1、2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院12009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院21、狀態：系統的狀態，是指系統的過去、現在和將來的狀況。、狀態：系統的狀態，是指系統的過去、現在和將來的狀況。（如：一個質點作直線運動，它的狀態就是它每個時刻的位置（如：一個質點作直線運動，它的狀態就是它每個時刻的位置和速度）和速度）2、狀態變量：能完全表征系統運行狀態的最小數目的一組變量。、狀態變量：能完全表征系統運行狀態的最小數目的一組變量。（如果用最少的（如果用最少的n個變量個變量x1(t)， x2(t)， xn(t)就能完全描就能完全描述系統的狀態，那么這述系統的狀態，那

2、么這n個變量就是一組狀態變量。）個變量就是一組狀態變量。）3、狀態向量：設一個系統有、狀態向量：設一個系統有n個狀態變量，即個狀態變量，即x1(t)，x2(t)，xn(t)，用這，用這n個狀態變量作為分量構成的向量個狀態變量作為分量構成的向量x(t)稱為該系統的狀態向量。記為稱為該系統的狀態向量。記為 Tntxtxtxtx)(,),(),()(212009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院34、引入了狀態和狀態空間的概念之后，就可以建立動力學系、引入了狀態和狀態空間的概念之后，就可以建立動力學系統的狀態空間描述了。從結構的角度講，一個動力學系統統的狀態空間描述了。從結構的角度講，

3、一個動力學系統可用圖可用圖2-1所示的方塊圖來表示。其中所示的方塊圖來表示。其中x(t)表征系統的狀態表征系統的狀態變量，變量，u(t)為系統為系統控制量控制量（即（即輸入輸入量），量），y(t)為系統的輸出為系統的輸出變量。變量。 與輸入與輸入輸出描述不同，狀態空間描述把系統動態過程輸出描述不同，狀態空間描述把系統動態過程的描述考慮為一個更為細致的過程：輸入引起的描述考慮為一個更為細致的過程：輸入引起系統狀態的變系統狀態的變化化，而，而狀態和輸入則決定了輸出的變化狀態和輸入則決定了輸出的變化。圖圖2-1 動力學系統結構示意圖動力學系統結構示意圖2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通

4、管理學院45、狀態方程：、狀態方程：狀態變量的一階導數狀態變量的一階導數與狀態變量、輸入量的關系，與狀態變量、輸入量的關系，稱為系統的狀態方程。稱為系統的狀態方程。 例：設單輸入線性定常系統例：設單輸入線性定常系統(LTI-Linear Time Invariant )的狀態的狀態變量為變量為x1(t)，x2(t)，xn(t)，輸入為輸入為u(t),則一般形式的狀則一般形式的狀態方程為：態方程為：)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(2211222221212112121111tubtxtatxtatxatxtubtxtatxtatxatxtubt

5、xtatxtatxatxnnnnnnnnnnn2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院5u上式可寫成向量上式可寫成向量矩陣形式：矩陣形式：nxxxx21nxxxx21nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211nbbbb21系統矩陣，表示系內部狀態的聯系。)()()(tbutAxtxbuAxx或或輸入矩陣或控制矩陣，表示輸入對狀態的作用。2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院66、輸出方程：在指定系統輸出的情況下，該輸出、輸出方程：在指定系統輸出的情況下，該輸出與狀態變量、輸入量之間的函數關系式，稱為系與狀態變量、輸入量之間的函數關系式，稱為系統的

6、輸出方程。統的輸出方程。例：單輸出線性定常系統例：單輸出線性定常系統 )()()()()(2211tdutxctxctxctynn其向量其向量矩陣形式為：矩陣形式為：)()()(tdutcxty2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院77、狀態空間表達式：狀態方程與輸出方程的組合稱為狀態空間、狀態空間表達式：狀態方程與輸出方程的組合稱為狀態空間表達式，又稱為動態方程。它是對系統的一種完全的描述。表達式，又稱為動態方程。它是對系統的一種完全的描述。例：例：SISO系統狀態空間表達式：系統狀態空間表達式： 注意：由于注意：由于A、B、C、D矩陣完整地表征了系統的動態特性，所以有時把

7、一個矩陣完整地表征了系統的動態特性，所以有時把一個確定的系統簡稱為系統確定的系統簡稱為系統 。 系統矩陣系統矩陣A：表示系統內部各狀態變量之間的關聯情況。：表示系統內部各狀態變量之間的關聯情況。 輸入矩陣（或控制矩陣）輸入矩陣（或控制矩陣）B：表示輸入對每個狀態變量的作用情況。：表示輸入對每個狀態變量的作用情況。 輸出矩陣輸出矩陣C：表示輸出與每個狀態變量之間的組成關系。：表示輸出與每個狀態變量之間的組成關系。 前饋矩陣前饋矩陣D：表示輸入對輸出的直接傳遞關系。一般控制系統中，通常情：表示輸入對輸出的直接傳遞關系。一般控制系統中，通常情況況D=0。ducxybuAxxDuCxyBuAxxMIM

