1、數學物理方法（第四版）梁昆淼 編劉 法 繆國慶 修訂物理科學與電子技術學院姜 輝第一篇 復變函數論第一章 復變函數(6課時)基本要求：1熟悉復數的基本概念和基本運算；2了解復變函數的定義，連續性；3了解多值函數的概念；4掌握復變函數的求導方法及柯西-黎曼方程；5了解解析函數的概念，熟悉一些簡單的解析函數的表示式；6了解從實變函數到復變函數的推廣過程中的創新思想與方法。教學內容：11 復數與復數運算。復平面，復數的表示式，共軛復數，無窮遠點，復數的四則運算，復數的冪和根式運算，復數的極限運算。12 復變函數。復變函數的概念，開、閉區域，幾種常見的復變函數，復變函數的連續性。13 導數。導數，導數

2、的運算，柯西-黎曼方程。14 解析函數。解析函數的概念，正交曲線族，調和函數。15 平面標量場。穩定場，標量場，復勢。本章重點：復變函數的運算，柯西-黎曼條件，解析函數習題：l1 12 14 數學發展的歷史告訴我們：虛數是在代數運算過程中開始出現的。早在16世紀，對一元二次、一元三次代數方程求解時就引入了虛數的基本思想。1545年， 卡丹諾（Girolamo Cardano，1501-1576，意大利數學家）在他的Ars Magna大術書中，給出了虛數的符號和運算法則，但同時也對這種運算的合法性表示懷疑。卡丹諾公式出現于十七世紀，那時虛數的地位就應確定下來，但對虛數的本質還缺乏認識。“虛數”這

3、個名詞是由十七世紀的法國數學家笛卡兒（Descartes）正式取定的。“虛數”代表的意思是“虛假的數”，“實際不存在的數”，后來還有人“論證”虛數應該被排除在數的世界之外。由此給虛數披上了一層神秘的外衣。十八世紀，瑞士數學家歐拉 (LeonhardEuler，1707-1783) 試圖進一步解釋虛數到底是什么數，他把虛數稱之為”幻想中的數”或”不可能的數”。他在對代數的完整性介紹(17681769年在俄國出版，1770年在德國出版)一書中說：因為所有可以想象的數或者比零大，或者比零小，或者等于零，即為有序數。所以很清楚，負數的平方根不能包括在可能的有序數中，就其概念而言它應該是一種新的數，而就

4、其本性來說它是不可能的數。因為它們只存在于想象之中。因而通常叫做虛數或幻想中的數，于是Euler首先引入符號作為虛數單位。十八世紀末至十九世紀初，挪威測量學家Wessel(威塞爾)、瑞士的工程師阿爾甘（Argand）以及德國的數學家高斯（Gauss）等都對“虛數”(也稱為”復數”)給出了幾何解釋，并使復數得到了實際應用。特別地， 在十九世紀，有三位代表性人物，即柯西（Cauchy，1789-1857）、維爾斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）、黎曼（Rieman，1826-1866）。柯西和維爾斯特拉斯分別應用積分和級數研究復變函數，黎曼研究復變函數的映像性質，經過他們的不懈

5、努力，終于建立了系統的復變函數論。至此，披在虛數身上的神秘外衣才算真正被揭開。復變函數論才在數學科學的叢林之中昂然挺立，獨樹一幟。從柯西算起，復變函數論已有170多年的歷史。復變函數論以其完美的理論與精湛的技巧成為數學的一個重要組成部分。根據數學理論，在系統的函數論中，所涉及的函數有：實變實值，實變復值，復變實值，復變復值。復變函數論將主要討論復變復值函數。需要指出的是系統的復變函數論主要包括單值解析復變函數論、多值復變函數論（黎曼曲面理論）、幾何函數論、留數理論、廣義解析函數等方面的內容。限于篇幅，本篇主要討論單值解析復變函數論：具體討論復數與復變函數、解析函數及復變函數的積分、級數展開、留

