1、4 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)v1對(duì)一給定的操作機(jī)，已知桿件幾何參數(shù)和關(guān)節(jié)對(duì)一給定的操作機(jī)，已知桿件幾何參數(shù)和關(guān)節(jié)角矢量角矢量 其中其中n是自由度數(shù)，求操作機(jī)末端執(zhí)行器相對(duì)于參是自由度數(shù)，求操作機(jī)末端執(zhí)行器相對(duì)于參考坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)。考坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)。v2已知操作機(jī)桿件的幾何參數(shù)，給定操作機(jī)末端已知操作機(jī)桿件的幾何參數(shù)，給定操作機(jī)末端執(zhí)行器相對(duì)于參考坐標(biāo)系的期望位置和姿態(tài)（位執(zhí)行器相對(duì)于參考坐標(biāo)系的期望位置和姿態(tài)（位姿），操作機(jī)能否使其末端執(zhí)行器達(dá)到這個(gè)預(yù)期的姿），操作機(jī)能否使其末端執(zhí)行器達(dá)到這個(gè)預(yù)期的位姿？如能達(dá)到，那么操作機(jī)有幾種不同形態(tài)可滿位姿？如能達(dá)到，那么操作機(jī)有

2、幾種不同形態(tài)可滿足同樣的條件？足同樣的條件？4.建立機(jī)器人連桿坐標(biāo)系建立機(jī)器人連桿坐標(biāo)系4.1.1連桿參數(shù)和關(guān)節(jié)參數(shù)連桿參數(shù)和關(guān)節(jié)參數(shù)v一連桿描述一連桿描述v連桿連桿i-1是由關(guān)節(jié)軸線是由關(guān)節(jié)軸線vi-1和和i的公法線長(zhǎng)度的公法線長(zhǎng)度ai-1和夾角和夾角i-1所規(guī)定的。所規(guī)定的。vai-1 ：連桿連桿i-1的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度vi-1：連桿連桿i-1的扭角的扭角,指指向從軸線向從軸線i-1繞公法線轉(zhuǎn)繞公法線轉(zhuǎn)至軸線至軸線i例題二二.連桿連接的描述連桿連接的描述v中間連桿中間連桿兩條公法線兩條公法線ai-1與與ai之間的之間的距離距離di稱為這兩條連桿之稱為這兩條連桿之間的間的偏置偏置；ai-1與與ai

3、之間的夾角之間的夾角i又稱又稱為兩條連桿之間的為兩條連桿之間的關(guān)節(jié)角關(guān)節(jié)角。 di和和i都帶正負(fù)號(hào)。都帶正負(fù)號(hào)。連桿長(zhǎng)度連桿長(zhǎng)度ai-1恒為正，扭角恒為正，扭角i-1可正可負(fù)可正可負(fù)v首、末連桿首、末連桿v對(duì)于運(yùn)動(dòng)鏈兩端，按習(xí)慣約定：對(duì)于運(yùn)動(dòng)鏈兩端，按習(xí)慣約定：v若關(guān)節(jié)若關(guān)節(jié)1為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，則為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，則1是可變的是可變的,稱為關(guān)節(jié)變量稱為關(guān)節(jié)變量,規(guī)定規(guī)定1=0為連桿為連桿1的零位的零位.習(xí)慣約定習(xí)慣約定d1=0.v若關(guān)節(jié)若關(guān)節(jié)1為移動(dòng)關(guān)節(jié)，則為移動(dòng)關(guān)節(jié)，則d1是可變的是可變的,稱為關(guān)節(jié)變量稱為關(guān)節(jié)變量,規(guī)定規(guī)定d1=0為連桿為連桿1的零位的零位.習(xí)慣約定習(xí)慣約定1=0.v上面約定對(duì)于關(guān)節(jié)上

