1、第十一章 動靜法本章介紹動力學的一個重要原理本章介紹動力學的一個重要原理達朗貝爾原達朗貝爾原理理。應用這一原理，將。應用這一原理，將動力學問題動力學問題從形式上轉化從形式上轉化為為靜力學問題靜力學問題，從而應用關于平衡的理論來求解。，從而應用關于平衡的理論來求解。這種解答動力學問題的方法，因此稱為動靜法。這種解答動力學問題的方法，因此稱為動靜法。第十一章 動靜法第十一章 動靜法l質點的達朗貝爾原理 慣性力（ inertial force ） l質點系的達朗貝爾原理 剛體慣性力系的簡化l剛體定軸轉動時軸承的動反力設有一質量為m的質點，受有主動力F、約束力FN，加速度為a，根據牛頓第二定理，4Nm

2、FFa慣性力、質點的達朗貝爾原理慣性力、質點的達朗貝爾原理慣性力并非真實存在的力，是虛加在質點上的，其大小等于質點的質量乘以加速度，其方向與加速度方向相反。將牛頓方程改寫，成為式中 稱為慣性力。慣性力。由此可知慣性力的性質：0INFFFaFmI- ppt/37慣性力慣性力的物理意義在于：考慮一個相對于定系以加速度a作平動的非慣性參照系非慣性參照系o x y ，質點m對于該非慣性參照系，處于相對靜止狀態，即質點m處于平衡狀態。但是質點m所受的主動力和約束力并不滿足平衡條件，必須虛加一個慣性力才能“平衡”。由此得到質點的達朗貝爾原理：質點的達朗貝爾原理：在非慣性參照系里，作用在質點的主動力、約束力

3、和虛加的慣性力組成“平衡力系”。5 ppt/376例例 已知：m=0.1kg，l=0.3m，q=60 ，求：v，FT. ppt/37(動畫14-2.swf)70cos:0mgFFTb-q解得解得,N96.1cosqmgFTsm1 .2/sin2mlFvTq解解: :qsin2lvmmaFnI0sin:0ITnFFF-q ppt/37質點系的達朗貝爾原理：質點系中每個質點上作用的主動力，約束力和虛加的慣性力在形式上組成平衡力系。如果將作用在質點上的主動力，約束力分為外力和內力，并記 為作用于第i個質點上外力的合力； 為作用于第i個質點上內力的合力；則有8質點系的達朗貝爾原理質點系的達朗貝爾原理)

4、(eiF)(iiFniIiNii, 2 , 1, 0FFF0)()()(0)()()()(IioiioeioIiiieiMMMFFFFFF ppt/37由此得到 質點系的達朗貝爾原理的另一種表述：作用在質點系上的外力與虛加在每個質點上的慣性力在形式上組成平衡力系.9因 0, 00iiiiFMF有 0000IieiIieiFMFMFF ppt/3710例例如圖所示，定滑輪的半徑為r，質量為m均勻分布在輪緣上，繞水平軸轉動。垮過滑輪的無重繩的兩端掛有質量為m1和m2的重物(mm2)，繩與輪間不打滑，軸承摩擦忽略不計，求重物的加速度。 ppt/37(動畫12-c.swf)解：以系統為研究對象由解得1

5、1amFamFII2211=,=,amFitIi0:02211rFramgmamgmMtIiO-marrFtIigmmmmma+=2121-rvmFinIi/2 ppt/3712例例 飛輪質量為m，半徑為R，以勻角速度w 繞定軸O轉動，設輪輻質量不計，質量均布在較薄的輪緣上，不考慮重力的影響。求：輪緣橫載面的張力。下圖為輪緣的1/4部分。 ppt/3713解:2)d(2wqRRRmamFiniiIi0cos:0AiIixFFF-q0sin:0BiIiyFFF-qwqqw2cos22202mRdRmFAwqqw2sin22202mRdRmFB ppt/37. 剛體作平動：設aC為質心加速度，慣性

