1、2016年普通高等學校招生全國統一考試年普通高等學校招生全國統一考試文科數學文科數學（適用地區：河南、河北、山西、江西、湖北、湖南、（適用地區：河南、河北、山西、江西、湖北、湖南、廣東、安徽、福建）廣東、安徽、福建） 123456789101112131415161718192021222324一、選擇題：本大題共一、選擇題：本大題共12小題，每小題小題，每小題5分，在每小分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1.1,3,5,7,|25,().1,3.3,5.5,7.1,7ABxxABABCD 設設集集合合則則3,5,3,5ABA

2、B 集集合合 與與集集合合 的的公公共共元元素素有有故故B2.(12 )(),().3.2.2.3i aiaaABCD設設的的實實部部與與虛虛部部相相等等 其其中中 為為實實數數 則則(12 )()2(12 ) ,:212 ,:3i aiaa iaaa 由由已已知知 得得解解得得A3.為美化環境，從紅、黃、白、紫為美化環境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是（中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是（ ）1125.3236ABCD列出所有可能的情況

3、：列出所有可能的情況：花壇花壇1花壇花壇2紅、黃紅、黃白、紫白、紫紅、白紅、白黃、紫黃、紫紅、紫紅、紫黃、白黃、白黃、白黃、白紅、紫紅、紫黃、紫黃、紫紅、白紅、白白、紫白、紫紅、黃紅、黃6,4,4263所所有有情情況況有有 種種符符合合條條件件的的有有 種種所所求求概概率率為為C4.522,cos,()3. 2. 3.2.3ABCABCabcacAbABCD 的的內內角角 、 、 的的對對邊邊分分別別為為 、 、 已已知知則則22,:5422,:331()3bbbb 由由余余弦弦定定理理 得得解解得得舍舍去去D5.,1,()41123.3234llABCD直直線線 經經過過橢橢圓圓的的一一個個

4、頂頂點點和和一一個個焦焦點點 若若橢橢圓圓中中心心到到的的距距離離為為其其短短軸軸長長的的則則該該橢橢圓圓的的離離心心率率為為yxOBFD11,2 ,42OB OFbccODbeBFaa 如如圖圖B16.2sin(2),64().2sin(2).2sin(2)43.2sin(2).2sin(2)43yxA yxB yxC yxD yx 將將函函數數的的圖圖像像向向右右平平移移個個周周期期后后 所所得得圖圖像像對對應應的的函函數數為為421,2442sin(2)62sin 2()2sin(2)463TTyxyxx 向向右右平平移移D7.,28.,3().17.18.20.28ABCD 如如圖圖

5、某某幾幾何何體體的的三三視視圖圖是是三三個個半半徑徑相相等等的的圓圓及及每每個個圓圓中中兩兩條條相相互互垂垂直直的的半半徑徑 若若該該幾幾何何體體的的體體積積是是則則它它的的表表面面積積是是32271=7428,42 +32 =17248383SVrr A8.0,01,().loglog.loglog.abccccababcAccBabC abD cc若若則則01,log,loglogccccyxabab是是單單調調遞遞減減函函數數 又又B,01,(0,),0,cccCcyxabab選選項項在在上上單單調調遞遞增增: 01,xabDcycabcc選選項項單單調調遞遞減減1yx2 2O1yx2

6、2O1yx2 2O1yx2 2O2| |9.2 2,2()xyxe函函數數在在的的圖圖像像大大致致為為ABCD22(2)882.80,feA排排除除22(2)882.71,feB排排除除2010,( )2,( )4,0,411( )40,( )0,44xxxf xxefxxexfxef xC 時時當當時時在在遞遞減減 排排除除D1,2nxxyny , ,x y n輸輸入入開開始始結結束束,x y輸輸 出出1nn 2236?xy 是是否否10.,0,1,1,().2.3.4.5xynx yA yxB yxC yxD yx執執行行右右邊邊的的程程序序框框圖圖 如如果果輸輸入入的的則則輸輸出出的的的

