1、2 矢量變換矢量變換-數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.1 矢量矢量2.2 矩陣基礎(chǔ)矩陣基礎(chǔ) 2.3 矢量變換矢量變換2.4剛體運動學(xué)分析基礎(chǔ)剛體運動學(xué)分析基礎(chǔ)物體運動物體運動=移動移動(Translation)+轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動(Rotation)剛體動力學(xué)：使用連體系剛體動力學(xué)：使用連體系(Body-Fixed Coordinate System)在參考系中位置和方向在參考系中位置和方向(簡稱位姿簡稱位姿)來描述剛來描述剛體的位姿。體的位姿。運動學(xué)和動力學(xué)參量：完全使用剛體位姿描述。運動學(xué)和動力學(xué)參量：完全使用剛體位姿描述。 2.1 矢量矢量剛體：任兩點之間的距離不變。剛體：任兩點之間的距離不變。連體系：在剛體

2、上任一點設(shè)置與剛體固連的坐標系連體系：在剛體上任一點設(shè)置與剛體固連的坐標系當(dāng)剛體運動時，該連體系隨剛體一起運動。當(dāng)剛體運動時，該連體系隨剛體一起運動。剛體在參考系中的位置：連體系原點在參考系中的剛體在參考系中的位置：連體系原點在參考系中的位置矢量位置矢量位置矢量：位置矢量：Txxyzyxyzzrijk矢量矢量矢量的模矢量的模 方向余弦方向余弦 222xyzrcosxxxcrcosyyycrcoszzzcr單位向量單位向量 rur矢量運算矢量運算矢量相等矢量相等 ab xxabyyabzzab線性運算線性運算 ：數(shù)乘、加、減：數(shù)乘、加、減矢量的點積矢量的點積(Dot or Scalar Prod

3、uct) cosTTxxyyzzDa ba ba ba ba bb aa b0TTa ba bb a矢量運算矢量運算矢量的叉積矢量的叉積(Cross Product) zyyzzxxzyxxya ba ba ba ba ba ba bxyzxyzaaabbbijk反對稱矩陣記法反對稱矩陣記法 000zyzxyxr 000zyxzxyyxzaabaabaaba bab矢量運算矢量運算矢量的叉積矢量的叉積(Cross Product) zyyzzxxzyxxya ba ba ba ba ba ba bxyzxyzaaabbbijk反對稱矩陣記法反對稱矩陣記法 000zyzxyxr 000zyxzx

4、yyxzaabaabaaba bab a bb aabba0a b矢量運算矢量運算矢量三重積矢量三重積 ()a b c()ab c()ab c()0acb矢量微分和積分矢量微分和積分 ( )( )( )( )Ttx ty tz trr()()()ddddxyzdtdtdtdtrijkTdtxdtydtzdtr2.2 矩陣基礎(chǔ)矩陣基礎(chǔ)1 矩陣定義矩陣定義2 運算運算3 特征值和特征向量特征值和特征向量（4 矩陣分解矩陣分解 ）2.2.1 定義定義1111121222112nmmmnaaaaaaaaaA方陣方陣 ijijabAB零矩陣零矩陣 列矩陣列矩陣 行矩陣行矩陣 對角陣對角陣(Diagona

5、l Matrix) 1122110000(,.,)00nnnnaadiag aaaA定義定義單位矩陣單位矩陣(Identity Matrix) 奇異矩陣奇異矩陣(Singular Matrix) det0AA機構(gòu)的奇異構(gòu)形判別機構(gòu)的奇異構(gòu)形判別 矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置(Transpose) TA對稱矩陣對稱矩陣(Symmetric Matrix) TAA反對稱矩陣反對稱矩陣(Antisymmetric Matrix) T AA正交矩陣正交矩陣(Orthogonal Matrix) TTAAA AE2.2.3 矩陣運算矩陣運算 數(shù)乘、求和、積、轉(zhuǎn)置、求逆數(shù)乘、求和、積、轉(zhuǎn)置、求逆 數(shù)乘數(shù)乘 iji

6、jsbsaBA求和求和 ijijijcabCAB乘積乘積 1nijikkjkca bCAB乘積相容乘積相容(Compatible) 不符合交換律不符合交換律 矩陣乘積的轉(zhuǎn)置矩陣乘積的轉(zhuǎn)置 ()TTTABB A矩陣運算矩陣運算 逆逆 11AAA AE非奇異方陣非奇異方陣 用伴隨矩陣方法求得用伴隨矩陣方法求得 11211122221121detnnnnnnAAAAAAAAAAAAAijA元元 ija代數(shù)余子式代數(shù)余子式 A伴隨矩陣伴隨矩陣(Adjoint Matrix) ( 1)ijijijAM 除去除去所處的行和列所得到的行列式的值所處的行和列所得到的行列式的值 ija例例 求逆矩陣求逆矩陣 1

