1、1第第2 2章章 質點力學的質點力學的運動定律運動定律 守恒定律守恒定律（Newtons laws of motion）2.1 質點力學的基本質點力學的基本定律定律2.2 動量動量 動量守恒定律動量守恒定律2.3 功功 動能動能 勢能勢能 機械能守恒定律機械能守恒定律2.4 角動量角動量 角動量守恒定律角動量守恒定律2.5 剛體定軸轉動剛體定軸轉動 牛頓牛頓作業：作業：練習冊練習冊選擇題：選擇題：1-13填空題：填空題：1-10計算題：計算題：1-8英國著名詩人英國著名詩人Pope寫道：寫道： 自然界和自然界的規律隱藏在黑暗中，自然界和自然界的規律隱藏在黑暗中， 上帝說：上帝說：“讓牛頓去吧！

2、讓牛頓去吧！” 于是一切成為光明。于是一切成為光明。2牛頓的生平簡介牛頓的生平簡介 少年時代的牛頓，天資平常，但很喜歡制作各種機械模型，少年時代的牛頓，天資平常，但很喜歡制作各種機械模型，他他有一種把自然現象、語言等進行分類、整理、歸納的強烈嗜好，對有一種把自然現象、語言等進行分類、整理、歸納的強烈嗜好，對自然現象極感興趣。自然現象極感興趣。 牛頓末出娘腹，父親便去世，在舅舅和外祖母的撫牛頓末出娘腹，父親便去世，在舅舅和外祖母的撫養下長大，從小體弱多病。養下長大，從小體弱多病。 1661 1661年年6 6月，他以月，他以“減費生減費生”身份考入劍橋大學三一學院身份考入劍橋大學三一學院。他比一

3、般同學都大四、五歲，但他從小有個好習慣，就是。他比一般同學都大四、五歲，但他從小有個好習慣，就是愛親自動手做小機械之類的玩藝兒，手極巧。愛親自動手做小機械之類的玩藝兒，手極巧。 入學后遇著一個叫巴羅的好老師的悉心栽培，這遲熟的牛頓茅入學后遇著一個叫巴羅的好老師的悉心栽培，這遲熟的牛頓茅塞頓開，學業進步很大，經常提出一些自然和數學方面的問題，使塞頓開，學業進步很大，經常提出一些自然和數學方面的問題，使巴羅又驚又喜。誰知好景不長，學習不到三年，便發生了席卷全國巴羅又驚又喜。誰知好景不長，學習不到三年，便發生了席卷全國的大瘟疫，倫敦在的大瘟疫，倫敦在16651665年一個夏天便死了二萬多人。學校只好

4、放假年一個夏天便死了二萬多人。學校只好放假，牛頓卷著鋪蓋又回到老家沃爾斯索普村。，牛頓卷著鋪蓋又回到老家沃爾斯索普村。3 16671667年，可怕的瘟疫剛消失，牛年，可怕的瘟疫剛消失，牛頓便重返校園，翌年獲碩士學位。不頓便重返校園，翌年獲碩士學位。不知是膽怯還是出于慎重，他知是膽怯還是出于慎重，他對自己在對自己在鄉間從蘋果落地而得出的萬有引力定鄉間從蘋果落地而得出的萬有引力定律，律，再未張揚。再未張揚。 16841684年年1212月，在哈雷的鼓動下，月，在哈雷的鼓動下，牛頓將牛頓將論運動論運動送到皇家學會，二送到皇家學會，二年后公布有萬有引力的巨著年后公布有萬有引力的巨著自然哲自然哲學的數學

5、原理學的數學原理第一編也送到皇家學第一編也送到皇家學會。會。這本書可以看作經典物理學的這本書可以看作經典物理學的圣經圣經。牛頓在此書中建立了一個完。牛頓在此書中建立了一個完備自洽的物理學體系。備自洽的物理學體系。自然哲學的數學原理自然哲學的數學原理 “ “我把這部著作叫做我把這部著作叫做自然哲學的數學原理自然哲學的數學原理，因為哲學的，因為哲學的全部任務看來就在于從各種運動現象來研究各種自然之力，而后全部任務看來就在于從各種運動現象來研究各種自然之力，而后用這些力去論證其他的現象。用這些力去論證其他的現象。”4 17271727年年3 3月月2020日，牛頓病逝，享年日，牛頓病逝，享年8585

6、歲。英國政府為他歲。英國政府為他進行了國葬。他睡進了只有英國歷史上最著名的藝術家、進行了國葬。他睡進了只有英國歷史上最著名的藝術家、學者、政冶家、元帥才配安息的地方。他死后四年，人們學者、政冶家、元帥才配安息的地方。他死后四年，人們為他立了雄偉的墓碑，并列了這樣一段為他立了雄偉的墓碑，并列了這樣一段銘文銘文：伊薩克伊薩克牛頓爵士安葬在這里。他牛頓爵士安葬在這里。他以近于超人的智力第一個證明了行星的以近于超人的智力第一個證明了行星的運動與形狀，彗星的軌道，海洋的潮汐運動與形狀，彗星的軌道，海洋的潮汐。他孜孜不倦地研究光線的各種不同的。他孜孜不倦地研究光線的各種不同的屈折角，顏色所生成的種種性質。

7、對于屈折角，顏色所生成的種種性質。對于自然、考古和圣經，他是一個勤勉、敏自然、考古和圣經，他是一個勤勉、敏銳和忠實的詮釋者。在他的哲學中確認銳和忠實的詮釋者。在他的哲學中確認上帝的尊嚴，并在他的舉止中表現了福上帝的尊嚴，并在他的舉止中表現了福音的純樸。讓人類歡呼曾經存在過這樣音的純樸。讓人類歡呼曾經存在過這樣偉大的一位人類之光。偉大的一位人類之光。牛頓墓牛頓墓5)(dd)(ddvmtPtF直角坐標系：直角坐標系：22zyxtzmFtymFtxmFdddddd2222曲線坐標系：曲線坐標系：法向：法向：tmFmFndd2vv切向：切向：（圓周運動圓周運動： =R）對慣性系成立對慣性系成立1 1

