橢球的三個主軸方向為原折射率橢球的三個主軸繞x3軸旋轉45得到，該轉角與外加電場的大小無關，但轉動方向與電場方向有關。若取=45，折射率橢球方程為 11112 322 236322 13632xnxEnxEneoo(5.1-24) 第 5 章 晶體的感應雙折射 或寫成 0)()(2 3032 2363012 136301xBxEBxEB或 12 332 222 11xBxBxB(5.1-26) (5.1-25) 該方程是雙軸晶體折射率橢球的方程式。這說明，KDP型晶體的x3-切割晶片在外加電場E3后，由原來的單軸晶體變成了雙軸晶體。其折射率橢球與x1Ox2面的交線由原來的r=no的圓，

13、變成現在的主軸在45方向上的橢圓，如圖 5-2 所示。 第 5 章 晶體的感應雙折射 圖 5-2折射率橢球與x1Ox2面的交線 第 5 章 晶體的感應雙折射 現在進一步確定感應折射率橢球的三個主折射率。 首先，將(5.1-24)式變換為 11)1 (1)1 (12 322 2363222 136322xnxEnnxEnneoooo因為63的數量級是1010cm/V，E3的數量級是104 V/cm，所以63E31, 故可利用冪級數展開，并只取前兩項的關系，將上式變換成 121121122 32363222 22363222 1eoooonxEnnxEnnx(5.1-27) 第 5 章 晶體的感應

14、雙折射 由此得到感應折射率橢球的三個主折射率為 eoooonnEnnnEnnn336332363312121(5.1-28) 以上討論了x3-切割晶片在外加電場E3后，光學特性(折射率)的變化情況。下面，具體討論兩種通光方向上光傳播的雙折射特性。 第 5 章 晶體的感應雙折射 光沿x3方向傳播。在外加電場平行于x3軸(光軸)， 而光也沿x3(x3)軸方向傳播時，對于63貢獻的電光效應來說，叫63的縱向運用。由第 4 章的討論知道，在這種情況下，相應的兩個特許偏振分量的振動方向分別平行于感應折射率橢球的兩個主軸方向(x1和x2)，它們的折射率由(5.1-28)式中的n1和n1給出， 這兩個偏振光

15、在晶體中以不同的折射率(不同的速度)沿x3軸傳播，當它們通過長度為d的晶體后，其間相位差由折射率差 Ennnno633123決定，表示式為 Edndnno633122)(2(5.1-30) (5.1-29) 第 5 章 晶體的感應雙折射 式中， Ed恰為晶片上的外加電壓U, 故上式可表示為 Uno6332(5.1-31) 通常把這種由外加電壓引起的二偏振分量間的相位差叫做“電光延遲”。顯然，63縱向運用所引起的電光延遲正比于外加電壓，與晶片厚度d無關。第 5 章 晶體的感應雙折射 6332/2onU(5.1-32) 實際上，可以通過改變晶體上的外加電壓得到不同的電光延遲，因而就使得電光晶體可以

16、等效為可控的可變波片。例如，當電光延遲為=/2、和2時，電光晶體分別相應于四分之一波片、半波片和全波片。由于外加電壓的大小直接反映了晶體電光效應的優劣，因此在實際應用中，人們引入了一個表征電光效應特性的很重要的物理參量半波電壓U/2或U，它是指產生電光延遲為=的外加電壓。由(5.1-31)式可以求得半波電壓為 第 5 章 晶體的感應雙折射 它只與材料特性和波長有關。例如，在=0.55m的情況下，KDP晶體的no=1.512，63=10.61010 cm/V，U/2=7.45 kV；KD*P晶體的no=1.508, 63=20.81010 cm/V，U/2=3.8 kV。 第 5 章 晶體的感應

17、雙折射 光沿x2(或x1)方向傳播。當外加電壓平行于x3軸方向，光沿x2(或x1)軸方向傳播時，63貢獻的電光效應叫63的橫向運用。這種工作方式通常對晶體采取 45-x3切割， 即如圖 5-3 所示，晶片的長和寬與x1、x2軸成 45方向。光沿晶體的110方向傳播，晶體在電場方向上的厚度為d， 在傳播方向上的長度為l。如前所述，當沿x3方向外加電壓時，晶體的感應折射率橢球的主軸方向系由原折射率橢球主軸繞x3軸旋轉45得到，因此，光沿感應折射率橢球的主軸方向x2傳播時，相應的兩個特許線偏振光的折射率為n1和n3，該二光由晶片射出時的相位差(“電光延遲”)為 第 5 章 晶體的感應雙折射 圖 5-

