1、第6課時對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1對數(shù)的概念如果axN(a0且a1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作xlogaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)2對數(shù)的性質與運算法則(1)對數(shù)的運算法則：如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logMnlogaM.(2)對數(shù)的性質：alogaNN；logaaNN(a0且a1)(3)對數(shù)的重要公式：換底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1)；logab，推廣logab·logbc·logcdlogad.3對數(shù)函數(shù)的圖象與性質a10a1圖象性質(1

2、)定義域：(0，)(2)值域：R(3)過定點(1,0)，即x1時，y0(4)當x1時，y0當0x1時，y0(5)當x1時，y0當0x1時，y0(6)在(0，)上是增函數(shù)(7)在(0，)上是減函數(shù) 4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax與對數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線yx對稱5判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)(2)38可化為log(2)(8)3.(×)(2)若MN0，則loga(MN)logaMlogaN.(×)(3)logax·logayloga(xy)(×)(4)函數(shù)ylog2x及ylog3x都是對數(shù)函數(shù)(

3、15;)(5)對數(shù)函數(shù)ylogax(a0，且a1)在(0，)上是增函數(shù)(×)(6)函數(shù)yln與yln(1x)ln(1x)的定義域相同()(7)對數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)的圖象過定點(1,0)()(8)log2x22log2x.(×)(9)當x1時，logax0.(×)(10)當x1時，若logaxlogbx，則ab.(×)考點一對數(shù)式的運算命題點1.指數(shù)式與對數(shù)式的互化2.計算對數(shù)值例1(1)若xlog43，則(2x2x)2等于()A.B.C. D.解析：由xlog43，得4x3，即2x，2x，所以(2x2x)22.答案：D(2)(2017

4、83;山東日照質檢)2lg 2lg 的值為()A1 B2C3 D4解析：2lg 2lglg 4lg 25lg 1002.答案：B方法引航(1)首先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運算性質化簡合并.(2)將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算性質，轉化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運算.1已知4a2，lg xa，則x_.解析：4a2，alog42log44.又lg xa，lg x，x.答案：2已知函數(shù)f(x)則f(f(1)f的值是()A5 B3C1 D.解析：選A.因為f(1)log210，所以f(f(1)f(0)2.因為l

5、og30，所以f(log3)3log313log321213.所以f(f(1)f(log3)235.考點二對數(shù)函數(shù)的圖象及應用命題點1.對數(shù)函數(shù)的圖象變換與識別2.應用對數(shù)函數(shù)的圖象求參數(shù)3.應用對數(shù)函數(shù)圖象解不等式例2(1)函數(shù)y2log4(1x)的圖象大致是()解析：函數(shù)y2log4(1x)的定義域為(，1)，排除A、B；又函數(shù)y2log4(1x)在定義域內單調遞減，排除D.選C.答案：C(2)已知0m12m2，a0，且a1，若logam1m11，logam2m21，則實數(shù)a的取值范圍是()A2a3B0a1C1a2 D3a4解析：依題意，知方程式logaxx1有兩個不等實根m1，m2，在同

6、一直角坐標系下，作出函數(shù)ylogax與yx1的圖象，顯然a1，由圖可知m11，要使m22，需滿足loga221，即a2.綜上知：實數(shù)a的取值范圍是1a2，選C.答案：C(3)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，當x0時，f(x)log2x，則滿足不等式f(x)0的x的取值范圍是_解析：由題意知yf(x)的圖象如圖所示：所以滿足f(x)0的x的取值范圍是(1,0)(1，)答案：(1,0)(1，)方法引航(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調性(單調區(qū)間)、值域(最值)、零點時，常利用數(shù)形結合思想. (2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉化為相應的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結合法求解

7、.1函數(shù)ylg|x1|的圖象是()解析：選A.因為ylg|x1|當x1時，函數(shù)無意義，故排除B、D.又當x2或0時，y0，所以A項符合題意2當0x時，4xloga x，則a的取值范圍是()A. B.C(1，) D(，2)解析：選B.法一：構造函數(shù)f(x)4x和g(x)logax，當a1時不滿足條件，當0a1時，畫出兩個函數(shù)在上的圖象，可知，fg，即2loga，則a，所以a的取值范圍為.法二：0x，14x2，logax4x1，0a1，排除選項C，D；取a，x，則有，顯然4xlogax不成立，排除選項A.3如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)log2(x1)的解集是()Ax|1x