6、數等系統理論，并介紹保角變換、傅里葉變換和拉普拉斯變換。11復數與復數運算（一）復數的基本概念1數域的拓展：復數域在解方程時，有時會遇到負數開方的問題，但在實數范圍內負數是不能開平方的。前面已經敘述，早在18世紀數學家歐拉就引入一個新符號稱為虛數單位，并規定。這樣，在實數域內無解的方程在數域拓展后也有兩個根：和-。這樣就實現了由實數域拓展為新的數域：復數域。2復數的概念復數的定義 把形如的數稱為復數實部，虛部y = 0, z = x 實數； x = 0, z = iy 純虛數；特殊的復數：虛單位 i【例】 則復數的相等與為零復數相等：實部與虛部分別相等；復數為零：實部與虛部都等于零。【例】設，

7、求實數。解： 由題意得 解得： 或。共軛復數 = 共軛復數為z*是復數z關于實軸的對稱點復數的模 復數不能比較大小，但可以比較模的大小。（二）復數的表示法1用復平面表示復數y虛軸0x實軸0zxy0代數表示 復平面 由于一個復數由一對有序實數唯一確定，故對于平面上給定的直角坐標系，復數的全體與該平面上的點的全體形成一一對應關系，從而復數可以用該平面上坐標為的點來表示。此時，軸稱為實軸，軸稱為虛軸，兩軸所在的平面稱為復平面或平面。極坐標表示 三角表示 模，輻角0y虛軸x實軸0zxyargzArgz為的主值或的主輻角，滿足 “阿克”英eksp美eksp指數表示 =【例】寫出復數的三角表示式與指數表示

8、式。解： 三角式；指數式 或【例】 將化為三角表示式和指數表示式。解： ，因為幅角在第三象限，則三角表示式，指數表示式【例】將化為三角表示式和指數表示式。解：模主輻角 【例】求下列方程所表示的曲線解：(1)表示與點距離為2的點的軌跡，即圓心為，半徑為2的圓化為直角坐標方程：即，化簡得： 。 (2)到與距離相等點的軌跡，即表示曲線是連接和的線段的垂直平分線化為直角坐標方程為：。(3)。 設，那么代入得： ，即：。2 用復數球面表示復數 無限遠點復數球面概念除了用平面內的點或向量來表示復數外，還可以用球面上的點來表示復數。取一個與復平面切于原點的球面，通過原點作垂直于復平面的直線與球面相交于另一點

9、N，稱N為北極，而O點為南極。這個球叫作復數球。如圖所示。AA 在復數平面xoy上任取一點，它與球的北極的連線相交于球面點。這樣，復平面上的有限遠點與球面上除N點外的點滿足一一對應關系。這樣，球面上的每一個點，就有復平面上唯一的一個復數與之對應，這樣的球面稱為復球面。（三）復數的運算1加（減）法：復數加(減)法滿足平行四邊形法則，或三角形法則。z1 +(- z2)- z22乘法：1) 用代數式計算 2) 用指數式計算 兩個復數相乘等于它們的模相乘，幅角相加。【例】 即3除法：1) 用代數式計算 2) 用指數式計算 兩個復數相除等于它們的模相除，幅角相減。【例】計算復數解： 法一(商的公式)法二

10、(共軛性質)【例】設復數，求與。 解： 因為所以 【例】設為兩個任意復數，證明： 。證明：證法一： 證法二：【例】用指數表示式計算下列復數(1) (2)解： (1) ，所以(2) 所以 4n（整數）次冪 這就是著名的棣模弗(De Moir)公式。又特別當時，即為前面提到的歐拉(Euler)公式：5n（整數）次根式 注意： ， 【例】計算下列各題： 解： (1)(2)所以，即： 這四個根是內接于中心在原點，半徑為的圓的正方形的頂點，且【例】計算的值。（在實數范圍內，可見結果大不相同。）解：先把-1化成指數式 當時，當時，當時， 【例】*用表示和。解：由棣莫弗公式：二項式定理： ；12 復變函數（

11、一）復變函數的定義復變函數的基本概念是實變函數基本概念的推廣，因此我們所敘述的復變函數的概念、極限概念、函數連續與可微等概念與高等數學中的概念敘述相似。若在復數平面（或球面）上存在是一個復數的集合，若對每一個，按照一定的法則，總有一個或幾個復數與之對應，則稱復變量為復數的復變函數，記為： 其中稱為函數的定義域，函數值的全體所構成的集合稱為函數的值域，把稱為函數的自變量，稱為因變量。上述中，若對于每一個值只有唯一確定的一個值與之對應，則稱是的單值函數。若對于每一個值有多個值與之對應，則稱是的多值函數。 復變函數可寫成如下普遍的形式： * 任一復變函數都可歸結為兩個二元實函數。【例】求復變函數對應