8、質點力學的基本質點力學的基本定律定律 牛頓第二定律的微分形式是基本的普遍形式，適用牛頓第二定律的微分形式是基本的普遍形式，適用于高速運動情況與變質量問題。于高速運動情況與變質量問題。中學：中學：大學：大學：maF 1. 1. 牛頓第二定律牛頓第二定律62. 2. 常見的幾種力常見的幾種力彈力的三種形式：彈力的三種形式：正壓力或支持力正壓力或支持力: :物體通過一定面積相接觸而產生的相互作用力。物體通過一定面積相接觸而產生的相互作用力。拉力和張力拉力和張力: :拉力是繩或線對物拉力是繩或線對物體的作用力體的作用力; ;張力是繩子內部各張力是繩子內部各段之間的作用力。段之間的作用力。彈簧的彈力彈簧

9、的彈力: :(1)(1) 重力：重力：地球表面附近的物體受地球的地球表面附近的物體受地球的 引力作用。引力作用。(2)(2) 彈力：彈力：發生形變的物體發生形變的物體, ,由于要恢復由于要恢復原狀原狀, ,對與它接觸的物體產生的作用力。對與它接觸的物體產生的作用力。地球地球重力重力：gm拉力拉力T張力張力T彈力彈力f支持力支持力N正壓力正壓力N7例例: 如圖，質量均勻分布的如圖，質量均勻分布的粗繩粗繩拉重物，拉重物，（張力有分布嗎？）（張力有分布嗎？）已知：已知：F =150N，a = 0.2m/s2，l = 4m，m = 2kg. 求求：距頂端為：距頂端為x米處米處繩中的張力繩中的張力. .

10、xFxTgmxFa拉緊的繩中任一截面兩側的兩部分之間相互作用力稱該截面處的張力拉緊的繩中任一截面兩側的兩部分之間相互作用力稱該截面處的張力.解：從頂端向下取解：從頂端向下取x米繩，由牛頓第二定律米繩，由牛頓第二定律a）（ 1amgmTFxxx）（2xlmmx)(agmlxFTx#若若2lx2)(2agmFTlxN140若繩的質量忽略，則張力等于外力若繩的質量忽略，則張力等于外力FT 8質點動力學的基本問題：質點動力學的基本問題：質點動力學問題可分為兩類：質點動力學問題可分為兩類：(1)(1) 已知質點的運動，求作用于質點的力。已知質點的運動，求作用于質點的力。,dd22txa 由由,dd22t

11、xmF 求：求：F一維一維直線運動直線運動，運動方程，運動方程 x = x (t)例：一質點質量為例：一質點質量為m = 2kg，作直線運動，運動方程，作直線運動，運動方程x =10t 2+2t+1（SI）求質點所受的合外力。求質點所受的合外力。)(m/s20dd222txa解：解：(N)40dd22txmF3.3. 應用牛頓定律解題應用牛頓定律解題9tmpmaFxxcos2tmRmaFyysin2解：解：tRtyatptxayxsindd,cosdd222222rmj tRi tPmjFiFFyx22)sincos(例：一質點質量例：一質點質量m，運動方程，運動方程 ，求作用于質點的合外力求

12、作用于質點的合外力。j tRi tprsincostRytpxsin,cos10tRmmgT2220coscos例例: : 如圖所示，單擺運動為如圖所示，單擺運動為 = 0sin t , 為為細繩與鉛直細繩與鉛直線所成的角線所成的角, , 0和和 均為常數均為常數。設擺錘質量為設擺錘質量為m，繩長為繩長為R，求繩子的張力求繩子的張力。解：質點繞解：質點繞 c 點作變速圓周運動，點作變速圓周運動，其法向加速度為：其法向加速度為：22ddtRRanvtRRddvm 0RcmgTttcosdd0cosmgTFntmRRmFn22202cosv求得：求得：11例：一質點例：一質點m =1kg，直線運動

13、，受力直線運動，受力f =2t，設設t = 0 時時，x0= 0，v0=1m/s，求質點的運動方程求質點的運動方程。解：解：tmftx2dd22tt2ddvttd2d v, tttvvv00d2d20tvv21ddttx,ddd2tttx, tttxxxtt0002ddd,330ttxx.ttx33(2)(2) 已知作用于質點的力，求質點的運動。已知作用于質點的力，求質點的運動。a. 選擇好坐標系；選擇好坐標系；b. 根據根據F = mdv/dt 的分量形式建立運動微分方程式；的分量形式建立運動微分方程式；c. 對微分方程求解，得到運動方程對微分方程求解，得到運動方程。12解：解：x0mvF阻

14、力沿阻力沿x軸負方向，表示為：軸負方向，表示為：F= kv ， k為常數。為常數。 ,ddvvktm,ddtmkvv,dd00vvvvttmk,ln0tmkvv.0tmkevv將將txddv代入上式，得：代入上式，得：tmketx0ddvtextmkdd0v當當t = 0時時， x = 0；t,extmktxdd000 v)1 (0tmkekmxv例：質量為例：質量為m 的物體，以初速度的物體，以初速度v0沿水平方向向右運動，沿水平方向向右運動，所受到的所受到的阻力與速度阻力與速度v 成正比成正比，求物體的運動方程。，求物體的運動方程。當當t = 0 時，時，v = v013a- a慣性系慣性