18、3 用于63橫向運用的KDP晶片第 5 章 晶體的感應雙折射 UndllnnEnnnllnnoeooeo633363331)(221)(2)(2上式中，等號右邊第一項表示由自然雙折射造成的相位差； 第二項表示由線性電光效應引起的相位差。 (5.1-33) 第 5 章 晶體的感應雙折射 與63縱向運用相比,63橫向運用有兩個特點： i) 電光延遲與晶體的長厚比l/d有關，因此可以通過控制晶體的長厚比來降低半波電壓，這是它的一個優點；ii) 橫向運用中存在著自然雙折射作用，由于自然雙折射(晶體的主折射率no、ne)受溫度的影響嚴重，所以對相位差的穩定性影響很大。實驗表明，KDP晶體的(none)/

19、T約為1.110-5/，對于0.6328m的激光通過30 mm 的KDP晶體，在溫度變化 1時， 將產生約 1.1 的附加相位差。為了克服這個缺點，在橫向運用時，一般均需采取補償措施。經常采用兩種辦法：第 5 章 晶體的感應雙折射 其一，用兩塊制作完全相同的晶體，使之 90排列，即使一塊晶體的x1和x3軸方向分別與另一塊晶體的x3和x1軸平行，如圖 5-4(a)所示；其二，使一塊晶體的x1和x3軸分別與另一種晶體的x1和x3軸反向平行排列，在中間放置一塊 1/2 波片，如圖5-4(b)所示。第 5 章 晶體的感應雙折射 圖 5-4 補償自然雙折射的兩種晶體配置第 5 章 晶體的感應雙折射 就補

20、償原理而言，這兩種方法相同， 都是使第一塊晶體中的o光進入第二塊晶體變成e光，第一塊晶體中的e光進入第二塊晶體變為o光，而且二晶體長度和溫度環境相同，所以, 由自然雙折射和溫度變化引起的相位差相互抵消。因此，由第二塊晶體射出的兩光束間，只存在由電光效應引起的相位差： dlUno6332(5.1-34)相應的半波電壓為 ldnUo6332/2(5.1-35)第 5 章 晶體的感應雙折射 與(5.1-32)式進行比較有 ldUU縱橫)()(2/2/(5.1-36) 顯然，可以通過改變晶體的長厚比，降低橫向運用的半波電壓，使得橫向運用時的半波電壓低于縱向運用。但由于橫向運用時必須采取補償措施，結構復

21、雜，對兩塊晶體的加工精度要求很高，所以，一般只有在特別需要較低半波電壓的場合才采用。 第 5 章 晶體的感應雙折射 2)LiNbO3型晶體的線性電光效應LiNbO3(鈮酸鋰)以及與之同類型的LiTaO3(鉭酸鋰)、 BaTaO3(鉭酸鋇)等晶體，屬于3 m晶體點群，為單軸晶體。它們在 0.45 m波長范圍內的透過率高達98%，光學均勻性好， 不潮解，因此在光電子技術中經常采用。 其主要缺點是光損傷閾值較低。LiNbO3型晶體未加電場時的折射率橢球為旋轉橢球, 即 1)(2303222101xBxxB式中， no和ne分別為單軸晶體的尋常光和非常光的主折射率。 ，223030222101/1/1

22、/1/1eonnBBnnB(5.1-37) 第 5 章 晶體的感應雙折射 當晶體外加電場時，由(5.1-14)式及LiNbO3(3m晶類)型晶體的線性電光系數矩陣，有 32122515133132213226543210000000000EEEBBBBBB(5.1-38) 第 5 章 晶體的感應雙折射 由此得到 122615152514333331322223132221EBEBEBEBEEBEEB(5.1-39) 第 5 章 晶體的感應雙折射 將這些分量通過(5.1-10)式代入(5.1-9)式，即得LiNbO3型晶體外加電場后的感應折射率橢球方程： 12221112112213151322

23、51233332223132222213132222xxExxExxExEnxEEnxEEneoo(5.1-40) 第 5 章 晶體的感應雙折射 下面分兩種情況進行討論： 電場平行于x3軸的橫向運用。當外加電場平行于x3軸時， E1=E2=0， (5.1-40)式變為 11)(123322222213132xEnxxEneo(5.1-41) 類似前面的處理方法， (5.1-41)式可表示 1211211233322232313222221EnnxEnnxxeeoo(5,1-42) 第 5 章 晶體的感應雙折射 該式中沒有交叉項，因此在E3電場中，LiNbO3型晶體的三個主軸方向不變，仍為單軸晶