12、的兩個二元函數。解：設，故對應的二元函數為。【例】將下列兩個二元實變函數表示為復變函數，即用、表示：(1) (2)解：(1)(2)（二）區域的概念1鄰域 復數平面上以復數為圓心，以任意小正實數為半徑作一圓，則圓內所有點的集合稱為的鄰域。z0z0 點的無心鄰域。2內點若及其鄰域均屬于點集，則稱為該點集的內點。z0E內點z0E外點3外點z0邊界點若及其鄰域均不屬于點集，則稱為該點集的外點。4邊界點若在的每個鄰域內，既有屬于的點，也有不屬于的點，則稱為該點集的邊界點，它既不是的內點，也不是的外點。 邊界線：邊界點的全體稱為邊界線。5 開區域（區域）：在解析函數論中，函數的定義域不是一般的點集，而是滿

13、足一定條件的點集，稱為區域，用B表示。區域是指滿足下列兩個條件的點集：（1）全由內點組成；（2）具有連通性，即點集中的任意兩點都可以用一條折線連接起來，且折線上的點全部屬于該點集。z0E內點AB6閉區域：區域B及其邊界線所組成的點集稱為閉區域，以表示。* 區域通常用復變數z的不等式來表示，如圓形域：表示以點為中心，為半徑的開圓域，通常稱為點的鄰域。閉圓域環形域：表示以點為中心，為內半徑，為外半徑的開環域。閉環域x yROrx yORx yOR【例】x yR-ROxO yxO y【例】試說出下列各式所表示的點集是怎樣的圖形，并指出哪些是區域：解：(1)，即是表示右半平面，這是一個開區域。 (2)

14、這表示以為中心，以為半徑的圓周連同其外部區域，這是一個閉區域 (3)表示介于兩射線之間的一個角（三）復變函數例1常用的初等單值函數 多項式 (n是正整數) 有理式 (，n是正整數) 冪函數 n是整數（n為負整數時，） 指數函數 模：；幅角： 周期為2pi 三角函數 奇函數，偶函數。 和差化積、積化和差 周期為 無最大最小值，其模可以大于1，如取，則 只要y充分大，可以大于任一個預先給定的正數。 ， 周期為 ， 周期為 雙曲函數 單值函數 周期為2常用的初等多值函數 根式函數冪函數的反函數 ， 多值函數， 對數函數指數函數的反函數 多值函數 已知 ， * 對于每給一個z值，有無限多個w值與之對應

15、，且z可為負的。而在實數領域中，負數的對數沒有意義。【例】【例】解：方程，即，其解為 【例】姚端正p25 求解下列方程 ；解：（1）法一 由一元二次代數方程的根的公式得法二 將代入原方程得比較等式兩邊的實部和虛部得解這個二元方程得 所以（2）由正弦函數的定義有，即解此關于的一元二次方程得所以所以又因為所以上式又可以表示為13 導數（一）導數定義設函數是在區域B上定義的單值函數，是B內任一點，當發生微小變化時，即，相應的函數值的變化是，極限存在，并且與的方式無關，則稱函數在z點可導（或單演），此極限叫作函數在z點的導數（或微商），記為或 實際上，由于復變函數的導數定義是實變函數導數定義的推廣，實

16、變函數論中關于導數的運算規則和公式對復變函數也是成立的。(二) 復變函數中導數的規則和公式 (P9) 導數的規則 幾個常用公式(1) (2) (3) (4) (5) （三）柯西-黎曼方程 或 條件 （C-R 條件）1直角坐標系中的方程由于極限（其中）與的方式無關，我們選定兩個特殊方向（沿實軸和虛軸方向）來計算極限值。沿平行于實軸方向逼近于零，即 沿平行于虛軸方向逼迫于零，即 若函數在點z可導，則上述兩個極限必須都存在而且彼此相等，即 柯西黎曼方程或條件（Cauchy-Riemann C-R條件）復變函數和實變函數的導數定義雖形式上是一樣，但實質上有很大的不同。因為實變數只能沿實軸，而復變數卻可

