1、數字信號處理Digital Signal Processing第七章第七章 有限脈沖響應（有限脈沖響應（FIRFIR） 數字濾波器的設計數字濾波器的設計作業：作業：新書新書 第第1 1、3 3、4 4、5 5、1717；舊書；舊書 第第1 1、3 3、4 4、5 5、13, 13, 但前四個題都有一些不同，新書第但前四個題都有一些不同，新書第1 1、3 3題沒題沒讓畫線性相位結構，讓畫線性相位結構， 新書第新書第4 4、5 5題給出了過度帶寬題給出了過度帶寬序言序言FIR數字濾波器數字濾波器 的差分方程的差分方程因為它是一種線性時不變系統，可用卷積和形式表示因為它是一種線性時不變系統，可用卷積

2、和形式表示比較、得：比較、得：10)()(Niiinxany10)()()(Niinxihny)(ihai10)(NiiizazH對應的系統函數對應的系統函數 FIR數字濾波器的優缺點數字濾波器的優缺點(與與IIR數字濾波器比較數字濾波器比較)優點優點 ：（1）很容易獲得嚴格的線性相位很容易獲得嚴格的線性相位，避免被處理的信號產生相，避免被處理的信號產生相 位失真，這一特點在寬頻帶信號處理、陣列信號處理、位失真，這一特點在寬頻帶信號處理、陣列信號處理、 數據傳輸等系統中非常重要；數據傳輸等系統中非常重要；（2）極點全部在原點（永遠穩定），無穩定性問題極點全部在原點（永遠穩定），無穩定性問題；（

3、3）任何一個非因果的有限長序列，總可以通過一定的延時，任何一個非因果的有限長序列，總可以通過一定的延時， 轉變為因果序列，轉變為因果序列， 所以所以因果性總是滿足；因果性總是滿足；（4）無反饋運算，運算誤差小無反饋運算，運算誤差小。缺點：缺點：（1）要獲得好的過渡帶特性，需要較高的階數要獲得好的過渡帶特性，需要較高的階數；（2）無法利用模擬濾波器的設計結果，無法利用模擬濾波器的設計結果，一般無解析一般無解析 設計公式，要借助計算機輔助設計程序完成設計公式，要借助計算機輔助設計程序完成。FIR窗函數法濾波器的設計方法 頻率采樣法切比雪夫等波紋逼近法7.1 線性相位線性相位FIR數字濾波器的條件和

4、特性數字濾波器的條件和特性 7.1.1 線性相位的條件線性相位的條件FIR濾波器的頻率響應為濾波器的頻率響應為)(10)()()(jgNnnjjeHenheH式中式中 是正或負的實函數，稱為是正或負的實函數，稱為幅度特性幅度特性， 稱為稱為相位特性相位特性。注意。注意 與與 的不同，后者的不同，后者是絕對值，總取正數。是絕對值，總取正數。)(jeH)()(gH)(gH以上兩種情況表示相位是通過坐標原點以上兩種情況表示相位是通過坐標原點 或是或是通過通過 的斜直線，二者都滿足系統的群時延的斜直線，二者都滿足系統的群時延為常數。為常數。00)0(線性相位線性相位意味著一個系統的相位特性是頻率的線性

5、函數意味著一個系統的相位特性是頻率的線性函數第第二二類類線線性性相相位位 第第一一類類線線性性相相位位 )( )(0dd)(式中式中 為常數為常數.滿足第一類線性相位的條件滿足第一類線性相位的條件h(n)是實序列，且對是實序列，且對(N-1)/2偶對稱，即：偶對稱，即： 21101NNnnNhnh， 10NnnznhzH 101NnnznNh ) )( () )( (1 11 11 10 01 11 10 0m m1 1zHzzmhzzmhzHNNmmNNmN)()(1) 1(zHzzHNm =N-1-n( ) m =N-1-nn=0,m=N-1n=N-1,m=0 )1(21)()21cos(