8、0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x2解析：選C.在平面直角坐標系中作出函數(shù)ylog2(x1)的圖象如圖所示所以f(x)log2(x1)的解集是x|1x1，所以選C.考點三對數(shù)函數(shù)性質及應用命題點1.對數(shù)函數(shù)的定義域2.利用單調性比較對數(shù)值的大小3.與對數(shù)函數(shù)復合的函數(shù)的性質例3(1)函數(shù)f(x)的定義域為()A(0,2)B(0,2C(2，) D2，)解析：要使函數(shù)f(x)有意義，需使，解得x2，即函數(shù)f(x)的定義域為(2，)答案：C(2)(2017·天津一模)已知alog25，blog5(log25)，c0.52，則a，b，c的大小關系為()Aabc BbcaCcba Dbac解

9、析：alog252，blog5(log25)(0,1)，c0.52(1,2)，可得bca.故選B.答案：B(3)已知函數(shù)f(x)loga(x1)loga(1x)，a0且a1.求f(x)的定義域；判斷f(x)的奇偶性并予以證明；當a1時，求使f(x)0的x的解集解：(1)要使函數(shù)f(x)有意義，則解得1x1.故所求函數(shù)f(x)的定義域為(1,1)(2)由(1)知f(x)的定義域為(1,1)，且f(x)loga(x1)loga(1x)loga(x1)loga(1x)f(x)，故f(x)為奇函數(shù)(3)因為當a1時，f(x)在定義域(1,1)內是增函數(shù)，所以f(x)01，解得0x1.所以使f(x)0的

10、x的解集是(0,1)方法引航(1)對于多個對數(shù)值大小比較，首先利用對數(shù)性質分開正、負數(shù)(與0比較)再分開(0，1)與(1，)(與1比較)(2)解決簡單的對數(shù)不等式，應先利用對數(shù)的運算性質化為同底數(shù)的對數(shù)值，再利用對數(shù)函數(shù)的單調性轉化為一般不等式求解.(3)對數(shù)函數(shù)的單調性和底數(shù)a的值有關，在研究對數(shù)函數(shù)的單調性時，要按0a1和a1進行分類討論.1在本例(3)中，將函數(shù)變?yōu)閒(x)loga(x1)loga(1x)，a0且a1.判斷函數(shù)的單調性解：f(x)的定義域為即x(1,1)f(x)loga(1x2)，設g(x)1x2當a1時，x(1,0)，g(x)為增函數(shù)，f(x)loga(1x2)為增函數(shù)

11、，x(0,1)，g(x)為減函數(shù)，f(x)loga(1x2)為減函數(shù)當0a1時，x(1,0)，g(x)為增函數(shù)，f(x)loga(1x2)為減函數(shù)，x(0,1)，g(x)為減，f(x)loga(1x2)為增函數(shù)2在本例(3)中，當0a1時，求解f(x)0的解集解：f(x)0，loga(1x)loga(1x)，1x0.f(x)的解集為(1,0)易錯警示忽視對數(shù)底數(shù)的分類討論典例已知函數(shù)ylogax(2x4)的最大值比最小值大1，則a的值為_正解當a1時，ylogax(2x4)為增函數(shù)，ymaxloga4，yminloga2.loga4loga21，即loga21，a2.當0a1時，ylogax(

12、2x4)為減函數(shù)，ymaxloga2，yminloga4.loga2loga41，即loga21，a.答案2或易誤對數(shù)函數(shù)的底數(shù)含有參數(shù)a，易忽視討論a與1的大小關系而直接按a1解題，只得一解2.警示當應用對數(shù)函數(shù)ylogax的單調性，而底數(shù)a不確定時，要分a1或0a1進行討論高考真題體驗1(高考全國乙卷)若ab0,0c1，則()AlogaclogbcBlogcalogcbCacbc Dcacb解析：選B.0c1，當ab1時，logaclogbc，A項錯誤；0c1，ylogcx在(0，)上單調遞減，又ab0，logcalogcb，B項正確；0c1，函數(shù)yxc在(0，)上單調遞增，又ab0，ac

13、bc，C項錯誤；0c1，ycx在(0，)上單調遞減，又ab0，cacb，D項錯誤故選B.2(高考全國乙卷)若ab1,0c1，則()Aacbc BabcbacCalogbcblogac Dlogaclogbc解析：選C.對于選項A，考慮冪函數(shù)yxc，因為c0，所以yxc為增函數(shù)，又ab1，所以acbc，A錯對于選項B，abcbacc，又yx是減函數(shù)，所以B錯對于選項D，由對數(shù)函數(shù)的性質可知D錯，故選C.3(高考課標全國卷)已知函數(shù)f(x)且f(a)3，則f(6a)()A BC D解析：選A.當a1時，2a123，無解；當a1時，log2(a1)3，得a7，所以f(6a)f(1)222，故選A.4

