1、2022-5-241第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.1 概概述述 2.1.1 邏邏輯輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算代數(shù)中的三種基本運(yùn)算 2.1.2 邏邏輯輯代數(shù)的基本公式和常用公式代數(shù)的基本公式和常用公式2.2 代入定理及其應(yīng)用代入定理及其應(yīng)用2.3 邏邏輯輯函數(shù)及其表示方法函數(shù)及其表示方法2.4 邏輯函數(shù)的公式化簡法邏輯函數(shù)的公式化簡法2.5 邏邏輯輯函數(shù)的卡諾圖化簡法函數(shù)的卡諾圖化簡法2.6 具有無關(guān)項的具有無關(guān)項的邏邏輯輯函數(shù)及其化簡函數(shù)及其化簡2022-5-2422022-5-243 Y = A B000101110100ABY220VBYA2022-5-244 Y= A + B00

2、0111110110ABYBY220VA2022-5-245101AY0Y220VAR2022-5-2462022-5-2472022-5-248AA . AA .0112211 00AA . 11.1AAA . AAA 133.AA 9.1 0AAAA .14.4ABBA ABBA15. 5.10 01 .102022-5-249CBABCAAA)()( 16.CBACBA)()( 6.CBACBA CABACBA )(7.)()()( 17.CABACBA)()(CABABCBCAA)(BCBCA)(1BCAA+1=1 A A=A.結(jié)合律結(jié)合律分配律分配律2022-5-2410基本公式 根

3、據(jù)與、或、非的定義，得表2.1.4的邏輯代數(shù)的基本公式序號序號公公 式式序號序號公公 式式（1a）0 0 A = 0 0（1b）1 + A= 1（2a）1 A = A（2b）0 + A = A（3a）A A = A（3b）A + A = A（4a）A A= 0（4b）A + A= 1（5a）A B = B A（5b）A +B = B + A（6a）A (B C) = (A B) C（6b） A + (B +C) = (A + B) + C（7a）A (B +C) = A B + A C（7b）A + B C = (A +B)(A +C)（8a）(A B) = A + B（8b）(A+ B) =

4、 AB（9）(A ) = A證明方法：真值表2022-5-2411110011111100BABA. 18BABA. 8列狀態(tài)表證明：列狀態(tài)表證明：AB0001101111100100ABBABABABA00002022-5-2412常用的導(dǎo)出公式序號序號公公 式式序號序號公公 式式（11a）A + A B = A（11b）A ( A + B) = A（12a）A +A B = A + B（12b）A (A+ B) = A B（13a）A B + A B= A（13b）( A + B)(A + B) = A（14a）A B + AC + B C = A B + ACA B + AC + B C

5、D = A B + AC（14b）(A + B) (A+ C ) (B + C )= (A + B) (A+ C)(A + B) (A+ C) (B + C + D)= (A + B) (A+ C)證明方法：推導(dǎo) 真值表2022-5-2413 (23)ABAAB ）（ (25) CAABBCCAABAABABAABA ; (26) CAABBCDCAAB BABAA (22) 2022-5-24142022-5-2415BAABCBABCAABC2022-5-2416真值表真值表邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式 邏輯圖邏輯圖波形圖波形圖輸入變量不同取值組合與函輸入變量不同取值組合與函數(shù)值間的對應(yīng)關(guān)系列成表

6、格數(shù)值間的對應(yīng)關(guān)系列成表格用邏輯符號來表示用邏輯符號來表示函數(shù)式的運(yùn)算關(guān)系函數(shù)式的運(yùn)算關(guān)系輸入變量輸入變量輸出變量輸出變量反映輸入和輸出波形變反映輸入和輸出波形變化的圖形又叫時序圖化的圖形又叫時序圖卡諾圖卡諾圖輸入變量輸入變量HDLHDL2022-5-2417A AB BC CF F0 00 00 00 00 01 10 00 01 10 01 11 11 10 00 01 11 10 01 11 11 10 01 11 1C C開，開，F(xiàn) F滅滅0 00 00 00 0C C合，合，A A、B B中有中有一個合，一個合，F(xiàn) F亮亮1 11 1C C合，合，A A、B B均斷，均斷，F(xiàn) F滅滅