24、體， 只是主折射率的大小發生了變化， 近似為 333333133231331212121EnnnnEnnnnEnnnneeeoooooo(5.1-43) 第 5 章 晶體的感應雙折射 no和ne為在x3方向外加電場后，晶體的尋常光和非常光的主折射率，其主折射率之差為 3133333)(21)(Ennnnnnoeeoeo(5.1-44) 上式等號右邊第一項是自然雙折射；第二項是外加電場E3后的感應雙折射，其中(n3e33n3o13)是由晶體材料決定的常數， 為方便起見，常將其寫成n3o*,*=(ne/no)33313稱為有效電光系數。LiNbO3型晶體加上電場E3后，由于x3軸仍為光軸，因而其縱

25、向運用沒有電光延遲。 但可以橫向運用， 即光波沿垂直x3軸的方向傳播。 第 5 章 晶體的感應雙折射 當光波沿x1軸(或x2軸)方向傳播時，出射沿x2軸和x3軸(或沿x1軸和x3軸)方向振動的二線偏振光之間，將產生受電場控制的相位差： dlUnlnnnndlUlnnlnnoeoeeeoeo331333333*)(2)()(2)(2(5.1-45) 其中，l為光傳播方向上的晶體長度；d為電場方向上的晶體厚度；U3為沿x3方向的外加電壓。該式表明，LiNbO3型晶體x3軸方向上外加電壓的橫向運用，與KDP型晶體45-x3切片的63橫向運用類似，有自然雙折射的影響。 第 5 章 晶體的感應雙折射 電

26、場在x1Ox2平面內的橫向運用。這種工作方式是電場加在x1Ox2平面內的任意方向上，而光沿著x3方向傳播。此時， E1、E20, E3=0，代入(5.1-40)式，可得感應折射率橢球為 1222111211221315132251232222222212222xxExxExxExnxEnxEneoo(5.1-46) 顯然，外加電場后，晶體由單軸晶體變成了雙軸晶體。為了求出相應于沿x3方向傳播的光波折射率，根據折射率橢球的性質，需要確定垂直于x3軸的平面與折射率橢球的截線。 這只需在(5.1-46)式中令x3=0 即可。由此可得截線方程為 第 5 章 晶體的感應雙折射 1211211222222

27、22212222xxExEnxEnoo(5.1-47) 這是一個橢圓方程。為了方便地求出這個橢圓的主軸方向和主軸值，可將(5.1-47)式主軸化，使(Ox1x2x3)坐標系繞x3軸旋轉角，變為 坐標系，其變換關系為 )(321xxxOcossinsincos212211xxxxxx(5.1-48) 由此, (5.1-47)式變為 1)cossin)(sincos(2)cossin(1)sincos(1212112222122222212222xxxxExxEnxxEnoo第 5 章 晶體的感應雙折射 經整理后得 1)2cos2sin(2)2sin2cos(1)2sin2cos(12112222

28、 2122222 112222xxEExEEnxEEnoo若x1、x2為主軸方向，則上式中的交叉項應等于零， 有 21122tan02cos2sinEEEE(5.1-49) 因為E1、E2是外加電場E在x1,x2方向上的分量，E的取向不同， 則E1,E2不同，所以截線橢圓的主軸取向也不同。當電場E沿x1方向時，E1 =E, E2=0，則相應的=45，即截線橢圓的主軸相對原方向x1,x2旋轉了45；第 5 章 晶體的感應雙折射 當電場E沿x2方向時，E1 =0, E2 =E,=0，即截線橢圓主軸方向不變。 實際上，當E= E1時， 感應折射率橢球的主軸除繞x3軸旋轉45外，還再繞x1軸旋轉一個小

29、角度，其角大小滿足 122221511122tanEnnEoe當E=E2時，感應折射率橢球的主軸繞x1軸旋轉一個小角度， 角大小滿足 222222511122tanoennEE(5.1-50) (5.1-51) 第 5 章 晶體的感應雙折射 由于和都很小， 通常均略去不計。于是，在感應主軸坐標系中， 截線橢圓方程為 1)2sin2cos(1)2sin2cos(11122222 112222xEEnxEEnoo(5.1-52) 利用(1x)n1nx的關系，上式可寫成 1)2sin2cos(211)2sin2cos(21121222222 221222222 1EEnnxEEnnxoooo因此 )

30、2sin2cos(21)2sin2cos(21122231122231EEnnnEEnnnoooo(5.1-53) (5.1-54) 第 5 章 晶體的感應雙折射 若外加電場E與x1軸的夾角為， 則 sincos21EEEE(5.1-55) 21cotEE(5.1-56) 將(5.1-56)式與(5.1-49)式進行比較，可見 tan 2=cot=902 (5.1-57) 因此，將(5.1-57)式代入(5.1-55)式，再將E1、E2關系式代入(5.1-54)式得 第 5 章 晶體的感應雙折射 Ennnnnnoooo223222312121(5.1-58) 當光沿x3方向傳過l距離后，由于線

