1、1 頻率特性法是經典控制理論中對系統進行分析與綜合的又一頻率特性法是經典控制理論中對系統進行分析與綜合的又一重要方法。與時域分析法和根軌跡法不同重要方法。與時域分析法和根軌跡法不同, ,頻率特性法不是根據頻率特性法不是根據系統的閉環極點和零點來分析系統的時域性能指標，而是根據系系統的閉環極點和零點來分析系統的時域性能指標，而是根據系統的頻率特性來分析系統的（頻域）性能指標。因此統的頻率特性來分析系統的（頻域）性能指標。因此, , 從某種意從某種意義上講，頻率特性法與時域分析法和根軌跡法有著本質的不同。義上講，頻率特性法與時域分析法和根軌跡法有著本質的不同。第第4 4章章 系統的頻率特性系統的頻

2、率特性 頻域性能指標與時域性能指標之間有著內在的聯系。通過這頻域性能指標與時域性能指標之間有著內在的聯系。通過這種內在聯系，可以由系統的頻域性能指標求出時域性能指標或反種內在聯系，可以由系統的頻域性能指標求出時域性能指標或反之。因此，頻率特性法與時域分析法和根軌跡法又是統一的。之。因此，頻率特性法與時域分析法和根軌跡法又是統一的。 頻率特性是系統對正弦信號的穩態響應，但它不僅能反映系頻率特性是系統對正弦信號的穩態響應，但它不僅能反映系統的穩態性能，而且可以用來研究系統的穩定性和動態性能。統的穩態性能，而且可以用來研究系統的穩定性和動態性能。2頻域分析法的特點頻域分析法的特點 （1）頻率特性也是

3、一種數學模型，且系統或元部件的頻率）頻率特性也是一種數學模型，且系統或元部件的頻率特性可以用實驗方法測定。對于難于用機理法建立數學模型的特性可以用實驗方法測定。對于難于用機理法建立數學模型的系統或元部件非常實用。系統或元部件非常實用。 （2 2）用頻域法來分析控制系統的性能，不必求解系統的微）用頻域法來分析控制系統的性能，不必求解系統的微分方程，而是作出系統頻率特性的圖形，然后通過頻域和時域分方程，而是作出系統頻率特性的圖形，然后通過頻域和時域之間的關系來分析系統的性能。之間的關系來分析系統的性能。 （3）頻率特性不僅可反映系統的性能，且還可）頻率特性不僅可反映系統的性能，且還可反映系統的反映

4、系統的參數和結構與系統性能的關系。參數和結構與系統性能的關系。因此，通過研究系統的頻率特因此，通過研究系統的頻率特性，可以了解如何改變系統的參數和結構來改善系統的性能。性，可以了解如何改變系統的參數和結構來改善系統的性能。 （4）利用頻率特性通頻帶的概念，可以設計出既滿足系統）利用頻率特性通頻帶的概念，可以設計出既滿足系統動態性能指標，又能使其噪聲減小到滿意程度的系統。動態性能指標，又能使其噪聲減小到滿意程度的系統。 （5）頻率法不僅適用于線性系統，還可以應用于某些非線）頻率法不僅適用于線性系統，還可以應用于某些非線性系統。是廣大工程技術人員熟悉并廣泛使用的有效方法。性系統。是廣大工程技術人員

5、熟悉并廣泛使用的有效方法。3第第4 4章章 系統的頻率特性系統的頻率特性一、頻率特性一、頻率特性二、頻率特性的對數坐標圖二、頻率特性的對數坐標圖三、頻率特性的極坐標圖三、頻率特性的極坐標圖四、系統辨識四、系統辨識五、最小相位系統五、最小相位系統六、閉環頻率特性與頻域性能指標六、閉環頻率特性與頻域性能指標4教學目的、要求教學目的、要求1.1.掌握系統頻率特性的概念和求法掌握系統頻率特性的概念和求法2.2.掌握系統的掌握系統的bodebode圖和圖和nyquistnyquist圖的構成圖的構成3.3.掌握系統閉環頻率特性的求取方法掌握系統閉環頻率特性的求取方法教學重點教學重點1.1.系統幅頻特性和