7、1 1 1 10 01 11 11 11 11 10 01 11 11 11 1 輸入變量取值為輸入變量取值為1 1用原變量表示用原變量表示; ;反之，則用反變量表示反之，則用反變量表示, ,如：如：ABCABC、ABCABC、ABCABCF= ABC+ABC+ABC2022-5-24181.最小項（1）最小項 具備以上條件的乘積項共八個，我們稱這八個乘積項為三變量A、B、C的最小項。設(shè)A、B、C是三個邏輯變量，若由這三個邏輯變量按以下規(guī)則構(gòu)成乘積項： 每個乘積項都只含三個因子，且每個變量都是它的一個因子； 每個變量都以反變量(A、B、C)或以原變量(A、B、C)的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。

8、 推廣：一個變量僅有原變量和反變量兩種形式，因此N個變量共有2N個最小項。2022-5-2419最小項的定義:對于N個變量，如果P是一個含有N個因子的乘積項，而且每一個變量都以原變量或者反變量的形式，作為一個因子在P中出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，那么就稱P是這N個變量的一個最小項。 表1-17三變量最小項真值表 2022-5-2420（2）最小項的性質(zhì) 在輸入變量的任何取值下必有一個最小項，而且僅有一個最小項的值為1； 任意兩個不同的最小項之積恒為0； 全體最小項之和恒為1。 具有相鄰性的兩個最小項之和可以合并成一項并消去一對因子。2022-5-2421最小項也可用“mi” 表示，下標(biāo)“i”即最小項的編

9、號。編號方法：把最小項取值為1所對應(yīng)的那一組變量取值組合當(dāng)成二進(jìn)制數(shù)，與其相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是該最小項的編號。 表1-18 三變量最小項的編號表 2022-5-2422 （3）最小項表達(dá)式 任何一個邏輯函數(shù)都可以表示為最小項之和的形式標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。而且這種形式是惟一的，就是說一個邏輯函數(shù)只有一種最小項表達(dá)式。例 將Y=AB+BC展開成最小項表達(dá)式。 解： BCAABCCABBCAACCABBCABY)()()7 , 6 , 3(),(763mmmmCBAY或： 2022-5-2423乘積項乘積項用用與門與門實現(xiàn)，實現(xiàn)，和項和項用用或門或門實現(xiàn)實現(xiàn)CBA )(FF2022-5-2424用卡諾圖

10、描述邏輯函數(shù)用卡諾圖描述邏輯函數(shù) 1. 最小項的卡諾圖表示法 實質(zhì)：將邏輯函數(shù)式的最小項之和形式以圖形的方式表示出來。2022-5-2425表示最小項的卡諾圖 二變量卡諾圖 三變量的卡諾圖 4變量的卡諾圖2022-5-2426表示最小項的卡諾圖 二變量卡諾圖 三變量的卡諾圖 4變量的卡諾圖2022-5-2427表示最小項的卡諾圖 二變量卡諾圖 三變量的卡諾圖 四變量的卡諾圖2022-5-2428正確認(rèn)識卡諾圖的“邏輯相鄰”：上下相鄰，左右相鄰，并呈現(xiàn)“循環(huán)相鄰”的特性，它類似于一個封閉的球面，如同展開了的世界地圖一樣。對角線上不相鄰。 以以2 個小方塊分別代表個小方塊分別代表 n 變量的所有最

11、小項，并將變量的所有最小項，并將它們排列成矩陣，而且使幾何位置相鄰的兩個最小項在它們排列成矩陣，而且使幾何位置相鄰的兩個最小項在邏輯上也是相鄰的（即只有一個變量不同），就得到了邏輯上也是相鄰的（即只有一個變量不同），就得到了表示表示n變量全部最小項的卡諾圖。變量全部最小項的卡諾圖。 n2022-5-2429 把表達(dá)式中所有的最小項在對應(yīng)的小方塊中填入1，其余的小方塊中填入0。 例 畫出函數(shù)Y(A、B、C、D)= m(0,3,5,7,9,12,15)的卡諾圖。 2022-5-2430 （2）由與或邏輯函數(shù)表達(dá)式畫卡諾圖把每一個乘積項所包含的那些最小項（該乘積項就是這些最小項的公因子）所對應(yīng)的小方