8、O系統狀態空間表達式：系統狀態空間表達式：2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院88、狀態空間分析法：在狀態空間中以狀態向量或狀態變量描、狀態空間分析法：在狀態空間中以狀態向量或狀態變量描述系統的方法，稱為狀態空間分析法或狀態變量法。述系統的方法，稱為狀態空間分析法或狀態變量法。狀態空間表達式狀態空間表達式DuCxyBuAxx的結構圖如下：的結構圖如下：圖圖2 22 2 系統動態方程的方塊圖結構系統動態方程的方塊圖結構2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院9線性系統狀態空間表達式的一般形式：線性系統狀態空間表達式的一般形式：連續系統：用線性微分方程來描述連續

9、系統：用線性微分方程來描述DuCxyBuAxx離散系統：用差分方程來描述離散系統：用差分方程來描述)()()()()() 1(kDukCxkYkHukGxkx2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院10一、狀態空間表達式的模擬結構圖一、狀態空間表達式的模擬結構圖 在狀態空間分析中，采用模擬計算機的模擬結構圖來表示在狀態空間分析中，采用模擬計算機的模擬結構圖來表示各狀態變量之間的信息傳遞關系，這對于建立系統的狀態各狀態變量之間的信息傳遞關系，這對于建立系統的狀態空間表達式很有幫助。狀態空間表達式的模擬結構圖有三空間表達式很有幫助。狀態空間表達式的模擬結構圖有三種基本符號：種基本符

10、號：（1）積分器）積分器（3）比例器）比例器（2）加法器）加法器2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院11（1）積分器）積分器（3）比例器）比例器（2）加法器）加法器s1xxxxxxxx1x2x213xxxkxkx2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院12【例【例2.2.1】已知系統動態方程如下，試畫出系統結構】已知系統動態方程如下，試畫出系統結構圖。圖。uxxxxxxxx3213322123621xxy解：寫成向量解：寫成向量矩陣形式矩陣形式cxybuAxx236100010A100b011c， ， 其中：其中：2009-08CAUC-空中交通管理學院空中

11、交通管理學院13u系統結構圖（或狀態變量圖）如下：系統結構圖（或狀態變量圖）如下： 系統結構圖（用基本單元來模擬動態方程）uxxxxxxxx3213322123621xxy2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院14二、狀態空間表達式的的建立二、狀態空間表達式的的建立， ， 四種方法四種方法:、由傳遞函數建立、由微分方程建立定律建立、由實際系統通過物理立、由控制系統結構圖建43212009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院151、 由控制系統的結構圖求系統動態方程由控制系統的結構圖求系統動態方程u系統結構圖是經典控制中常用的一種用來表示控制系統中各環節、各信系統結

12、構圖是經典控制中常用的一種用來表示控制系統中各環節、各信號相互關系的圖形化的模型，具有形象、直觀的優點，常為人們采用。號相互關系的圖形化的模型，具有形象、直觀的優點，常為人們采用。要將系統結構圖模型轉化為要將系統結構圖模型轉化為狀態空間表達式狀態空間表達式，一般可以由下列三個步驟，一般可以由下列三個步驟組成：組成：第一步：在系統結構圖的基礎上，將各環節通過等效變換分解，使得整個系第一步：在系統結構圖的基礎上，將各環節通過等效變換分解，使得整個系統只有標準積分器（統只有標準積分器（1/s）、比例器（）、比例器（k）及加法器組成，這三種基本器）及加法器組成，這三種基本器件通過串聯、并聯和反饋三種形

13、式組成整個控制系統。件通過串聯、并聯和反饋三種形式組成整個控制系統。第二步：將上述調整過的結構圖中的每個標準積分器（第二步：將上述調整過的結構圖中的每個標準積分器（1/s）的）的輸出輸出作為一個作為一個獨立的狀態變量獨立的狀態變量xi，積分器的輸入端就是狀態變量的一階導數，積分器的輸入端就是狀態變量的一階導數dxi /dt。第三步：根據調整過的結構圖中各信號的關系，可以寫出每個狀態變量的一第三步：根據調整過的結構圖中各信號的關系，可以寫出每個狀態變量的一階微分方程，從而寫出系統的狀態方程。根據需要指定輸出變量，即可階微分方程，從而寫出系統的狀態方程。根據需要指定輸出變量，即可以從結構圖寫出系統