15、系非慣性系非慣性系4. 4. 非慣性系非慣性系 慣性慣性力力問題問題: :1. 1. 在地面的站臺上觀察金杯的運動狀態如何在地面的站臺上觀察金杯的運動狀態如何? ?2. 2. 在加速行駛的車內觀察金杯的運動狀態又如何在加速行駛的車內觀察金杯的運動狀態又如何? ?( (答答: :靜止靜止) )( (答答: :加速向左運動。加速向左運動。) )amF14 牛頓第二定律僅僅適用于牛頓第二定律僅僅適用于慣性系慣性系( (相對于地球靜止或作勻速直相對于地球靜止或作勻速直線運動的物體線運動的物體),),怎樣把牛頓第二定律推廣到非慣性系呢怎樣把牛頓第二定律推廣到非慣性系呢? ?非慣性系：非慣性系：相對地面慣

16、性系做加速運動的物體。相對地面慣性系做加速運動的物體。平動加速系：平動加速系：相對于慣性系作變速直線運動，但是本身沒有轉動的相對于慣性系作變速直線運動，但是本身沒有轉動的物體。物體。 例如：在平直軌道上加速運動的火車。例如：在平直軌道上加速運動的火車。轉動參考系：轉動參考系：相對慣性系轉動的物體。相對慣性系轉動的物體。 例如：轉盤在水平面勻速轉動。例如：轉盤在水平面勻速轉動。慣性力慣性力: : 在非慣性系中觀察和處理物體的運動現象時在非慣性系中觀察和處理物體的運動現象時, ,為了應用牛頓為了應用牛頓定律而引入的一種虛擬力。定律而引入的一種虛擬力。aa觀察：觀察：處理處理：aamFF15在平動加

17、速參考系中慣性力在平動加速參考系中慣性力: :amFiamFFi在非慣性系中牛頓第二定律的形在非慣性系中牛頓第二定律的形式為式為加速度物體相對此非慣性系的a慣性力慣性力 不是物體間的不是物體間的相互作用，它沒有相互作用，它沒有反作用力。反作用力。 本質上是物體本質上是物體慣性的體現，有真慣性的體現，有真實的作用效果。實的作用效果。 16問題：在轉動參考系中，如何問題：在轉動參考系中，如何引入慣性力引入慣性力對牛頓第二定律進行對牛頓第二定律進行推廣？推廣？大小大小方向方向2mRFi沿著圓的半徑向外沿著圓的半徑向外nmRF2i在轉盤上在轉盤上( (非慣性系非慣性系) )觀察觀察: :小球靜止。小球

18、靜止。在在轉動參考系轉動參考系中慣性力中慣性力: :在地面上在地面上( (慣性系慣性系) )觀察觀察: :小球受彈簧拉力做圓周小球受彈簧拉力做圓周運動；運動；處理處理：0合外力F彈簧拉力客觀存在彈簧拉力客觀存在( (慣性離心力慣性離心力)17二戰中的小故事二戰中的小故事：美美 Tinosa號潛艇號潛艇攜帶攜帶1616枚魚雷在太平洋離敵艦枚魚雷在太平洋離敵艦40004000碼碼斜向攻擊，發射斜向攻擊，發射4 4枚枚使敵艦停航。使敵艦停航。離敵艦離敵艦 875875碼垂直攻擊，發射碼垂直攻擊，發射1111枚枚均未爆炸！均未爆炸！敵敵艦艦體體分析：分析：垂直、近距垂直、近距慣性力大慣性力大摩擦摩擦力

19、大力大魚雷魚雷v雷管雷管導板導板撞針滑塊撞針滑塊S慣性力F0a18例：在加速運動的車上分析單擺與豎直方向的夾角。例：在加速運動的車上分析單擺與豎直方向的夾角。(1)(1) 確定研究對象：物體確定研究對象：物體m(2)(2) 選參照系選參照系 車（非慣性系）車（非慣性系）(3)(3) 在參照系上建立直角坐標系如圖；在參照系上建立直角坐標系如圖；(4)(4) 隔離物體分析力隔離物體分析力: :解：解：iF 0axy0gmTxy0運用牛頓第二定律列方程：運用牛頓第二定律列方程：x 方向：方向：0sin xiamFTy 方向：方向：0cos yammgT0maFiga0arctan解出解出:19例例

20、如圖如圖 m與與M保持接觸保持接觸, 各接觸面處處光滑各接觸面處處光滑.求：求：m下滑過程中，相對下滑過程中，相對M的加速度的加速度 amM解：畫隔離體受力圖解：畫隔離體受力圖M相對地面加速運動，運動加速度設為相對地面加速運動，運動加速度設為0aMmNyxiFMmmg0a以以M為參考系畫為參考系畫m 的的受力圖受力圖xy0aMMgMN地mMN以地面為參考系畫以地面為參考系畫M的的受力圖受力圖Mm0maFi20以地面為參考系對以地面為參考系對M列方程列方程) 1 (sin0MaNmM以以M為參考系（非慣性系）對為參考系（非慣性系）對m 列方程列方程) 2(sincos0mMmamgma) 3(0

21、cossin0mgmaNMmgmMmMamM2sinsin)(結果為：結果為：0aMmNyx0maMmmgxy0aMMgMN地mMNx方向：方向：x方向：方向：y方向：方向：21力對力對時間時間和和空間空間的積累效應。的積累效應。 微分形式的牛頓第二定律是關于力與加速度的瞬微分形式的牛頓第二定律是關于力與加速度的瞬時關系，對于中間的每個過程必須考慮。某些情況下，時關系，對于中間的每個過程必須考慮。某些情況下，并不需要考慮中間過程，可以由幾個狀態求解問題。并不需要考慮中間過程，可以由幾個狀態求解問題。這時候，采用積分形式的牛頓第二定律更有效。這就這時候，采用積分形式的牛頓第二定律更有效。這就是動

22、量定理與動能定理。是動量定理與動能定理。21dtttF積分表示力對時間的累積量積分表示力對時間的累積量- 沖量沖量barrrFd功功)(ddvmtF 22PtFmtFddddv求積分有：求積分有：1221dPPtFtt 動量定理動量定理物體在運動過程中所受到的合外力物體在運動過程中所受到的合外力的沖量，等于該物體動量的增量。的沖量，等于該物體動量的增量。比較：中學比較：中學 Ft=mv2 - mv1直線運動，直線運動，F恒力恒力普遍性，直線，普遍性，直線，曲線，曲線，直角坐標系，分量式：直角坐標系，分量式：zzttzzyyttyyxxttxxmmtFImmtFImmtFI121212ddd21