7、的值值滿滿足足,0,1,2xyn第第一一次次否否1,2,32xyn第第二二次次否否3,6,2xy第第三三次次是是 輸輸出出4yxC1111111111.,/,()3231.2233ABCDA B C DACB DABCDmABB Anm nABCD 平平面面 過過正正方方體體的的頂頂點點平平面面平平面面平平面面則則所所成成角角的的正正弦弦值值為為111111111111111/,/,=/CB DABCDA B C DABCDmCB DA B C DB DB Dm 平平面面平平面面平平面面平平面面平平面面平平面面平平面面1111111,/ ,360 ,sin2CDnmnCD BCD BCD B同

8、同理理、 所所成成角角即即為為A112.( )sin2sin(,),3()11 11. 1,1.1,.,.1,33 33f xxxaxaABCD 若若函函數數在在單單調調遞遞增增則則 的的取取值值范范圍圍是是222( )1cos2cos0,321(2cos1)cos0,345coscos0.33fxxaxxRxaxxax 對對恒恒成成立立即即即即恒恒成成立立245( ), 1,10.,331( 1)03.1(1)0,311:.33f ttattfafaaC 即即恒恒大大于于等等于于 開開口口向向下下最最小小值值可可能能為為端端點點值值 只只需需保保證證解解得得選選C第第II卷卷本卷包括必考題和

9、選考題兩部分。第本卷包括必考題和選考題兩部分。第(13)題題第第(21)題題為必考題，每個試題考生都必須作答。第為必考題，每個試題考生都必須作答。第(22)題題第第(24)題為選考題，考生根據要求作答。題為選考題，考生根據要求作答。二、填空題：本大題共二、填空題：本大題共4小題，每小題小題，每小題5分。分。13.( ,1),(1,2),.ax xbabx設設向向量量且且則則2,0,2(1)0,.3a bxxx 由由題題意意23 314.,sin,tan454. 已已知知 是是第第四四象象限限角角 且且則則34,sin(),cos(),4545由由題題意意sinsin()424tan()4cos

10、()cos442cos()443sin()4 43 2215.2:220,2 3,.yxaCxyayABABC 設設直直線線與與圓圓相相交交于于兩兩點點 若若則則圓圓 的的面面積積為為222222:220,:()2,(0, ),2CxyayCxyaaCara圓圓即即圓圓心心為為半半徑徑222222|02 |(0, )20,222 3|+=2,:2,22,224aaaCaxyaaaaraCr 圓圓心心到到直直線線的的距距離離為為所所以以得得圓圓 的的面面積積為為4 16.某高科技企業生產產品某高科技企業生產產品A和產品和產品B,需要甲、乙兩種新型需要甲、乙兩種新型材料材料.生產一件產品生產一件產

11、品A需要甲材料需要甲材料1.5kg,乙材料乙材料1kg,用用5個工個工時時;生產一件產品生產一件產品B需要甲材料需要甲材料0.5kg,乙材料乙材料0.3kg,用用3個工個工時時.生產一件產品生產一件產品A的利潤為的利潤為2100元元,生產一件產品生產一件產品B的利潤的利潤為為900元元.該企業現有甲材料該企業現有甲材料150kg,乙材料乙材料90kg,則在不超過則在不超過600個工時的條件下個工時的條件下,生產產品生產產品A、產品、產品B的利潤之和的最大的利潤之和的最大值為值為 元元設生產設生產A產品產品x件，件，B產品產品y件，根據所耗費的材料要求、件，根據所耗費的材料要求、工時要求等其他限

12、制條件，構造線性規則約束為工時要求等其他限制條件，構造線性規則約束為*1.50.51500.39053600,0,xyxyxyx yx yN 2100900zxy目目標標函函數數,(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),作作出出可可行行域域為為圖圖中中的的四四邊邊形形 包包括括邊邊界界 頂頂點點為為(60,100),2100 60900 100216000z 在在處處取取得得最最大大值值三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟驟1211117.3,=1,=3.(1); (2).nnnnnnnnabbba bbnbab