14、的輸出方程。以從結構圖寫出系統的輸出方程。2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院16【例【例2.2.2】某控制系統的結構圖如圖】某控制系統的結構圖如圖23（a）所示，試求出其動態方程。）所示，試求出其動態方程。， ， （a）解解:u 該系統主要有一個一階慣性環節和一個積分器組成。該系統主要有一個一階慣性環節和一個積分器組成。u 對于一階慣性環節，我們可以通過等效變換，轉化為一個前向通道為一對于一階慣性環節，我們可以通過等效變換，轉化為一個前向通道為一標準積分器的反饋系統。標準積分器的反饋系統。u 圖圖2-3（a）所示結構圖經等效變換后如圖）所示結構圖經等效變換后如圖2-3（b

15、）所示）所示圖圖2-3 控制系統結構圖控制系統結構圖2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院17（b） （a）u圖圖2-3（a）所示結構圖經等效變換后如圖）所示結構圖經等效變換后如圖2-3（b）所示）所示 (b)2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院18取取y為系統輸出，輸出方程為：為系統輸出，輸出方程為： 寫成矢量形式，我們得到系統動態方程：寫成矢量形式，我們得到系統動態方程： （b）u 我們取每個積分器的輸出端信號為狀態變量和，我們取每個積分器的輸出端信號為狀態變量和， 積分器的輸入端即和。積分器的輸入端即和。從圖可得系統狀態方程從圖可得系統狀態方程1xy

16、 2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院19【例【例2.2.3】 求如圖所示系統的動態方程。求如圖所示系統的動態方程。（b）第一次等效變換）第一次等效變換（a）系統方塊圖）系統方塊圖（c）由標準積分器組）由標準積分器組成的等效方塊圖成的等效方塊圖2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院20解：圖解：圖(a)第一個環節第一個環節 可以分解為可以分解為 ，即分解為兩個通道，如圖，即分解為兩個通道，如圖(b)左側點劃左側點劃線所框部分。第三個環節為一個二階振蕩環節，它可以等效變換為如圖線所框部分。第三個環節為一個二階振蕩環節，它可以等效變換為如圖(b)右側雙點劃線所

17、框部分。右側雙點劃線所框部分。進一步，我們可以得到圖進一步，我們可以得到圖(c)所示的由標準積分器組成的所示的由標準積分器組成的等效結構圖。依次取各個積等效結構圖。依次取各個積分器的輸出端信號為系統狀分器的輸出端信號為系統狀態變量態變量 ，由圖，由圖(c)可得系統狀可得系統狀態方程：態方程：uxxuxxxuxxxuxxxxxxxxxx41144431143331221122336482009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院21由圖可知，由圖可知，系統系統輸出輸出寫成矢量形式，得到系統動態方程：寫成矢量形式，得到系統動態方程：1xy 81000640100103111002110

18、00 xxuyx 2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院222 2、根據物理定律建立實際系統的動態方程、根據物理定律建立實際系統的動態方程一般控制系統可分為電氣、機械、機電、液壓、熱力等等。要研究它們，一般一般控制系統可分為電氣、機械、機電、液壓、熱力等等。要研究它們，一般先要建立其運動的數學模型（微分方程先要建立其運動的數學模型（微分方程(組組)、傳遞函數、動態方程等）。根據、傳遞函數、動態方程等）。根據具體系統結構及其研究目的，選擇一定的物理量作為系統的狀態變量和輸出變具體系統結構及其研究目的，選擇一定的物理量作為系統的狀態變量和輸出變量，并利用各種物理定律，如牛頓定律、

19、基爾霍夫電壓電流定律、能量守恒定量，并利用各種物理定律，如牛頓定律、基爾霍夫電壓電流定律、能量守恒定律等，即可建立系統的動態方程模型。律等，即可建立系統的動態方程模型?！纠纠?.2.4】 RLC電路如圖所示電路如圖所示. 系統的控制輸入量為系統的控制輸入量為u(t)，系統輸出為，系統輸出為 。建立。建立系統的動態方程。系統的動態方程。u(t)uc(t)iLRC解：該解：該RLC電路有兩個獨立的儲能元件電路有兩個獨立的儲能元件L和和C，設回路電流為，設回路電流為 ，根據基爾霍夫，根據基爾霍夫電壓定律和電壓定律和R、L、C元件的電壓電流關系，可得到下列方程：元件的電壓電流關系，可得到下列方程：)