7、11111A1 11111( 1)101A det( )1AA非奇異，存在逆矩陣非奇異，存在逆矩陣 11213111222321323331101011det( )001AAAAAAAAAAA逆矩陣特點逆矩陣特點 (1) 11()()TTAA111()ABB A11() AA(2) 對稱陣的逆矩陣也是對稱的對稱陣的逆矩陣也是對稱的 (3) 正交陣的逆矩陣也是正交的正交陣的逆矩陣也是正交的 1TAA2.2.4 矩陣特征值和特征向量矩陣特征值和特征向量物理、力學(xué)和工程技術(shù)中的很多問題在數(shù)學(xué)上都歸物理、力學(xué)和工程技術(shù)中的很多問題在數(shù)學(xué)上都歸結(jié)為求矩陣的特征值問題結(jié)為求矩陣的特征值問題 ()ijn n

8、aA特征多項式特征多項式 111212122212( )det()det()nnnnnnaaaaaafaaaEA特征方程特征方程 ( )det()0fIA特征值特征值 特征方程的根特征方程的根 特征向量特征向量 ()0IA x齊次方程組的非零解齊次方程組的非零解 x物理、力學(xué)和工程技術(shù)中的很多問題在數(shù)學(xué)上都歸物理、力學(xué)和工程技術(shù)中的很多問題在數(shù)學(xué)上都歸結(jié)為求矩陣的特征值問題結(jié)為求矩陣的特征值問題 例例 求矩陣的特征值及特征向量求矩陣的特征值及特征向量 210131012A特征方程特征方程 32( )det()71480fIA112234特征值特征值 對應(yīng)的特征向量對應(yīng)的特征向量 111 1Tx

9、2101Tx3121Tx2.3矢量變換矢量變換P rtr剛體系統(tǒng)的運動學(xué)可使用連體坐標系剛體系統(tǒng)的運動學(xué)可使用連體坐標系(以后簡以后簡稱連體系稱連體系)完全描述完全描述 剛體位姿剛體位姿 方向：旋轉(zhuǎn)矩陣、羅德里格斯參數(shù)、歐拉角、方方向：旋轉(zhuǎn)矩陣、羅德里格斯參數(shù)、歐拉角、方向余弦和四元數(shù)變換向余弦和四元數(shù)變換 2.3.1旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣(Rotation Matrix) 確定連體系確定連體系B相對于參考系相對于參考系O的方向的方向 坐標系坐標系B繞軸繞軸OC逆時針旋轉(zhuǎn)；任意點逆時針旋轉(zhuǎn)；任意點P移到移到Q Prr位置矢量位置矢量變?yōu)樽優(yōu)?旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣(Rotation Matrix) Prr

10、r12rbb矢量矢量1b 平面平面OCP 1b方向方向 Pu rsinPParu r1sinsinPPPau rbu ru r矢量矢量22s(1s )2 sin2aacocoaab方向方向 1()Pu buu r222()2 sin2()sin2()2PPPauu rbuu ruu r2b()Pauu r旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣(Rotation Matrix) 2sin2()sin2PPPrru ruu r2222sin2sin2sin2sin2PPPPrruru rEuur22sin2sin2AEuuRodrigue旋轉(zhuǎn)公式旋轉(zhuǎn)公式 PrAr旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣 旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣(Rotation M

11、atrix) 123Tuuuu22sin2sin2AEuusin2sins22co2 sin(cossin)222AEuEu定義歐拉參數(shù)(Euler Parameters) 0cos2e112233sinsin22eueueueu02 ()eAEe Ee3201iie旋轉(zhuǎn)矩陣性質(zhì)旋轉(zhuǎn)矩陣性質(zhì)旋轉(zhuǎn)變換：正交變換旋轉(zhuǎn)變換：正交變換(Orthogonal Transformation) 旋轉(zhuǎn)矩陣為正交矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣為正交矩陣 1TAATAAEdet()1A將矢量表示成反對稱矩陣將矢量表示成反對稱矩陣 TPrAr A旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣 例例例例2.1 已知坐標系已知坐標系B的初始位姿與的初始位姿與A重合，