6、相頻特性的求法系統幅頻特性和相頻特性的求法2.2.根據根據bodebode圖估計系統的傳遞函數圖估計系統的傳遞函數54.1 4.1 頻率特性頻率特性1 1、頻率響應、頻率響應頻率響應頻率響應: : 系統對正弦信號的系統對正弦信號的穩態穩態響應。響應。輸入：輸入：( )sinr tAt系統的傳遞函數：系統的傳遞函數：10111011( )( )( )mmmmnnnnb sbsbsbC sG sR sa sa sasa22( )()()AAR sssjsj( )( ) ( )C sG s R s1011122011mmmmnnnnb sbsbsbAa sa sasa s頻率響應頻率響應: : 線性

7、定常系統在正弦輸入下的線性定常系統在正弦輸入下的穩態穩態輸出輸出。11( ) ( ) ( ) ( )c tL C sL G s R s頻率響應：頻率響應：610112( )()()() ()()mmmnb sbsbAC sspspspsjsj1212nnKKKCDspspspsjsj1niiiKCDspsjsj 假設系統傳遞函數的極點為假設系統傳遞函數的極點為 且互不相等，且互不相等，則式可展開成部分分式：則式可展開成部分分式：(1,2,),ip in對上式進行拉氏反變換得到系統的輸出為：對上式進行拉氏反變換得到系統的輸出為：1( )inp tj tj tiic tK eCeDe7系統的穩態響

8、應為：系統的穩態響應為：( )j tj tssctCeDe()( )()()()2sjAGjACG ssjsjsjj ()2GjADj()()()jGjGjGje()()()jGjGjGje ()()( )()()22j G jj tj G jj tssAActG jeeG jeejj ()()()2jtGjjtGjAGjeej()sin()G jAtG jsin()Bt8( )()sin()sin()c tG jAtG jBt()BG jAIm ()( )()arctanRe ()G jG jG j 式中，式中，()G j( )()G j 對于線性系統而言，當輸入某一頻率的正弦信號，經過充分

9、對于線性系統而言，當輸入某一頻率的正弦信號，經過充分長的時間后，系統的穩態輸出仍是同頻率的正弦波，而且穩態輸長的時間后，系統的穩態輸出仍是同頻率的正弦波，而且穩態輸出與輸入的正弦幅值之比，以及穩態輸出與輸入的相位差是完全出與輸入的正弦幅值之比，以及穩態輸出與輸入的相位差是完全確定的。輸出信號的振幅確定的。輸出信號的振幅B B是輸入信號振幅是輸入信號振幅A A的的 倍；輸出信倍；輸出信號相對輸入信號的相移為號相對輸入信號的相移為 。()BG jA( )sinr tAt9RCTTssXsXsGi,11)()()(0系統輸出為：系統輸出為：0221( )1iAX sTss傳遞函數傳遞函數CRx0(t

10、)xi(t)sin()(tAtxii輸輸入入信信號號：)11(1)(22222220sTssTsTTAsXi)11(1)(2222220ssTsTsTTAsXi10)arctansin(11)(221220TtTAeTTAtxitTi即即：瞬態響應，衰減為瞬態響應，衰減為0 0 穩態響應穩態響應)cos()sin(11)(221220tTtTAeTTAtxitTi221sinTT令：令：2211cosT則：則：頻率響應的特點頻率響應的特點: 穩態輸出與輸入相比，都是同頻率的正弦函數，但幅值穩態輸出與輸入相比，都是同頻率的正弦函數，但幅值不同，相位不同：不同，相位不同：穩態輸出的幅值為輸入幅值的

11、一個相應的倍穩態輸出的幅值為輸入幅值的一個相應的倍數；相位比輸入相位滯后一個角度數；相位比輸入相位滯后一個角度。 11輸入輸入：穩態穩態輸出：輸出：( )cosr tAt( )() sin(/ 2)() sin/ 2()() cos()cos()c tA G jtA G jtA G jtBt 穩定的線性定常系統在余弦激勵下的穩定的線性定常系統在余弦激勵下的穩態穩態輸出輸出? ?() ,()BA G jG j ( )sin(/2)r tAt ( )sin+r tAt（）( )() sin(+ )sin(+)c tA G jtBt 輸入輸入：穩態穩態輸出：輸出：122 2、頻率特性、頻率特性 頻率