13、n已已知知是是公公差差為為 的的等等差差數數列列 數數列列滿滿足足求求的的通通項項公公式式求求的的前前 項項和和12211211111(1)1,1,.1,3332,2,3,31nnna bbb bbaaaan當當時時是是首首項項為為公公差差為為 的的等等差差數數列列三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟驟1211117.3,=1,=3.(1); (2).nnnnnnnnabbba bbnbabn已已知知是是公公差差為為 的的等等差差數數列列 數數列列滿滿足足求求的的通通項項公公式式求求的的前前 項項和和111111(2):(31),1

14、1,1,3311313,122 313nnnnnnnnnnnnnnna bbnbnbbnbbbbbnSS 由由得得數數列列是是首首項項為為 公公比比為為 的的等等比比數數列列記記數數列列的的前前 項項和和為為則則18.如圖如圖,已知正三棱錐已知正三棱錐P-ABC的側面是直角三角形的側面是直角三角形,PA=6,頂點頂點P在平面在平面ABC內的正投影為點內的正投影為點D, D在平面在平面PAB內的正內的正投影為點投影為點E,連結連結PE并延長交并延長交AB于點于點G.（1）證明：）證明：G是是AB的中點；的中點；PABCDEG(1),PABCDABPDDPABEABDEPDDEDABPEDABPG

15、 因因為為 在在平平面面內內的的正正投投影影為為所所以以因因為為 在在平平面面內內的的正正投投影影為為所所以以又又平平面面,.PAPBGAB 又又由由已已知知可可得得從從而而 是是的的中中點點18.如圖如圖,已知正三棱錐已知正三棱錐P-ABC的側面是直角三角形的側面是直角三角形,PA=6,頂點頂點P在平面在平面ABC內的正投影為點內的正投影為點D, D在平面在平面PAB內的正內的正投影為點投影為點E,連結連結PE并延長交并延長交AB于點于點G.（2）在圖中作出點）在圖中作出點E在平面在平面PAC內的正投影內的正投影F（說明作法（說明作法及理由）及理由）,并求四面體并求四面體PDEF的體積的體積

16、PABCDEGF(2),.:,/,.PABEPBPAF FEPACPBPAPBPCEF PBEFPA EFPCPAPCPEFPACFEPAC 在在平平面面內內 過過點點 作作的的平平行行線線交交于于點點即即為為在在平平面面內內的的正正投投影影 理理由由如如下下 由由已已知知可可得得又又所所以以又又平平面面即即點點 為為 在在平平面面內內的的正正投投影影PABCDEGF,(1),23CGPABCDDABCGABDCGCDCG 連連接接因因為為 在在平平面面內內的的正正投投影影為為所所以以 是是正正的的中中心心 由由知知是是的的中中點點 所所以以 在在上上 故故,/,21,336,2,2 2PCP

17、AB DEPABDE PCPEPG DEPCPADEPE 由由題題設設知知平平面面平平面面所所以以因因此此由由已已知知 正正三三棱棱錐錐的的側側面面是是直直角角三三角角形形且且可可得得,2RTEFPEFPF在在中中可可得得1142 2 2.323PDEFV 19.某公司計劃購買某公司計劃購買1臺機器臺機器,該種機器使用三年后即被該種機器使用三年后即被淘汰淘汰.機器有一易損零件機器有一易損零件,在購進機器時在購進機器時,可以額外購買可以額外購買這種零件作為備件這種零件作為備件,每個每個200元元.在機器使用期間在機器使用期間,如果備如果備件不足再購買件不足再購買,則每個則每個500元元.現需決策

18、在購買機器時應現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數種機器在三年使用期內更換的易損零件數,得下面柱狀得下面柱狀圖：圖：記記x表示表示1臺機器在三年使用期內需更換的易損零臺機器在三年使用期內需更換的易損零 件數件數,y表示表示1臺機器在購買易損零件臺機器在購買易損零件 上所需的費用上所需的費用(單位單位:元元),n表示表示 購機的同時購買的易損零購機的同時購買的易損零 件數件數. (1)若若n=19,求求y與與x的的 函數解析式函數解析式 (1)19,3800;19,3800500(19

