1、機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院第第2章章 振動分析基礎振動分析基礎 振動系統可分為離散模型和連續模型兩種不同的類型。離散模型具有有限個自由度，而連續模型則具有無限個自由度。系統的自由度定義為能完全描述系統運動所必須的獨立的坐標個數。在離散模型中，最簡單的是單自由度線性系統，它用一個二階常系數微分方程來描述。這類模型常用來作為較復雜系統的初步近似描述。機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院 復雜系統的數學模型可通過模態分析技術轉化為一組獨立的二階常微分方程，其中每一個方程都類似于單自由度系統的運動方程。因此，對單自由度系統進行詳細深入的分析是十分必要的。機械動力學機械

2、動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院2.1 單自由度系統單自由度系統 構成離散模型的元素有三個： 慣性元件 m 質量元件則看作剛體 等效集中質量 彈性元件 k 通常假定彈簧為無質量元件 等效集中剛度 阻尼元件 c 阻尼器一般也假設為無質量 粘性阻尼激振力 p(t) 機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院一、單自由度系統的運動方程一、單自由度系統的運動方程 單自由度彈簧-阻尼器-質量系統可由下圖表示，用牛頓定律來建立系統的運動方程。 機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院KmT22衰減系數衰減系數固有角頻率固有角頻率固有頻率固有頻率周期周期有阻尼固有角頻率有阻尼固有角頻率二、自

3、由振動二、自由振動機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院1、臨界阻尼振動系統、臨界阻尼振動系統臨界阻尼阻尼比機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院2、無阻尼振動系統、無阻尼振動系統固有角頻率固有角頻率有阻尼固有角頻率有阻尼固有角頻率阻尼比阻尼比機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院3、減幅阻尼振動系統、減幅阻尼振動系統機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院對數衰減率對數衰減率機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院對數衰減率對數衰減率機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院機械動力學機械動力

4、學 哈爾濱工業大學機電工程學院例：例： 實驗觀察到一有阻尼單自由度系統的振動幅值在5個完整的周期后衰減了50%，設系統阻尼為粘性阻尼，試計算系統的阻尼。 機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院4、負阻尼振動系統、負阻尼振動系統機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院三、受迫振動三、受迫振動機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院1.

5、受迫振動的頻率 在簡諧激振力作用下，系統的受迫振動是簡諧振動，振動的頻率等于激振力的頻率。 2受迫振動的振幅 決定于系統本身的物理性質和激振力的大小及頻率，而與初始條件無關，初始條件只影響系統的瞬態振動。 機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院 (1) 當頻率比很小，即激振頻率遠小于系統的固有頻率時，無論阻尼的大小如何，動力放大因子都趨近于1，受迫振動的振幅近似等于與激振力幅值相等的靜力作用下系統的靜變位，因此這個區域有時稱為“準靜態區”。機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院（2）當頻率比很大，即激振頻率遠高于系統的固有頻率時，動力放大因子很小并逐漸趨近于零，受迫振動的振

6、幅主要決定于系統的慣性而阻尼的影響不大，因此，這個區域有時稱為“慣性區”。機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院（3）當頻率比1，即激振頻率接近于系統的固有頻率時，動力放大因子迅速增大，受迫振動的振幅急劇增加。在阻尼較小的情況下，振幅A可以比靜變位大很多倍，在無阻尼的情況下，振幅為無窮大。通常我們把激振頻率與系統固有頻率相等（1）的振動狀態稱為共振，1附近的區域稱為“共振區”。在共振區內阻尼的影響很大，阻尼越小共振表現得越強烈，因此共振區也稱為“阻尼區”。機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院 3.受迫振動的位移與激振力有相位差，它們不是同時達到最大值和零值。相位差的數值與

7、系統的阻尼及頻率比的關系。共振（1）時，無論系統的阻尼大小，振動位移總是比激振力滯后90，即相位差90。若系統無阻尼，當。時，振動位移與激振力同相位（0）當 。時，振動位移與激振力相位相反（180）。在共振點前后相位發生突然的變化。 機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院若系統有阻尼，振動位移與激振力之間的相位差隨頻率比的增加而逐漸增大，不會發生突然的變化，但在共振點前后變化較大。系統阻尼越小，共振點附近相位差隨頻率的變化越大。 振動測試中，常應用共振點前后響應與激振力之間的相位差發生較大變化這個事實作為確定共振點的一個指標。機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院4.根據實