6、力系的主矢為慣性力系對質心的主矩為因此，慣性力系簡化為一個作用于質心的合力14剛體慣性力系的簡化CiiImmaaF-)(iiciICmMar)()(Cicim arr0)(CiicimmarrCImaF- ppt/372 . 剛體作定軸轉動：設角速度為w，角加速度為a，各點的慣性力為：慣性力系的主矢為：15剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化,=iitiitIirmamF2=iiniinIirmamF()()()+=nIixtIixIixIxFMFMFMM)sin()cos(2iiiiiiiizrmzrmqwqa-2)()(waiiiiiizymzxm-慣性力系對x軸的矩為CiiImmaaF-

7、 ppt/37即式中稱為對于x、z 軸和y、z 軸的慣性積，則同理另外162wayzxzxIJJM-=,=iiizyiiizxzymJzxmJ2=yzxzIxJJM-2+=xzyzIyJJMniIztiIzIzMMMFF ppt/3717對O點的主矩為 式中如果剛體有質量對稱面有質量對稱面且轉軸與該面垂直，將慣性力系向質量將慣性力系向質量對稱面與轉軸的交點對稱面與轉軸的交點O簡化簡化，此時慣性力系簡化為：如果轉軸通過質心，則aC=0，慣性力系慣性力系簡化為0=, 0=iiiyziiixzzymJzxmJcIRzIOmJMaF,a-aaziiitiIzIzJrrmMM-)(FkjiIzIyIxI

8、oMMMM2=yzxzIxJJM-azIzJM2+=xzyzIyJJMaCIOJM- ppt/37183 . . 剛體作平面運動 剛體的平面運動可分解為跟隨質心C的平動和繞質心軸Cz的轉動，質點mi的慣性力為)(ticnicciiiIimmaaaaF-citicicnicrava,kjiriiicizyxiiiiiiryrxqqsin,cosjijivwwqwqwiiiiiiicxyrrcossin2)()(wwwijjikvaiiiicinicxyxyaa)()(ijkjikraiiiiiciticyxzyx ppt/37設剛體在平行于質量對稱面的平面內運動，其質心C在質量對稱面內，注意Jx

9、z=0，Jyz=0，并且19cciicicimmarar)()(0)(cciimarr2)()()(wijkjiariiiiiinicicixymzyxm,)(2wijaiinicxya)(ijaiiticyx0)()(22wwjijixzyziiiiiiJJzxmzyma)()()(ijkjiariiiiiiticiciyxmzyxmjikciiiiiiiiiJzymzxmyxmaa)()(22,kjiriiicizyx ppt/37慣性力系的主矢：慣性力系對質心C的主矩：所以，平面運動剛體在平行于質量對稱面的平面內運動時，慣性力系向質心簡化的結果為：20cIRcIcmJaFM-,0)(ci

10、cimar0)(nicicim ararcticiciJm)(ciiIRmmaaF-aaararMcticnicciciiiciIcJmm)()( ppt/3721例例 如圖所示均質桿的質量為m，長為l，繞定軸O轉動的角速度為w，角加速度為 a，求：慣性力系向點簡化的結果(方向在圖上畫出)。 ppt/37(動畫8d.swf)22解:2=lmFtIO22=lmFnIO231=mlMIO ppt/3723例例 如圖所示，電動機定子及其外殼總質量為m1，質心位于O 處。轉子的質量為m2，質心位于C 處，偏心矩OCe ，圖示平面為轉子的質量對稱面.電動機用地角螺釘固定于水平基礎上，轉軸O與水平基礎間的