6、)()(10 NNnnhHNng 22110 NnNhnh.滿足第二類線性相位的條件滿足第二類線性相位的條件h(n)是實序列且對是實序列且對(N-1)/2奇對稱。奇對稱。 將將 代入代入H(z)的表達式，幅度特性和相位特性的表達式，幅度特性和相位特性分別為：分別為：jez )()(1) 1(zHzzHN0( ) 2) 1(21)()21sin()()(10NnNnhHNng2) 1(21)()21sin()()(10NNnnhHNng或或以上公式等價，課本中取右邊的公式作為結果以上公式等價，課本中取右邊的公式作為結果 20) 1( N 偶對稱偶對稱)(nh 20) 5 . 0( N2奇對稱奇對

7、稱)(nh圖圖1 1 線性相位特性線性相位特性總結：線性相位的定義和條件總結：線性相位的定義和條件第一類線性相位的條件第一類線性相位的條件: : h(n)是實序列且對是實序列且對(N-1)/2偶對稱偶對稱第二類線性相位的條件第二類線性相位的條件: : h(n)是實序列且對是實序列且對(N-1)/2奇對稱奇對稱第第二二類類線線性性相相位位 第第一一類類線線性性相相位位 )( )(0 211NnNhnh 22110NnNhnh各類數字各類數字濾波器的濾波器的幅頻特性幅頻特性根據前面的公式，幅度函數根據前面的公式，幅度函數 為：為：)g(H分四種情況分四種情況1h(n)偶對稱，即偶對稱，即h(n)=

8、h(N-1-n)，N為奇數為奇數7.1.2線性相位線性相位FIR濾波器的幅度特性濾波器的幅度特性10)21cos()()(NngNnnhHN為奇數為奇數式中式中h(n)對對(N-1)/2偶對稱，余弦項也對偶對稱，余弦項也對(N-1)/2偶對稱，以偶對稱，以(N-1)/2為中心，把兩兩相等的項合并，由于為中心，把兩兩相等的項合并，由于N是奇數，所以余下是奇數，所以余下中間項中間項n=(N-1)/2，則幅度函數表示為：則幅度函數表示為： 2/ )3(021cos)(221)(NngNnnhNhH 10)21cos()()(NngNnnhH 令令n=(N-1)/2COS0=1N為奇數為奇數12Nmn

9、32合并后還剩+1項N102312NnmNnm時，時，則則 2/ ) 1(1cos)21(221)(NmgmmNhNhH 21, 2 , 1,212)(,21)0( NnnNhnaNha(1)/20( )( )cosNgnHa nn令令則則由于由于 偶對稱，因此偶對稱，因此 對這些頻率也呈偶對稱。可以設計各類濾波器。對這些頻率也呈偶對稱。可以設計各類濾波器。n、2、20、0、關于關于coscos Hg將將m換成換成nh(n)偶對稱，偶對稱，N為奇數為奇數各類濾波器各類濾波器( )的對稱性由確定gHcosn 2h(n)偶對稱，偶對稱， 即即h(n)=h(N-1-n)，N為偶數為偶數 12/010

10、21cos)(221cos)(NnNngNnnhNnnhH令令 ，則則 2/121cos22NmgmmNhH推導過程與前面相似，只是因為這里推導過程與前面相似，只是因為這里N是偶數，所以是偶數，所以 中沒有單獨項，相等項合并后有中沒有單獨項，相等項合并后有：N為偶數為偶數( )gH2Nmn 2/121cos)(NngnnbH 將將m用用n代替可得代替可得 ：式中式中nNhnb22)( 由于由于 奇對稱，所以奇對稱，所以 對對也為奇對稱，且由于也為奇對稱，且由于 時，時， ， ， 故故 有一零點，因此，有一零點，因此，這種情況不能用于設計這種情況不能用于設計 時時 的濾波器的濾波器，如高通、帶阻

11、濾波器如高通、帶阻濾波器。 0H1jez( )gH1cos( ()2n對1cos( ()02n( )0gH1( )0zH z即：即：h(n)偶對稱偶對稱，N為偶數時，為偶數時，可以設計低通、帶通濾波器。可以設計低通、帶通濾波器。各類濾波器各類濾波器3.h(n)奇對稱，奇對稱，N為奇數為奇數，h(n)=-h(N-1-n)21(sin)(2)21(sin)()(23010NnNngNnnhNnnhH上面的第二式中，由于上面的第二式中，由于h(n)=-h(N-n-1)，所以可以求得所以可以求得h(N-1)/2=0，即即h(n)奇對稱，因此，在求和公式中，第奇對稱，因此，在求和公式中，第n項和項和 (