4、面約定對(duì)于關(guān)節(jié)6同樣適用。同樣適用。4.1.2連桿坐標(biāo)系、齊次矩陣表示法連桿坐標(biāo)系、齊次矩陣表示法v一.連桿坐標(biāo)連桿坐標(biāo)系系v與基座固接的與基座固接的坐標(biāo)系記為坐標(biāo)系記為0,與連桿與連桿i固接的固接的坐標(biāo)系記為坐標(biāo)系記為i.4.1.2連桿坐標(biāo)系、齊次矩陣表示法連桿坐標(biāo)系、齊次矩陣表示法v一.連桿坐標(biāo)連桿坐標(biāo)系系v與基座固接的與基座固接的坐標(biāo)系記為坐標(biāo)系記為0,與連桿與連桿i固接的固接的坐標(biāo)系記為坐標(biāo)系記為i.v(各坐標(biāo)的定義各坐標(biāo)的定義)v二二.連桿坐標(biāo)系規(guī)定的連桿參數(shù)連桿坐標(biāo)系規(guī)定的連桿參數(shù)v根據(jù)所設(shè)定的連桿坐標(biāo)系根據(jù)所設(shè)定的連桿坐標(biāo)系,相應(yīng)的連桿參數(shù)定相應(yīng)的連桿參數(shù)定義如下義如下:v三三.

5、齊次矩陣表示法齊次矩陣表示法(D-H表示法表示法)v連桿坐標(biāo)系連桿坐標(biāo)系i相對(duì)于相對(duì)于i-1的變換的變換 稱為連桿變稱為連桿變換。換。v連桿變換連桿變換 可以看成是坐標(biāo)系可以看成是坐標(biāo)系i經(jīng)四個(gè)子變換經(jīng)四個(gè)子變換得到的。得到的。v因?yàn)檫@四個(gè)變換都是相對(duì)于因?yàn)檫@四個(gè)變換都是相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)動(dòng)坐標(biāo)系描述的，系描述的，按按“從左到右從左到右”的原則，得：的原則，得：4.2機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程v表示機(jī)器人操作機(jī)或機(jī)械手每個(gè)桿件表示機(jī)器人操作機(jī)或機(jī)械手每個(gè)桿件(連桿連桿)在在空間相對(duì)于空間相對(duì)于絕對(duì)絕對(duì)坐標(biāo)系或相對(duì)于坐標(biāo)系或相對(duì)于機(jī)座機(jī)座坐標(biāo)系坐標(biāo)系的位置及方向的方程稱為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的位置及

6、方向的方程稱為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程v它是它是n個(gè)關(guān)節(jié)變量個(gè)關(guān)節(jié)變量 的函數(shù)，表示末的函數(shù)，表示末端連桿坐標(biāo)系端連桿坐標(biāo)系n相對(duì)于基坐標(biāo)系相對(duì)于基坐標(biāo)系0的描述，的描述，v根據(jù)各關(guān)節(jié)位置傳感器的輸出，得到各關(guān)節(jié)根據(jù)各關(guān)節(jié)位置傳感器的輸出，得到各關(guān)節(jié) 變量變量 的的 的值，即可求出的值，即可求出v上式稱為上式稱為運(yùn)動(dòng)學(xué)方程運(yùn)動(dòng)學(xué)方程v手爪坐標(biāo)系手爪坐標(biāo)系vZ軸接近矢量軸接近矢量avY軸方位矢量軸方位矢量ovX軸法向矢量軸法向矢量n n=oav手爪的方位由旋轉(zhuǎn)矩陣手爪的方位由旋轉(zhuǎn)矩陣R所規(guī)定所規(guī)定v手爪的位姿由四個(gè)矢量手爪的位姿由四個(gè)矢量n，o，a，p來描述，記來描述，記為為4.2.1運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的建立運(yùn)