19、)5005700,3800,19()5005700,19xyxyxxxyxyxNxx 當當時時當當時時與與 的的函函數數解解析析式式為為(1)若若n=19,求求y與與x的函數解析式的函數解析式（2）若要求）若要求“需更換的易損零件數不大于需更換的易損零件數不大于”的頻率的頻率不小于不小于0.5，求，求n的最小值；的最小值；（2）由柱狀圖知，需更換的零件數不大于）由柱狀圖知，需更換的零件數不大于18的頻率的頻率為為0.46，不大于，不大于19的頻率為的頻率為0.7，故，故n的最小值為的最小值為19. （3）假設這）假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損個易

20、損零件，或每臺都購買零件，或每臺都購買20個易損零件，分別計算這個易損零件，分別計算這100臺機臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數，以此作為決策依器在購買易損零件上所需費用的平均數，以此作為決策依據，購買據，購買1臺機器的同時應購買臺機器的同時應購買19個還是個還是20個易損零件？個易損零件？(3)若每臺機器在購機同時都購買若每臺機器在購機同時都購買19個易損零件個易損零件,則這則這100臺臺機器中有機器中有70臺在購買易損零件上的費用為臺在購買易損零件上的費用為3800,20臺的費臺的費用為用為4300,10臺的費用為臺的費用為4800,因此這因此這100臺機器在購買易損臺機器在購買易損

21、零件上所需費用的平均數為零件上所需費用的平均數為 1(3800 704300 204800 10)4000100若每臺機器在購機同時都購買若每臺機器在購機同時都購買20個易損零件個易損零件,則這則這100臺機臺機器中有器中有90臺在購買易損零件上的費用為臺在購買易損零件上的費用為4000,10臺的費用臺的費用為為4500,因此這因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數為均數為 1(4000 904500 10)4050100購買購買1臺機器的同時應購買臺機器的同時應購買19個易損零件個易損零件.220.,:(0),:2(0),.(1).xOylyt

22、tyMCypx pP MPOHNONCHON在在直直角角坐坐標標系系中中 直直線線交交 軸軸于于點點交交拋拋物物線線于于點點關關于于點點 的的對對稱稱點點為為連連結結并并延延長長交交 于于點點求求22(1):(0, ),(, ),2(, )tMtPtNMPptNtp由由已已知知得得又又與與關關于于點點 對對稱稱故故2222,2,2:20,0pONyxypxttpxt xxp直直線線的的方方程程為為代代入入得得或或22|(,2 ),2|tOHHtNOHpON是是的的中中點點(2),?.HMHC除除 以以外外 直直線線與與 是是否否有有其其他他公公共共點點 說說明明理理由由(2),:MHCH直直線

23、線與與 除除 以以外外沒沒有有其其他他的的公公共共點點 理理由由如如下下222122,(),22:440,:2 ,.ptMHytxxytypxtpytytyytMHCHMHC 直直線線的的方方程程為為即即代代入入得得解解得得直直線線與與 只只有有一一個個公公共共點點 所所以以除除 以以外外直直線線與與沒沒有有其其他他公公共共點點221.( )(2)(1)(1)( );xf xxea xf x已已知知函函數數討討論論的的單單調調性性(1)( )(1)2 (1)(1)(2 )xxfxxea xxea ( )0,(,1),( )0;(1,),( )0,( )(,1),(,1)iaxfxxfxf x

24、若若時時 則則當當時時當當時時在在單單調調遞遞減減 在在單單調調遞遞增增( )0,( )0,1ln( 2 ).iiafxxxa 若若由由得得或或,( )(1)(),( )2xeafxxeef xR 若若則則在在 上上單單調調遞遞增增,ln( 2 )1,ln( 2 )1,( )20;ln( 2 )1,( )0,( )(,ln( 2 ),(1,),(ln( 2 ),1).eaaxaxfxaxfxf xaa 若若則則故故當當或或時時當當時時所所以以在在單單調調遞遞增增 在在單單調調遞遞減減221.( )(2)(1)(1)( );xf xxea xf x已已知知函函數數討討論論的的單單調調性性,ln(