23、2121vvvvvv2 2 動量動量 動量守恒定律動量守恒定律力對時間過程的積累效應，沖量力對時間過程的積累效應，沖量 動量。動量。1.1.質點的動量定理質點的動量定理)(tF23mF（a）0t(s)F(N)4730（b）解解: :由動量定理由動量定理: :(1)0440d)(vvmmtmgF上式中上式中F=30,v0=0,解出解出v4 =4.16m/s(2)7447d)(vvmmtmgF上式中上式中F=7010t, 7)t(4解出解出v7 =2.78m/s(3)6446d)(vvmmtmgF解出解出v6 = 4.24m/s例：如圖例：如圖 a 所示所示，質量為質量為m =10kg的木箱，在水

24、平拉力的木箱，在水平拉力F 的作用下，由靜止開始運動，若拉力的大小隨時間變化的的作用下，由靜止開始運動，若拉力的大小隨時間變化的關系如圖關系如圖b所示，已知木箱與地面間的摩擦系數所示，已知木箱與地面間的摩擦系數 = 0.2，求：求：t = 4、7、6s 時木箱速度的大小時木箱速度的大小。242. 2. 質點組（系）的動量定理質點組（系）的動量定理m1m2mn01221 ff內力成對產生，矢量和為零內力成對產生，矢量和為零;推廣到系統的所有內力矢量和為零。推廣到系統的所有內力矢量和為零。對第對第i個質點，個質點，)(d)(.3 , 2 , 11221ni,mmtfFiiiittiivv一共有一共

25、有n個這樣的方程，求和：個這樣的方程，求和：niiiniiinittiimmtfF1112121d)(vv21f12f2F1F)0(ddd1111212121niittniittniittniift,FtftF25121121121diiniiiittniniiiPPmmtFvv 由由n個質點組成的力學系統所受個質點組成的力學系統所受合外力合外力的沖量等的沖量等于系統總動量的增量。于系統總動量的增量。注意：內力不能改變系統的總動量；注意：內力不能改變系統的總動量； 內力能改變每一個質點的動量。內力能改變每一個質點的動量。)0(ddd1111212121niittniittniittniift,

26、FtftFniiiniiinittiimmtfF1112121d)(vv26 汽車發動機內氣體對活塞的推力汽車發動機內氣體對活塞的推力以及各種傳動部件之間的作用力能使汽車前以及各種傳動部件之間的作用力能使汽車前進嗎？使汽車前進的力是什么力？進嗎？使汽車前進的力是什么力？ 參考解答：汽車發動機內氣體對活塞的推力以及各種傳動部件之間的作參考解答：汽車發動機內氣體對活塞的推力以及各種傳動部件之間的作用力都是汽車系統的內力，內力只會改變內部各質點的運動狀態，不會用力都是汽車系統的內力，內力只會改變內部各質點的運動狀態，不會改變系統的總動量，所以不能使汽車前進。改變系統的總動量，所以不能使汽車前進。使汽

27、車前進的力只能是外力，這個外力就是地面給汽車的摩擦力。使汽車前進的力只能是外力，這個外力就是地面給汽車的摩擦力。粗略分析如下：當汽車發動機內氣體對活塞的推力帶動傳動部件使主動粗略分析如下：當汽車發動機內氣體對活塞的推力帶動傳動部件使主動輪（一般為汽車的后輪）繞輪軸轉動時，使主動輪與地面的接觸部分相輪（一般為汽車的后輪）繞輪軸轉動時，使主動輪與地面的接觸部分相對地面有向后滑動的趨勢，從而使地面對汽車施以向前的摩擦力，使汽對地面有向后滑動的趨勢，從而使地面對汽車施以向前的摩擦力，使汽車整體向前加速運動。車整體向前加速運動。 由于汽車前進使從動輪（汽車的前輪）相對地面有由于汽車前進使從動輪（汽車的前

28、輪）相對地面有向前的運動趨勢，因此從動輪受到地面施以的方向向后向前的運動趨勢，因此從動輪受到地面施以的方向向后的摩擦力，該摩擦力對從動輪軸的力矩使從動輪滾動起的摩擦力，該摩擦力對從動輪軸的力矩使從動輪滾動起來。所以汽車的運動最終靠的是地面施加的摩擦力。來。所以汽車的運動最終靠的是地面施加的摩擦力。27iiimPv= 常矢量常矢量如果系統所受的外力之和為零（即如果系統所受的外力之和為零（即 ），），則系統的總動量保持不變。這個結論叫做動量守恒定律。則系統的總動量保持不變。這個結論叫做動量守恒定律。0iF條件條件0iF3. 3. 動量守恒定律動量守恒定律直角坐標系下的分量形式直角坐標系下的分量形式

29、nxnxxmmmvvv2211=常量常量nynyymmmvvv2211=常量常量nznzzmmmvvv2211=常量常量121121121diiniiiittniniiiPPmmtFvv28關于動量守恒定律，注意幾點：關于動量守恒定律，注意幾點：1F2F021FF開始靜止，加上一對力后，開始靜止，加上一對力后，轉動；動量守恒嗎？轉動；動量守恒嗎？1 vm2 vm每一對對應點的動量矢量合還是為零。每一對對應點的動量矢量合還是為零。(2) (2) 碰撞、打擊碰撞、打擊摩擦力、重力作用，外力矢量合不為摩擦力、重力作用，外力矢量合不為零零 ( (因因 t t很短很短, ,碰撞、打擊的內力遠大于外力碰撞