14、(高考全國卷)設函數(shù)f(x)ln(1|x|)，則使得f(x)f(2x1)成立的x的取值范圍是()A.B.(1，)C.D.解析：選A.函數(shù)f(x)ln(1|x|)，f(x)f(x)，故f(x)為偶函數(shù)，又當x(0，)時，f(x)ln(1x)，f(x)是單調遞增的，故f(x)f(2x1)f(|x|)f(|2x1|)，|x|2x1|，解得x1，故選A.5(高考課標卷)設alog32，blog52，clog23，則()Aacb BbcaCcba Dcab解析：選D.23,12，32，log3log32log33，log51log52log5，log23log22，a1,0b，c1，cab.故選D.6(

15、高考浙江卷)已知a，b0且a1，b1.若logab1，則()A(a1)(b1)0 B(a1)(ab)0C(b1)(ba)0 D(b1)(ba)0解析：選D.法一：logab1logaa，當a1時，ba1；當0a1時，0ba1.只有D正確法二：取a2，b3，排除A、B、C，故選D.課時規(guī)范訓練A組基礎演練1函數(shù)f(x)的定義域為()A2,0)(0,2B(1,0)(0,2C2,2 D(1,2解析：選B.由，得1x2，且x0.2已知a0，a1，函數(shù)yax與yloga(x)的圖象可能是()解析：選B.函數(shù)yloga(x)的圖象與ylogax的圖象關于y軸對稱，又yax的圖象與ylogax圖象關于yx對

16、稱，符合條件的只有B.3設a30.5，b0.53，clog0.53，則a，b，c的大小關系為()Abca BbacCcba Dcab解析：選C.因為a30.5301,0b0.530.501，clog0.53log0.510，所以c0b1a，故選C.4已知xln ，ylog52，z，則()Axyz BzxyCzyx Dyzx解析：選D.xln ln e，x1.ylog52log5，0y.z，z1.綜上可知，yzx.5設函數(shù)f(x)若f(a)f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)解析：選C.f(a)f(a) 或或a1或

17、1a0.6若alog43，則2a2a_.解析：原式.答案：7函數(shù)f(x)2xlog2x(x1,2)的值域為_解析：因為函數(shù)y2x，ylog2x在1,2上都單調遞增，所以f(x)2xlog2x在1,2上也單調遞增，所以當x1時，函數(shù)f(x)取得最小值2，當x2時，函數(shù)f(x)取得最大值5，即函數(shù)值域是2,5答案：2,58已知函數(shù)f(x)，則使函數(shù)f(x)的圖象位于直線y1上方的x的取值范圍是_解析：當x0時，3x11x10，1x0；當x0時，log2x1x2，x2.綜上所述，x的取值范圍為1x0或x2.答案：x|1x0或x29設f(x)loga(1x)loga(3x)(a0，a1)，且f(1)2

18、.(1)求a的值及f(x)的定義域；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值解：(1)f(1)2，loga42(a0，a1)，a2.由得x(1,3)，函數(shù)f(x)的定義域為(1,3)(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)24，當x(1,1時，f(x)是增函數(shù)；當x(1,3)時，f(x)是減函數(shù)，函數(shù)f(x)在上的最大值是f(1)log242.10已知f(x)logax(a0且a1)，如果對于任意的x都有|f(x)|1成立，求a的取值范圍解：由已知f(x)logax，當0a1時，|f(2)|logaloga2loga0，當a1時，|f(2)|logaloga2loga0，故|f(2)|總成立則y|f(x)|的圖象如圖要使x時恒有|f(x)|1，只需1，即1loga1，即logaa1logalogaa，當a1時，得a1a，即a3；當0a1時，得a1a，即0a.綜上所述，a的取值范圍是3，)B組能力突破1若正數(shù)a，b滿足2log2a3log3blog6(ab)，則的值為()A36B72C108 D.解析：選C.設2log2a3log3blog6(ab)k，可得a2k2，b3k3，ab6k，所以108.所以選C.2函數(shù)f(x)loga(ax3)(a0且a1)在1,3上單調遞增，則