20、()(.)(1)(tutiRdttiCdttdiLdttiCtuc)(1)(2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院23 （1）我們可以取流過）我們可以取流過電感電感L的電流的電流 和和電容電容C兩端電壓兩端電壓 作為系統的兩個狀態變作為系統的兩個狀態變量，分別記作量，分別記作 和和 ix 1cux 2121211dtdxLxCdtdxuRxx12211111xCxuLxLxLRx2xy 2121211001011xxyuLxxCLLRxx整理有整理有寫成向量矩陣形式為：寫成向量矩陣形式為：2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院24,1ix idtx21212

21、11dtdxLxdtdxuRxxC1221111xxuLxLCxLRx21xCuyc2121211001011xxCyuLxxLCLRxx整理有整理有寫成向量矩陣形式為：寫成向量矩陣形式為：（2）設狀態變量）設狀態變量 2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院25,11RidtiCxcuidtCx12, )()(.)(1)(tutiRdttiCdttdiLdttiCtuc)(1)(uLRxRCxLRRCxuLRxRCxRCRiuuLRxRCxRCdtdiRxxxRCxRCxxRCiCxc211212121212121)1()(11)(11111)(1112xy （3 3）設狀態

22、變量）設狀態變量 整理有：整理有：寫成向量矩陣形式為：寫成向量矩陣形式為：2121211001111xxyuLRxxRCRCRCLRRCxx注意：選取不同的狀態變量，便注意：選取不同的狀態變量，便會有不同的狀態空間表達式，會有不同的狀態空間表達式，并且各狀態空間表達式之間存在并且各狀態空間表達式之間存在著某種線性關系。著某種線性關系。2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院263 3、由系統的微分方程建立狀態空間表達式、由系統的微分方程建立狀態空間表達式從描述系統輸入輸出動態關系的高階微分方程或傳遞函數出發從描述系統輸入輸出動態關系的高階微分方程或傳遞函數出發建立與之等效的狀態

23、空間表達式的問題，稱為建立與之等效的狀態空間表達式的問題，稱為“實現問題實現問題”。關。關于實現問題的詳細內容，我們將在后面的章節中討論。于實現問題的詳細內容，我們將在后面的章節中討論。注意：實現是非唯一的。注意：實現是非唯一的。（1）輸入量中不含導數項）輸入量中不含導數項SISOSISO線性定常連續系統微分方程的一般形式為：線性定常連續系統微分方程的一般形式為：2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院27nxxx,21第一步：選擇狀態變量（選擇第一步：選擇狀態變量（選擇n n個狀態變量個狀態變量）, ,令：令： )1(321 nnyxyxyxyxnxxx,21uxaxaxax

24、xxxxxxnnnnn012110132211xy 第二步：化高階微分方程為第二步：化高階微分方程為的一階微分方程組。的一階微分方程組。 2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院28cxybuAxx0000b0001c1210100001000010naaaaA第三步：將方程組表示為向量第三步：將方程組表示為向量矩陣形式：矩陣形式：其中：其中： 注注 意：矩陣意：矩陣A A為為友矩陣。友矩陣的友矩陣。友矩陣的特點：主對角線上特點：主對角線上方元素為方元素為1 1，最后，最后一行的元素可以任一行的元素可以任意取，而其余的元意取，而其余的元素均為零。素均為零。 系統結構圖系統結構圖

25、 2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院29uyyyy67416 ,1yx ,2yxyx 3uxxxxxxxx66417321332211xy cxybuAxx6417100010A600b001c【例【例2.2.52.2.5】已知】已知，試列寫動態方程。，試列寫動態方程。狀態方程：狀態方程：輸出方程：輸出方程：狀態空間表達式為：狀態空間表達式為： 其中：其中：解：選狀態變量解：選狀態變量2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院3022)()()(2sssUsYsGuyyy22 yx 1yx2uxxxxx22212211xy 【例【例2.2.62.2.6】已知

26、系統結構圖如下，試求閉環狀態空間表達式?！恳阎到y結構圖如下，試求閉環狀態空間表達式。解：解：故微分方程為：故微分方程為：選狀態變量選狀態變量: : 狀態方程：狀態方程：輸出方程：輸出方程：2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院311210A20b01c其中：其中：uxxxxx22212211xy 2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院32ububububyayayayinnnnnnn01)(1)(01) 1(1)(1011(2,3, )iiixyh uinxxh uducxybuAxx1210100001000010naaaaAnhhhb2101000nc

27、dhb（2 2）輸入量中含導數項）輸入量中含導數項SISOSISO線性定常連續系統的一般形式：線性定常連續系統的一般形式：取取 狀態空間表達式為：狀態空間表達式為：其中：其中：2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院33nhhh,2104132231440312213302112201110hahahahabhhahahabhhahabhhabhbhnnnnnnnnnnnnnnn這里這里可用可用待定系數法待定系數法確定，即：確定，即：注注 意：這種方法不實用。意：這種方法不實用。可先將微分方程畫為傳遞函數，然后再由傳遞函數建立狀態空間表達式?？上葘⑽⒎址匠坍嫗閭鬟f函數，然后再由