30、、打擊的內力遠大于外力),),仍有動量仍有動量守恒守恒. .(3) (3) 外力矢量合不為零外力矢量合不為零, ,但沿著某一方向分量的代數合但沿著某一方向分量的代數合為零為零, ,總動量在該方向的分量守恒總動量在該方向的分量守恒. .(1) (1) 動量是矢量，是矢量守恒。動量是矢量，是矢量守恒。29例：車例：車(M)長長l, , 人人(m)，車對地光滑車對地光滑, ,問人從車的一端走到另一端時問人從車的一端走到另一端時, ,人和車各對地移動了多少人和車各對地移動了多少? ?lx人人x車車lxx人車人對地vMMm 解解: (: (人人, ,車車) ) 系統系統沿水平方向沿水平方向, ,動量守恒

31、動量守恒. .0車對地人對地vvMm人對地車對地vvMm一維直線運動一維直線運動, ,人對地車對地vvMm人對地人對地車對地人對地人對車vvvvvMmtltd0人對車v人對地人對地xMmMtMmMtd0v,lmMMx人對地lmMmxlx人對地車對地30 物體物體m與質元與質元dm在在 t 時刻時刻的速度以及在的速度以及在 t + dt 時刻時刻合合并后的共同速度如圖所示：并后的共同速度如圖所示：mdmvutttd m+dmvvdF 把物體與質元作為把物體與質元作為系統系統考慮，初始時刻與末時刻的動考慮，初始時刻與末時刻的動量分別為：量分別為：ummdv初始時刻初始時刻)d)(d(vvmm末時刻

32、末時刻4. 4. 變質量物體的運動方程變質量物體的運動方程31對對系統系統利用動量定理利用動量定理)d()d)(d(ummmmvvvtF dummmmdddddvvvtF d略去二階小量，兩端除略去二階小量，兩端除d tFutmmtdd)(ddv值得注意的是，值得注意的是，dm可正可負，可正可負，當當dm取負時，表取負時，表明物體質量減小，對于火箭之類噴射問題，明物體質量減小，對于火箭之類噴射問題，utm dd為尾氣推力為尾氣推力。變質量物體運動微分方程變質量物體運動微分方程32(1)(1)確定研究系統確定研究系統, ,取定坐標系取定坐標系(2)(2)寫出系統動量表達式寫出系統動量表達式(3)

33、(3)求出系統動量變化率求出系統動量變化率(4)(4)分析系統受力分析系統受力(5)(5)應用動量定理求解應用動量定理求解變質量問題的處理方法變質量問題的處理方法例例1 1：裝煤車的牽引力裝煤車的牽引力例例2 2：勻速勻速提提柔軟鏈條柔軟鏈條33例：一輛煤車以例：一輛煤車以v =3m/s的速率從煤斗下面通過的速率從煤斗下面通過, ,每秒鐘每秒鐘落入車廂落入車廂的煤為的煤為 m=500kg。如果車廂的速率保持不變如果車廂的速率保持不變, ,應用多大的牽引應用多大的牽引力拉車廂力拉車廂? ?設以地面為設以地面為參考系參考系，建立坐標系如圖，建立坐標系如圖，解解: : 研究對象研究對象： t 時刻車

34、中煤的總質量時刻車中煤的總質量m和和 t+dt 時刻落入車廂的煤的質量時刻落入車廂的煤的質量dm t 時刻和時刻和t+dt時刻系統時刻系統水平水平總動量分別為總動量分別為: :vvmmm0dvvv)d(dmmmm dt 時間內系統水平總動量增量為時間內系統水平總動量增量為: :vvvmmmmpd)d(d由動量定理可得由動量定理可得: :vmptFdddN15003500ddvtmFmdmvFOx34XoxF0v例：柔軟的繩盤在桌面上，總質量為例：柔軟的繩盤在桌面上，總質量為m0，總長度總長度l , 質量均勻分布，質量均勻分布，均勻地以速度均勻地以速度v0 0提繩。求：繩子被拉上任一段后，繩端的

35、拉力提繩。求：繩子被拉上任一段后，繩端的拉力F。解：解：( (方法一方法一) ) 取取整個繩子整個繩子為研究對象為研究對象( (系統系統) )：t0000vxlmP：ttd0)(00vxxlmPdF受力圖受力圖gm0N) 1 ()()(00000vvxlmxxlmtgmNFdd)2()(0gxllmNxglmlmF0200vgxllm0Nt 時刻繩子被拉上時刻繩子被拉上x , , t +dt 時刻繩子被拉上時刻繩子被拉上x+dx t 時刻和時刻和t+dt時刻系統總動量分別為時刻系統總動量分別為: :35已提升的質量已提升的質量(主體主體) m 和將要提升的質量和將要提升的質量dm：t0,0vm

36、：ttd00d,vvmm0dd)(vmtmgF0ddvtmmgFtxlmtmdddd0 xlmm00ddvtxxglmlmF0200v( (方法二方法二) ) 系統是：系統是：FXox0vgm t 時刻和時刻和t+dt時刻系統總動量分別為時刻系統總動量分別為: :36 質點系的質量中質點系的質量中心，簡稱心，簡稱質心質心。具有具有長度的量綱，描述與長度的量綱，描述與質點系有關的某一空質點系有關的某一空間點的位置。間點的位置。 質心運動反映了質心運動反映了質點系的整體運動趨質點系的整體運動趨勢。勢。5.5. 質心質心 質心運動定理質心運動定理拋手榴彈的過程拋手榴彈的過程COxy37質心質心( (

37、質量中心質量中心) )定義定義iiiiicmrmr對于分立體系：對于分立體系：直角坐標系下：直角坐標系下：MxmxiiicMymyiiicMzmziiicMrmiiiNimmmm,21Nirrrr,21imMciirMrmxzyOm2m1mimN1r2rccrNrir38M對于連續體：對于連續體：mmrrcddMmr d直角坐標系下：直角坐標系下：MmxxcdMmyycdMmzzcd(xc yc zc)cxzyOcrdmriiiiicmrmr39dxx例例: :求腰長為求腰長為a等腰直角三角形均勻薄板的質心位置。等腰直角三角形均勻薄板的質心位置。這個結果和熟知的三角形重心位置一致。這個結果和熟

