1、海港港址海港港址經濟經濟技術技術環境環境社會社會直接效益直接效益間接效益間接效益投資額投資額投資回收期投資回收期利稅總額利稅總額海運收益海運收益國際貿易收益國際貿易收益國內貿易收益國內貿易收益航道航道海灘海灘建筑建筑運行運行城市關系城市關系交通關系交通關系資源資源環保環保政策政策軍事軍事 圖圖6-26-2 單層次目標準則體系單層次目標準則體系總目標總目標目標目標m目標目標m-1目標目標2目標目標1G.c1c2cn-1cng11g12g1n-1g1n最高層最高層中間層中間層準則層準則層g21g22g1k-1g1k )., 2 , 1(0), 2 , 1(.), 2 , 1(min11njxmib

2、xatsKkxcZjinjjijnjjkjk問題：問題：能否化為單目標線性規劃問題求解？能否化為單目標線性規劃問題求解？如何處理各目標的主次、輕重？如何處理各目標的主次、輕重？產品產品消耗消耗原料原料012 xx262321 xx302421 xx 0), 2 , 1(00 kkkkddKkdd，正負偏差變量分別表示實際目標值超過和低正負偏差變量分別表示實際目標值超過和低于期望值的數值。于期望值的數值。引入偏差變量之后，目標就變成了約束條件，引入偏差變量之后，目標就變成了約束條件，成為約束條件組的一部分。成為約束條件組的一部分。302426230332122211112 ddxxddxxddx

3、x kkddfZ,min kdfZmin kdfZmin 3322211mindPddPdPZ ）（3 , 2 , 10,0,2432302426230.min121213321222111123322211iddxxxxddxxddxxddxxtsdPddPdPZi LlddnjxmibxaLleddxctsddPZlljinjjijlllnjjljKklkllklLlk, 2 , 10, 2 , 10, 2 , 1, 2 , 1.min1111， ）（3 . 6.)(,),(),()(max21XxtsxfxfxfxFTm 其中其中f1(x), f2(x), , fm(x)表示表示m個目標

4、函數，個目標函數，X表示滿足某些約束條件的表示滿足某些約束條件的n維點集。維點集。 處理方法：處理方法：（1）化為一個單目標問題）化為一個單目標問題 （2）化為多個單目標問題。）化為多個單目標問題。 03001032404920054.23)(min01207)(max600400)(max21212121213212211xxxxxxxxtsxxxfxxxfxxxf，（污染最小）（污染最小）（利潤最大）（利潤最大）（產值最大）（產值最大） Xxmiaxftsxfii, 2)(.)(max1可以得到（可以得到（6.3）的一個有效解。）的一個有效解。 ，（利潤最大）（利潤最大）092320000

5、6004003001032404920054.01207)(max212121212121212xxxxxxxxxxxxtsxxxf miiixfxU1)()( 構成單目標決策問題：構成單目標決策問題：XxtsxfxUmiii .)()(max1 難點：難點：如何使多個目標用同一尺度統一起來如何使多個目標用同一尺度統一起來（多種方法在下一章中介紹，可以將各目標統（多種方法在下一章中介紹，可以將各目標統一作效用值度量）；如何選擇合理的權系數。一作效用值度量）；如何選擇合理的權系數。 XxtsxfxfT .)(),(max21記：記：)(),()()(max)()(max)1(202)2(101)

6、2(22*2)1(11*1xffxffxfxffxfxffXxXx （即（即x(1)、 x(2)分別為以分別為以f1(x)和和f2(x)目標的單目目標的單目標問題的最優解）標問題的最優解） XxtsxfxfT .)(),(max21要求：要求：XxtsxfxfxU .)()()(max2211 c1是任意的非零常數。是任意的非零常數。1*220111022*11cffcff 即可確定權系數。即可確定權系數。若進一步要求若進一步要求120201*2*101*120201*2*102*21ffffffffffff 0,342.)(),(max21212121xxxxxxtsxfxfT試用試用212

7、21123)(4)(xxxfxxxf 解：解：先分別求解先分別求解 0,342.4)(max212121211xxxxxxtsxxxf 0,342.23)(max212121212xxxxxxtsxxxf得：得： x(1)=(0, 0)T， x(2)=(1, 2)T0, 76, 002*201*1 ffff對目標進行線性加權：對目標進行線性加權： 0,342.1351310)(max21212121xxxxxxtsxxxU21221123)(4)(xxxfxxxf 1361370201*2*101*120201*2*102*21 ffffffffffff 2122111351310)()()(