28、傳遞函數建立狀態空間表達式。2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院3411101110( )( )( )nnnnnnnb sbsbsbY sG sU ssasa sa)()()(01110111sDsNbasasasssbsGnnnnnnn4 4、由傳遞函數建立狀態空間表達式、由傳遞函數建立狀態空間表達式SISOSISO系統傳遞函數為：系統傳遞函數為：應用綜合除法有：應用綜合除法有：nbducxydnbd SISOSISO系統結構圖系統結構圖上式中的上式中的就是就是中的中的，即，即2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院35)()(sDsN)()(sDsNzy

29、z,1zx ,2zx3,xz)1( nnzx（1 1）串聯分解的情況串聯分解的情況 其中：其中：將將分解為兩部分串聯，分解為兩部分串聯，為中間變量，為中間變量，應滿足：應滿足：選取狀態變量：選取狀態變量：2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院36uzazazaxxxxxxxnnnnn)1(11013221uxaxaxann12110nnnnnnxxxzzzy1121001) 1(1cxybuAxx輸出方程為：輸出方程為：向量向量矩陣形式的狀態空間表達式為：矩陣形式的狀態空間表達式為：1210100001000010naaaaA1000b1210nc其中：其中： 上述狀態空間表

30、達式稱為上述狀態空間表達式稱為可控標準型可控標準型。2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院370a1a2a2na1na0us1nxnxs11nxs13xs12x1xy（可控標準型）串聯分解的狀態變量圖)()(sDsN2n1n120)()()(sDsNbsGnbA,ubcxyn當當時，時，不變，唯不變，唯變化。變化。2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院3801110111)()(asasassssDsNnnnnnuyaxxyxiiiin1uxaxuxaxxuxaxxuxaxxuxaxxnnnnnnnnnnnnnn001111221232221111nxy 另

31、外，另外，還可以選另一組狀態變量。設還可以選另一組狀態變量。設 經整理有如下狀態方程：經整理有如下狀態方程：輸出方程為：輸出方程為：2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院39ducxybuAxx1210100000001000nnaaaaA1210nnb1000c向量向量矩陣為矩陣為 上述狀態空間表達式稱為可觀測標準型。上述狀態空間表達式稱為可觀測標準型。2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院40)()(sDsNTocAA Toccb Tocbc 串聯分解對偶的狀態變量圖串聯分解對偶的狀態變量圖（可觀測標準型）（可觀測標準型）可觀測標準型和可控標準型動態方程

32、的各矩陣存在如下關系：可觀測標準型和可控標準型動態方程的各矩陣存在如下關系：u0a0s11x1xs12xy1a2nas11nxs11na2x2nx1nxnxnx 12n1n2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院41,8147158)(232ssssssG158)()(2sssZsYzzzy158 81471)()(23ssssUsZuzzzz 8147,1zx ,2zxzx 3uxxxxxxxx321332217148321815xxxy【例【例2.2.72.2.7】已知系統傳遞函數為】已知系統傳遞函數為解：采用傳遞函數串聯分解法：解：采用傳遞函數串聯分解法： 整理有：整理有

33、： 整理有：整理有：令：令：試求狀態空間表達式。試求狀態空間表達式。2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院42狀態空間表達式為狀態空間表達式為:ducxybuAxx7148100010A100b1815c0d 式中：式中：， ， ，可控標準型狀態變量圖可控標準型狀態變量圖2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院43根據對偶原理，也可寫出可觀測標準型：根據對偶原理，也可寫出可觀測標準型：udxcyubxAxoooo7101401800oA1815ob100oc0oduxxxuxxxuxx3233123178141583xy 式中：式中：， ， 可觀測標準型狀態變

34、量圖可觀測標準型狀態變量圖2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院44,3486)(22sssssG34521)(2ssssGudxcyubxAxcccc,4310cA,10cb,25cc1cdudxcyubxAxoooo4130TcoAA25Tcocb10Tcobc1od【例【例2.2.8】已知系統傳遞函數為】已知系統傳遞函數為試求狀態空間表達式。試求狀態空間表達式。（1）可控標準型狀態空間表達式為：）可控標準型狀態空間表達式為：其中：其中：（2）可觀測標準型狀態空間表達式為：）可觀測標準型狀態空間表達式為：其中：其中：解：解：2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通