12、重合，B相相對于坐標系對于坐標系A(chǔ)的的z軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)30。求位置矢量。求位置矢量aPb和旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)矩陣矩陣A，其中，其中P在坐標系在坐標系B中為中為Pb=3,7,0T。例例2.2 已知坐標系已知坐標系B的初始位姿與的初始位姿與A重合，重合，B相相對于坐標系對于坐標系A(chǔ)中過原點的矢量中過原點的矢量U=1,2,2T 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)30。求位置矢量求位置矢量aPb和旋轉(zhuǎn)矩陣和旋轉(zhuǎn)矩陣A，其中，其中P在坐標系在坐標系B中為中為Pb=3,7,0T。例例2.3 已知坐標系已知坐標系B的初始位姿與的初始位姿與A重合，重合，B相相對于坐標系對于坐標系A(chǔ)中過點中過點5,0,0T 的矢量的矢量U=1,2,2T 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)30。求位置

13、矢量。求位置矢量aPb和旋轉(zhuǎn)矩陣和旋轉(zhuǎn)矩陣A，其中，其中P在坐標在坐標系系B中為中為Pb=3,7,0T。2.3.2歐拉角歐拉角(Euler Angles)矢量的歐拉角旋轉(zhuǎn)變換由依次繞矢量的歐拉角旋轉(zhuǎn)變換由依次繞3個軸的旋轉(zhuǎn)組成。個軸的旋轉(zhuǎn)組成。任何矢量的旋轉(zhuǎn)變換均存在對應(yīng)的歐拉角。任何矢量的旋轉(zhuǎn)變換均存在對應(yīng)的歐拉角。根據(jù)旋轉(zhuǎn)軸的選擇順序不同，有不同的歐拉角根據(jù)旋轉(zhuǎn)軸的選擇順序不同，有不同的歐拉角常用：常用：z-x-z或者或者313 3,1,3,cos-sin0100cos-sin0sincos00cos-sinsincos00010sincos001iieAAAA2.3.3方向余弦方向余弦(

14、Direction Cosines)b bb bbbxyzxyzrijkijkbbbbbbxxyzi ii ji kbbbbbbyxyzj ij jj kbbbbbbzxyzk ik jk k11ba i i12ba i j13ba i k21ba j i21ba j j23ba j k31bak i32bak j33bak k111213212223313233aaaaaaaaaAbrA r2.3.4四元數(shù)四元數(shù)(Quaternion) 01230qijk共軛四元數(shù)共軛四元數(shù) 0q范數(shù)范數(shù) 320iiqqq單位四元數(shù)單位四元數(shù) 1q逆逆 1qqq矢量繞任意軸旋轉(zhuǎn)矢量繞任意軸旋轉(zhuǎn) 1Prqr

15、qcossin22uq2.3.5齊次變換齊次變換(Homogeneous Transformation)剛體的連體系剛體的連體系B相對參考系相對參考系O既有轉(zhuǎn)動又有移動既有轉(zhuǎn)動又有移動 bP rtA r定義定義 41Txyzr31TAtH041TbPPPPxyzr44bPrH r齊次變換矩陣的逆齊次變換矩陣的逆 131TTTAA tH0特定情況下，齊次變換矩陣特定情況下，齊次變換矩陣 cos-sinsincos(z, )11Rot1cos-sin(x,)sincos1Rotcossin1(y, )-sincos1Rot11(z, )11aaTrans11(y, )11bbTrans11(x,

16、)11ccTrans2.4 剛體運動學(xué)分析基礎(chǔ)剛體運動學(xué)分析基礎(chǔ) 速度、加速度、速度、加速度、角速度、角加速度角速度、角加速度虛位移分析虛位移分析 bP rtA r2.4.1速度和加速度速度和加速度bP rtA r僅考慮剛體定點轉(zhuǎn)動僅考慮剛體定點轉(zhuǎn)動 pTArA r r rrTxyzbPrA rAA000zyzxyx TrAA rbPrA rTAA速度速度在連體系在連體系B中表示中表示 r r()bbPbbPbbPrA A rArA rbTA AbPrA rbTA A加速度加速度bPrtA r定點轉(zhuǎn)動定點轉(zhuǎn)動 bbbbbPPrA rA r AAAAAAA rrr (),bTbTbTbbTbTbbTTbbbbTbTA AA AA AA AA AA AA A bTA AbTA A變分變分 2.4.2 虛