1、本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心l卷積方法的基本出發點是，將信號分解為單位沖激信號的移位加權和或者加權積分。l我們可以看出，將任意信號分解為基本信號的組合，往往是分析信號與系統的前提。l本章將介紹信號的另一種分解方式，即傅里葉分解，并且進而引入頻譜的概念。本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心前面兩章中，我們以分析信號的時間函數的方式，來分析信號，這種分析方法被稱為時域(time domain)方法。傅里葉方法幫助我們使用信號的頻率分量來分析信號，這種方法被稱為頻域(frequency domain)方法。我們將看到，在頻域上來刻畫LTI系統對信號

2、實施的變換，將會使分析變得相當簡單。頻域方法是一類重要的系統與信號的分析方法，除用于LTI系統的分析以外，它還適用于更廣泛的系統分析，或者僅僅分析信號本身。本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心傅里葉分解的基本出發點是將信號分解為復指數信號的加權和，或者積分。復指數信號的物理背景就是正弦信號。在電路分析等課程中，我們對正弦信號已經有了足夠的了解。人們很早就意識到，正弦振蕩是各種振蕩的基本形式，這正是傅里葉分解的真正基礎。傅里葉分析幫助我們從時域的分析方法轉變到頻域的分析方法。工程上，頻域方法具有更加廣泛的應用，是一種常用的信號分析方法。本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠

3、網-下載中心下載中心在介紹周期信號的傅里葉分解之前，我們先討論一下LTI系統對典型正弦信號和復指數信號的響應。在電路分析里面，我們知道線性時不變系統在正弦信號的激勵下，其響應仍然是同頻率的正弦信號，只是在幅度和相位上有所變化。本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心 LTILTI系統對正弦信號的響應仍然是同頻正弦信號系統對正弦信號的響應仍然是同頻正弦信號)cos(t)cos(tA同頻率本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心復指數信號激勵復指數信號激勵LTI系統的情況。系統的情況。stethty*)()(dehts)()(dehesst)()(sHestdt

4、ethsHst)()(ste LTI ?只取決于s和系統的參數本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心 LTI LTI系統對復指數信號的響應仍然是復指數信號系統對復指數信號的響應仍然是復指數信號ste)(sHest系統函數系統函數傳遞函數傳遞函數本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心tskkeatx )(如果我們能將信號分解成為復指數信號的加權和tskkkesHaty)()(完全說明了LTI系統的變換規律 可以針對輸入信號的復指數分解可以針對輸入信號的復指數分解,求得求得LTI系統的輸出響應。系統的輸出響應。 本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載

5、中心下載中心js js在傅里葉分析里面，我們將上述復數在傅里葉分析里面，我們將上述復數s限定為純虛數限定為純虛數由此導出的方法稱為由此導出的方法稱為傅里葉傅里葉(Fourier)方法方法；傅里葉傅里葉方法是以法國數學家方法是以法國數學家, 物理學家傅里葉物理學家傅里葉(1768-1830)的名字命名的。的名字命名的。 由此導出的一套方法稱為由此導出的一套方法稱為拉普拉斯方法拉普拉斯方法，在第九章，在第九章里面討論。里面討論。如果不對復數如果不對復數s進行限定，即進行限定，即本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心),(

6、Zktk3.2.1 諧波復指數信號集諧波復指數信號集tjkket0)(成諧波關系的復指數信號集成諧波關系的復指數信號集本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心0T)(txktjkkeatx0)(002T如果一個以如果一個以為周期的周期信號為周期的周期信號滿足，滿足，存在一個存在一個傅里葉級數的表達傅里葉級數的表達本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心ktjkkeatx0)(。 傅里葉級數傅里葉級數 分解分解傅里葉級數展開傅里葉級數展開本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心tjkkea0tjkkea00atjea01tjea01k次諧波分

7、量次諧波分量直流分量直流分量基波分量基波分量諧波合成諧波合成在信號中所占的比重在信號中所占的比重ktjkkeatx0)(本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心tjtejtsincos 2cosjtjteet2sinjtjteet歐拉公式歐拉公式本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心例題3.1 將下面的復指數信號的線性組合變換為正弦信號的線性組合，其中，332)(ktjkkeatx10a4/111aa2/122aa3/133aa本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心)(31)(21)(411)(664422tjtjtjtjtjtjeee