38、知的三角形重心位置一致。axxxxmmxxaac32d2d2dd2/02/02三角形質心坐標三角形質心坐標xc c是是xy a解解: : 因為等腰直角三角形對于直角的平分線對稱，所以因為等腰直角三角形對于直角的平分線對稱，所以質心質心位于此分角線上。位于此分角線上。以此分角線為以此分角線為x軸，作坐標軸如圖所示。軸，作坐標軸如圖所示。Oxy在離原點處取寬度為在離原點處取寬度為d dx的面積元，由于的面積元，由于面積元的高度為面積元的高度為2 2y，所以其面積為，所以其面積為2ydx=2xdx。設薄板每單位面積的質量。設薄板每單位面積的質量為為 ，則此面積元的質量，則此面積元的質量dm=2x d

39、x。40解解 因為等腰直角三角形對于直角的平分線對稱，所以質心因為等腰直角三角形對于直角的平分線對稱，所以質心位于此分角線上。以此分角線為位于此分角線上。以此分角線為x軸，作坐標軸如所示。軸，作坐標軸如所示。 在在離原點處取寬度為離原點處取寬度為d dx的面積元，由于面積元的高度為的面積元，由于面積元的高度為2 2y，所，所以其面積為以其面積為2ydx=2xdx。設薄板每單位面積的質量為。設薄板每單位面積的質量為 ，則此，則此面積元的質量面積元的質量xyySd)d(2d. 2xyyySd2)d(2d. 3xySd2d. 1xydd212xydd13略去二階無窮小略去二階無窮小dxxOxydy4

40、1iiiiimrmrctrccddviiimMcvviiimPvcMvtMtPcddddvcaMtPFdd 質心運動定理質心運動定理MrmiiiMtrmiiiddMmiiivcaM表明：不管物體的質表明：不管物體的質量如何分布，也不管量如何分布，也不管外力作用在物體的什外力作用在物體的什么位置上，質心的運么位置上，質心的運動就象是物體的質量動就象是物體的質量全部都集中于此，而全部都集中于此，而且所有外力也都集中且所有外力也都集中作用其上的一個質點作用其上的一個質點的運動一樣。的運動一樣。質心的質心的運動只由合外力決定運動只由合外力決定，內力不能改變質心，內力不能改變質心的運動情況。的運動情況。

41、質心運動反映了質點系的整體運動趨勢。質心運動反映了質點系的整體運動趨勢。42動量守恒定律動量守恒定律Mmiicvv= 常矢量常矢量iiimPv= 常矢量常矢量0iF系統所受合外力矢量和為系統所受合外力矢量和為零，動量守恒。即質心速零，動量守恒。即質心速度保持不變！度保持不變！iiiiimrmrctrccddviiimMcvviiimPvcMvtMtPcddddvcaMtPFddMrmiiiMtrmiiiddMmiiivcaM43 天安門前放焰火時，一朵五彩繽紛的焰火的質心的天安門前放焰火時，一朵五彩繽紛的焰火的質心的運動軌跡如何？（忽略空氣阻力與風力）為什么在空中運動軌跡如何？（忽略空氣阻力與

42、風力）為什么在空中焰火總是以球形逐漸擴大？焰火總是以球形逐漸擴大？答：由質心運動定理答：由質心運動定理F = mac可知，系統的外力決定質心的運動。天安門前放可知，系統的外力決定質心的運動。天安門前放焰焰火火時，若不計阻力和風力，時，若不計阻力和風力，焰火焰火受到的外力只有重受到的外力只有重力，所以力，所以焰火焰火質心的運動軌跡就是一條拋物線。質心的運動軌跡就是一條拋物線。 焰火在空中炸開時，由于爆炸力遠遠大于重力，焰火在空中炸開時，由于爆炸力遠遠大于重力，可近似認為焰火系統動量守恒，焰火各質點的動量可近似認為焰火系統動量守恒，焰火各質點的動量之和必須保持為零，所以各方向的動量都有，且相之和必

43、須保持為零，所以各方向的動量都有，且相反方向的動量大小必定相等，從而使空中的焰火大反方向的動量大小必定相等，從而使空中的焰火大致以球形逐漸擴大。致以球形逐漸擴大。44例：例： 一質量一質量m1=50kg的人站在一條質量的人站在一條質量 m2=200kg , , 長度長度l = 4m的船頭上。開始時船靜止的船頭上。開始時船靜止, ,求當人從船頭走到船尾時船移動的距求當人從船頭走到船尾時船移動的距離離d =？ ,)(22dxxdlxx)(11x0yC船船2x1xC 船船1x2xdd解解: :取人和船為系統取人和船為系統, ,該系統在水平方向不該系統在水平方向不受外力受外力, ,因而水平方向的質心速

44、度不變因而水平方向的質心速度不變, ,即即質心始終靜止不動質心始終靜止不動。當人在船左端時當人在船左端時, ,人和船人和船這個系統的這個系統的質心坐標質心坐標為為212211mmxmxmxc當人在船右端時當人在船右端時, ,人和船人和船這個系統的這個系統的質心坐標質心坐標為為212211mmxmxmxc由于由于212211mmxmxmxc212211mmxmxmxc所以所以22112211xmxmxmxm即即: :)()(111222xxmxxm)(12dlmdm求當人從船頭走到船尾時船移動的距離求當人從船頭走到船尾時船移動的距離(m)8 . 042005050211lmmmdMxmxiiic