35、管理學院45)()(sDsN)(sD)()()()(121ininsssssD), 2 , 1(niinnniiiscscscscsDsNsusy22111)()()()(iiisssDsNc)()()(只含單實極點的情況只含單實極點的情況可分解為可分解為式中式中為為n階系統的單實極點，則可化為對角標準型。階系統的單實極點，則可化為對角標準型。式中：式中： 設設那么傳遞函數可展成：那么傳遞函數可展成：),(1)(sussxiini, 2 , 1uxxiiiuxxuxxuxxnnn222111取狀態變量：取狀態變量：整理后有：整理后有：， 即狀態方程為：即狀態方程為：2009-08CAUC-空中

36、交通管理學院空中交通管理學院46)()(sDsN)(sD)()()()(121ininsssssD), 2 , 1(nii只含單實極點的情況只含單實極點的情況可分解為可分解為式中式中為為n階系統的單實極點，則可化為對角標準型。階系統的單實極點，則可化為對角標準型。設設那么傳遞函數可展成：那么傳遞函數可展成：nnniiiscscscscsDsNsusy22111)()()()(2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院47)()(suscsyniiiiniiiixcynnxcxcxcy2211uxxn111001xcccyn21又有：又有： 即輸出方程為：即輸出方程為：向量向量矩陣

37、形式為：矩陣形式為：2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院48對角形動態方程的狀態變量圖為：對角形動態方程的狀態變量圖為：由于由于uiyiis1iciuixiyiisc等價于1siciiuiyixix 對角形動態方程的狀態變量圖對角形動態方程的狀態變量圖2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院498147158)(232ssssssG4218147158)(321232scscscssssssG38) 1()(11sssGc23)2()(21sssGc61)4()(41sssGcuxx111400020001xy612338【例【例2.2.92.2.9】已知系

38、統傳遞函數為】已知系統傳遞函數為解：解： 其中：其中： 動態方程為：動態方程為：試求狀態空間表達式。試求狀態空間表達式。2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院50)()(sDsN)()(sDsN（3 3）含重實極點的情況含重實極點的情況中含重實極點時，不僅可以化為中含重實極點時，不僅可以化為可控、可觀測標準型可控、可觀測標準型，當當還可以化為約當形動態方程。例如：還可以化為約當形動態方程。例如：2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院51)()()()(431nssssDniiiscscscscsDsNsusy411321123111)()()()()()()

39、(uxxn1110000114111xcccccyn41312112009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院5232)2(152)(ssssG)2(2)2(13)2(19)2()2()2()(2313212311sssscscscsG19)2()(2311sssGc13)2()(2312sssGdsdc2)2()(! 21232213sssGdsdcuxx100200120012xy21319uxxxxxxxx3332221122232121319xxxy【例【例2.2.102.2.10】已知系統傳遞函數為】已知系統傳遞函數為，試求約當型狀態空間表達式。，試求約當型狀態空間表達式

40、。其中：其中： 動態方程為：動態方程為：， 即即 解：解：2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院5324855104)(232ssssssG) 1()2()2() 1()2(5104)(31221122scscscsssssG1)2()(2211sssGc【例【例2.2.112.2.11】已知系統傳遞函數為】已知系統傳遞函數為，試求約當型狀態空間表達式。，試求約當型狀態空間表達式。其中：其中：解：解：2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院54, 5)2()(2212sssGdsdc1)1()(13sssGcuxx110100020012xy151 動態方程為

41、：動態方程為：， DuCxyBuAxx DBAsICsG1)()(特別注意：狀態空間表達式特別注意：狀態空間表達式可按如下公式導出傳遞函數可按如下公式導出傳遞函數 2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院55一、狀態空間表達式的線性變換一、狀態空間表達式的線性變換u系統動態方程建立的過程，無論是從實際物理系統出發，還系統動態方程建立的過程，無論是從實際物理系統出發，還是從系統結構圖出發，還是從系統微分方程或傳遞函數出發，是從系統結構圖出發，還是從系統微分方程或傳遞函數出發，在狀態變量的選取方面都帶有很大的人為的隨意性在狀態變量的選取方面都帶有很大的人為的隨意性;u實際物理系統雖

42、然實際物理系統雖然結構不可能變化結構不可能變化，但不同的狀態變量取法，但不同的狀態變量取法就產生不同的動態方程；就產生不同的動態方程；u系統結構圖在取狀態變量之前需要進行等效變換，而系統結構圖在取狀態變量之前需要進行等效變換，而等效變等效變換過程就有很大程度上的隨意性換過程就有很大程度上的隨意性，因此會產生一定程度上的，因此會產生一定程度上的結構差異，這也會導致動態方程差異的產生；結構差異，這也會導致動態方程差異的產生；u從系統微分方程或傳遞函數出發的系統實現問題，更是會導從系統微分方程或傳遞函數出發的系統實現問題，更是會導致迥然不同的致迥然不同的系統內部結構系統內部結構的產生，因而也肯定產生