7、動(dòng)學(xué)方程的建立v把各個(gè)連桿變換矩陣相乘把各個(gè)連桿變換矩陣相乘,便得到便得到PUMA560的手臂的手臂變換矩陣變換矩陣:v它是關(guān)節(jié)變量它是關(guān)節(jié)變量 的函數(shù)的函數(shù).最后,求出六個(gè)連桿之積:v為了校核所得結(jié)果的正確性，計(jì)算當(dāng)為了校核所得結(jié)果的正確性，計(jì)算當(dāng)v手臂變換矩陣手臂變換矩陣 的值，計(jì)算結(jié)果為：的值，計(jì)算結(jié)果為：4.2.2運(yùn)動(dòng)學(xué)方程反解運(yùn)動(dòng)學(xué)方程反解vPUMA560運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程v （4.5） (4.5)兩邊兩邊v (4.6)v今矩陣方程（今矩陣方程（4.6）兩端的元素（）兩端的元素（2，4）對(duì)）對(duì)應(yīng)相等應(yīng)相等,得得:v (4.7) v再令矩陣方程（再令矩陣方程（46）兩端的元素（）兩端的元

8、素（1，4）和）和v（3，4）分別對(duì)應(yīng)相等，得兩方程：）分別對(duì)應(yīng)相等，得兩方程：v (4.10)v式式(4.7)與與(4.10)的平方和為的平方和為:v (4.11)用三角變換求用三角變換求 3 3v (4.5)v (4.12)v令令(4.12)兩邊元素兩邊元素(1.3)和和(3.3)分別對(duì)應(yīng)相等分別對(duì)應(yīng)相等: 將式（將式（4.5）求逆解時(shí)注意運(yùn)用以下方法求逆解時(shí)注意運(yùn)用以下方法v1.等號(hào)兩端的矩陣中對(duì)應(yīng)元素相等等號(hào)兩端的矩陣中對(duì)應(yīng)元素相等v2.利用矩陣方程進(jìn)行遞推利用矩陣方程進(jìn)行遞推v3.利用三角方程等技巧進(jìn)行置換利用三角方程等技巧進(jìn)行置換v4.對(duì)增根的處理對(duì)增根的處理v要獲得顯式解要獲得顯

9、式解,只有滿足下列兩個(gè)充只有滿足下列兩個(gè)充分條件之一分條件之一(Piepe準(zhǔn)則準(zhǔn)則)v1.三個(gè)相鄰關(guān)節(jié)的軸交于一點(diǎn)三個(gè)相鄰關(guān)節(jié)的軸交于一點(diǎn)v2.三個(gè)相鄰關(guān)節(jié)的軸相互平行三個(gè)相鄰關(guān)節(jié)的軸相互平行4.2.3運(yùn)動(dòng)學(xué)反解的討論運(yùn)動(dòng)學(xué)反解的討論v1.無解無解:機(jī)器人無法達(dá)到的空間機(jī)器人無法達(dá)到的空間v2.單解單解:機(jī)器人可達(dá)空間機(jī)器人可達(dá)空間,手部唯一地只有一個(gè)手部唯一地只有一個(gè)方向可達(dá)方向可達(dá)v3.重解重解:機(jī)器人靈活工作空間機(jī)器人靈活工作空間,手部有兩個(gè)或兩手部有兩個(gè)或兩個(gè)以上方位達(dá)到的空間個(gè)以上方位達(dá)到的空間v機(jī)器人在存在重解的情況下機(jī)器人在存在重解的情況下,應(yīng)選其中最滿意應(yīng)選其中最滿意的一組解的

10、一組解:v1.行程最短行程最短,大關(guān)節(jié)少動(dòng)大關(guān)節(jié)少動(dòng),小關(guān)節(jié)多動(dòng)小關(guān)節(jié)多動(dòng)v2.功率最省功率最省v3.受力最好受力最好v4.回避障礙回避障礙v反解數(shù)目與連桿長(zhǎng)度非零的數(shù)目之間關(guān)系反解數(shù)目與連桿長(zhǎng)度非零的數(shù)目之間關(guān)系4.3機(jī)器人的雅可比矩陣機(jī)器人的雅可比矩陣(Jacobian)v研究研究操作空間速度操作空間速度與與關(guān)節(jié)空間速度關(guān)節(jié)空間速度之間之間的線性映射關(guān)系的線性映射關(guān)系雅可比矩陣（簡(jiǎn)稱雅雅可比矩陣（簡(jiǎn)稱雅可比）可比）, ,也用來表示兩空間之間力的傳也用來表示兩空間之間力的傳遞關(guān)系。遞關(guān)系。v關(guān)節(jié)空間關(guān)節(jié)空間所有關(guān)節(jié)矢量所有關(guān)節(jié)矢量q q構(gòu)成的空間構(gòu)成的空間v操作空間操作空間末端手爪的位姿末端

