1、熱力學統計物理期末考試題庫河工大（ 5）式（5）就是由所給求得的物態方程。確定常量C需要進一步的實驗數據。1.5 描述金屬絲的幾何參量是長度，力學參量是張力J ，物態方程是實驗通常在1 下進行，其體積變化可以忽略。線脹系數定義為等溫楊氏模量定義為其中是金屬絲的截面積，一般來說，和是T 的函數，對J 僅有微弱的依賴關系，如果溫度變化范圍不大，可以看作常量，假設金屬絲兩端固定。試證明，當溫度由降至時，其張力的增加為解：由物態方程（ 1）知偏導數間存在以下關系：（ 2）所以，有（ 3）積分得（ 4）與 1.3 題類似，上述結果不限于保持金屬絲長度不變的準靜態冷卻過程，只要金屬絲的初態是平衡態，兩態的

2、張力差就滿足式（4），與經歷的過程無關。1.12 假設理想氣體的是溫度的函數，試求在準靜態絕熱過程中的關系，該關系式中要用到一個函數，其表達式為解：根據式（1.8.1 ），理想氣體在準靜態絕熱過程中滿足（ 1）用物態方程除上式，第一項用除，第二項用除，可得（ 2）利用式（1.7.8 ）和（1.7.9 ），可將式（2）改定為（ 3）將上式積分，如果是溫度的函數，定義（ 4）可得（常量），（ 5）或（常量）。（ 6）式（6）給出當是溫度的函數時，理想氣體在準靜態絕熱過程中T和V的關系。1.13 利用上題的結果證明：當為溫度的函數時，理想氣體卡諾循環的效率仍為解：在是溫度的函數的情形下，§

3、1.9 就理想氣體卡諾循環得到的式（ 1.9.4 ）（1.9.6 ）仍然成立，即仍有（ 1）（ 2）（ 3）根據 1.13 題式（6），對于§1.9 中的準靜態絕熱過程（二）和（四），有（ 4）（ 5）從這兩個方程消去和，得（ 6）故7）所以在是溫度的函數的情形下，理想氣體卡諾循環的效率仍為（ 8）1.21 物體的初溫，高于熱的溫度，有一熱機在此物體與熱之間工作，直到將物體的溫度降低到為止，若熱機從物體吸取的熱量為Q試根據嫡增加原理證明,此熱機所能輸出的最大功為其中是物體的熵減少量。解：以和分別表示物體、熱機和熱在過程前后的熵變。由熵的相加性知，整個系統的熵變為由于整個系統與外界是絕

4、熱的，熵增加原理要求（ 1）以分別表示物體在開始和終結狀態的熵，則物體的熵變為（ 2）熱機經歷的是循環過程，經循環過程后熱機回到初始狀態，熵變為零，即（ 3）以表示熱機從物體吸取的熱量，表示熱機在熱放出的熱量，表示熱機對外所做的功。根據熱力學第一定律，有所以熱的熵變為（ 4）將式（2）（4）代入式（1），即有（ 5）上式取等號時，熱機輸出的功最大，故（ 6）（ 7） 相應于所經歷的過程是可逆過程2.2 設一物質的物態方程具有以下形式：試證明其內能與體積無關. 解：根據題設，物質的物態方程具有以下形式：（ 1）故有（ 2）但根據式（2.2.7 ），有（ 3）所以（ 4）這就是說，如果物質具有形式

5、為（1）的物態方程，則物質的內能與體積無關，只是溫度T 的函數 .2.3 求證：解：焓的全微分為（ 1）令，得（ 2）內能的全微分為（ 3）令，得（ 4）2.13 射線衍射實驗發現，橡皮帶未被拉緊時具有無定形結構；當受張力而被拉伸時，具有晶形結構.這一事實表明，橡皮帶具有大的分子鏈.（a）試討論橡 皮帶在等溫過程中被拉伸時，它的嫡是增加還是減少；（b）試證明它的膨脹系數是負的.解：（a）嫡是系統無序程度的量度.橡皮帶經等溫拉伸過程后由無定形結 構轉變為晶形結構，說明過程后其無序度減少，即熵減少了，所以有（ 1）（b）由橡皮帶自由能的全微分可得麥氏關系（ 2）綜合式（1）和式（2），知（ 3）由

6、橡皮帶的物態方程知偏導數間存在鏈式關系即（ 4）在溫度不變時橡皮帶隨張力而伸長說明（ 5）綜合式（3） -（ 5）知所以橡皮帶的膨脹系數是負的，即（ 6）2.15 計算熱輻射在等溫過程中體積由變到時所吸收的熱量. 解：根據式1.14.3 ），在可逆等溫過程中系統吸收的熱量為（ 1）式（ 2.6.4 ）給出了熱輻射的熵函數表達式（ 2）所以熱輻射在可逆等溫過程中體積由變到時所吸收的熱量為3.3 試由及證明及解：式（ 2.2.12 ）給出（ 1）穩定性條件（3.1.14 ）給出（ 2）其中第二個不等式也可表為（ 3）故式（1）右方不可能取負值. 由此可知（ 4）第二步用了式（2）的第一式. 根據式