8、xxxfxfxU 化為單目標問題：化為單目標問題： XxtsxfxfxfTm .)(,),(),(max21?。喝。?(max1*xfffiXxiii ， 化為單目標決策問題：化為單目標決策問題：XxtsxfxUmiii .)()(max1 適用條件：適用條件：fi*0 21*)()( miiiifxfxU 構成單目標決策問題：構成單目標決策問題： XxtsfxfxUmiiii .)()(min12* i 權權系數，可按要求的相差程度分系數，可按要求的相差程度分別給別給出。出。 TmfffF*2*1*, 稱稱 XxtsfxfxUmiii .)()(min2112*mixfxffiiXxi, 2

9、 , 1)()(max)(1* 為理想點。為理想點。若所有若所有x(i)都相同，記為都相同，記為 x(0)，則，則x(0)就是所求就是所求的多目標決策問題的最優解；若不然，則考慮的多目標決策問題的最優解；若不然，則考慮求解下面的單目標決策問題：求解下面的單目標決策問題：7, 0*2*1 ff 0,342.)723()4()(min21212121221221xxxxxxtsxxxxxU21221123)(4)(xxxfxxxf 2122122121212*) 723()4()()( xxxxfxfxUiii 矩陣矩陣是是，nmAxbxAtsxfxfxfxFTk 0.)(,),(),()(max

10、21kixcxcxfnjjijii, 2 , 1)(1 kixbxAtsxfi, 2 , 10.)(max )()(ijijxfz ijkijjzff 10*min和和 0)(10)(1*1200*120*injijiiiinjijiiiifcffffcfff kikjiii, 2 , 11 0, 2 , 1)(.min*xbxAkixfftsiii ),(,),(),(00201xfxfxfk 0,)()(, 2 , 1)(.min0*xbxAfxfxfrikixfftsrrriii ，（原材料）（原材料）（裝配能力）（裝配能力）（機器能力）（機器能力）072542 . 02 . 0852

11、. 05 . 0.21212121xxxxxxxxts（放射性污染最小）（放射性污染最?。ɡ麧欁畲螅ɡ麧欁畲螅?122115 . 1)(max3)(maxxxxfxxxf ，072542 . 02 . 0852 . 05 . 0.3)(max21212121211xxxxxxxxtsxxxf ，072542 . 02 . 0852 . 05 . 0.5 . 1)(max21212121212xxxxxxxxtsxxxf2122115 . 1)(3)(xxxfxxxf 625.23,00,5 .4502*201*1 ffff0.554715 . 11625.23023.625)(10.316

12、23115 .4505 .45)(12212*022212*0*1 njijiiinjijiiicfffcfff 6369. 03631. 0,21 ， 072542 . 02 . 0852 . 05 . 0)5 . 1(6369. 0)35 .45(3631. 0.min212121212121xxxxxxxxxxxxts， 2122115 . 1)(3)(xxxfxxxf 072542 . 02 . 0852 . 05 . 0105 . 135 .45.min212121212121xxxxxxxxxxxxts， Hv1w2w1v2w4w3vl wkwk-1u2u1ulul-1.usus-

13、1.圖圖6.6 序列型多層次目標準則體系序列型多層次目標準則體系效用并合過程效用并合過程從下到上，逐層進行從下到上，逐層進行。最低一層各準則的效用，經過并合得到：最低一層各準則的效用，經過并合得到： 符號符號“”表示按某種規則和邏輯程序進行的表示按某種規則和邏輯程序進行的效用并合運算。效用并合運算。 isisikipipiiiiauauawauauawauauaw 112211第三層子目標的效用并合得到第二層各目標第三層子目標的效用并合得到第二層各目標的并合效用值：的并合效用值： iliiavavav，21最后，可得可行方案最后，可得可行方案ai 的滿意度為：的滿意度為： iliiiiavav

14、avaHH 21 )8 . 6( max1*imiaHaHH 222111uud 即：即： W=W(u1，u2)的取值與的取值與d成正比。有：成正比。有： 2120 , 01 , 1,1 , 121 WWduuWW距離規則下的二維效用函數為：距離規則下的二維效用函數為：公式公式(6.9)可以推廣到多維情形：可以推廣到多維情形： 如：成本和效益的效用并合可以按距離規則進如：成本和效益的效用并合可以按距離規則進行，并合效用函數行，并合效用函數 )9 . 6( 11 211,222121uuuuW )10. 6( 111,1221 niinunuuuW 2211 211,ECECuuuuW 代換規則