11、手爪的位姿在直角坐標(biāo)空在直角坐標(biāo)空間中的描述間中的描述. .4.3.1雅可比矩陣的定義雅可比矩陣的定義v操作速度與關(guān)節(jié)速度的線性變換，可以看成操作速度與關(guān)節(jié)速度的線性變換，可以看成是從是從關(guān)節(jié)空間關(guān)節(jié)空間向向操作空間操作空間運(yùn)動(dòng)速度的傳動(dòng)比。運(yùn)動(dòng)速度的傳動(dòng)比。操作臂的運(yùn)動(dòng)方程操作臂的運(yùn)動(dòng)方程v代表操作空間代表操作空間 與關(guān)節(jié)空間與關(guān)節(jié)空間 之間的位移關(guān)之間的位移關(guān)系。將上式兩邊對(duì)時(shí)間系。將上式兩邊對(duì)時(shí)間 t 求導(dǎo)，即得出求導(dǎo)，即得出v例例1.圖中平面二桿件操作機(jī)圖中平面二桿件操作機(jī),其末端執(zhí)行器的其末端執(zhí)行器的空間位置空間位置(x,y)與關(guān)節(jié)變量（與關(guān)節(jié)變量（12）的關(guān)系如）的關(guān)系如下。下。v

12、例例2 .如圖所示，為了實(shí)現(xiàn)平面如圖所示，為了實(shí)現(xiàn)平面2R機(jī)械手末端機(jī)械手末端沿沿x0軸以軸以1m/s的速度運(yùn)動(dòng)，求相應(yīng)的關(guān)節(jié)速的速度運(yùn)動(dòng)，求相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度度v得到與末端速度得到與末端速度 相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度反解為反解為:4.3.2雅可比矩陣的應(yīng)用雅可比矩陣的應(yīng)用v1.速度的變換速度的變換v2.微分運(yùn)動(dòng)微分運(yùn)動(dòng)v3.誤差分析誤差分析v4.剛度和變形剛度和變形v5.奇異形位和靈活度奇異形位和靈活度v6.力雅可比力雅可比v機(jī)器人與外界環(huán)境相互作用時(shí)機(jī)器人與外界環(huán)境相互作用時(shí),在接觸處要產(chǎn)生在接觸處要產(chǎn)生力力f和和力矩力矩n,統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為末端廣義（操作）力矢量末端廣義（操作）力矢量v在靜止

13、狀態(tài)下，廣義操作力矢量在靜止?fàn)顟B(tài)下，廣義操作力矢量F應(yīng)與各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)應(yīng)與各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力（或力矩）相平衡。力（或力矩）相平衡。n個(gè)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力（或力矩）個(gè)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力（或力矩）組成的組成的n維矢量維矢量v 稱為關(guān)節(jié)力矢量稱為關(guān)節(jié)力矢量v利用虛功原理，可以導(dǎo)出關(guān)節(jié)力矢量利用虛功原理，可以導(dǎo)出關(guān)節(jié)力矢量 與相與相應(yīng)的廣義操作力矢量應(yīng)的廣義操作力矢量F之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。v令各關(guān)節(jié)的虛位移為令各關(guān)節(jié)的虛位移為 ；末端執(zhí)行器相應(yīng)；末端執(zhí)行器相應(yīng)的虛位移為的虛位移為D。v所謂虛位移，是滿足機(jī)械系統(tǒng)幾何約束的無所謂虛位移，是滿足機(jī)械系統(tǒng)幾何約束的無限小位移。限小位移。v虛功虛功:力在虛位移上的功力在虛位