12、塊都填上1，剩下的填0，就可以得到邏輯函數(shù)的卡諾圖。1 111AB11例已知YABACDABCD，畫卡諾圖。最后將剩下的填01+1ACD=1011ABCD=011100000000002022-5-2431)15,14,13,12()(1mABCDDABCDCABDCABDDCCABABY)13, 9()(2mDCABDCBADCBBADCAY73mBCDAY例已知YABACDABCD，畫卡諾圖。2022-5-2432思考思考 如果由真值表和一般邏輯函數(shù)表達(dá)式如如果由真值表和一般邏輯函數(shù)表達(dá)式如何畫出卡諾圖？何畫出卡諾圖？2022-5-2433用卡諾圖表示邏輯函數(shù)用卡諾圖表示邏輯函數(shù))15,1

13、2,10, 8 , 4 , 1 , 0(),(mDCBAY例：2022-5-2434 EDA中的描述方式 HDL (Hardware Description Language) VHDL (Very High Speed Integrated Circuit ) Verilog HDL 典型：VHDL和VerilogHDL 用硬件描述語言描述邏輯函數(shù)用硬件描述語言描述邏輯函數(shù)2022-5-24350001101111110000ABABBA BA Y001100100001BABA Y 例：2022-5-2436CCBACBAY ABCCBCBA2022-5-2437BABABABABABAB

14、A )(YBABA BA 2022-5-24383、 邏輯式邏輯式 卡諾圖卡諾圖 1. 將給定的邏輯函數(shù)式表示為卡諾圖。 2. 如果給出了卡諾圖，則只要將卡諾圖中填入1的位置上 的那些最小項相加即可。2022-5-2439 邏輯式 卡諾圖 例： )15,10, 5 , 0( ),(mABCDDCBADCBADCBACBAY2022-5-24404、波形圖、波形圖 真值表真值表 1. 按給出的函數(shù)真值表，畫出波形圖。 2. 如果給出了函數(shù)的波形圖，則需要將每個時間段的輸入與輸出的取值列表。2022-5-2441 波形圖 真值表 例：將ABC的取值順序按表中自上而下的順序排列，即得到波形圖。AB

15、CY000000100100011110001011110111102022-5-2442 波形圖 真值表 例：將波形圖上不同時間段中A、B、C與Y的取值對應(yīng)列表，即得到真值表。AB CY111101101010001111000100100100002022-5-24432.4 邏輯函數(shù)的化簡方法邏輯函數(shù)的化簡方法 邏輯函數(shù)的最簡形式 最簡與或 -使函數(shù)式中所包含的乘積項最少，同時每個乘積項所包含的因子最少，稱為最簡的與或邏輯式。CBAYACDCBABAY )(2022-5-24442.4.1 公式化簡法 利用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式對邏輯代數(shù)式進(jìn)行運(yùn)算，消去式中多余的乘積項和每個乘積項

16、中多余的因子。 例： DCBADCBBADCBDCBBADCBDCBBAADCBDCABADCBADCABAAY )()(2022-5-2445 A+AB=AA+AB=A AD 1C)BBA(AD ADC)ABDBA(F ABAAB ACDBACDBAY1 CAABBCCAAB 2022-5-2446BABAA 1AA AAABCBAAABCCCBAABCBCABCACBAABCBCACBAF )()( 2022-5-2447下面舉一個綜合運(yùn)用的例子。DEFGEFBACEFBDCAABDAADY解： EFBBDCADEFGEFBBDACEFCAABADEFGEFBACEFBDCAABDAADY