8、測的幅頻特性曲線可計算出系統的阻尼。系統共振時（ 1 ）的動力放大因子有時稱為系統的“品質因數”以符號Q表示，也是一個常用來描述系統阻尼特性的量，Q值越大阻尼越小。Q的近似值可由實測的幅頻特性曲線計算出來。機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院稱為半功率點。半功率點所對應頻率之差稱為半功率點帶寬，在小阻尼情況下，不難證明，半功率點帶寬機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院 由于阻尼耗散的能量與振幅的平方成正比，故P點常稱為半功率點，半功率點公式提供了一種確定系統阻尼比的實用方法，

9、 由以上分析可見，當阻尼大時，帶寬。就寬，過共振時振輻變化平緩，振幅較小，反之，阻尼小時，帶寬就窄，過共振時振幅變化較陡，振幅就大。所以，品質因數Q反映了系統阻尼的強弱性質和共振峰的陡峭程度。在機床系統中，為了過共振時比較平穩，希望Q值小些。 機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院以OB為直徑所作的圓叫“等頻率圓”，圓上每一點的頻率相等，虛軸代表 1，復頻響應曲線同時表示了幅頻特性和相頻特性，因此稱為幅相特性曲線（或諧響應軌跡）有時也應用“控制工程”的名稱，稱為乃奎斯特圖或矢端圖。 機械動

10、力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院在復平面上，用復矢量將運動方程中的各項表示出來，可以使我們對系統在振動過祖中的受力情況有一個形象的了解。機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院 任何真實的機械或結構，在振動過程中總會受到某種阻力的作用。阻力的種類很多，如兩個相對運動表面之間的摩擦力、空氣或液體的阻力、材料的內摩擦力等等，這些阻力統稱為阻尼。 系統在振動過程中，阻尼要耗散能量，因而使自由振動逐漸衰減，使共振振幅不可能無限制的增大。當系統作稱態受迫振動時，阻尼所耗散的能量必定等于外部激

11、振力對系統所作的功四、系統的阻尼四、系統的阻尼機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院1、激振力作功、激振力作功機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院 簡諧激振力每周作功的大小，不僅決定于力幅與振幅的大小，還決定于兩者之間的相位差。機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院2、阻尼力作功、阻尼力作功機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院可以證明阻尼力所作的功等于激振力所作的功3、等效的粘性阻尼、等效的粘性阻尼 由于粘性阻尼是線性阻尼，在數學上最容易處理，因此其它性質的非線性阻尼常常用等效的粘性阻尼來代替。等效粘性阻尼根據這樣的原則確定：在一個振動周期中等效粘性

12、阻尼所耗散的能量與它所代替的阻尼所耗散的能量相等。機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院干摩擦力F一般說是一個常力。它在整個受迫振動過程中大小不變，但方向始終與運動方向相反。當質量從平衡位置移動到最大偏離位置時，即在1/4周期內，摩擦力作功為FA。從最大偏離位置返回時運動方向相反，摩擦力也隨著反向，在1/4周期內仍作功FA.以后每1/4周都如此，所以一個整周期中作功總和為1）干摩擦阻尼機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院2）結構阻尼 結構阻尼是由于不完全彈性材料的內摩擦所引起的

13、一種阻尼，大量的試驗表明，在一個振動周期中，由于材料內摩擦所耗散的能量等于材料的應力一應變遲砌國線所包圍的面積，近似地與振幅的平方成正比。機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院 簡諧激振不僅是周期性的，還是諧和的，是周期性激振的最簡單情況。實踐中，還經常碰到這樣的激振，它雖然是周期的，但卻不是諧和的，激振隨時間的變化規律不能僅用一項正弦或余弦函數表達出來。解決這類間題的有效方法是將非諧周期性激振展開成傅里葉級數，然后利用疊加原理。 任何周期函數都可展開成傅里葉級數（三角級數）的形式。 五、非諧周期性激振五、非諧周期性激振機械動力學機械動

14、力學 哈爾濱工業大學機電工程學院機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院 系統對周期性激振的響應也是周期性的，響應的周期與激振的周期相同。如果激振f(t)的某次諧波分量的頻率等于系統的固有頻率，則系統也將發生共振。所以，單自由度系統不僅在受到激振頻率等于系統固有頻率的簡諧激振時會出現共振，而且在受到其某次諧波的頻率等于系統固有頻率的周期激振時也會出現共振。機械動力學機械動力學 哈爾濱工業大學機電工程學院 系統對周期性激振響應的計算，主要是激振f (t)的展開計算。一般周期函數的傅里葉級數是一個無窮級數，但從工程的要求來看，只計算少數前幾項就足夠了，特別是有些函數收斂很快或者其某次諧波分量引起共振時，甚至取兩、三項就能滿足要求。假如激振了(t)是以實測數據或曲線的形式給出，而不知道其解析表達式，則往往應用頻率分析儀直接對激振或響應信號進行頻譜分析獲得各諧波分量。 機械動力學機械動力學 哈爾濱工