7、（ 2.2.14 ），有（ 5）因為恒正，且，故（ 6）第二步用了式（2）的第二式.3.4 求證：（ a）b）解：（a）由自由能的全微分（式（3.2.9 ）（ 1）及偏導數求導次序的可交換性，易得（ 2）這是開系的一個麥氏關系. 類似地，由吉布斯函數的全微分（式（3.2.2 ）（ 3）可得（ 4）這也是開系的一個麥氏關系.3.5 求證：解：自由能是以為自變量的特性函數，求對的偏導數（不變），有（ 1）但由自由能的全微分可得（ 2）代入式（1），即有（ 3）3.6 兩相共存時，兩相系統的定壓熱容量，體脹系數和等溫壓縮系數均趨于無窮，試加以說明. 解：我們知道，兩相平衡共存時，兩相的溫度、壓強和化

8、學勢必須相等. 如果在平衡壓強下，令兩相系統準靜態地從外界吸取熱量，物質將從比熵較低的相準靜態地轉移到比熵較高的相，過程中溫度保持為平衡溫度不變. 兩相系統吸取熱量而溫度不變表明它的（定壓）熱容量趨于無窮. 在上述過程中兩相系統的體積也將發生變化而溫度保持不變，說明兩相系統的體脹系數也趨于無窮. 如果在平衡溫度下，以略高（相差無窮小）于平衡壓強的壓強準靜態地施加于兩相系統，物質將準靜態地從比容較高的相轉移到比容較低的相，使兩相系統的體積發生改變. 無窮小的壓強導致有限的體積變化說明，兩相系統的等溫壓縮系數也趨于無窮.3.7 試證明在相變中物質摩爾內能的變化為如果一相是氣相，可看作理想氣體，另一

9、相是凝聚相，試將公式化簡. 解：發生相變物質由一相轉變到另一相時，其摩爾內能、摩爾焓和摩爾體積的改變滿足（ 1）平衡相變是在確定的溫度和壓強下發生的，相變中摩爾焓的變化等于物質在相變過程中吸收的熱量，即相變潛熱L：克拉珀龍方程（式（3.4.6 ）給出（ 3）即（ 4）將式（2）和式（4）代入（1），即有（ 5）如果一相是氣體，可以看作理想氣體，另一相是凝聚相，其摩爾體積遠小于氣相的摩爾體積，則克拉珀龍方程簡化為（ 6）式（5）簡化為（ 7）3.9以表示在維持相與相兩相平衡的條件下相物質升高1K所吸收的熱量，稱為相的兩相平衡摩爾熱容量，試證明：如果相是蒸氣，可看作理想氣體，相是凝聚相，上式可簡化

10、為并說明為什么飽和蒸氣的熱容量有可能是負的. 解：根據式（1.14.4 ），在維持相與相兩相平衡的條件下，使相物質溫度升高1K 所吸收的熱量為（ 1）式（ 2.2.8 ）和（2.2.4 ）給出（ 2）代入式（1）可得（ 3）將克拉珀龍方程代入，可將式（3）表為（ 4）如果相是氣相，可看作理想氣體，相是凝聚相，在式（4）中略去，且令，式（4）可簡化為（ 5）是飽和蒸氣的熱容量. 由式（5）可知，當時，是負的.3.15 證明在曲面分界面的情形下，相變潛熱仍可表為解：以指標和表示兩相. 在曲面分界的情形下，熱平衡條件仍為兩相的溫度相等，即（ 1）當物質在平衡溫度下從相轉變到相時，根據式（1.14.4

11、 ），相變潛熱為（ 2）相平衡條件是兩相的化學勢相等，即（ 3）根據化學勢的定義（ 4） 可表為因此6.1 試根據式（6213 ）證明：在體積V內，在到的能量范圍內，三維自由 粒子的量子態數為解 : 式（ 6.2.13 ）給出，在體積內，在到到到的動量范圍內，自由粒子可能的量子態數為（ 1）用動量空間的球坐標描述自由粒子的動量，并對動量方向積分，可得在體積V內，動量大小在到范圍內三維自由粒子可能的量子態數為（ 2）上式可以理解為將空間體積元（體積 V,動量球殼）除以相格大小而得到的狀態數 . 自由粒子的能量動量關系為因此將上式代入式（2）,即得在體積V內，在到的能量范圍內，三維自由粒子的 量子

12、態數為 6.5 設系統含有兩種粒子，其粒子數分別為和. 粒子間的相互作用很弱，可以看作是近獨立的. 假設粒子可以分辨，處在一個個體量子態的粒子數不受限制 . 試證明，在平衡狀態下兩種粒子的最概然分布分別為和其中和是兩種粒子的能級，和是能級的簡并度. 解： 當系統含有兩種粒子，其粒子數分別為和，總能量為 E,體積為V時，兩種粒子的分布和必須滿足條件（ 1）才有可能實現. 在粒子可以分辨，且處在一個個體量子態的粒子數不受限制的情形下，兩種粒子分別處在分布和時各自的微觀狀態數為（ 2）系統的微觀狀態數為（ 3）平衡狀態下系統的最概然分布是在滿足式（1）的條件下使或為極大的分布.利用斯特令公式，由式（