12、N-n-1)項相等，項相等，將相同項合并，即得上式中第二式。將相同項合并，即得上式中第二式。N為奇數為奇數)21sin()(Nnnh正弦項也對正弦項也對(N-1)/2奇對稱奇對稱令令m=n- -(N- -1)/2，得得： mmNhHNmg211sin212令令n=m，得：得： nncnnNhHNnNng211211sin)(sin212即即 21, 2 , 1,212)(sin)(211NnnNhncnncHNng 由于由于 點呈奇對稱，所以點呈奇對稱，所以對這些點對這些點也奇對稱。也奇對稱。由于由于時時，相當于相當于H(z)在在處有兩個零點，不能用于處有兩個零點，不能用于的濾波的濾波器設計，

13、故器設計，故不能用作低通、高通和帶阻濾波器的設計。不能用作低通、高通和帶阻濾波器的設計。即即: h(n)奇對稱，奇對稱，N為奇數為奇數，只能設計帶通濾波器。只能設計帶通濾波器。sin=02n對， ,( )gH=02， ,sin=0( )0gnH，1z (0)0( )0HH和各類濾波器各類濾波器( )的對稱性由確定gHsinn4.h(n)奇對稱，即奇對稱，即h(n)=-h(N-1-n)，N為偶數為偶數 12021sin2)(NngNnnhH令令，則有則有12Nnm)21(sin)()21(sin)12(2)(,),21(sin)12(2)(212121NnNngNmgnndnnNhHmnmmNh

14、H則再令N為偶數為偶數 由于由于在在處為零，所以處為零，所以Hg()在在處為零，即處為零，即H(z)只在只在z =1上有零點，并上有零點，并對對呈奇對稱。呈奇對稱。因此，因此，這種情況不能用于設計這種情況不能用于設計 的濾波器，如低的濾波器，如低通、帶阻濾波器。通、帶阻濾波器。 即：即：h(n)奇對稱，奇對稱，N為偶數，為偶數，只能用于設計高通、只能用于設計高通、帶通濾波器。帶通濾波器。)21(sinn2,02,02,0四種線性相位四種線性相位FIR濾波器的幅度特性和相位特性一覽表濾波器的幅度特性和相位特性一覽表P199(0)0H各類數字各類數字濾波器的濾波器的幅頻特性幅頻特性四種線性相位四種

15、線性相位FIR 幅度特性與相位特性可設計的濾波器幅度特性與相位特性可設計的濾波器第一種情況：第一種情況：h(n)偶對稱、偶對稱、N奇數，奇數，四種濾波器都可設計。四種濾波器都可設計。第二種情況：第二種情況：h(n)偶對稱、偶對稱、N偶數，可以設計低通、帶通濾波偶數，可以設計低通、帶通濾波器，不能設計高通和帶阻。器，不能設計高通和帶阻。第三種情況：第三種情況：h(n)奇對稱、奇對稱、N奇數，只能設計帶通濾波器，其奇數，只能設計帶通濾波器，其它濾波器都不能設計。它濾波器都不能設計。第四種情況：第四種情況：h(n)奇對稱、奇對稱、N偶數，可以設計高通、帶通濾波偶數，可以設計高通、帶通濾波器，不能設計

16、低通和帶阻。器，不能設計低通和帶阻。7.1.3線性相位線性相位FIR濾波器的零點特性濾波器的零點特性)1()(nNhnh 10NnnznhzH101NnnznNh )()(11101101zHzzmhzzmhzHNNmmNNmmN令令m=N-1-n，則則由該式可看出，若由該式可看出，若z=zi是是H(z)的零點，則的零點，則z=zi-1也也一定是一定是H(z)的零點。由于的零點。由于h(n)是實數，是實數，H(z)的零點還的零點還必須共軛成對，所以必須共軛成對，所以z=zi* 及及 z=1/zi*也必是零點。也必是零點。 所以線性相位濾波器的零點必須是互為倒數的所以線性相位濾波器的零點必須是互