31、性電光效應引起的電光延遲為 Elnlnno223212)(2(5.1-59) 相應的半波電壓為 ldnUo2232/2(5.1-60) 第 5 章 晶體的感應雙折射 式中，l是光傳播方向上晶體的長度；d為外加電場方向上晶體的厚度。由此可見，在LiNbO3型晶體x1Ox2平面內外加電場， 光沿x3方向傳播時，可以避免自然雙折射的影響，同時半波電壓較低。因此，一般情況下，若用LiNbO3晶體作電光元件，多采用這種工作方式。在實際應用中應注意，外加電場的方向不同(例如，沿x1方向或x2方向)，其感應主軸的方向也不相同。 第 5 章 晶體的感應雙折射 3)GaAs、BGO型晶體的線性電光效應GaAs(

32、砷化鎵)晶體屬于43 m晶體點群，這一類晶體還有InAs(砷化銦)、CuCl(氯化銅)、ZnS(硫化鋅)、CdTe(碲化鎘)等； BGO(鍺酸)晶體屬于23晶體點群，這一類晶體還有BSO(硅酸)等，它們都是立方晶體，在電光調制、光信息處理等領域內， 有著重要的應用。這類晶體未加電場時，光學性質是各向同性的，其折射率橢球為旋轉球面，方程式為 20232221nxxx(5.1-61) 第 5 章 晶體的感應雙折射 式中，x1, x2, x3坐標取晶軸方向。它們的線性電光系數矩陣為 41410000000000000ij(5.1-62) 因此，在外加電場后，感應折射率橢球變為 1)(22131323

33、214120232221xxExxExxEnxxx在實際應用中，外加電場的方向通常有三種情況：電場垂直于(001)面(即沿x3軸方向)，垂直于(110)面和垂直于(111)面。 (5.1-63) 第 5 章 晶體的感應雙折射 (1) 電場垂直于(001)面的情況當外加電場垂直于(001)面時，其情況與KDP型晶體沿x3軸方向加電場相似，用類似的處理方法可以得到如下結論：晶體的光學性質由各向同性變為雙軸晶體，感應折射率橢球的三個主軸方向由原折射率橢球的三個主軸繞x3軸旋轉45得到，如圖 5-5 所示。 感應主折射率分別為 03341300234130012121nnEnnnEnnn(5.1-64

34、) 第 5 章 晶體的感應雙折射 圖 5-5E垂直(001)面的感應主軸 第 5 章 晶體的感應雙折射 當光沿x3軸方向傳播時，電光延遲為 341302Un(5.1-65) 式中，U3是沿x3軸方向的外加電壓。當光沿x1軸方向(或x2軸方向)傳播時， 電光延遲為 Undl4130(5.1-66) 式中，l是沿光傳播方向上晶體的長度；d是沿外加電壓方向上晶體的厚度。 第 5 章 晶體的感應雙折射 (2) 電場垂直于(110)面的情況當外加電場方向垂直于(110)面時，如圖 5-6 所示，感應主軸x3垂直于(110)面，x1和x2的夾角為(001)面所等分， 三個感應主折射率分別為 0341300

35、24130012121nnEnnnEnnn(5.1-67) 這時晶體由各向同性變為雙軸晶體，當光沿x3 方向傳播時，電光延遲為 Undl41302(5.1-68) 式中，l是晶體沿x3軸方向的長度；d是晶體沿垂直于(110)面的厚度。 第 5 章 晶體的感應雙折射 圖 5-6E垂直于(110)面的感應主軸 第 5 章 晶體的感應雙折射 (3) 電場垂直于(111)面的情況當外加電場方向垂直于(111)面時，晶體由各向同性變為單軸晶體，光軸方向(x3)就是外加電場的方向，另外兩個感應主軸x1和x2的方向可以在垂直于x3軸的(111)面內任意選取， 如圖 5-7 所示。 相應的三個主折射率為 41

36、3003413002131321eonEnnnnEnnnn(5.1-69) 第 5 章 晶體的感應雙折射 圖 5-7 E垂直于(111)面的感應主軸 第 5 章 晶體的感應雙折射 當光沿x3軸方向傳播時，沒有電光延遲。當光沿垂直于x3軸方向傳播時，電光延遲為 Undl41303式中， l為晶體沿光傳播方向的長度； d為晶體沿外加電場方向的厚度。 (5.1-70)第 5 章 晶體的感應雙折射 5.1.3晶體的二次電光效應晶體的二次電光效應實驗證明，自然界有許多光學各向同性的固體、液體和氣體在強電場(電場方向與光傳播方向垂直)作用下會變成各向異性，而且電場引起的雙折射和電場強度的平方成正比，這就是

