1、第七章第七章 能量原理及其應用能量原理及其應用 偏微分方程求解的困難應力函數解法的限制能量原理的應用變分法變分法數學基礎 目錄目錄 7.1 基本概念基本概念 7.2 虛功原理虛功原理 7.3 最小勢能原理最小勢能原理 7.4 虛應力方程虛應力方程 7.5 最小余能原理最小余能原理 7.6 有限元概念有限元概念格林公式 7.1 基本概念基本概念（密度） 外力功變形體的能量關系變形能xzxzyzyzxyxyzzyyxxUUUUUU000000ijijUdd0 xzxzyzyzxyxyzzyyxxddddd注意 線彈性問題的變形能)(210 xzxzyzyzxyxyzzyyxxUijijU210VU

2、UVd0 7.1 基本概念基本概念2功能關系 位移邊界面力邊界VSuFVuFVkijsijVSkiikiidddsb 7.1 基本概念基本概念3彈性體體積V，表面積為S。位移給定表面Su面力給定表面S 靜力可能的應力與幾何可能的位移S =Su+ S 0b,ijijFjijinFs)(21,ijjiijuuiiuu Su Ssijkiukij7.2 虛功原理虛功原理彈性體處于平衡狀態，對于滿足變形連續條件的虛位移及其虛應變，外力在虛位移上所做的虛功，等于真實應力分量在對應的虛應變上所做的虛功，即虛應變能。虛功原理VSuFVuFVijijVSiiiidddsb作用于彈性體的第一種狀態外力，包括體力

3、和面力，在第二種狀態對應的位移上所做的功等于第二種狀態的外力在第一種狀態對應的位移上所做的功。例題 7.2 虛功方程虛功方程2SuFVuFSuFVuFiiSiiViiSiiVdddd12s12b21s21b功的互等定理7.3 最小勢能原理最小勢能原理總勢能應變分量的泛函又是位移分量的泛函位移變分SuFVuFVUEiiSiiVVtdddsb00)(tEWU真實的位移使得總勢能取最小值最小勢能原理是變分表達的平衡條件數學形式 等價于平衡微分方程和面力邊界條件 總勢能概念最小勢能原理基本思想構造一個位移試函數幾何可能最小勢能原理的應用RayleighRitz(瑞利里茲)法(伽遼金)法 通過能量變分，

4、偏微分方程邊值問題轉化為通過能量變分，偏微分方程邊值問題轉化為線性代數方程組。線性代數方程組。位移邊界條件位移與面力邊界條件 7.3 最小勢能原理最小勢能原理2解：首先用瑞利里茨法位移試函數 例例1： 兩端簡支的等截面梁，受均勻分布載荷q作用如圖所示。試求解梁的撓度w（x）。 滿足梁的位移邊界條件在x=0，l處，w=0 總勢能 mmlxmCwsinxqwxxwEJElltdd)dd(202220,5,3, 1243424mmmmtmCqlCmlEJE 7.3 最小勢能原理最小勢能原理3根據則 所以0mtCE為偶數）為奇數）mCmlEJmmqlCmlEJmm(02(022434434為偶數）為奇

5、數）mCmmEJqlCmm(0(04554回代 ,5,3,1554sin14mlxmmEJqlw 7.3 最小勢能原理最小勢能原理4撓曲線表達式是無窮級數精確解這個級數收斂很快，只要取少數幾項就可以得到足夠的精度。如果取一項 這一結果與精確值十分接近 EIqlw6 .764max 7.3 最小勢能原理最小勢能原理5解：應用法位移試函數 同時滿足面力邊 界條件根據法分析可得 mmlxmCwsinlxlxmqxwEI0440dsin)dd(,5,3, 1554sin14mlxmmEJqlw 7.3 最小勢能原理最小勢能原理6解：位移試函數 例例2：矩形薄板，四邊固定，受有平行于板面的體力作用。設坐

