2024-2025學年第二學期期中教學質量監測高二數學本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，考生務必將自己的學校、姓名、考生號、試室號和座位號填寫在答題卡上，用2B鉛筆將考生號填涂在答題卡相應位置上.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數，則（）.A. B. C. D.2.已知數列是等比數列，若，，則的值為（）A.16 B.4 C.-2 D.-43.已知數列滿足，則數列的最小項是第（）項A.5 B.6 C.7 D.84.已知函數的導函數的圖象如圖所示，下列說法不正確的是（）A.函數在上單調遞減B.函數在上單調遞增C.函數處取得極小值D.函數共有兩個極小值點5.如圖，雪花形狀圖形的作法是：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復進行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線.設原正三角形（圖①）的邊長為2，把圖①，圖②，圖③，圖④中圖形的面積依次記為，，，，面積的改變量，，則（）A. B. C. D.6.數列滿足，，其前項積為，則（）A.1 B.-6 C.2 D.37.函數，當時，恒成立，則k的取值范圍是（）A. B. C. D.8已知函數所有極小值點從小到大排列成數列，則（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.下列函數求導錯誤的是（）A. B.C. D.10.以下關于數列的結論正確的是（）A.若數列的前項的和，則數列為等差數列B.若數列的前項的和，則數列為等比數列C.若數列滿足，則數列為等差數列D.若數列滿足，則數列為等比數列11.已知函數，則下列結論錯誤的是（）A.函數存在兩個不同的零點B.函數只有極大值沒有極小值C.當時，方程有且只有兩個實根D.若時，，則t的最小值為2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數，則在處的導數是______．13.已知等差數列的前n項和為，且，.則數列的通項公式______.14.人們很早以前就開始探索高次方程的數值求解問題.牛頓在《流數法》一書中給出了高次代數方程的一種數值求法——牛頓法，用“作切線”的方法求方程的近似解.如圖，方程的根就是函數的零點，取初始值，在處的切線與軸的交點橫坐標為，在處的切線與軸的交點橫坐標為，一直繼續下去，得到、、、、，它們越來越接近.若，取，則用牛頓法得到的的近似值______，______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數列的首項，且滿足.（1）求證：是等比數列，并求出的通項公式；（2）設，求數列的前項和.16.設，，，兩個函數的圖象如圖所示.（1）判斷，的圖象與，之間的對應關系；（2）根據，的位置關系，寫出一個關于和的不等式，并證明.17.已知函數.（1）討論函數單調性；（2）設，若函數有兩個零點，求的取值范圍18.已知函數.（1）若，且是增函數，求a的最小值；（2）證明：曲線是中心對稱圖形；（3）若當且僅當成立，求b的取值范圍.19.若，都存在唯一的實數，使得，則稱函數存在“源數列”.已知.（1）證明：存源數列；（2）（i）若恒成立，求的取值范圍；（ii）記的源數列為，證明：的前項和.