15、下的二維效用函數為：代換規則下的二維效用函數為： 推廣到多維情形，推廣到多維情形，n維效用并合的代換規則維效用并合的代換規則公式為：公式為： )11. 6( 111,21212121uuuuuuuuW )12. 6( 11,121 niinuuuuW推廣到多維情形，推廣到多維情形，n維效用并合的加法規則公維效用并合的加法規則公式為：式為：加法規則下的二維效用函數為：加法規則下的二維效用函數為： 1 )13. 6( ,21221121 其中：其中：uuuuW )14. 6( ,1i21 niinuuuuW )15. 6( ,2121uuuuW )17. 6( ,121 niinuuuuW推廣到多

16、維情形，推廣到多維情形，n維效用并合的乘法規則公維效用并合的乘法規則公式為：式為：乘法規則下的二維效用函數為：乘法規則下的二維效用函數為：更一般地：更一般地： 是正常數。是正常數。其中：其中：212121, )16. 6( ,21 uuuuW 是正常數。是正常數。其中：其中：niuuuuWiniin, 2 , 1)19. 6( ln,ln1i21 更一般地，更一般地，乘法規則下的乘法規則下的n維效用函數為：維效用函數為：或表示成對數形式：或表示成對數形式： )18. 6( ,121 niiniuuuuW )20. 6( ,211221121ucucucucuuWc 其中，其中，1 1稱為形式因

17、子。稱為形式因子。的不同取值的不同取值分別表示代換、加法和乘法三規則之一。分別表示代換、加法和乘法三規則之一。推廣到多維情形，推廣到多維情形，n維效用并合的混合規則公維效用并合的混合規則公式為：式為： )22. 6( 1 11 niiiucW )21. 6( 1 1 ,1221121ucucuuW 當當00時，時，(6.20)可以化為較為規范的形式：可以化為較為規范的形式： 當當= - -1時，化為代換規則形式；時，化為代換規則形式；當當=0=0，且，且c1+c2=1時，化為加法規則形式；時，化為加法規則形式； 當當0 0時，近似于乘法規則形式：時，近似于乘法規則形式： 111121 ,ucu

18、cuuW 各國各國對比對比u9我國人口總目標我國人口總目標HV1V2吃用吃用v1實力實力v2用用w2吃吃w1糧食糧食u1魚肉魚肉u2空氣空氣u4水水u5能源能源u6土地土地u3最低總和最低總和生育率生育率u8GNPu7目標準則體系目標準則體系987654321)1()1(uuuuuuuuuH 綜合評價科研課題綜合評價科研課題成果貢獻成果貢獻人才培養人才培養可行性可行性發展前景發展前景實實用用價價值值科科技技水水平平優優勢勢發發揮揮難難易易程程度度研研究究周周期期財財政政支支持持經經濟濟效效益益社社會會效效益益H.A1A2An-1AnG11G12G1n-1G1n最高層最高層中間層中間層最低層最低

19、層G21G22G1k-1G1k層次結構圖層次結構圖 mmmmmmmmijWWWWWWWWWWWWWWWWWWaA212121212111mWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWAWmmmmmmm 21212121212111由線性代數知：由線性代數知：m是是A的最大特征值，的最大特征值，W是矩陣是矩陣A屬于特征值屬于特征值m的特征向量。的特征向量。 mjjijixRXmjjijixRXxaxxaximim110110maxmaxminminmax 其中：其中： 0, 0|,21 XxxxxXRiTmm0, jijiji mmii max2 )175(1.max mmIC )175(1.m

20、ax mmIC ), 2 , 1,1mjiaaqmkkjijij （將將 Q 的 元 素 按的 元 素 按 行行 相 加 ， 得 到 向 量相 加 ， 得 到 向 量 ), 2 , 11miqmjiji （ 對向量對向量歸一化處理得特征向量歸一化處理得特征向量 ), 2 , 11miwmkkii （ 求最大特征值求最大特征值 miiiwAWm1max1 即對矩陣即對矩陣Q各行求算術平均得特征向量各行求算術平均得特征向量W。 14/16/1412/1621A例例 091. 0077. 01 . 0364. 0308. 03 . 0545. 0615. 06 . 0w 089. 0324. 058