6、標軸如圖所示，試用RayleighRitz法求解。 m和n為正整數在邊界x=0，a，和y=0，b上，u=v=0，所以試函數滿足位移邊界條件。 mnmnmnmnbynaxmBvbynaxmAusinsinsinsin 7.3 最小勢能原理最小勢能原理7平面應力問題 因此 yxyuxvvyvxuvyvxuvEUa bdd)(212)()()1 (2202202yxyuxvByuxvvxuByvvyvBxuvyvByvxuBxuvEBUyxyuxvAyuxvvxuAyvvyvAxuvyvAyvxuAxuvEAUmnmnamnmnmnbmnmnmnamnmnmnbmndd)()(1 ()(2)(2)(

7、2)(2)1 (2dd)()(1 ()(2)(2)(2)(2)1 (20 020 02 7.3 最小勢能原理最小勢能原理8將位移試函數代入求導數后再積分 因此 yxbynaxmFBUyxbynaxmFAUaybmnaxbmnddsinsinddsinsin0b00b0yxbynaxmFBvamvbnabEyxbynaxmFAvbnvamabEya bmnaxbmnddsinsin)1 (2)1 (4ddsinsin)1 (2)1 (4b0 02222220b0222222如果體力已知，積分可求待定系數Amn和Bmn 7.3 最小勢能原理最小勢能原理97.4 虛應力方程虛應力方程根據彈性體的穩定

8、平衡狀態與經過虛位移而到達的鄰近狀態的比較，得到了真實位移使得總勢能取最小值的結論最小勢能原理。假如問題分析的基本未知量不是位移，而是應力分量。能量泛函中的應力變分 虛應力方程ij在位移邊界引起的面力稱為虛面力虛面力Fsi 應變余能概念虛應力 ijijijijUd)(00ijijU00)(b,ijijijFijijijs上在SnFjijiji)(sSnjijjij00, 7.4 虛應力原理虛應力原理2VSnuijijVjijiSuddij總余能變分形式最小余能原理真實應力使得總余能取駐值可以證明，對于穩定的平衡狀態，真實應力使總余能取最小值。7.5 最小余能原理最小余能原理0dd0SFuVUs

9、iiSVuSnuVUSFuVUEjijiSVsiiSVtuudddd00最小余能原理可以敘述為：在所有靜力可能的應力中，真實應力使得總余能取最小值。應力變分方程或者最小余能原理等價于以應力分量表示的變形協調方程和位移邊界條件。應力變分的實質就是應力解法用于能量原理對于多連域問題，還有位移單值連續條件需要考慮，這將導致問題十分復雜。 7.5 最小余能原理最小余能原理2最小余能原理的應用應力變分比位移變分方程更困難一、應力試函數必須同時滿足平衡微分方程和面力位移邊界條件；二、多連域的位移單值連續條件。應力函數平面問題與柱體扭轉。 7.5 最小余能原理最小余能原理3廣義變分原理胡海昌鷲久津一郎方程

10、7.5 最小余能原理最小余能原理47.6 有限元概念有限元概念基本方程偏微分方程的邊值問題變分原理偏微分方程的邊值問題轉換為代數方程有限元原理數值分析方法工程應用廣泛，理論基礎變分原理。為什么變分原理在工程上的應用有限，而有限元原理卻應用廣泛。有限元原理與經典變分原理的差別位移試函數位移邊界Su位移試函數構造困難mmmmmmmmmzyxwCzyxwzyxwzyxvBzyxvzyxvzyxuAzyxuzyxu),(),(),(),(),(),(),(),(),(000, 0, 0, 0,000mmmwvuwwvvuu 7.6 有限元有限元2有限元不是整體選取試函數而是在彈性體內分區（單元）完成的試函數形式簡單統一近年來，隨著現代科學技術的發展，特別是計算機技術的迅速發展和廣泛應用，使得以有限元方法為代表的計算力學的迅速發展，改變了彈性力學理論在工程應