17、為倒數的共軛對，這種共軛對共有四種可能的情況：共軛對，這種共軛對共有四種可能的情況： 11zHzzHN既不在單位園上，也不在實軸上，有四個互為倒既不在單位園上，也不在實軸上，有四個互為倒數的兩組共軛對，數的兩組共軛對， zi、zi*、1/zi、1/zi* 圖圖7.1.1中中的的z1等等p200在單位圓上，但不在實軸上，因倒數就是自己的在單位圓上，但不在實軸上，因倒數就是自己的共軛，所以有一對共軛零點，共軛，所以有一對共軛零點，zi、zi* 圖圖7.1.1中的中的z3等。等。不在單位圓上，但在實軸上，是實數，共軛就是不在單位圓上，但在實軸上，是實數，共軛就是自己，所以有一對互為倒數的零點自己，所

18、以有一對互為倒數的零點, ,zi,1/zi 圖圖7.1.1中的中的z2等。等。既在單位圓上，又在實軸上，共軛和倒數都合為既在單位圓上，又在實軸上，共軛和倒數都合為一點，所以成單出現，只有兩種可能，一點，所以成單出現，只有兩種可能，zi=1或或zi=-1 圖圖7.1.1中的中的z4等。等。四個零點四個零點兩個零點兩個零點兩個零點兩個零點一個零點一個零點 我們從幅度響應的討論中已經知道，對于第二種我們從幅度響應的討論中已經知道，對于第二種FIRFIR濾波器濾波器（h(n)偶對稱，偶對稱，N為偶數）為偶數） 即即 的零點，既在單位圓上，又在實軸上，所的零點，既在單位圓上，又在實軸上，所以必有單根以必

19、有單根。不能設計高通和帶阻濾波器。不能設計高通和帶阻濾波器。( )0H1( )jzeH 是對于第三種情況，對于第三種情況，FIR濾波器，濾波器，h(n)奇對稱，奇對稱，N為奇數，因為為奇數，因為 所以所以z=1，z=-1都是都是H(z)的單根；不能設計低通、高通和帶阻的單根；不能設計低通、高通和帶阻濾波器。濾波器。 對于第四種濾波器，對于第四種濾波器，h(n)奇對稱，奇對稱，N為偶數，為偶數，H(0)=0，所以所以z=1是是H(z)的單根。不能設計低通和帶阻濾波器。的單根。不能設計低通和帶阻濾波器。 線性相位濾波器是線性相位濾波器是FIRFIR濾波器中最重要的一種，應用最廣。濾波器中最重要的一

20、種，應用最廣。實際使用時應根據需用選擇其合適類型，并在設計時遵循其約實際使用時應根據需用選擇其合適類型，并在設計時遵循其約束條件。束條件。(0)0( )0HH，7.1.4 7.1.4 線性相位濾波器的網絡結構線性相位濾波器的網絡結構設設N為偶數，則為偶數，則 10NnnznhzH 12012)(NnNNnnznhznh對第二項進行變量代換，令對第二項進行變量代換，令m=N-n-1，則有，則有120120) 1(120120) 1(1)(1)()(NnNnnNnNnNmmNnznNhznhzmNhznhzH替換用把nm由于由于 時時)h(N-n-h(n)1 )22. 1 . 7(, )()(120)1( NnnNnzznhzH N為奇數時，則中間項為奇數時，則中間項h(N-1)/2單獨列出。單獨列出。1() 112(1)201( )( )(),(7.1.23)2NNnN nnNH zh n zzhz N為偶數時為偶數時+ +代表第一類線性相位，代表第一類線性相位， - - 代表第二類線性相位。代表第二類線性相位。對于對于FIR濾波器的直接結構，共需濾波器的直接結構，共需N個乘法器，但對線性相位個乘法器，但對線性相位FIR濾波器，濾波器，N為偶