12、特性是傳遞函數中的復變量頻率特性是傳遞函數中的復變量 僅在虛軸上取值的特殊情僅在虛軸上取值的特殊情況況 。s(,0)sj 線性穩定系統在正弦信號作用下，線性穩定系統在正弦信號作用下，頻率從零變化到無窮頻率從零變化到無窮，穩態穩態輸出與輸入輸出與輸入的的幅值比、相位差隨頻率變化的特性幅值比、相位差隨頻率變化的特性，稱為頻率特性。，稱為頻率特性。()()j G jG je( )( )UjV幅頻特性幅頻特性相頻特性相頻特性頻率特性頻率特性實頻特性實頻特性虛頻特性虛頻特性頻率特性頻率特性( )Re()UG j()Im()VG j22( )()( )( )AG jUV( )( )argtan( )VU

13、( )sin()()sin()c tBtG jAtG j( )sinr tAt()( )sjG jG s13 系統穩態正弦輸出信號系統穩態正弦輸出信號與相應的正弦輸人信號的與相應的正弦輸人信號的幅幅值之比值之比隨輸入頻率的變比而隨輸入頻率的變比而變化的特性稱為變化的特性稱為幅頻特性幅頻特性，它描述了系統對輸入信號幅它描述了系統對輸入信號幅值的放大、衰減特性。值的放大、衰減特性。 系統穩態正弦輸出信號與系統穩態正弦輸出信號與相應的正弦輸入信號的相應的正弦輸入信號的相位之相位之差差隨輸入頻率的變化而變化的隨輸入頻率的變化而變化的特性稱為特性稱為相頻特性相頻特性，它描述了，它描述了系統輸出信號相位對

14、輸入信號系統輸出信號相位對輸入信號相位的超前、遲后特性。相位的超前、遲后特性。幅頻特性幅頻特性相頻特性相頻特性txi(t)x0(t)()Ai A014 頻率特性不只是對系統而言，其概念對元件、部件、控頻率特性不只是對系統而言，其概念對元件、部件、控制裝置等都適用。制裝置等都適用。頻率特性幾點說頻率特性幾點說明明 雖然頻率特性是在假定系統穩定的條件下導出的，但是雖然頻率特性是在假定系統穩定的條件下導出的，但是頻率特性的概念不只是適用于穩定系統，也適用于不穩定的系統，頻率特性的概念不只是適用于穩定系統，也適用于不穩定的系統，只是不穩定系統的頻率特性觀察不到。只是不穩定系統的頻率特性觀察不到。 頻率

15、特性和傳遞函數一樣，只適用于線性定常系統。頻率特性和傳遞函數一樣，只適用于線性定常系統。 頻率特性是傳遞函數的特例，是定義在復平面虛軸上的頻率特性是傳遞函數的特例，是定義在復平面虛軸上的傳遞函數，因此頻率特性與系統的微分方程、傳遞函數一樣反映傳遞函數，因此頻率特性與系統的微分方程、傳遞函數一樣反映了系統的固有特性。了系統的固有特性。 盡管頻率特性是一種穩態響應，但系統的頻率特性與傳盡管頻率特性是一種穩態響應，但系統的頻率特性與傳遞函數一樣包含了系統或元部件的全部動態結構參數，因此，系遞函數一樣包含了系統或元部件的全部動態結構參數，因此，系統動態過程的規律性也全寓于其中。統動態過程的規律性也全寓

16、于其中。 15 應用頻率特性分析系統性能的基本思路：應用頻率特性分析系統性能的基本思路： 頻率特性描述的是穩態正弦輸入量和輸出量之間的關系。但頻率特性描述的是穩態正弦輸入量和輸出量之間的關系。但大多數控制系統的輸入量不僅不是正弦函數，而且是非周期函數。大多數控制系統的輸入量不僅不是正弦函數，而且是非周期函數。 施加于控制系統的周期或非周期信號都可表示成由許多諧波施加于控制系統的周期或非周期信號都可表示成由許多諧波分量組成的傅立葉級數或用傅立葉積分表示的連續頻譜數。由于分量組成的傅立葉級數或用傅立葉積分表示的連續頻譜數。由于線性系統滿足比例性和疊加性，因此根據控制系統對于正弦諧波線性系統滿足比例