37、眾所周知的克爾效應，或稱為二次電光效應。實際上，克爾效應是三階非線性光學效應，可以存在于所有電介質中，某些極性液體(如硝基苯)和鐵電晶體的克爾效應很強。所有晶體都具有二次電光效應，但是在沒有對稱中心的 20 類壓電晶體中，它們的線性電光效應遠較二次電光效應顯著，所以對于這類晶體的二次電光效應一般不予考慮。在具有對稱中心的晶體中，它們最低階的電光效應就是二次電光效應，但通常我們感興趣的只是屬于立方晶系的那些晶體的二次電光效應。因為這些晶體在未加電場時，在光學上是各向同性的，這一點在應用上很重要。 第 5 章 晶體的感應雙折射 如前所述， 克爾效應的一般表達式為 ij=hijpqEpEq i, j

38、, p, q=1, 2, 3 (5.1-71)式中，Ep、Eq是外加電場分量；hijpq是晶體的二次電光系數(或克爾系數)，它是一個四階張量。但在實用中，人們習慣于將Bij與晶體的極化強度聯系起來，表示為： ij=gijpqPpPq i, j, p, q=1, 2, 3(5.1-72)第 5 章 晶體的感應雙折射 其中，Pp、Pq是晶體上外加電場后的極化強度分量，gijpq也叫二次電光系數，一般手冊給出的是gijpq。可以證明，hijpq和gijpq都是對稱的四階張量，均可采用簡化下標表示，即ijm,pqn, m、n的取值范圍是從 1 到 6。于是，克爾系數可以從99的四階張量簡化成66的矩陣

39、，相應地，(5.1 - 71)式和(5.1-72)式可以寫成： 6 , 2 , 1,6 , 2 , 1,22nmPgBnmEhBnmnmnmnm(5.1-73) (5.1-74) 第 5 章 晶體的感應雙折射 有時，并且，當。，；，其中，,32121261325322433232222112121263224332322221121nPPPPPPPPPPPPPPPPPPEEEEEEEEEEEEEEEijpqmnijpqmngghh(5.1-75) 當n=4, 5, 6時， 有 ijpqmnijpqmngghh22(5.1-76) 第 5 章 晶體的感應雙折射 下面，具體考察m3m晶類的二次電光

40、效應。屬于這一類晶體的有KTN(鉭酸鈮鉀)， KTaO3(鉭酸鉀)、 BaTiO3(鈦酸鋇)、NaCl(氯化鈉)、LiCl(氯化鋰)、LiF(氟化鋰)、 NaF(氟化鈉)等。未加電場時，m3m晶體在光學上是各向同性的， 折射率橢球為旋轉球面：1202320222021xxxxxx(5.1-77) 第 5 章 晶體的感應雙折射 當晶體外加電場時，折射率橢球發生變化，根據(5.1-74)式和m3m晶類的二次電光系數矩陣， 其二次電光效應矩陣關系為 262524232221444444111212121112121211654321000000000000000000000000PPPPPPgggg

41、ggggggggBBBBBB(5.1-78) 第 5 章 晶體的感應雙折射 由此得出 264462544524444231122122112323122211211222312221221111PgBPgBPgBPgPgPgBPgPgPgBPgPgPgB第 5 章 晶體的感應雙折射 將上面分量代入折射率橢球的一般形式(5.1-8)式， 得 1222111212644312544322444232311221221122022231222112112202123122212211120 xxPgxxPgxxPgxPgPgPgnxPgPgPgnxPgPgPgn現在討論一種簡單的情況：外電場沿著00

42、1方向(x3軸方向)作用于晶體，即E1=E2=0, E3=E。因為立方晶體的電場E和極化強度有如下關系： Pi=0Ei i=1, 2, 3 (5.1-80) (5.1-79) 第 5 章 晶體的感應雙折射 所以極化強度為P1=P2=0, P3=0E, 代入(5.1-9)式，得 1111232220112022222012202122201220 xEgnxEgnxEgn(5.1-81) 顯然，當沿x3方向外加電場時，由于二次電光效應，折射率橢球由球變成一個旋轉橢球，其主折射率為 222011300322201230022220123001212121EgnnnEgnnnEgnnn(5.1-82