8、eeetxttt6cos324cos2cos211解：解： 本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心kaka0k和和表示了頻率為表示了頻率為的正弦信號的權重。的正弦信號的權重。ttt6cos324cos2cos211直流分量直流分量基波分量基波分量三次諧波分量三次諧波分量 二次諧波分量二次諧波分量本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心物理上存在的信號都是實信號。物理上存在的信號都是實信號。下面討論信號為實函數的情況。下面討論信號為實函數的情況。)()(txtxktjkkeatx0*)(ktjkkea0*ktjkkea0本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠

9、網-下載中心下載中心kkaa*kkaa*因此，因此， 嚴格地說，上面的推導是由正交函數的討論取得的。嚴格地說，上面的推導是由正交函數的討論取得的。本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心ktjkkeatx0)(11000ktjkkktjkkeaeaa10)(00ktjkktjkkeaeaa11000ktjkkktjkkeaeaa本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心10)(00ktjkktjkkeaeaa10Re20ktjkkeaa10)(00ktjkktjkkeaeaa本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心kjkkeAa100)cos

10、(2)(kkktkAatx)sin()(cos(0000kkktjkjktjkktkjtkAeeAeak)cos(Re00kktjkktkAea本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心kkkjCBa1000)sincos(2)(kkktkCtkBatx)sin)(cos(000tkjtkjCBeakktjkkjXtkCtkBkk)sincos(00本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心3.2.2 傅里葉級數系數的確定傅里葉級數系數的確定),(Zktk)()(0*lkMdtttlklkMTlk正交函數集正交函數集T的周期函數的周期函數正交函數集的概念本書由天

11、瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心,0Zketjk正交函數集？正交函數集？002T?000nkMdteeTtjntjk本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心)()(Ttxtx周期函數的一個基本性質。周期函數的一個基本性質。aTadttx)(aTTTadttxdttx)()(aTadttxdttx0)()(Tdttx0)(TamTaa000 ,本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心一個以一個以T為周期的周期函數在一段長度為為周期的周期函數在一段長度為T的區的區間上的積分，與起始位置無關間上的積分，與起始位置無關Tdttx)(本書由天瘋天瘋上

12、傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心000Ttjntjkdtee00)(Ttnkjdte00)sin()cos(00TTdttnkjdttnk 0sincos0000TTtdttdt正弦波的上波瓣和下波瓣的面積相等正弦波的上波瓣和下波瓣的面積相等本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心0sincos0000TTtdtktdtk本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心nknkTTtjntjkdtee000000nkT,0Zketjk 構成了一個正交函數集。構成了一個正交函數集。復指數函數集復指數函

13、數集本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心如果如果可以分解，可以分解，利用正交性來求傅里葉級數的系數利用正交性來求傅里葉級數的系數ktjkkeatx0)(ktjkktjntjneaeetx000)( 0000)()(TtnkjkkTtjndteadtetx kTtnkjkdtea00)(kknkTa00Tanktnkjktjneaetx00)()(本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心00)(10TtjnndtetxTaktjkkeatx0)(傅里葉級數分析公式傅里葉級數分析公式傅里葉級數綜合公式傅里葉級數綜合公式00)(10TtjkkdtetxTa本書

14、由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心tjkkea0tjkkea0頻率分量在信號中所占的比重)cos(0kktkA頻譜系數 本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心0)(100TdttxTa一個特殊的頻率分量一個特殊的頻率分量信號的均值信號的均值直流分量直流分量本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心例題例題3.2 試確定試確定ttx0sin)(的傅里葉級數的傅里葉級數ttx0sin)()(2100tjtjeej解解：根據歐拉公式，：根據歐拉公式，ja211ja2110:1|kak 本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心例

15、題例題3.3 試確定周期方波信號的傅里葉級數試確定周期方波信號的傅里葉級數)(tx0T1T0T02Tt00)(10TtjkkdtetxTa解：解：根據傅里葉級數分析公式，根據傅里葉級數分析公式， 本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心0k避免被零除避免被零除0k11001TTtjkkdteTa110|00TTtjkTjke)(1101000TjkTjkeeTjk 000)sin(2TjktkjkTk10sin0100021)(1110TTdtTdttxTaTTT本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心復指數信號是連續的，而任意信號卻不一定。什么樣的信號可以

16、展開成傅里葉級數？有限多個連續函數累加起來仍然是連續函數，而無限多個連續函數累加起來是否可以收斂到一個不連續函數？這就成了法國學者傅里葉與其同時代的其他學者爭論的焦點。 本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心ktjkkeatx0)(每一項都是連續函數不一定是連續函數本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心傅里葉認為，周期信號無論連續與否都可以表示為傅里葉級數.但后來的許多學術的發展證明了傅里葉當初的論斷至少在數學上是不嚴密的。從數學上來講，無窮級數的收斂是有條件的。如果級數不收斂，那么級數的表示也是不成立的。在傅里葉級數的收斂性研究方面，狄利赫利等人卓有成