17、性和疊加性，因此根據控制系統對于正弦諧波函數這類典型信號的響應可以推算出它在任意周期信號或非周期函數這類典型信號的響應可以推算出它在任意周期信號或非周期信號作用下的運動情況。因而分析頻率特性有更廣泛的意義。信號作用下的運動情況。因而分析頻率特性有更廣泛的意義。 在經典控制理論范疇，頻率分析較時域分析簡單，特別在經典控制理論范疇，頻率分析較時域分析簡單，特別是對于高階系統。是對于高階系統。 頻率特性的物理意義頻率特性的物理意義：頻率特性表征了系統或元件對不：頻率特性表征了系統或元件對不同頻率正弦輸入的響應特性。同頻率正弦輸入的響應特性。16以以RC濾波網絡為例：濾波網絡為例：9004521101

18、0)()(TA221( )1AT( )arctg T 表明系統跟蹤、復現不同頻率信號的能力。當頻率低時，表明系統跟蹤、復現不同頻率信號的能力。當頻率低時，系統能正確響應、跟蹤、復現輸入信號；當頻率高時，系統輸系統能正確響應、跟蹤、復現輸入信號；當頻率高時，系統輸出幅值衰減近似為出幅值衰減近似為0 0，相位嚴重滯后，系統不能跟蹤、復現輸，相位嚴重滯后，系統不能跟蹤、復現輸入。控制系統具有入。控制系統具有低通濾波器特性低通濾波器特性。1( )1G sTs （1 1）求微分方程的穩態解；）求微分方程的穩態解； （2 2）已知系統傳遞函數）已知系統傳遞函數G( (s) )，令，令s= =jw代入，即得

19、；代入，即得； （3 3）通過實驗測得。）通過實驗測得。17()1KG jjT解：221)()(TKjGA( )()arctanG jT 221)(TkU221)(TkTV對于正弦輸入對于正弦輸入r(t)=2sinr(t)=2sin2 2t t的頻率響應為：的頻率響應為：2( 2)1 4KG jT22( )sin(22 )14kc ttarctg TT(2)( 2)arctan2G jT ( )( )2sin(2 )1kG sr ttTs例：求一階系統的頻率特性及在輸入作用下的頻率響應。222211kkTjTT( )sinr tAt( )()sin()c tG jAtG j 18 解解： 求頻

20、率特性求頻率特性30()(1)(3)G jjjj0( )5sin( 345 )ix tt)3)(1(30)(ssssG例：已知系統的傳遞函數，求系統的穩態輸出。例：已知系統的傳遞函數，求系統的穩態輸出。33010( )2.543 1393A00003( )906030180 求穩態輸出求穩態輸出0000( )5 2.5sin( 345180 )12.5sin( 3135 )x ttt194 4、頻率特性的表示方法、頻率特性的表示方法p 解析法：解析法：G(j) 幅頻特性：幅頻特性：A() = B/A = | G(j) | 相頻特性：相頻特性： () = G(j)p 圖示法：圖示法： 極坐標圖或

21、稱極坐標圖或稱NyquistNyquist圖；圖； 對數坐標圖或稱對數坐標圖或稱BodeBode圖；圖； 對數幅對數幅- -相圖或稱相圖或稱NicholsNichols圖。圖。20作業：作業：教材教材P149-150 4-3、4-4 控制工程基礎控制工程基礎實驗安排實驗安排時間安排時間安排： B130307-08班：第班：第12周、周三周、周三 上午上午 8:00開始開始 B130309-10班：第班：第11周、周五周、周五 下午下午 1:30開始開始 B130311班：第班：第13周、周五周、周五 下午下午 1:30開始開始 地地 點點：西區西區 實驗樓實驗樓C-309 指導老師指導老師：劉

22、老師劉老師實驗內容實驗內容： 實驗一實驗一： 控制系統典型環節的模擬控制系統典型環節的模擬 實驗二實驗二： 一階系統的時域響應一階系統的時域響應 實驗三實驗三： 二階系統的瞬態響應二階系統的瞬態響應實驗要求：1 1、按時去做實驗。、按時去做實驗。( (實驗指導書一人一份實驗指導書一人一份）2 2、遵守實驗室的相關規章制度。、遵守實驗室的相關規章制度。 注：要填寫實驗記錄本注：要填寫實驗記錄本3 3、服從實驗指導老師的相關要求。、服從實驗指導老師的相關要求。 注：安靜，保持衛生注：安靜，保持衛生！4 4、按照實驗指導書的相關要求完成實驗操作。、按照實驗指導書的相關要求完成實驗操作。5 5、實驗完