43、不同的的產生，因而也肯定產生不同的動態方程。所以說同一系統選取不同的狀態變量便有不同形動態方程。所以說同一系統選取不同的狀態變量便有不同形式的動態方程。式的動態方程。2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院56,21TnxxxxxxxPx cxybuAxx xcyubxAxAPPA1bPb1cPc 1、非奇異線性變換、非奇異線性變換我們總可以找到某個非奇異矩陣我們總可以找到某個非奇異矩陣P P，將原狀態向量將原狀態向量 作線性變換，得到另一個新的狀態向量作線性變換，得到另一個新的狀態向量 , ,令令變換前系統動態方程為：變換前系統動態方程為：變換后系統動態方程為：變換后系統動態

44、方程為：式中：式中： 對于狀態向量對于狀態向量2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院57Pxx cxybuAxx xcyubxAx,1 PAPA,Pbb 1 cPcxPx 特別提示特別提示：有些教材中，做如下線性變換：有些教材中，做如下線性變換： 變換前系統動態方程為：變換前系統動態方程為：變換后系統動態方程為：變換后系統動態方程為：式中：式中：與上面線性變換相比，兩者只是形式不同。為在講授過程中與上面線性變換相比，兩者只是形式不同。為在講授過程中方便講解，我們將一直采用方便講解，我們將一直采用 這種線性變換。這種線性變換。2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理

45、學院582、非奇異線性變換的不變特性、非奇異線性變換的不變特性 線性定常系統經非奇異變換后，其特征多項式、特征方線性定常系統經非奇異變換后，其特征多項式、特征方程、傳遞函數不變。程、傳遞函數不變。2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院59A二、系統特征值和特征向量（預備知識）二、系統特征值和特征向量（預備知識）定義：定義：設設A A是一個是一個nxn的矩陣，若在向量空間中存在一非零向量的矩陣，若在向量空間中存在一非零向量v v，使，使 AAA則稱則稱 為為 的特征值，任何滿足的特征值，任何滿足 的非零向量的非零向量 稱為稱為 的的對應于對應于 特征值的特征向量。特征值的特征向

46、量。51166116110A1 1、特征值的計算、特征值的計算【例【例2.3.12.3.1】求下列矩陣的特征值?！壳笙铝芯仃嚨奶卣髦?。 2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院605116611611)det(AI0)3)(2)(1(611623, 11, 2233 解出特征值解出特征值解：解：2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院6151166116110A223311T13121111312111312111511661161102 2、特征向量的計算、特征向量的計算【例【例2.3.22.3.2】求下列矩陣的特征向量】求下列矩陣的特征向量解：（解：（1 1

47、）A A的特征值在上例中已求出的特征值在上例中已求出 111111A的特征向量的特征向量 （2 2）計算對應于特征值）計算對應于特征值，有，有設設，即有，即有 08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院6206116061060131211131211131211vvvvvvvvv 111vT101122 T421233 T9613令令 : : ，則，則的特征向量的特征向量（3 3）同理可算出）同理可算出 的特征向量的特征向量計算整理后有：計算整理后有： 1311vv012v 解出：解出：2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院63cxybuAxx

48、 xPx xcyubxAx三、動態方程的幾種標準型三、動態方程的幾種標準型1 1、動態方程的對角標準型、動態方程的對角標準型對于線性系統對于線性系統若若A A的特征值是互異的，則必存在非奇異變換矩陣的特征值是互異的，則必存在非奇異變換矩陣P P 使原狀態空間表達式變換為對角標準型。使原狀態空間表達式變換為對角標準型。 式中：式中： ,1APPA,1bPbcPc ), 2 , 1(nii其中，其中，是矩陣是矩陣A A的特征值。的特征值。2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院64nppp,2121npppPnppp,21n,21變換矩陣變換矩陣P P由由A A的特征向量的特征向量

49、構造，即構造，即 分別為對應于特征值分別為對應于特征值的特征向量。的特征向量。 uxx10051166116110 xy001【例【例2.3.32.3.3】試將下列動態方程變換為對角標準型。】試將下列動態方程變換為對角標準型。 解：（解：（1 1）A A的特征值和特征向量已在前面兩例中算出：的特征值和特征向量已在前面兩例中算出： 112233 2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院651011p4212p9613p,941620111321pppP12313432253*1PPP321,ppp1P（2 2）用）用構造變換矩陣構造變換矩陣P P，并求，并求。 cbA,30002