21、7. 0 268. 0974. 0769. 1Aw010. 3)089. 0268. 0324. 0974. 0587. 0769. 1(31 列向量列向量歸一化歸一化行算術行算術平均平均wAw 精確結果精確結果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010一致性檢驗：一致性檢驗：C.I0.005，R.I0.52，C.R0.010.1), 2 , 11miaMmjiji （計 算計 算 Mi的的 m 次 方 根 得 到 向 量次 方 根 得 到 向 量 ), 2 , 1miMmii （ 對向量對向量歸一化處理得特征向量歸一化處理得特征向量 ), 2 , 11miwmkkii （

22、 求最大特征值求最大特征值 miiiwAWm1max1 14/16/1412/1621A例例 0417. 0212w 090. 0323. 0587. 0 269. 0977. 0773. 1Aw011. 3)09. 0269. 0323. 0977. 0587. 0773. 1(31 每行元每行元素之積素之積歸一化歸一化wAw 一致性檢驗：一致性檢驗：C.I0.0055，R.I0.52，C.R0.0110.1三三次次方根方根 35. 026. 129. 20，則：，則：CWeAeeAkTkk lim3、冪法、冪法步驟步驟1）任取初始正向量任取初始正向量W(0), k=0，設置精度設置精度 )

23、()1(kkAWW 2）計算計算 mikikkWWW1)1()1()1(/3）歸一化歸一化 mikikiWWm1)()1(1 5） 計算計算4）若若 )()1(maxkikiiWW停止；否則，停止；否則，k=k+1, , 轉轉2） miwwtswwaWFimiimimjjiij, 2 , 101.min1211，這是一個非線性規劃問題。這是一個非線性規劃問題。 miwwtswwaWFimiimimjjiij, 2 , 101.lnlnlnmin1211，目標函數關于目標函數關于lnwi是線性的，該方法結果與根是線性的，該方法結果與根法相同。法相同。 1 , 3, 211, 11nniwainw

24、wawnijjijinnnn mmijaA （殘缺）（殘缺），jiwwjiaaijijij/其中：其中： miwwtswwawwaWFimiimimjjijiijij, 2 , 101.2min111，niwwawwanjjijinjijij, 2 , 111 0 ijijjiijwwa ijij ， mjiwwtsijijjimimjijij, 2 , 1lnlnlnln.lnlnmin11， G)1(1ng)1(2g)1(1g)(nnng)(2ng)(1ngsc2c1c2a1ama總目標總目標n層子目標層子目標準則層準則層方案層方案層完全層次結構：上層每一元素與下層所有元素完全層次結構：上

25、層每一元素與下層所有元素相關聯相關聯不完全層次結構不完全層次結構第第3層對第層對第2層權向量：層權向量：w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T貢獻貢獻O教學教學C1科研科研C2P2 P1P3P4例例: 評價教師貢獻的層次結構評價教師貢獻的層次結構P1,P2只作教學只作教學, P4只作科研只作科研, P3兼作教學、科研兼作教學、科研。C1,C2支配元素的數目不等支配元素的數目不等kkknjkjkijkiniWPwpwk, 2 , 1)1()(11)1()()( ) 1 (2)()()()(WPPPWnkkcaa 權重權重

26、mjjjbw11 mjjjbw12 mjnjjbw1)195(.1 mjjjICwIC)215(.11 mjjjmjjjIRwICwRCICRC)205(.1 mjjjIRwIR例例6.14 某市中心有一座商場，由于街道狹窄，某市中心有一座商場，由于街道狹窄，人員車輛流量過大，經常造成交通堵塞。市政人員車輛流量過大，經常造成交通堵塞。市政府決定解決這個問題經過有關專府決定解決這個問題經過有關專 家會商研家會商研究究，制定出三個可行方案：，制定出三個可行方案：a1：在商場附近修建一座環形天橋；在商場附近修建一座環形天橋；a2：在商場附近修建地下人行通道；在商場附近修建地下人行通道；a3：搬遷商場

27、。搬遷商場。改善交通環境改善交通環境天橋天橋a1地道地道a2搬遷搬遷a3通車通車能力能力C1方便方便群眾群眾C2基建基建費用費用C3交通交通安全安全C4市容市容美觀美觀C5圖圖6.16 層次結構模型層次結構模型解解：( (1) )建立層次結構模型；建立層次結構模型；135351 / 313131 / 51 / 311 / 331 / 313131 / 51 / 31 / 31 / 31 11223344maxmaxmaxmax3, 0.455,0.455,0.091, .00.13.005, 0.648,0.230,0.122, .0.0040.13.079, 0.695,0.229,0.07