43、) 第 5 章 晶體的感應雙折射 當光沿x3方向傳播時，無雙折射現象發生；當光沿100方向(x1方向)傳播時，通過晶體產生的電光延遲為 )()()(212112222030121122203032ggdlUngglEnlnn(5.1-83) 相應的半波電壓為 )(12112203022/gglndU(5.1-84) 第 5 章 晶體的感應雙折射 5.1.4 晶體電光效應的應用舉例晶體電光效應的應用舉例 1. 電光調制電光調制將信息電壓(調制電壓)加載到光波上的技術叫光調制技術。 利用電光效應實現的調制叫電光調制。圖 5-8 是一種典型的電光強度調制器示意圖，電光晶體(例如KDP晶體)放在一對正

44、交偏振器之間，對晶體實行縱向運用，則加電場后的晶體感應主軸x1、x2方向，相對晶軸x1、x2方向旋轉 45，并與起偏器的偏振軸P1成45夾角。 第 5 章 晶體的感應雙折射 圖 5-8 電光強度調制器第 5 章 晶體的感應雙折射 根據(4.5-8)式，通過檢偏器輸出的光強I與通過起偏器輸入的光強I0之比為 2sin20II(5.1-85) 當光路中未插入1/4 波片時，上式的即是電光晶體的電光延遲。 由(5.1-31)式、(5.1-32)式， 有 2/UU所以(5.1-85)式變為 2/202sinUUII稱I/I0為光強透過率(%)， 它隨外加電壓的變化如圖 5-9 所示。 (5.1-86)

45、 第 5 章 晶體的感應雙折射 圖 5-9 透過率與外加電壓關系圖 第 5 章 晶體的感應雙折射 如果外加電壓是正弦信號 )sin(0tUUm則透過率為 )sin(2sin2/20tUUIIm(5.1-88) 該式說明，一般的輸出調制信號不是正弦信號，它們發生了畸變，如圖 5-9 中曲線 3 所示。如果在光路中插入1/4波片，則光通過調制器后的總相位差是(/2+)，因此(5.1-85)式變為 )sin(24sin2/020tUUIIm(5.1-89) (5.1-87) 第 5 章 晶體的感應雙折射 )sin(2212/00tUUIIm工作點由O移到A點。在弱信號調制時，U1，因而AB面上各點的

46、振動傳到AB(AB)面上時，通過了不同的光程：由A到A， 整個路程完全在空氣中，光程為l; 由B到B，整個路程完全在玻璃中，光程為nl；A和B之間的其它各點都通過一段玻璃，例如，由C到C，光程為nl+(l-l)=l+(n-1)l。從上到下， 光在玻璃中的路程l線性增加，所以整個光程是線性增加的。 因此， 透射波的波陣面發生傾斜，偏角為， 由 DnlDln) 1(5.1-91) 決定。 第 5 章 晶體的感應雙折射 圖 5-10 光束通過光楔的偏轉 第 5 章 晶體的感應雙折射 電光偏轉器就是根據上述原理制成的。圖 5-11 是一種由兩塊KDP楔形棱鏡組成的雙KDP楔形棱鏡偏轉器，棱鏡外加電壓沿

47、著圖示x3方向，兩塊棱鏡的光軸方向(x3)相反，x1、x2為感應主軸方向。現若光線沿x2軸方向入射，振動方向為x1軸方向，則根據前面的分析可知：光在下面棱鏡中的折射率為 在上面棱鏡中，由于電場與該棱鏡的x3方向相反，所以折射率為 。 因此，上下光的折射率之差為 ，光束穿過偏振器后的偏轉角為 363311Ennnno下上3633121Ennnoo下3633121Ennnoo上36333633UnDhlEnDloo(5.1-92) 第 5 章 晶體的感應雙折射 圖 5-11 雙KDP楔形棱鏡偏轉器 第 5 章 晶體的感應雙折射 5.2 聲聲 光光 效效 應應 5.2.1 彈光效應和彈光系數彈光效應

48、和彈光系數彈光效應可以按照電光效應的方法進行處理，即應力或應變對介質光學性質(介質折射率)的影響，可以通過介質折射率橢球的形狀和取向的改變來描述。假設介質未受外力作用時的折射率橢球為 3 , 2 , 1,10jixxBjiij(5.2-1) 第 5 章 晶體的感應雙折射 介質受到應力作用后的折射率橢球變為 1jiijxxB(5.2-2) 或 1)(0jiijijxxBB(5.2-3) 式中，Bij為介質受應力作用后的折射率橢球方程各系數的變化量， 它是應力的函數，Bij =f()。若考慮線性效應，略去所有的高次項，Bij可表示為 Bij=ijklkl i,j,k,l=1,2,3 (5.2-4)