50、00011APPA1321bPb111 cPc（3 3）計算）計算2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院66,132300020001uxxxy111于是變換后的動態方程為：于是變換后的動態方程為：n，21112112222121111nnnnnnP注注 意：意： 如果原狀態空間表達式中的如果原狀態空間表達式中的A A陣為友矩陣，且有陣為友矩陣，且有n n個互異實數個互異實數特征值，特征值， 那么使那么使A A變換為對角形矩陣的變換陣變換為對角形矩陣的變換陣P P是一個是一個范德蒙（范德蒙（VandermondeVandermonde）矩陣：）矩陣： 2009-08CAUC-

51、空中交通管理學院空中交通管理學院67uxx0016116100010 xy0110)det( AI112233【例【例2.3.42.3.4】試將下列動態方程變換為對角標準型。】試將下列動態方程變換為對角標準型。 解：系統特征多項式為解：系統特征多項式為，解出特征值為，解出特征值為由于由于A A為友矩陣，并且有互異實特征值，故而變換矩陣可直接寫為如下形式：為友矩陣，并且有互異實特征值，故而變換矩陣可直接寫為如下形式：則 ,941321111P5 . 05 . 111435 . 05 . 231P 3000200011APPA1331bPb210 cPc 2009-08CAUC-空中交通管理學院空

52、中交通管理學院68于是變換后的動態方程為：于是變換后的動態方程為：uxx133300020001xy210【例【例2.3.52.3.5】試將下列動態方程變換為對角標準型?！吭噷⑾铝袆討B方程變換為對角標準型。 uxx127120010112 xy0012009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院69解：采用另一種方法：解：采用另一種方法：（1 1）系統特征多項式為）系統特征多項式為0)det( AI，解出特征值為，解出特征值為211213（2 2）可由）可由APPAAPPA111，進而求出，進而求出1P。令：。令： 3332312322211312111ppppppppP并帶入并帶入

53、APPA11，有，有 120010112100010002333231232221131211333231232221131211pppppppppppppppp2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院70解出解出1100101111P，則，則110010101P（3 3）計算）計算bc 3241bPb101 cPc 2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院712 2、動態方程的約當標準型、動態方程的約當標準型如果如果A A陣具有重實特征根，又可分為兩種情況：陣具有重實特征根，又可分為兩種情況： A A陣陣雖有重特征值雖有重特征值，但矩陣，但矩陣A A仍然仍然有

54、有n n個獨立的特征向個獨立的特征向量量。這種情況同特征值互異時一樣，仍可以把。這種情況同特征值互異時一樣，仍可以把A A劃分為對角標劃分為對角標準型。準型。 另一種情況是另一種情況是矩陣矩陣A A不但具有重特征值不但具有重特征值，而且其，而且其獨立獨立特征向量的個數也低于特征向量的個數也低于n n。對于這種情況，。對于這種情況，A A陣雖不能變換為陣雖不能變換為對角標準型，但可以變換為約當標準型。對角標準型，但可以變換為約當標準型。2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院72（1 1）約當塊和約當陣）約當塊和約當陣 形如形如4014、200120012的矩陣，稱為約當塊。的矩

55、陣，稱為約當塊。 由若干個約當塊組成的準對角線矩陣稱為約當矩陣。如由若干個約當塊組成的準對角線矩陣稱為約當矩陣。如2000012000012000004000014 2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院731（2 2）設）設A A陣具有陣具有m m重實特征值重實特征值，且只有一個獨立實特征向量，且只有一個獨立實特征向量1p與之對應，則只能使與之對應，則只能使A A化為約當陣化為約當陣J J。nmJ11110011變換矩陣變換矩陣nmmpppppP121式中式中12,.mp pp是是1的廣義實特征向量，滿足：的廣義實特征向量，滿足：mmpppAppp2111121111mp，

56、np是互異特征值對應的實特征向量。是互異特征值對應的實特征向量。 2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院74【例【例2.3.62.3.6】試將下列動態方程變換為約當標準型。】試將下列動態方程變換為約當標準型。 uxx100032100010 xy0010) 2() 1(23)det(23AI1231,2 111p111pAp0)(11pAI0132110011131211ppp1111p解：解：（1 1）系統特征多項式為）系統特征多項式為解出特征值為解出特征值為 （2 2）對應于特征值）對應于特征值的特征向量的特征向量，有，有，即，即解出：解出：2009-08CAUC-空中交通管理學院空中交通管理學院752)(1 AIrank11123)(1AIrankn2322212pppp 21210321000101011pppp2322212322211110321000101011111pppppp2221232322