45、451. 1. 功（定義）、功（定義）、變力做功的計算變力做功的計算.ab軌道分成軌道分成N個小段個小段, ,每個小段足夠小每個小段足夠小, , 其上其上F大大小、方向均一定，按恒力作功，小、方向均一定，按恒力作功，有：有：取取i小段小段, ,有有: :iNiiirFAA1,d)(0limbarrrrFrFrbarrrFAd3 3 功功 動能動能 勢能勢能 機械能守恒定律機械能守恒定律 牛頓定律牛頓定律瞬時作用關系。現在研究質點在力的持續作用下，瞬時作用關系。現在研究質點在力的持續作用下，力對物體的積累效應。力的空間積累對質點運動的影響。力對物體的積累效應。力的空間積累對質點運動的影響。arb

46、ro)(rFF2F1F2r1rrFA),cos(rFrFA).3 , 2 , 1(NiiiirFA46barrrFAd直角坐標系：直角坐標系：kFjFiFFzyxkzj yi xrddddzFyFxFrFzyxdddd),(aaazyxa),(bbbzyxbzFyFxFrFAbabababazzzyyyxxxrrdddd功率：功率： t內作功內作功 A，平均功率：，平均功率：tAW瞬時功率：瞬時功率：tAtAW0tddlimvFtrFtrFtrFt0tWddlimlim0或或abarbro2F1F2r1r47j yi xF34例：已知力例：已知力質點從原點移動到質點從原點移動到 x = 8,

47、y = 6 處該力做功多少處該力做功多少? ?21drrrFA602802232yx6080d3d4yyxx(J)18254128zFyFxFrFAbabababazzzyyyxxxrrdddd48例例: :某物體質量某物體質量 m =2kg，受力受力F = 12t（N）從靜止出發從靜止出發沿沿 x 軸作直線運動。軸作直線運動。oxm)(tF求：求：3s 內該力做了多少功？內該力做了多少功？解解: :若質點沿若質點沿x 軸運動軸運動21dxxxFAtmFa6tat6ddvttd6dvttt0d6d0vvv203tvv23tv21dxxxFA)d(dtxv21dtttFv302d312ttt(J

48、)7299304 t49(1) (1) 直線運動：直線運動：2212121212121ddddd2vvvvvvvmmmxtmxFAxxxx(2) (2) 曲線運動：曲線運動：vvvddddddmrtmrFA2vvv求導：求導：ttdd2dd2vvvvvvvvdd代入上式，有：代入上式，有：21222121dd21vvvvvvmmmAA得：合外力對物體所作的功合外力對物體所作的功等于物體動能的增量。等于物體動能的增量。2. 2. 質點的動能定理質點的動能定理vvvvdddmmAvvvvdddndv不僅產生于不僅產生于v 方向的改變，方向的改變，而且也決定于而且也決定于v 大小的變化大小的變化。v

49、vvvvvndddvvdvv dvv d50例例. . 一質量為一質量為m的擺球系在線的一端，線長的擺球系在線的一端，線長l ；水平靜止；水平靜止然后下落。求擺線與水平方向成然后下落。求擺線與水平方向成 0 0角時，擺球的速率。角時，擺球的速率。m0解：解：任取任取擺線與水平方向成擺線與水平方向成 角時角時( (即即任取一中間過程任取一中間過程) )分析分析,l對擺球，外力：對擺球，外力：P，T下擺下擺d，dr 時：時：ddSrdrPTAd)(drPArTdd,drPAAdd,000rmgA0cosd)dd(dlSrdcos00mglv 0sinmgl由動能定理：由動能定理：,21222121

50、vvmmA,mmglsin02221v022glsinv0sinl思考：思考：A重力做功重力做功=？PT513. 3. 保守力保守力 勢能勢能 Ep以保守力相互作用的物體系統，在一定的相對位置狀態以保守力相互作用的物體系統，在一定的相對位置狀態下所具有的能量稱勢能。下所具有的能量稱勢能。重力勢能重力勢能彈力勢能彈力勢能mgy221kx引力勢能引力勢能rmGm21定義：力定義：力F 作功與始末位置有關，與路徑無關。作功與始末位置有關，與路徑無關。LlF0d或F保守力保守力功的大小只與物體的始末位置有關，而與所經歷的路徑功的大小只與物體的始末位置有關，而與所經歷的路徑無關，這類力叫做無關，這類力叫

51、做保守力保守力。不具備這種性質的力叫做。不具備這種性質的力叫做非非保守力保守力。保守力保守力 520 xyabcm在重力在重力P 的作用下從的作用下從a-b-c，重力重力P 作的功作的功。P 21yycaymgAAddy1y2h如果質點沿如果質點沿a-d-c下落，計算過程與結果與此完全一樣。下落，計算過程與結果與此完全一樣。d重力作功與始末位置有關，與路徑無關重力作功與始末位置有關，與路徑無關。如果如果m：c-b-a，所以，所以，adcba一周，一周，LlPA0d重力勢能重力勢能, (, (重力勢能重力勢能重力作功）重力作功）rPAddrdymgrPdcosdmghyymg)(12mghAco

52、sddry任取一中間元過程任取一中間元過程53彈性勢能（彈性力作功）彈性勢能（彈性力作功）x0mkm：x1x2彈性力彈性力2121221dAxxxxkxxkx勢能與保守力作功的一般關系：勢能與保守力作功的一般關系：保守力作正功，勢能減少。保守力作正功，勢能減少。保守力作負功（外力反抗保守力作功），勢能增加。保守力作負功（外力反抗保守力作功），勢能增加。pEA彈性力作功也僅僅與質點的始末位置有關，與具體路徑無關。彈性力作功也僅僅與質點的始末位置有關，與具體路徑無關。22212121kxkxkxF541f2f2dr系統中一對內力的功系統中一對內力的功 設有兩個質點設有兩個質點1和和2，質量分別為，