25、 2 )1,1ln( 2 ),2( )0,1ln( 2 ),( )0,( )(,1),(ln( 2 ),),(1,ln( 2 ).eaaxxafxxafxf xaa 若若則則則則當當或或時時當當時時所所以以在在單單調調遞遞增增 在在單單調調遞遞減減(2)( )(1)2 (1)(1)(2 )xxfxxea xxea0,( )0(2)02,( )2,;xaf xxexf xx 若若則則只只有有唯唯一一的的零零點點不不合合題題意意0,(,1),( )0;(1,),( )0,( )(,1),(1,)axfxxfxf x 若若則則當當時時當當時時所所以以在在單單調調遞遞減減 在在單單調調遞遞增增(1)0

26、,(2)0,(1) (2)0,( )(1,2).fefafff x 又又在在上上存存在在一一個個零零點點220ln,( )(2)(1)223()0,( )( ,1),2aabbbf bba ba bbf xb取取 滿滿足足且且則則在在上上存存在在一一個個零零點點 滿滿足足題題意意221.( )(2)(1)(2)( ),.xf xxea xf xa已已知知函函數數若若有有兩兩個個零零點點 求求 的的取取值值范范圍圍0,( )01ln( 2 )afxxxa 若若由由得得或或,ln( 2 )1,(1,),( )0,2( )(1,),1,( )0,( ).eaaxfxf xxf xf x 若若則則故故

27、當當時時因因此此在在單單調調遞遞增增 又又當當時時所所以以不不存存在在兩兩個個零零點點,ln( 2 )1,(1,ln( 2 ),( )0;2(ln( 2 ),),( )0,( )(1,ln( 2 ),(ln( 2 ),).1,( )0,( ).eaaxafxxafxf xaaxf xf x 若若則則故故當當時時當當時時因因此此在在單單調調遞遞減減 在在單單調調遞遞增增 又又當當時時所所以以不不存存在在兩兩個個零零點點,(0,)a綜綜上上所所述述的的取取值值范范圍圍是是請考生在第（請考生在第（22）、（）、（23）、（）、（24）題中任選一題作）題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分答

28、，如果多做，則按所做的第一題計分ABOCD22.,120 ,1.(1):;2OABAOBOOAABO如如圖圖 是是等等腰腰三三角角形形以以 為為圓圓心心為為半半徑徑作作圓圓證證明明 直直線線與與相相切切K(1),rOKABK 設設圓圓的的半半徑徑為為作作于于,120 ,30 ,sin30,2OAOBAOBOKABAOAOKOArABO 與與相相切切ABOCD22.,120 ,1.2(2),:/.OABAOBOOAC DOA B C DAB CD如如圖圖 是是等等腰腰三三角角形形以以 為為圓圓心心為為半半徑徑作作圓圓點點在在上上 且且四四點點共共圓圓 證證明明KO (2)2,.OAODOA B

29、C DOA B C DOO 因因為為所所以以 不不是是四四點點所所在在圓圓的的圓圓心心設設是是四四點點所所在在圓圓的的圓圓心心 作作直直線線,.OABOABOOAB 由由已已知知得得 在在線線段段的的垂垂直直平平分分線線上上 又又在在線線段段的的垂垂直直平平分分線線上上 所所以以,/OOCDAB CD 同同理理可可證證所所以以1211cos ,23.,1sin ,(,0).,:4cos .(1),;xatxOyCyattaxCCC 在在直直角角坐坐標標系系中中 曲曲線線的的參參數數方方程程為為為為參參數數在在以以坐坐標標原原點點為為極極點點軸軸正正半半軸軸為為極極軸軸的的極極坐坐標標系系中中 曲曲線線說說明明是是哪哪一一種種曲曲線線 并并將將的的方方程程化化為為極極坐坐標標方方程程 2221cos(1)(),11sin(0,1),.xattxyayatCa 為為參參數數是是以以為為圓圓心心為