28、5, .0.0680.13.018, 0.169,0.387,0.443, .0TccTccTccTccwC RwC RwC RwC R55max.0160.13.018, 0.169,0.387,0.443, .0.0160.1TccwC R1230.455 0.455 0.0910.648 0.230 0.122(0.461,0.195,0.091,0.195,0.059) 0.695 0.229 0.0750.169 0.387 0.4430.169 0.387 0.4430.442,0.374,0.185Waaa排序結果：注意注意: :改善交通環境改善交通環境天橋天橋a1地道地道a2搬

29、遷搬遷a3通車通車能力能力C1方便方便群眾群眾C2基建基建費用費用C3交通交通安全安全C4市容市容美觀美觀C5n21m21mvvv21投入投入產出產出決策單元決策單元p21puuu21mnmmnnxxxxxxxxx212222111211pnppnnyyyyyyyyy212222111211對每個決策單元，都定義一個效率評價指標對每個決策單元，都定義一個效率評價指標hj表示第表示第j個決策單元所取得的經濟效率，可以個決策單元所取得的經濟效率，可以適當選擇權系數，使得適當選擇權系數，使得hj1。), 2 , 1(11njxvyuxvyuhjTjTmiijiprrjrj 其中：其中：u=( (u1

30、, u2, , up) )T, , v=( (v1, v2, , vm) )T, xj=( (x1j, x2j, , xmj) )T, yj=(y1j, y2j, , yrj)T ，：00), 2 , 1(1.max00vunjxvyutsxvyuhPjTjTToT設第設第j0個決策單元的投入和產出向量分別為：個決策單元的投入和產出向量分別為：xj0=( (x1j0, x2j0, xmj0) )T, yj0=(y1j0, y2j0, yrj0)T效率指標效率指標h0=hj0評價第評價第j0個決個決策 單 元 有 效策 單 元 有 效性 （ 相 對 于性 （ 相 對 于其 它 決 策 單其 它

31、決 策 單元 而 言 ） 的元 而 言 ） 的模型為：模型為：稱為稱為CCR模型（模型（C2R）是一個分式規劃，令是一個分式規劃，令t=1/vTx0，=tv, , =tu，則可化為一個等價的線性規劃問題：則可化為一個等價的線性規劃問題：P ：001), 2 , 1(0.max)(0 xnjyxtsyVPTjTjToTp線性規劃線性規劃( (P ) )的對偶問題為：的對偶問題為：其中：其中：s- - =( (s1- -, s2-, sm-) )T, ,s+=( (s1+, s2+, , sm+) )T, 為松馳變量向量。為松馳變量向量。，： 00), 2 , 1(0.min)(0101ssnjy

32、sxxsxtsVDjnjjjnjjjD 定義定義6.6：若線性規劃若線性規劃( (P) )的最優解的最優解0, ,0滿足：滿足：VP(0)Ty01則稱決策單元則稱決策單元j0為弱為弱DEA有效。有效。定義定義6.7：若線性規劃若線性規劃( (P) )的最優解的最優解0, ,0滿足：滿足：VP(0)Ty01，且，且00，00則稱決策單元則稱決策單元j0為為DEA有效。有效。決策單元決策單元j0為為DEA有效的含義：有效的含義：指決策單元指決策單元j0相相對于其它決策單元，其效率評價指標取得最優對于其它決策單元，其效率評價指標取得最優值，即在多值，即在多 ：eexnjyxtsyVPTjTjToTp

33、 1), 2 , 1(0.max)(0 維向量維向量的的是元素均為是元素均為peT11 , 1 , 1 其中：其中： 維向量維向量的的是元素均為是元素均為meT11 , 1 , 1 ，： 00), 2 , 1(0.min)(0101ssnjysxxsxtsseseVDjnjjjnjjjTTD 43212121 產出產出決策單元決策單元11 231343311211 0, 0,1302402330303. .max)(1212112112112112111 ：tsVPp 無無約約束束： , 0,123233433.min)(43214321432143211tsVDD解得：解得：0, 1)0 ,

34、 0 , 0 , 1(00松松馳馳變變量量均均為為 T故決策單元故決策單元1為為DEA有效。有效。 0, 0,1302402330303. .max: )(1212112112112112112 tsVPp 無無約約束束： , 0,122333433.min)(43214321432143212tsVDD解得：解得：0, 1)0 , 0 , 1 , 0(00松松馳馳變變量量均均為為 T故決策單元故決策單元2為為DEA有效。有效。 0, 0,13302402330303. .max: )(1212112112112112113 tsVPp 無無約約束束： , 0,1232333433.min)(