53、質量分別為m1和和m2，f1為質點為質點1受到質點受到質點2的作用的作用力，力，f2為質點為質點2受到質點受到質點1的作用力，它們是一對作用力和反作用力。的作用力，它們是一對作用力和反作用力。思考思考: :這樣一對內力的功與參照系有關嗎這樣一對內力的功與參照系有關嗎? ?1m2m01r2r1dr2211dddrfrfA021 ff)d(dd122rrfA)d(122rrf12rr122drf dt 時間質點時間質點2對質點對質點1的相對位移的相對位移12dr 由此可見，一對作用力與反作用力所作由此可見，一對作用力與反作用力所作的總功只與作用力的總功只與作用力f2及相對及相對位移位移dr12有關

54、。有關。表明：任何一對作用力和反作用力所作的總功表明：任何一對作用力和反作用力所作的總功 具有與參考系選擇無關的不變性質。具有與參考系選擇無關的不變性質。55引力勢能引力勢能 ( (計算一對萬有引力的功計算一對萬有引力的功) )rFAddrrmMGdcos20rrrd)cos(dcosdrrmMGAdd20barrAAdbarrrrmMGd20)11(0barrmMG由此可見，萬有引力作功也僅僅與質點的始末位置由此可見，萬有引力作功也僅僅與質點的始末位置有關，與具體路徑無關。有關，與具體路徑無關。rFrrdmbbraarOMrdrd 兩個物體的質量分別為兩個物體的質量分別為M和和m，它們之間有

55、萬有引力作用。，它們之間有萬有引力作用。這一這一對萬有引力作功之和只取決于它們間的相對運動，選擇不同的坐標系對萬有引力作功之和只取決于它們間的相對運動，選擇不同的坐標系計算這一對力作功之和都會得出相同的結果。計算這一對力作功之和都會得出相同的結果。M 靜止，以靜止，以M為原點為原點O建立坐標系，研究建立坐標系，研究m 相對相對M 的運動。的運動。56o)(hEphhEpEHHE重力勢重力勢能能kEpEE)(xEpxABo彈性勢能彈性勢能xpEEo0kEkEpE引力勢能引力勢能勢能曲線勢能曲線57勢能曲線的作用：勢能曲線的作用：pppEEEA)(12pEAddxFAxddxEFpxdd保守力沿某

56、坐標軸的分量等于勢能對此坐標的導數的負值。保守力沿某坐標軸的分量等于勢能對此坐標的導數的負值。(1)(1)根據勢能曲線的形狀可以討論物體的運動。根據勢能曲線的形狀可以討論物體的運動。(2)(2)利用勢能曲線，可以判斷物體在各個位置所受保守力的大利用勢能曲線，可以判斷物體在各個位置所受保守力的大小和方向。小和方向。例：雙原子分子勢能曲線例：雙原子分子勢能曲線 rEp r0or = r0時，時， 0ddrEP有有 fr = 0平衡位置平衡位置r r0時，時， 0ddrEP有有 fr 0，指向指向r的減小方向，是引力。的減小方向，是引力。 r 0，指向指向r增大的方向，是斥力。增大的方向，是斥力。5

57、8123外力外力外力外力外力外力內力內力內力內力內力內力內力和外力內力和外力內力：系統內各質點之間的相互作用力。內力：系統內各質點之間的相互作用力。N個質點組成系統個質點組成系統質點組。質點組。對第對第i個質點：個質點：21222121iiiiimmAvv內外式中，iiiAAA( i =1,2,3N )把把 N 個方程加起來個方程加起來: :NiiNiiNiiAAA111內外NiiiNiiimm1211222121vv4. 4. 質點組的動能定理質點組的動能定理0kkEEAA內外所有所有外力外力作的功與所有作的功與所有內力內力作的功的代數和等于系統總動能的增量作的功的代數和等于系統總動能的增量

58、 質點組的動能定理質點組的動能定理. .590kkEEAAA非保守內力保守內力外力）(0PPEEA保守內力)()(00ppkkEEEEAA非保守內力外力內力：保守內力或非保守內力。內力：保守內力或非保守內力。0kkEEAA內外質點組的動能定理質點組的動能定理)(0EEAA非保守內力外力）機械能令(pkEEE系統系統外力外力與與非保守內力非保守內力作功之和等于系統機械能的增量作功之和等于系統機械能的增量 功能原理功能原理00EAA，若非保守內力外力機械能守恒定律：機械能守恒定律：如果如果一個系統內只有保守內力做功一個系統內只有保守內力做功，或者，或者非非保守內力與外力的總功為零保守內力與外力的總

59、功為零，則系統內各物體的動能和勢能可，則系統內各物體的動能和勢能可以互相轉換，但機械能的總值保持不變。這一結論稱為機械能以互相轉換，但機械能的總值保持不變。這一結論稱為機械能守恒定律。守恒定律。60m勢能零點勢能零點（地面附近）（地面附近）質點系重力勢能的計算質點系重力勢能的計算cchimihiiiPghmEiiihmgmhmhiiiccPmghE例：均質細棒的重力勢能例：均質細棒的重力勢能總長總長 l，總質量總質量 mlhc212mglEP勢能零點勢能零點cMymyiiic61運用功能原理解題步驟運用功能原理解題步驟:(1)(1)確定研究對象確定研究對象“系統系統”（保守力的施力體劃在系統內

60、）（保守力的施力體劃在系統內）; ;(2)(2)分析系統所受的力及力所做的功；分析系統所受的力及力所做的功；(3)(3)選擇慣性系建坐標；選擇慣性系建坐標；(4)(4)選擇零勢能點；選擇零勢能點；(5)(5)計算始末態的機械能及各力所做的功計算始末態的機械能及各力所做的功; ;(6)(6)應用功能原理列方程解方程應用功能原理列方程解方程 。62kmv0mgNfF解：解： 以小球和彈簧作為系統，所受外以小球和彈簧作為系統，所受外力為重力力為重力mg、支持力、支持力N、摩擦力、摩擦力f 和固和固定端對彈簧的拉力定端對彈簧的拉力F。在小球運動過程中只有摩擦力作負功，在小球運動過程中只有摩擦力作負功，