14、移上的功v各關(guān)節(jié)所作的虛功之和各關(guān)節(jié)所作的虛功之和v與末端執(zhí)行器所作的虛功與末端執(zhí)行器所作的虛功v應(yīng)該相等應(yīng)該相等(總的虛功為零總的虛功為零),即即v 雅可比矩陣雅可比矩陣 J（q）既可當(dāng)成是從關(guān)節(jié)空間）既可當(dāng)成是從關(guān)節(jié)空間向操作空間的向操作空間的速度傳遞速度傳遞的線性關(guān)系，也可看的線性關(guān)系，也可看成是成是微分運(yùn)動(dòng)微分運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換的線性關(guān)系，即轉(zhuǎn)換的線性關(guān)系，即v把把 代入代入 v 得得4.4機(jī)器人動(dòng)力學(xué)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)v4.4.1 概述概述v1.從控制理論的觀點(diǎn)看從控制理論的觀點(diǎn)看,機(jī)器人是一種極其復(fù)雜的動(dòng)機(jī)器人是一種極其復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)耦合系統(tǒng)力學(xué)耦合系統(tǒng).v2.動(dòng)力學(xué)方程是指作用于機(jī)器人各機(jī)構(gòu)的力、

15、力矩動(dòng)力學(xué)方程是指作用于機(jī)器人各機(jī)構(gòu)的力、力矩（廣義力）與其位置、速度、加速度關(guān)系的方程式。（廣義力）與其位置、速度、加速度關(guān)系的方程式。v3.動(dòng)力學(xué)問題分為兩類問題動(dòng)力學(xué)問題分為兩類問題:v正問題正問題:根據(jù)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩或力根據(jù)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩或力,計(jì)算操作臂的計(jì)算操作臂的運(yùn)動(dòng)（關(guān)節(jié)位移、速度和加速度）運(yùn)動(dòng)（關(guān)節(jié)位移、速度和加速度）v逆問題：逆問題：已知軌跡運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)位移、速已知軌跡運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)位移、速度和加速度，求出所需要的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩或度和加速度，求出所需要的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩或力力v4.4.2動(dòng)力學(xué)方程介紹動(dòng)力學(xué)方程介紹v4.4.3機(jī)器人動(dòng)力學(xué)正問題機(jī)器人動(dòng)力學(xué)正問題v機(jī)器人動(dòng)力學(xué)正問題研

16、究機(jī)器人手臂在關(guān)節(jié)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)正問題研究機(jī)器人手臂在關(guān)節(jié)力矩作用下的力矩作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)動(dòng)態(tài)響應(yīng).其主要內(nèi)容是如何建其主要內(nèi)容是如何建立機(jī)器人手臂的動(dòng)力學(xué)方程立機(jī)器人手臂的動(dòng)力學(xué)方程.建立機(jī)器人手臂建立機(jī)器人手臂的動(dòng)力學(xué)方程的方法有的動(dòng)力學(xué)方程的方法有牛頓牛頓-歐拉法歐拉法和和拉格朗拉格朗日法日法等等.v1.牛頓牛頓-歐拉方程歐拉方程v在考慮速度與加速度影響的情況下，作用在機(jī)器人在考慮速度與加速度影響的情況下，作用在機(jī)器人手臂桿手臂桿i上的力和力矩如圖所示。上的力和力矩如圖所示。根據(jù)力、力矩平衡原理根據(jù)力、力矩平衡原理v (4.13)v (4.14)v式式(4.13)為牛頓方程為牛頓方程,(4.14)為歐拉方程為歐拉方程.v其中其中Ii為桿為桿i繞其質(zhì)心的慣性張量：繞其質(zhì)心的慣性張量：v 慣性力慣性力v 慣性力矩慣性力矩v 陀螺力矩陀螺力矩v可以解出表示關(guān)節(jié)位移與關(guān)節(jié)力間關(guān)系可以解出表示關(guān)節(jié)位移與關(guān)節(jié)力間關(guān)系的機(jī)器人封閉動(dòng)力學(xué)方程的機(jī)器人封閉動(dòng)力學(xué)方程:v此方程右邊首項(xiàng)為慣性力項(xiàng)，第此方程右邊首項(xiàng)為慣性力項(xiàng)，第2項(xiàng)來源于哥項(xiàng)來源于哥氏力和離心力，第氏力和離心力，第3