17、以沿復平面上任一曲線。因此，復變函數的可導是一種嚴格得多的要求。C-R條件只是復變函數可導的必要條件，因為該方程僅保證沿實軸和沿虛軸時，同一極限，并不保證沿任一曲線時，同一極限，所以柯西-黎曼方程是復變函數可導的必要條件，而不是復變函數可導的充分條件。2極坐標系中的方程在極坐標系下，C-R方程： （自己課后證明）（三）復變函數可導的充分必要條件函數可導的充分必要條件：(1)函數的偏導數、分別存在且連續；(2)滿足C-R方程：。證明：略【例】設，問在點是否滿足C-R條件？是否可導？解：由題設得，（1）又因，故，可見在點滿足C-R條件。（2）讓以任意方式趨于零，如讓沿徑向趨于零，即令顯然，隨著角取

18、值不同，不趨于同一極限值，故在點不可導。14 解析函數（一）解析函數1解析 若函數在點及其鄰域上處處可導，則稱在點解析，該點稱為的解析點；若函數在某區域B內處處可導，則稱在B內解析，該區域稱為的解析區域。若函數在點不解析，則稱為的奇點。解析函數 若在區域B上每一點都解析，則稱是區域B上的解析函數。* 函數在一點可導與解析是不等價的。解析是對一個鄰域而言，而可導在其鄰域內未必可導。如在點可導，而在其它點都不可導，故在不解析，實際上在整個復平面上處處不解析。函數在某區域上可導與解析是等價的。2解析的充要條件 在該區域（該點的鄰域）內可導的充要條件處處成立。定理1: 函數定義在區域內, 則在內一點處

19、可導的充分必要條件是: (1) 與在點可微；(2) 在該點滿足柯西黎曼方程(方程)。判斷一個函數是否可導和解析的途徑：根據可導和解析的定義來判斷。即看是否存在，在何處存在；或看用求導公式求出的在何處存在。根據可導和解析的充要條件來判斷。即看，的一階偏導是否連續并滿足C-R條件，在何處連續并滿足C-R條件。（途徑較為方便、嚴謹）【例】討論下列函數的可導性和解析性：(數學物理方法學習指導 姚端正編著 P33)（1）； （2）；（略） （3）； （4）解：（1）令，則由有，所以，；，的一階偏導均連續。且僅當時，滿足C-R條件。故僅在點可導，在全平面均不解析。（3），；，這四個偏導數在平面上均連續；但

20、僅當時，才滿足C-R條件，故僅在直線和上可導，在全平面上均不解析。（4）由微分公式知，在時均存在，故在復平面內均可導和解析。3主要性質共軛性：解析函數的實部與虛部由C-R條件聯系，稱為解析函數的共軛性。共軛性的幾何意義：若函數在區域上解析，則，（，為常數）是上的兩組正交曲線族；證明：(說明：兩曲線正交兩曲線的法向矢量，曲線法向矢量的方向曲線梯度的方向，證明)u、v分別是解析函數的實部和虛部，它們滿足C-R條件上式兩邊交叉相乘后移項，得到 (1)而u和v的梯度分別為() 、為x軸、y軸上的單位矢量，(1)式可改寫為 (2)而和分別是曲線“”和“”的法向矢量（，為常數），由于與垂直，表明“”和“”

21、是相互正交的兩曲線。當，分別取一系列的值時，它們代表了復平面上的兩族曲線是相互正交的。調和性：若函數在區域B上解析，則u，v均為B上的調和函數。 調和函數 如果某函數在區域上有二階連續偏導數，且滿足拉普拉斯方程，則稱為區域上的調和函數。直角坐標系 拉普拉斯方程，或記作。證明：設在區域B中解析，則 因為在B中解析，則必可導，將(2)式對x求偏導，(3)式對y求偏導 在下一章將證明，某個區域上的解析函數在該區域上必有任意階的導數，因為在B中導數存在，則與在B中連續且相等，則(4)+(5) (6)此式稱為二維拉普拉斯方程，簡記為。 二維拉氏算符同理可得： 或 (7)我們把在區域B上有二階連續偏導數且