13、3）可得為求使為極大的分布，令和各有和的變化，將因而有的變化. 使為極大的分布和必使即但這些和不完全是獨立的，它們必須滿足條件用拉氏乘子和分別乘這三個式子并從中減去，得根據拉氏乘子法原理，每個和的系數都等于零，所以得即（ 4）拉氏乘子和由條件（1）確定 . 式（ 4）表明，兩種粒子各自遵從玻耳茲曼分布兩個分布的和可以不同，但有共同的. 原因在于我們開始就假設兩種粒子的粒子數和能量 E 具有確定值，這意味著在相互作用中兩種粒子可以交換能量，但不會相互轉化 . 從上述結果還可以看出，由兩個弱相互作用的子系統構成的系統達到平衡時，兩個子系統有相同的. 6.6 同上題，如果粒子是玻色子或費米子，結果如

14、何？解：當系統含有個玻色子，個費米子，總能量為E,體積為V時，粒子的分布和必須滿足條件（ 1）才有可能實現. 玻色子處在分布，費米子處在分布時，其微觀狀態數分別為系統的微觀狀態數為（ 3）平衡狀態下系統的最概然分布是在滿足式（1）條件下使或為極大的分布. 將式（2）和式（3）取對數，利用斯特令公式可得令各和有和的變化，將因而有的變化，使用權為極大的分布和必使即但這此致和不完全是獨立的，它們必須滿足條件用拉氏乘子和分別乘這三個式子并從中減去，得根據拉氏乘子法原理，每個和的系數都等于零，所以得即（ 4）拉氏乘子和由條件（1）確定 . 式（4）表明，兩種粒子分別遵從玻色分布和費米分布，其中和不同，但

15、相等. 7.1 試根據公式證明，對于非相對論粒子,有上述結論對于玻耳茲曼分布、玻色分布和費米分布都成立. 解 : 處在邊長為L 的立方體中，非相對論粒子的能量本征值為（ 5） 1）為書寫簡便起見，我們將上式簡記為（ 2）其中是系統的體積，常量，并以單一指標代表三個量子數. 由式（2）可得（ 3） 代入壓強公式，有（ 4）式中是系統的內能. 上述證明示涉及分布的具體表達式，因此式（4）對玻耳茲曼分布、玻色分布和費米分布都成立.前面我們利用粒子能量本征值對體積V的依賴關系直接求得了系統的壓強與內能的關系. 式（4）也可以用其他方法證明. 例如，按照統計物理的一般程序，在求得玻耳茲曼系統的配分函數或

16、玻色（費米）系統的巨配分函數后，根據熱力學量的統計表達式可以求得系統的壓強和內能，比較二者也可證明式（4） . 見式（ 7.2.5 ）和式（ 7.5.5 ）及王竹溪統計物理學導論§ 6.2 式（8）和§6.5 式（ 8） . 將位力定理用于理想氣體也可直接證明式（4），見第九章補充題2 式（6） . 需要強調，式（4）只適用于粒子僅有平衡運動的情形如果粒子還有其他的自由度，式（4）中的U 僅指平動內能. 7.2 試根據公式證明，對于相對論粒子,有上述結論對于玻耳茲曼分布、玻色分布和費米分布都成立. 解 : 處在邊長為L 的立方體中，極端相對論粒子的能量本征值為（ 1）用指標

17、表示量子數表示系統的體積，可將上式簡記為（ 2）其中由此可得（ 3）代入壓強公式，得（ 4）本題與7.1題結果的差異來自能量本征值與體積V函數關系的不同.式（4）對玻耳茲曼分布、玻色分布和費米分布都適用. 7.3 當選擇不同的能量零點時，粒子第個能級的能量可以取為或以表示二者之差，試證明相應配分函數存在以下關系，并討論由配分函數和求得的熱力學函數有何差別. 解 : 當選擇不同的能量零點時，粒子能級的能量可以取為或顯然能級的簡并度不受能量零點選擇的影響. 相應的配分函數分別為（ 1）（ 2）故（ 3）根據內能、壓強和熵的統計表達式（7.1.4 ），（7.1.7 ）和（7.1.13 ），容易證明（

18、 4）（ 5）（ 6）式中 N 是系統的粒子數. 能量零點相差為時，內能相差是顯然的. 式（5）和式（ 6）表明，壓強和熵不因能量零點的選擇而異. 其他熱力學函數請讀者自行考慮.值得注意的是，由式（7.1.3 ）知所以與是相同的.粒子數的最概然分布不因能量零點的選擇而異.在分析Ap 實際問題時可以視方便選擇能量的零點. 7.11 表面活性物質的分子在液面上作二維自由運動，可以看作二維氣體. 試寫出二維氣體中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率，最概然速率和方均根速率解 : 參照式（ 7.3.7 ）（7.3.9 ），可以直接寫出在液面上作二維運動的表面活性物質分子的速度分布和速率分布. 速度分布為（ 1）速率分布為（ 2）平均速率為（ 3）速率平方的平均值為因此方均根速率為第 1