17、)(2022-5-2448 公式化簡法評價：特點(diǎn)：目前尚無一套完整的方法，能以最快的速度進(jìn)行化簡，與我們的經(jīng)驗和對公式掌握及運(yùn)用的熟練程度有關(guān)。優(yōu)點(diǎn)：變量個數(shù)不受限制。缺點(diǎn)：結(jié)果是否最簡有時不易判斷。 下面的課將介紹與公式化簡法優(yōu)缺點(diǎn)正好互補(bǔ)的卡諾圖化簡法。當(dāng)變量個數(shù)超過4時人工進(jìn)行卡諾圖化簡較困難，但它是一套完整的方法，只要按照相應(yīng)的方法就能以最快的速度得到最簡結(jié)果。2022-5-2449 2.4.2 用卡諾圖化簡函數(shù) 依據(jù)：具有相鄰性的最小項可合并，消去不同因子。 在卡諾圖中，最小項的相鄰性可以從圖形中直觀地反映出來。2022-5-2450 （1）卡諾圖中最小項合并的規(guī)律 合并相鄰最小項，

18、可消去變量。 合并兩個最小項，可消去一個變量； 合并四個最小項，可消去兩個變量； 合并八個最小項，可消去三個變量。 合并2N個最小項，可消去N個變量。 由于卡諾圖兩個相鄰最小項中，只有一個變量取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相鄰最小項，利用公式A+A=1，ABABA，可以消去一個或多個變量，從而使邏輯函數(shù)得到簡化。 2022-5-2451圖1-15 兩個最小項合并 m3m11BCD2022-5-2452圖1-16 四個最小項合并 2022-5-2453圖1-17 八個最小項合并2022-5-2454利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù) A基本步驟： 畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖； 合并

19、相鄰最小項（圈組）； 從圈組寫出最簡與或表達(dá)式。關(guān)鍵是能否正確圈組 。 B正確圈組的原則 必須按2、4、8、2N的規(guī)律來圈取值為1的相鄰最小項；圈要盡量大。 每個取值為1的相鄰最小項至少必須圈一次，但可以圈多次；但每個圈中至少有一個1未被其他圈包含。 圈的個數(shù)要最少（與項就少），并要盡可能大（消去的變量就越多）。2022-5-2455 C從圈組寫最簡與或表達(dá)式的方法： 將每個圈用一個與項表示圈內(nèi)各最小項中互補(bǔ)的因子消去，相同的因子保留，相同取值為1用原變量，相同取值為0用反變量； 將各與項相或，便得到最簡與或表達(dá)式。2022-5-2456例 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)Y(A、B、C、D)=m(0,1

20、,2,3,4,5,6,7,8,10,11) 解：相鄰A2022-5-2457相鄰BCA2022-5-2458BCAB DDBCBAY2022-5-2459例 化簡圖示邏輯函數(shù)。解：多余的圈ABCDCACBACDAY112233442022-5-2460圈組技巧(防止多圈組的方法)： 先圈孤立的1； 再圈只有一種圈法的1； 最后圈大圈； 檢查：每個圈中至少有一個1未被其它圈圈過。2022-5-2461卡諾圖化簡法的特點(diǎn)？步驟？什么叫邏輯相鄰？正確圈組的原則？2022-5-2462 無關(guān)項的概念 對應(yīng)于輸入變量的某些取值下，輸出函數(shù)的值可以是任意的(隨意項、任意項)，或者這些輸入變量的取值根本不會（也不允許）出現(xiàn)(約束項)，通常把這些輸入變量取值所對應(yīng)的最小項稱為無關(guān)項或任意項，在卡諾圖中用符號“”表示，在標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式中用d（）表示。 例子：教科書P51電動機(jī)正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)、停止。2022-5-2463 具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡 因為無關(guān)項的值可以根據(jù)需要取0或取1，所以在用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)時，充分利用無關(guān)項，可以使邏輯函數(shù)進(jìn)一步得到簡化。2022-5-2464例 設(shè)ABCD是十進(jìn)制數(shù)X的二進(jìn)制編碼，當(dāng)X5時輸出Y為1，求Y的最簡與或表達(dá)式。XA B C DY00 0 0 0010 0 0 1020 0 1 0030 0 1 1040 1 0 0050 1 0 11