11、距離為h。運動開始時，轉子質心C位于最低位置,轉子以勻角速度w轉動。求：基礎與地角螺釘給電動機總的約束力。 ppt/37(動畫14-09.swf)24解:22=emFI0=sin+:0=IxxFFF0sinsin:02hFgemMMIA-因為得,=ttemFxsin=22-()temgmmFycos+=2221themtgemMsin+sin=2220cos)(:021IyyFgmmFF- ppt/3725例例 如圖所示，電動絞車安裝在梁上，梁的兩端擱在支座上，絞車與梁共重為P。絞盤半徑為R，與電機轉子固結在一起, 轉動慣量為J ，質心位于O 處.絞車以加速度a提升質量為m的重物，其它尺寸如圖

12、。已知： P，R，J，a，m，求：支座A、B受到的附加約束力。 ppt/37(動畫14-10-2.swf)26解 :maFI=RaJJMI=00=+:0=IBAyFPmgFFF-0=)+(+:0=21322llFMPllFmglMAIoIB-解得:/+1=23221RJamalPlmglllFA/+)+(+1=1321121RJamallllPmglllFB- ppt/3727上式中前兩項為靜約束力，附加約束力為：/+=221RJmlllaFA/+=121RJmlllaFB- ppt/37/+1=23221RJamalPlmglllFA/+)+(+1=1321121RJamallllPmgll

13、lFB-28例例 已知均質圓盤：m1，R；均質桿：l=2R，m2，圓盤做純滾動。求：F 多大時能使桿B 端剛好離開地面？純滾動的條件? ppt/37(動畫14-11.swf)解： AB 桿剛好離開地面時，B端約束反力為零。AB 桿作平動由此得研究整體解得：29RaRmMamFamFAAIC211221,IIga3030cos30sin:02gRmRFMICA-0=30cos30sin:0=2gRmRFMRFFRMCAAD-IIIgmmF3)23(21 ppt/3730另外有得到由無滑動條件解得 gmFs123=21123mmmFFfNss()gmmfFfFsNss21+=0:021ammFFF

14、sxgmmF3)23(21 ppt/37310=+:0=xIxRxBxAxFFFFF繞定軸轉動剛體的軸承動約束力0=+:0=yIyRyByAyFFFFF0=+:0=zRBzzFFF0=+:0=xIxyAyBxMMOAFOBFM-0=+:0=yIyBxAxyMMOBFOAFM- ppt/37如圖所示，軸承處的約束力有5個：FAx， FAy， FBx， FBy， FBz，可由下面5個方程求解。由FIR、MIO引起的軸承約束力稱動約束力動約束力。由上述可知，動約束力為零的條件為:32因此 OBFMOBFMABFxyxyxIIRA1 OBFMOBFMABFyxyxyIIRA1- OAFMOAFMABF

15、xyxyxIIRB1- OAFMOAFMABFyxyxyIIRB1 -zzFFRB-0=, 0=IyIxIyIxMMFF ppt/37動約束力為零的條件為:即必有稱滿足條件 Jxz=0，Jyz=0 的z軸為慣性主軸。慣性主軸。通過質心的慣性主軸稱為中心慣性主軸。中心慣性主軸。因此，避免出現軸承動約束力的條件是：轉軸應是剛體的中心避免出現軸承動約束力的條件是：轉軸應是剛體的中心慣性主軸慣性主軸。330=+=0=0=0=22xzyzIyyzxzIxCyIyCxIxJJMJJMmaFmaF-0, 0yzxzCJJa0=, 0=IyIxIyIxMMFF ppt/3734例例 如圖所示，輪盤(連同軸)的質量m =20kg，轉軸AB與輪盤的質量對稱面垂直，但輪盤的質心C不在轉軸上，偏心距e =0.1mm 當輪盤以勻轉速 n =12000r/min 轉動時，求：軸承A、B的約束力。 ppt/3735解:()nINBNAFmgFF+21=1.68KN=222m/s158=)3012000(10001 . 0=eanN3160=nnImaF ppt/3736本章小結本章小結aFmI-質點的慣性力慣性力：質點的達朗貝爾原理質點的達朗貝爾原理：質點系的達朗貝爾原理質點系的達朗貝爾原理：