49、在此，考慮了介質光學性質的各向異性，認為應力kl和折射率橢球的系數增量Bij都是二階張量；ijkl是壓光系數，它是一個四階張量，有 81 個分量。 第 5 章 晶體的感應雙折射 根據虎克(Hooke)定律，應力和應變有如下關系：kl=Cklrssrs k, l, r, s=1, 2, 3 (5.2-5)式中，srs是彈性應變；Cklrs是倔強系數。將(5.2-5)式代入(5.2-5)式，ij可用應變參量描述：Bij=ijklCklrssrs=Pijrssrs (5.2-6)式中，Pijrs=ijklCklrs；Pijrs叫彈光系數，它也是四階張量， 有81個分量。 由于ij和kl都是對稱二階張

50、量，有ij =ji，kl=lk，所以有ijkl=jilk，故可將前后兩對下標ij和kl分別替換成單下標，將張量用矩陣表示。相應的下標關系為 第 5 章 晶體的感應雙折射 張量表示(ij)(kl)(rs) 11223323,3231,1312,21矩陣表示(m)(n) 123456且有n=1, 2, 3時，mn=ijkl, 如21=2211n=4, 5, 6時，mn=2ijkl, 如24=22223 第 5 章 晶體的感應雙折射 采用矩陣形式后， (5.2-4)式變換為 Bm=mnn m, n=1, 2, , 6 (5.2-7) 這樣，壓光系數的分量數目由張量表示時的 81 個減少為 36 個。

51、 應指出，在(5.2-7)式中，mn在分量形式上與二階張量分量相似，但它不是二階張量，而是一個 66 矩陣。類似地，對彈光系數Pijkl的下標也可以進行簡化，將(5.2-6)式變為矩陣(分量)形式： Bm=Pmnsn m,n=1, 2, , 6 (5.2-8)與mn的差別是，Pmn的所有分量均有Pmn=Pijkl, 并且有Pmn=mrCrn(m, n,r=1, 2, , 6)。 第 5 章 晶體的感應雙折射 (1) 23和m3立方晶體受到平行于立方體軸的單向應力作用假設立方晶體的三個主軸為x1,x2、x3，應力平行于x1方向， 則施加應力前的折射率橢球為旋轉球面： 1)(2322210 xxx

52、B式中，B0=1/n20。在應力作用下，折射率橢球發生了形變，在一般情況下，折射率橢球方程式可表示如下： 1222216135324233222211xxBxxBxxBxBxBxB(5.2-9) (5.2-10) 第 5 章 晶體的感應雙折射 根據(5.2-7)式及立方晶體的mn矩陣形式，有 00000000440000004400000000000000000012131144111312121113131211654321BBBBBB由此可得 11201011nBBB(5.2-11) 第 5 章 晶體的感應雙折射 01165412203031320202BBBnBBBnBBB1111231

53、220221320211120 xnxnxn將其代入(5.2-10)式， 得到 (5.2-12) 第 5 章 晶體的感應雙折射 可見，當晶體沿x1方向加單向應力時，折射率橢球由旋轉球面變成了橢球面，主軸仍為x1 、x2、x3，立方晶體變成雙軸晶體，相應的三個主折射率為 123003133002113001212121nnnnnnnnn(5.2-13) 第 5 章 晶體的感應雙折射 (2) 43m、432和m3m立方晶體受到平行于立方體軸(例如x1方向)的單向應力作用這種情況與上述情況基本相同，只是由于這類晶體的12=13，所以 123003123002113001212121nnnnnnnnn

54、(5.2-14) 即晶體由光學各向同性晶體變成了單軸晶體。 第 5 章 晶體的感應雙折射 5.2.2 聲光衍射聲光衍射超聲波是一種彈性波，當它通過介質時，介質中的各點將出現隨時間和空間周期性變化的彈性應變。由于彈光效應，介質中各點的折射率也會產生相應的周期性變化。當光通過有超聲波作用的介質時，相位就要受到調制，其結果如同它通過一個衍射光柵，光柵間距等于聲波波長，光束通過這個光柵時就要產生衍射，這就是通常觀察到的聲光效應。按照超聲波頻率的高低和介質中聲光相互作用長度的不同， 由聲光效應產生的衍射有兩種常用的極端情況：喇曼乃斯(Raman-Nath)衍射和布喇格衍射。衡量這兩類衍射的參量是 22s