2024-2025學年第二學期期中教學質量監測高二數學本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，考生務必將自己的學校、姓名、考生號、試室號和座位號填寫在答題卡上，用2B鉛筆將考生號填涂在答題卡相應位置上.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數，則（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據導數的極限定義，結合求導公式計算即得.【詳解】由可得，則.故選：B.2.已知數列是等比數列，若，，則的值為（）A.16 B.4 C.-2 D.-4【答案】A【解析】【分析】設數列的公比為，利用條件求得，整體代入通項，即可求得.【詳解】設數列的公比為，由，解得，則故選：A.3.已知數列滿足，則數列的最小項是第（）項A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】根據給定的遞推公式，探討數列單調性求出最小項.【詳解】數列中，由，得，由，得，則當時，；當時，，即，所以數列的最小項是第6項.故選：B4.已知函數的導函數的圖象如圖所示，下列說法不正確的是（）A.函數在上單調遞減B.函數在上單調遞增C.函數在處取得極小值D.函數共有兩個極小值點【答案】B【解析】【分析】根據導函數的圖象，判斷函數的單調性和極值，對選項逐一判斷即得.【詳解】由圖知，當或時，，當或時，，即函數和上單調遞減；在和上單調遞增.對于A，由上分析可知，函數在上單調遞減，故A正確；對于B，函數在上單調遞減，在上單調遞增，故B錯誤；對于C，因函數在上單調遞減，在上單調遞增，故當時取得極小值，故C正確；對于D，因函數在上單調遞減，在上單調遞增，故當時取得極小值，結合C項結果可知，函數共有兩個極小值點，故D正確.故選：B.5.如圖，雪花形狀圖形的作法是：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復進行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線.設原正三角形（圖①）的邊長為2，把圖①，圖②，圖③，圖④中圖形的面積依次記為，，，，面積的改變量，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據圖①，②，③的雪花圖形的作法規律，依次求出，即可求得.【詳解】由圖知，，，，故.故選：C.6.數列滿足，，其前項的積為，則（）A.1 B.-6 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根據給定條件，依次求出，進而確定數列的周期，再結合周期性求解.【詳解】數列中，由，得，而，則，因此數列是周期數列，周期為4，且，所以.故選：C7.函數，當時，恒成立，則k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】變形恒成立的不等式，分離參數構造函數，利用導數求出最大值即可.【詳解】，，令函數，求導得，當時，；當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，，則，所以k的取值范圍是.故選：D8.已知函數所有極小值點從小到大排列成數列，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導數求出函數的極小值點，可得出，再利用誘導公式可求得的值.【詳解】因為，則，由，即，可得，由，即，可得，所以，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以，函數的極小值點為，將函數所有極小值點從小到大排列成數列，則，，易知數列為等差數列，且數列的公差為，則，因此，.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.下列函數求導錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據導數公式及復合函數求導計算判斷即可.【詳解】對于A：，A選項錯誤；對于B：，B選項錯誤；對于C：，C選項正確；對于D：，D選項錯誤.故選：ABD.10.以下關于數列的結論正確的是（）A.若數列的前項的和，則數列為等差數列B.若數列的前項的和，則數列為等比數列C.若數列滿足，則數列為等差數列D.若數列滿足，則數列為等比數列【答案】AC【解析】【分析】對于A，B，根據數列的前項的和與通項的關系求得數列通項，即可判斷；對于C，D，利用等差中項與等比中項的概念，結合數列的項的特征即可判斷.【詳解】對于A，由可得，當時，，因時滿足上式，且，故數列等差數列，A正確；對于B，由可得，當時，，因時，，故數列不是等比數列，故B錯誤；對于C，由可知，是和的等差中項，故數列為等差數列，故C正確；對于D，由可知，當都不為0時，是的等比中項，此時數列為等比數列；但當，且中至少一個為0時，等式成立，但數列不構成等比數列，故D錯誤.故選：AC.11.已知函數，則下列結論錯誤的是（）A.函數存在兩個不同的零點B.函數只有極大值沒有極小值C.當時，方程有且只有兩個實根D.若時，，則t的最小值為2【答案】BD【解析】【分析】由，得到，可判定A正確；求得，得出函數的單調區間，可判定B錯誤；根據函數的最小值是，可判定C正確；由函數的單調性和極值，可判定時，，可判定D錯誤.