22、滿足二維拉氏方程，或的二元實變函數稱為區域B上的調和函數。我們把滿足C-R條件的兩個調和函數稱為共軛調和函數。（二）應用舉例 給出一個二元調和函數作為解析函數的實部或虛部，通過C-R條件求出該解析函數的虛部或實部，從而寫出這個解析函數。 設已給出某一解析函數的實部，寫出這個解析函數。驗調和。若給定的是一個二元函數，首先要驗證一下是否是調和函數（驗調和），若不是則不能作為解析函數的實部或虛部。算偏導 利用C-R條件算出的微分 全微分方程為全微分方程，通解求積分 三種方法：曲線積分法；全微分的積分與路徑無關，故可選取特殊積分路徑，使積分容易算出。湊全微分顯式法；把微分式的右端湊成全微分顯式，自然就

23、求出了。不定積分法。 表示出* 注意： 【例】已知解析函數的實部，求虛部和這個解析函數。解：（P14）首先驗證是調和函數 因此，確實是某個解析函數的實部。曲線積分法根據柯西-黎曼條件，有于是，右端應是全微分，積分值與路徑無關湊全微分顯式法不定積分法【例】已知解析函數的虛部，求虛部和這個解析函數。解：用極坐標計算，按照柯西-黎曼條件，有于是 【例】已知解析函數的實部，f(0)=0，求解析函數的虛部。解：根據柯西-黎曼條件曲線積分法：湊全微分顯式法：不定積分法：P16習題2（3）， (0，0)點是f(z)的奇點，C0（4）， ， （5）， ， （10）， ， （11），C=0 15 平面標量場（一

24、）平面場在物理和工程上經常需要研究各種各樣的場，如電場、聲場、溫度場等，這些場隨時間而變化，隨空間而不同。如果場與時間無關，則稱為恒定場，例如靜電場、流體中的定常流速場等。如果研究的場在空間某方向上是均勻的，只需要在垂直于該方向的平面上研究它，這樣的場叫做平面場。本節擬對解析函數在平面場研究中應用作一介紹。1 平面靜電場在沒有電荷的區域，靜電場的電勢滿足二維拉普拉斯方程，這樣，電場所處區域的某一解析函數的實部或者虛部就可以被用來表示該區域上靜電場的電勢，把這一解析函數叫做該平面靜電場的復勢。它的實部或虛部就是電勢。是電勢，曲線族=常數是等勢線族，由前面的知識可知，曲線族=常數垂直于等勢曲線族=

25、常數，因此，=常數正是電場線族，并且v的值本身具有物理意義。取兩點和，任作一曲線連接和，如圖計算穿過曲線的電通量(指的是通過一塊柱面的電通量，這塊柱面跟我們研究的平面相交于曲線，柱面的母線垂直于所研究的平面，柱高位1。) 曲線AB的切線方向余弦是所以法線的方向余弦是這樣則 在A和B兩點所取的值之差就是A和B兩點之間穿過的電通量，函數叫做通量函數，由以上可知，只要給出了復勢，就不僅給出了電勢分布，而且還直接給出電場線族的方程、電通量密度并給出了電荷密度。2平面無旋液流同理，在液體的無旋流動中，有所謂平面無旋液流，由于沒有渦旋，速度矢量可以表為某個標量的梯度，這個標量叫做速度勢借助于速度勢就可把平

26、面無旋液流問題表為平面標量場問題，在沒有源和匯的區域上，速度勢滿足拉普拉斯方程，某個區域上的解析函數其實部或虛部總可以表示該區域上某種平面無旋流的速度勢，解析函數f(z)就叫做該平面無旋液流的復勢，為確定，設v(x，y)是速度勢，則曲線族常數就是流線族，是流量函數，它在A和B兩點所取的值之差就是A和B兩點之間穿過的流量。3 平面溫度場同理，在物體的穩定分布中，有所謂平面溫度場，均勻物體中的穩定溫度分布滿足拉普拉斯方程，因此某個區域上的解析函數的實部或虛部總可以表示該區域上某種平面溫度場的溫度分布，為確定設是溫度分布，則曲線族常數就是熱流線族，是熱流量函數，它在A和B兩點所取的值之差正比于A和B兩