23、成后，把相關實驗儀器、實驗完成后，把相關實驗儀器放原位放原位。6 6、按時上交實驗報告、按時上交實驗報告（送給實驗指導老師送給實驗指導老師）。注：曠課或實驗報告未交者實驗成績按零分處理。注：曠課或實驗報告未交者實驗成績按零分處理。234.1 4.1 頻率特性頻率特性1 1、頻率響應、頻率響應頻率響應頻率響應: : 系統對正弦信號的系統對正弦信號的穩態穩態響應。響應。輸入：輸入：( )sinr tAt系統的傳遞函數：系統的傳遞函數：10111011( )( )( )mmmmnnnnb sbsbsbC sG sR sa sa sasa22( )()()AAR sssjsj( )( ) ( )C s

24、G s R s11( ) ( ) ( ) ( )c tL C sL G s R s頻率響應：頻率響應：24( )()sin()sin()c tG jAtG jBt()BG jAIm ()( )()arctanRe ()G jG jG j 式中，式中，()G j( )()G j 對于線性系統而言，當輸入某一頻率的正弦信號，經過充分對于線性系統而言，當輸入某一頻率的正弦信號，經過充分長的時間后，系統的穩態輸出仍是同頻率的正弦波，而且穩態輸長的時間后，系統的穩態輸出仍是同頻率的正弦波，而且穩態輸出與輸入的正弦幅值之比，以及穩態輸出與輸入的相位差是完全出與輸入的正弦幅值之比，以及穩態輸出與輸入的相位差

25、是完全確定的。輸出信號的振幅確定的。輸出信號的振幅B B是輸入信號振幅是輸入信號振幅A A的的 倍；輸出信倍；輸出信號相對輸入信號的相移為號相對輸入信號的相移為 。()BG jA( )sinr tAt252 2、頻率特性、頻率特性 頻率特性是傳遞函數中的復變量頻率特性是傳遞函數中的復變量 僅在虛軸上取值的特殊情僅在虛軸上取值的特殊情況況 。s(,0)sj 線性穩定系統在正弦信號作用下，線性穩定系統在正弦信號作用下，頻率從零變化到無窮頻率從零變化到無窮，穩態穩態輸出與輸入輸出與輸入的的幅值比、相位差隨頻率變化的特性幅值比、相位差隨頻率變化的特性，稱為頻率特性。，稱為頻率特性。()()j G jG

26、 je( )( )UjV幅頻特性幅頻特性相頻特性相頻特性頻率特性頻率特性實頻特性實頻特性虛頻特性虛頻特性頻率特性頻率特性( )Re()UG j()Im()VG j22( )()( )( )AG jUV( )( )argtan( )VU ( )sin()()sin()c tBtG jAtG j( )sinr tAt()( )sjG jG s264-3 4-3 頻率特性的對數坐標圖（伯德圖、頻率特性的對數坐標圖（伯德圖、BodeBode圖）圖）1 1、對數坐標圖、對數坐標圖u對數幅頻特性圖對數幅頻特性圖 橫坐標橫坐標: :以以lglg分度分度 單位單位radrad/ /s s,Hz,Hz 縱坐標縱

27、坐標: :幅值幅值20lg20lgL L( () 單位單位分貝分貝(dB)(dB) 20lg20lgLLG ju對數相頻特性圖對數相頻特性圖 橫坐標橫坐標: :與對數幅頻特性圖相同與對數幅頻特性圖相同 縱坐標縱坐標: :頻率特性的頻率特性的相位角相位角( () )，單位為，單位為度度()()( )()j G jsjG jG sG je27 w w=0=0不能在橫坐標上表示出來，表示的最低頻率由所感不能在橫坐標上表示出來，表示的最低頻率由所感興趣的頻率范圍確定。興趣的頻率范圍確定。 只標注只標注w w的真值，通常采用的真值，通常采用頻率比頻率比的概念。的概念。 用用L L( (w w) )簡記對

28、數幅頻特性；用簡記對數幅頻特性；用 ( (w w) )簡記對數相頻特性。簡記對數相頻特性。 關于關于 BodeBode圖的說明圖的說明BodeBode圖的優點：圖的優點： 幅頻特性的幅頻特性的乘除乘除運算轉變為運算轉變為加減加減運算。運算。 對數坐標對數坐標拓寬拓寬了圖形所能表示的頻率范圍；突出了低頻了圖形所能表示的頻率范圍；突出了低頻特性。特性。 便于便于用實驗方法用實驗方法估計估計被測系統的傳遞函數。被測系統的傳遞函數。 對系統作近似分析時，只需畫出對數幅頻特性曲線的漸對系統作近似分析時，只需畫出對數幅頻特性曲線的漸進線，大大進線，大大簡化簡化了圖形的繪制。了圖形的繪制。 兩個系統或環節的