35、43214321432143213tsVDD解得：解得：10.5)0 , 5 . 0 , 0 , 0(00 T故決策單元故決策單元3不是不是弱弱DEA有效。有效。 0, 0,12402402330303. .max: )(1212112112112112114 tsVPp 無無約約束束： , 0,1222334433.min)(43214321432143214tsVDD解得：解得：16 . 0)0 , 2 . 0 , 6 . 0 , 0(00 T故決策單元故決策單元4不是不是弱弱DEA有效。有效。定義定義6.8：設設0，s0-,s0+,0是對偶問題是對偶問題( (D) )的的最優解。令：最優

36、解。令： 0000000,syysxx 稱為決策單元稱為決策單元j0對應的對應的( (x0 0, ,y0 0) )在在DEA的的相對有效面上的投影。相對有效面上的投影。),(00yx定理定理6.10：設設 為決策單元為決策單元j0對應的對應的( (x0 0, ,y0 0) )在在DEA的相對有效面上的投影。的相對有效面上的投影。則新則新決策單元相對于原來的決策單元相對于原來的n個決策單元個決策單元來說，是來說，是DEA有效的。有效的。 ),(00yx),(00yx構造新的決策單元：構造新的決策單元：15 . 00,)0 , 0 , 5 . 0 , 0(01210 sssT新決策單元相對于原有的

37、新決策單元相對于原有的4個決策單元是個決策單元是DEA有效的。有效的。202)5 . 1 , 5 , 1()0 , 0()3 , 3(5 . 00000000 syysxxTTT 構造新的決策單元：構造新的決策單元：16 . 00,)0 , 2 . 0 , 6 . 0 , 0(01210 sssT新決策單元相對于原有的新決策單元相對于原有的4個決策單元是個決策單元是DEA有效的。有效的。101)2 . 1 , 4 . 2()0 , 0()2 , 4(6 . 00000000 syysxxTTT 圖圖6.206.20 生產函數生產函數xy點點A：既技術有效又規模有效；：既技術有效又規模有效；點點

38、C：技術有效但非規模有效；：技術有效但非規模有效；點點B：既非技術有效又非規模有效。：既非技術有效又非規模有效。即是說，如果即是說，如果x1, x2分別以分別以和和( (1-) )的加權和的加權和為投入量，則為投入量，則y1, y2以同樣的加權和作為產出量。以同樣的加權和作為產出量。 即是說，如果以即是說，如果以x的的倍作為投入量，則產出量倍作為投入量，則產出量y是的同樣倍數。是的同樣倍數。 公理公理2 ( (錐性錐性) )：對任意對任意(x,y)T，0，均有，均有(x, y)(x, y)T公理公理1 1( (凸性凸性) )：對任意對任意(x1, y1)T，(x2, y2)T以及以及0,1，均

39、有均有(x1, y1)( (1) )(x2, y2)T.),()2(),()1(TyxyyTyxxx ，則均有，則均有若有若有；，則均有，則均有若有若有即是說，在原生產活動中，單方面的增加投入即是說，在原生產活動中，單方面的增加投入量或者減少產出量，生產活動總是可能的。量或者減少產出量，生產活動總是可能的。 公理公理4( (最小性最小性) )：生產可能集生產可能集T是滿足公理是滿足公理13的所有集合的交集。的所有集合的交集。1.生產函數和生產可能集生產函數和生產可能集由由n個決策單元（個決策單元（xj, yj）的生產活動所描述的）的生產活動所描述的生產可能集，滿足公理生產可能集，滿足公理14是唯一確定的。這是唯一確定的。這個生產可能集可以表示為個生產可能集可以表示為 , 2 , 10,| ),(11njyyxxyxTjjnjjjnjj 3211產出產出決策單元決策單元15425 . 312生產可能集為：生產可能集為：3 , 2 , 10,3.52,542| ),(321321 jyxyxTj 用線性規劃模型用線性規劃模型( (D) )評價決策單元評價決策單元j0的的DEA有效性，模型有效性，模型 00), 2 , 1(0.min)(0101ssnjysyxsxtsseseVDjnjjjnjjjTTD，： 為了清楚起見，考慮不含松弛變量的線性規劃為了清楚起見，考慮不含松弛