17、效的工作完善了傅里葉分析方法，給出了傅里葉級數的收斂條件。由于收斂條件的證明過于專業化，不便在本書中展開詳細討論。本節只是給出了這些收斂條件的理論結論。討論傅里葉級數的收斂問題，所采用的收斂討論傅里葉級數的收斂問題，所采用的收斂準則是準則是誤差平方和準則誤差平方和準則，又稱為，又稱為誤差能量準則誤差能量準則。本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心NNktjkkNeatxtx0)()()()()(txtxteNN近似的誤差近似的誤差誤差信號的能量誤差信號的能量02)(TNNdtteE本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心N0NE)(tx)(tx)(txN能

18、量的角度能量的角度,收斂收斂近似近似ktjkkea0本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心00)(10TtjkkdtetxTa最小NE可以證明可以證明本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心)(txTdttx2)(0NE1.如果2.如果如果不連續，但是不連續，但是平方可積平方可積 不加證明地給出傅里葉級數收斂的條件不加證明地給出傅里葉級數收斂的條件:連續，其傅里葉級數一定收斂.)(tx本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心Tdttx )(0NE)(tx3. 狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)條件條件，該條件包括三個部分，分別是：該條

19、件包括三個部分，分別是：滿足狄里赫利條件，可以保證，在滿足狄里赫利條件，可以保證，在的意義上，的意義上，的傅里葉級數收斂，并保證在每一個連續點上，的傅里葉級數收斂，并保證在每一個連續點上，都收斂于其傅里葉級數表達。都收斂于其傅里葉級數表達。條件條件1：絕對可積絕對可積(Absolutely Integrable)條件條件2：在一個周期內，最大值和最小值數目有限。在一個周期內，最大值和最小值數目有限。條件條件3：有限區間內有有限個不連續點有限區間內有有限個不連續點)(tx本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心從傅里葉級數的收斂條件可以看出，對于從傅里葉級數的收斂條件可以看出，

20、對于常見的信號而言，其傅里葉級數都是收斂常見的信號而言，其傅里葉級數都是收斂的，這是傅里葉分析方法經久不衰，得到的，這是傅里葉分析方法經久不衰，得到廣泛應用的基礎。廣泛應用的基礎。 本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心幾個不滿足收斂條件的例子幾個不滿足收斂條件的例子10 ,1)(tttx不滿足狄里赫利條件不滿足狄里赫利條件1的例子。考慮信號，的例子。考慮信號，并對它進行周期延拓并對它進行周期延拓本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心ttx2sin)(10 t不滿足狄里赫利條件不滿足狄里赫利條件2的例子。的例子。并對它進行周期延拓，并對它進行周期延拓，不

21、滿足狄里赫利條件不滿足狄里赫利條件3的例子的例子本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心kFSatx)( 傅里葉級數傅里葉級數本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心3.4.2 時間平移性質時間平移性質 3.4.1 線性線性kaFStx)(kbFSty)(kaFStx)(ktjktjkkkttjkkeeaeattx00000)()()(000)(0tjkkFSeattxkkBbAaFStBytAx)()(系數系數本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心3.4.3 時間反轉特性時間反轉特性 kaFStx)(ktjkkeatx0)(ktjkke

22、a0kaFStx )(3.4.4 時域尺度變換時域尺度變換 kaFStx)(ktajkkeaatx)(0)(kaFSatx)(系數系數基波頻率本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心3.4.5 相乘特性相乘特性 kaFStx)(kbFSty)(llklFSbatytx)()(3.4.6 共軛及共軛對稱性共軛及共軛對稱性 kaFStx)()()(0ktjkkeatx 本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心ktjkkeatx0)(ktjkkea0kFSatx)()()(0ktjkkeatx本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心)()(*tx

23、tx實信號實信號kkaa |kkaa實信號頻譜的幅度譜線關于實信號頻譜的幅度譜線關于y軸對稱。軸對稱。兩個共軛的復指數信號組成了一個正弦信號。兩個共軛的復指數信號組成了一個正弦信號。 kkaa本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心kkTadttxT22| )(|1 時域平均功率時域平均功率頻域平均功率頻域平均功率本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心例題例題3.4 連續時間周期信號的傅里葉級數為：連續時間周期信號的傅里葉級數為：ktjkkeatx0)(試證明：試證明：)(txka1、如果、如果為實偶信號，則為實偶信號，則為實數；為實數； )(txka2、