【詳解】對于A中，由，可得，解得，所以A正確；對于B中，由，令時，可得，當時，或，所以函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是，所以是函數極小值，是函數的極大值，所以B錯誤；對于C中，當時，，根據B可知，函數的最小值是，可得函數的大致圖象，所以當時，方程有且只有兩個實根，所以C正確；對于D中，由B知函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是，其中，當時，即在區間時，可得，所以D錯誤.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數，則在處的導數是______．【答案】##【解析】【分析】求導可得，則，求出即可求解.【詳解】由題意知，，令，得，解得，所以在的導數為.故答案：13.已知等差數列的前n項和為，且，.則數列的通項公式______.【答案】【解析】【分析】設等差數列的公差為，利用等差數列的基本量運算，結合條件列出方程組，求出，即得數列通項.【詳解】設等差數列的公差為，由可得，即①，由可得，即②，由①，②聯立，解得，，故.故答案為：.14.人們很早以前就開始探索高次方程的數值求解問題.牛頓在《流數法》一書中給出了高次代數方程的一種數值求法——牛頓法，用“作切線”的方法求方程的近似解.如圖，方程的根就是函數的零點，取初始值，在處的切線與軸的交點橫坐標為，在處的切線與軸的交點橫坐標為，一直繼續下去，得到、、、、，它們越來越接近.若，取，則用牛頓法得到的的近似值______，______.【答案】①.②.##【解析】【分析】利用導數求出曲線在處的切線方程，可求出的值，再利用導數求出曲線在處的切線方程，可求出的值.【詳解】因為，，則，且，則，所以，曲線在處的切線方程為，即，由題意可得，解得，，，所以，曲線在處的切線方程為，即，由題意可得，解得.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數列的首項，且滿足.（1）求證：是等比數列，并求出的通項公式；（2）設，求數列的前項和.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）由遞推關系把拆到等號兩邊，變成后推出即可；（2）求出數列的通項，再用錯位相減法求出即可.【小問1詳解】證明：所以是以為首項，為公比的等比數列.所以，所以.【小問2詳解】因為，所有，，，作差可得，所以.16.設，，，兩個函數圖象如圖所示.（1）判斷，的圖象與，之間的對應關系；（2）根據，的位置關系，寫出一個關于和的不等式，并證明.【答案】（1）答案見解析；（2），證明見解析.【解析】【分析】（1）分別求出函數，的導函數，利用導函數的符號及大小分別判斷函數增長的快慢來判斷圖象.（2）結合圖象及（1）的結論，寫出不等式并利用導數證明即得.【小問1詳解】函數，，求導得，，當時，；當時，；當時，，函數，在上都是增函數，在區間上，的圖象比的圖象要“陡峭”；在區間上，的圖象比的圖象要“平緩”，所以函數，的圖象依次是圖中的，.【小問2詳解】由（1）及圖象知，，設，求導得，當時，，當時，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，，所以.17.已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）設，若函數有兩個零點，求的取值范圍【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）求導，分和兩種情況討論，根據導數的符號，即可求出函數的單調區間；（2）函數有兩個零點，即方程有兩個不相等的實數根，即方程有兩個不相等的實數根，即直線與函數的圖象有兩個交點，令，求出函數的單調區間，然后畫出函數的簡圖，結合圖像即可得出答案.【小問1詳解】函數的定義域為，，當時，，所以在上單調遞減；當時，當時，，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增；綜上，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；【小問2詳解】，函數有兩個零點，即方程有兩個不相等的實數根，也即方程有兩個不相等的實數根，即直線與函數的圖象有兩個交點，令，則，當或時，，當時，，所以函數在和上單調遞減，在上單調遞增，所以，，當時，，且，所以，函數的圖象大致如圖，則的取值范圍是.18.已知函數.（1）若，且是增函數，求a的最小值；（2）證明：曲線是中心對稱圖形；（3）若當且僅當成立，求b的取值范圍.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）求導，分析可知，求出可求的最小值；（2）根據題意可證，即可得結果；（3）分析可知為的一個解，即可得，結合對稱性可知原題意等價于在內恒成立，設，構建函數，可得在上恒成立，求導，結合恒成立問題分析求解即可.【小問1詳解】若時，，可知的定義域為，且，若是增函數，即在內恒成立，因為，當且僅當，即時，等號成立，即，則，解得，所以的最小值為.【小問2詳解】因為的定義域為，且，所以圖象為中心對稱圖形，且對稱中心為.【小問3詳解】因為當且僅當成立，結合（2）所得對稱中心，知為的一個解，即，可得，關于點對稱，根據對稱性可知：原題意等價于在內恒成立