55、LQ(5.2-15) 第 5 章 晶體的感應雙折射 式中，L是聲光相互作用長度；是通過聲光介質的光波長； s是超聲波長。當Q1(實踐證明，當Q0.3)時，為喇曼乃斯衍射。當Q1(實際上，當Q4)時，為布喇格衍射。而在 0.3QvL(nRvR(nLnR)。根據這一種假設，可以解釋旋光現象。 第 5 章 晶體的感應雙折射 假設入射到旋光介質上的光是沿水平方向振動的線偏振光，則按照歸一化瓊斯矩陣方法, 根據菲涅耳假設，可將入射光波瓊斯矢量表示為 i121112101如果右旋和左旋圓偏振光通過厚度為l的旋光介質后，其相位滯后分別為 lnlklnlkLLLRRR22(5.3-4) (5.3-3) 第 5

56、 章 晶體的感應雙折射 則其合成波的瓊斯矢量為 21)(21)(21)(1121121121121121LRLRLRLRLRkkikkikkililiiieieieeieieieiE(5.3-5) 第 5 章 晶體的感應雙折射 引入 2)(2)(lkklkkLRLR(5.5-6) 合成波的瓊斯矢量可以寫為 sincos)(21)(21iiiiiieeeeeeE(5.5-7) 第 5 章 晶體的感應雙折射 它代表了光振動方向與水平方向成角的線偏振光。這說明，入射的線偏振光光矢量通過旋光介質后，轉過了角。由(5.3-4)式和(5.3-6)式可以得到 lnnLR)(5.3-8) 如果左旋圓偏振光傳播

57、得快，nL0，即光矢量是向逆時針方向旋轉的；如果右旋圓偏振光傳播得快，nRnL，則vL(即nRvR(即nLvL(即nRnL)。所以，在界面AE上，左旋光遠離法線方向折射，右旋光靠近法線方向折射，于是左、右旋光分開了。在第二個界面CE上，左旋光靠近法線方向折射，右旋光遠離法線方向折射，于是兩束光更加分開了。在界面CD上，兩束光經折射后進一步分開。這個實驗結果證實了左、右旋圓偏振光傳播速度不同的假設。 第 5 章 晶體的感應雙折射 圖 5-21 菲涅耳棱鏡組 第 5 章 晶體的感應雙折射 當然，菲涅耳的解釋只是唯象理論，它不能說明旋光現象的根本原因，不能回答為什么在旋光介質中二圓偏振光的速度不同。

58、這個問題必須從分子結構去考慮，即光在物質中傳播時，不僅受分子的電矩作用，還要受到諸如分子的大小和磁矩等次要因素的作用，考慮到這些因素后，入射光波的光矢量振動方向旋轉就是必然的了。 進一步，如果我們將旋光現象與前面討論的雙折射現象進行對比，就可以看出它們在形式上的相似性，只不過一個是指在各向異性介質中的二正交線偏振光的傳播速度不同，一個是指在旋光介質中的二反向旋轉的圓偏振光的傳播速度不同。 因此，可將旋光現象視為一種特殊的雙折射現象圓雙折射，而將前面討論的雙折射現象稱為線雙折射。 第 5 章 晶體的感應雙折射 5.3.2法拉第效應法拉第效應上述旋光現象是旋光介質固有的性質，因此可以叫作自然圓雙折

59、射。與感應雙折射類似，也可以通過人工的方法產生旋光現象。介質在強磁場作用下產生旋光現象的效應叫磁致旋光效應，或法拉第(Faraday)效應。1846年，法拉第發現，在磁場的作用下，本來不具有旋光性的介質也產生了旋光性，能夠使線偏振光的振動面發生旋轉， 這就是法拉第效應。觀察法拉第效應的裝置結構如圖 5-22 所示：將一根玻璃棒的兩端拋光，放進螺線管的磁場中，再加上起偏器P1和檢偏器P2,讓光束通過起偏器后順著磁場方向通過玻璃棒，光矢量的方向就會旋轉，旋轉的角度可以用檢偏器測量。 第 5 章 晶體的感應雙折射 圖 5-22 法拉第效應 第 5 章 晶體的感應雙折射 后來，維爾德(Verdet)對法拉第效應進行了仔細的研究， 發現光振動平面轉過的角度與光在物質中通過的長度l和磁感應強度B成正比，即=VBl (5.3-29) 式中，V是與物質性質有關的常數，叫維爾德常數。一些常用物質的維爾德常數列于表 5-1。 第 5 章 晶體的感應雙折射 表表 5-1 幾種物質的維爾德常數幾種物質的維爾德常數(用用=0.589 3m的偏振光照明的偏振光照明) 物 質 溫 度 /C V/rad/(Tm) 磷冕玻璃輕火石玻璃水晶(垂直光軸)食鹽水磷二硫化碳 18182016203320 4.869.