24、如果、如果為實為實奇奇信號，則信號，則為為虛虛數；數； )(txka3、如果、如果為為虛虛偶信號，則偶信號，則為為虛虛數；數； )(txka4、如果、如果為為虛奇虛奇信號，則信號，則為實數；為實數； 本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心)()()(*txtxtx*kkaakkaa*kkaa*kkaa 解：解：實偶信號實偶信號本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心)()()(*txtxtx*kkaakkaa*kkaa*kkaa 實實奇奇信號信號本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心)()(),()(*txtxtxtx*kkaakkaa

25、*kkaa*kkaa 虛虛偶信號偶信號本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心)()(),()(*txtxtxtx*kkaakkaa*kkaa*kkaa 虛奇虛奇信號信號本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心與連續時間周期信號的傅里葉級數類似，離散時間周期信號的傅里葉級數也是信號頻域分析的基礎。本節專門討論離散時間周期信號分解為傅里葉級數的問題。本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心,Zknk成諧波關系的復指數信號構成了信號分解的基本依據。成諧波關系的復指數信號構成了信號分解的基本依據。 nNjkken2周期為周期為N 彼此成彼此成諧波

26、關系諧波關系本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心nNNkjNken2)（NnnkknjnNjkee22nNjke2等于1本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心NnnnkkNk本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心nNjkkkeanx2?NlNmk 1, 0Nmm)(ll本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心nNjkkkeanx2lnNlNmjNmlNmlNmkea2)(10llNmNmnNjmae102lnNjmNmlNmea210102NmlnNjmlNmeallNkkabllNmmab本書由天瘋天瘋上傳于世界

27、工廠網世界工廠網-下載中心下載中心nNjkNkkebnx210llNkkabNkkbb離散時間信號的傅里葉級數只有有限多項離散時間信號的傅里葉級數只有有限多項本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心1mNmnnx任意一段長度為任意一段長度為N的區間上的求和的區間上的求和 :,:lkm lNkm10 ,NkZl 本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心11lNkNlNknmNmnnxnx1NkkrlNnrlNrx1Nkkrrx11NkNrNkrrxrx1010NnNrnxrx101krNkrrxrx本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心任意

28、一個周期長度內的求和運算相等任意一個周期長度內的求和運算相等 NknNjkNkkebnx2nNjkNkkeanx2離散時間周期信號存在一個離散時間周期信號存在一個傅里葉級數的表達傅里葉級數的表達，或者說成，或者說成諧波關系的復指數信號的上述組合是的諧波關系的復指數信號的上述組合是的傅里葉級數展開傅里葉級數展開，也可以說，周期信號也可以說，周期信號分解分解為傅里葉級數為傅里葉級數 本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心綜合公式綜合公式 彈性的求和起始位置，有時可以簡化分析計算過程。彈性的求和起始位置，有時可以簡化分析計算過程。 nNjkNkkeanx2k次諧波分量離散時間傅里

29、葉級數離散時間傅里葉級數頻譜系數頻譜系數本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心,2 NkenNjk正交正交? lNkNenNjkNn210lNknNjkNne21001122NjkNNjkee本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心ZllNklNkNnNjkNne,02nNjkNkkeanx2nNjkNkknNjlnNjleaeenx222lnNlkjNkkea2)( 本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心 NnnNlkjNkknNjlNneaenx2)(2兩邊都是以n為自變量，N為周期的周期序列 NnnNlkjNkkea2)(NnnN

30、lkjNkkea2)(10本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心:,:00mkl Nmkl00100NkNnnNlkjNkkea2)(10NnnNNmkkjNkkea2)(1000NnnNkkjNkkea2)(1000kNalNmlNaNa0本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心nNjkNnkenxNa21nNjkNkkeanx2離散時間傅里葉級數的系數的一個特點就是它的周期性離散時間傅里葉級數的系數的一個特點就是它的周期性 NkkaanNjlNnlenxNa21本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心例題例題3.6 計算周期序列計算周

31、期序列nnx0sin的傅里葉級數的傅里葉級數 解解： Nm20N20)(2122nNjnNjeejnx1112121Najaja，Nm20)(2122nNjmnNjmeejnxjajamm2121，Nm20本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心lNkm10NkkNkkajaja2121，kNkaa，kN組成了組成了在一個在一個周期內的頻譜。周期內的頻譜。 本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心10nx11NkNnNkNotherwise例題例題3.7 計算周期離散方波信號的傅里葉級數，其中計算周期離散方波信號的傅里葉級數，其中N1N1NN解解：由傅里葉分

32、解公式：由傅里葉分解公式 本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心nNjkNnkenxNa21nNjkNNnenxN2111lNk 11120)(21NmNmNjkNnmkeNanNjkNnNNjkenxeN2202111NjkNNjkNNjkeeeN2)12(2211111)2/2sin(/ )2/1(21sin11NkNNkN本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心NkkNNa21|2/sin2/) 12sin(lNkNNak121本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心nNjkMMkkeanx2離散時間傅里葉級數與連續時間傅里葉級數的

33、另外一個重要區別離散時間傅里葉級數與連續時間傅里葉級數的另外一個重要區別就是，因為離散時間傅里葉級數只有有限多項，因此它就是，因為離散時間傅里葉級數只有有限多項，因此它不存在收不存在收斂問題斂問題，只要級數，只要級數 離散時間信號離散時間信號nNjkNkkeanx2有了有了N項離散時間傅里葉級數就可以如實地再現項離散時間傅里葉級數就可以如實地再現本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心在討論了離散周期信號的傅里葉級數展開的基礎上，本節討論非周期的有限時間長度的離散信號的傅里葉分析。l 對于有限時寬的離散信號，我們有其獨特的傅里葉表示_離散傅里葉變換。l 本節的討論是為了信號的

34、計算機處理做準備。計算機由于存儲容量的限制，不可能處理無限長的序列，只能處理有限長的序列。本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心0nx0n1 Nn長度為長度為N的序列的序列當當 或者或者周期延拓周期延拓，形成一個周期信號，形成一個周期信號rrNnxnx本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心nxrrNnxnxnx本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心)(kXak)()(NkXkX kFSanx一個以一個以k為自變量的、以為自變量的、以N為周期的離散時間序列為周期的離散時間序列 本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心修

35、改一下離散周期信號的傅里葉級數表達式修改一下離散周期信號的傅里葉級數表達式 nNjkNnkenxa2nNjkNkkeaNnx21 nNjkNnkenxNa21nNjkNkkeanx2本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心NnnNjkenxkX2)( nNjkNkekXNnx2)(110Nn10Nk102)(NnnNjkenxkXnNjkNkekXNnx210)(1本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心NjNeW2)()()(kRkXkXN1010)(NkotherwiseNkR 矩形窗矩形窗本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心)(k

36、X010knNNnWnx10Nkotherwisenx)(1010knNNkWkXN10Nnotherwise離散傅里葉變換離散傅里葉變換 l我們注意到：離散時間傅里葉級數可以看成是將一個N周期的序列變換為另外一個N周期的序列的變換；l而離散傅里葉變換（DFT）卻是，將一個0到N-1的序列變換到另外一個0到N-1的序列的變換。 本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心離散傅里葉變換（DFT）在信號處理中是常用的計算，在第七章中我們還會討論DFT和連續時間傅里葉變換的關系。在工程上，我們都是通過DFT來求信號的頻譜的，DFT是由時域分析進入頻域分析的一個關鍵環節，因此，能否快速

37、地計算DFT是實時信號處理的關鍵。所謂快速傅里葉變換FFT是一種計算DFT的快速算法，它的提出大大推動了信號處理技術的實用化。本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心計算復雜性是計算機學科里面的一個專用術語，它是用來描述算法的計算效率的一個指標，它度量的是算法所需要的乘法或者加法的次數與計算對象的規模之間的關系。在這里，計算對象的規模一般是計算對象的大小，例如：圖像的像素點數、一段一維信號的采樣點數。我們通過分析DFT的計算機算法來理解，計算復雜性這個概念。本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心)ReImIm(ReImImReRe)(10knNknNknN

38、knNNnWnxWnxjWnxWnxkX4次實數乘法次實數乘法4N次實數乘法次實數乘法10),(NkkX次乘法24N計算復雜性計算復雜性級2N本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心mN210)(NnknNWnxkX為奇為偶nknNnknNWnxWnx1-N/2021-N/202122rkkrNrkrNWrxWrxrn212 rn本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界工廠網-下載中心下載中心1-N/202/1-N/202/122)(rkrNkNrkrNWrxWWrxkX)()(kHWkGkNNjNeW2NNjaaNjaaNWeeW22)(krNkrNWW2/2krNkNkkrNWWW2/2k的變化范圍均為0N-1本書由天瘋天瘋上傳于世界工廠網世界