29、頻率特性互為兩個系統或環節的頻率特性互為倒數倒數時，其對數幅頻特時，其對數幅頻特性曲線關于性曲線關于零分貝線零分貝線對稱，相頻特性曲線關于對稱，相頻特性曲線關于零度線零度線對稱。對稱。28(b)75364211倍 頻 程1倍 頻 程110倍 頻 程(a)10倍 頻 程1倍 頻 程248610p1p210倍 頻 程401倍 頻 程208060100p3292 2、各種典型環節的伯德圖、各種典型環節的伯德圖 當改變傳遞函數的當改變傳遞函數的K值值時，會導致傳遞函數的對數幅頻曲線時，會導致傳遞函數的對數幅頻曲線升高或降低一個相應的常值，但不影響相位角。升高或降低一個相應的常值，但不影響相位角。 （1

30、 1）比例環節）比例環節對數相頻特性：對數相頻特性：對數幅頻特性：對數幅頻特性：()0 ( )AK相頻特性：相頻特性：幅頻特性：幅頻特性：0()jG jKKe頻率特性：頻率特性：( )G sK()0 ()20lgLK30（2 2）積分環節）積分環節 積分環節積分環節對數幅頻圖為通過對數幅頻圖為通過（1,0）、斜率為、斜率為20dB/dec的的一條直線；對數相頻圖為等于一條直線；對數相頻圖為等于-90o的一條直線。的一條直線。 ( )90 對數相頻特性對數相頻特性( )20lgL 對數幅頻特性對數幅頻特性( )90 相頻特性相頻特性1( )A幅頻特性幅頻特性1()G jj頻率特性頻率特性1( )

31、G ss31(3(3）微分環節）微分環節 微分環節微分環節的對數幅頻圖通過（的對數幅頻圖通過（1,01,0）、斜率為）、斜率為20dB/dec20dB/dec的一的一條直線；對數相頻圖為等于條直線；對數相頻圖為等于9090o o的一條直線。的一條直線。 ( )90 ( )20lgL( )90 ( )A()G jj( )G ss對數相頻特性對數相頻特性對數幅頻特性對數幅頻特性相頻特性相頻特性幅頻特性幅頻特性頻率特性頻率特性32注意：積分環節注意：積分環節和和微分環節微分環節的的頻率特性互為頻率特性互為倒數倒數，其對數幅頻，其對數幅頻特性曲線關于特性曲線關于零分貝零分貝線對稱，相頻特性曲線關于線對

32、稱，相頻特性曲線關于零度線零度線對稱。對稱。33(4(4）一階慣性環節）一階慣性環節 1( )1G sTs1()1G jj T221( )1AT( )arctanT 1( )tan ()T 1lg20)(22TL幅頻特性幅頻特性頻率特性頻率特性相頻特性相頻特性對數幅頻特性對數幅頻特性對數相頻特性對數相頻特性341lg20)(22TL對數幅頻特性對數幅頻特性 轉角頻率轉角頻率1()TdBL03. 3)(稱為稱為低頻漸近線低頻漸近線，低頻段近似為，低頻段近似為0dB0dB的水平線。的水平線。)10(T01lg20)(22TL1T當時，1T當時，()20lg20lg20lgLTT 1()T 稱為稱為

33、高頻漸近線高頻漸近線，其斜率近似為，其斜率近似為-20dB/dec 的直線。的直線。1TT低頻線與高頻線的交點（低頻線與高頻線的交點（1/T1/T，0 0）最大誤差最大誤差351( )tan ()T 1lg20)(22TL對數幅頻特性對數幅頻特性對數相頻特性對數相頻特性090 ()00090450)(0T1TLlg200)(T/ 1T/ 136波德圖誤差分析波德圖誤差分析（實際頻率特性和漸近線之間的誤差）：（實際頻率特性和漸近線之間的誤差）：當當 時，誤差為：時，誤差為：T22120lg 1 T 當當 時，誤差為：時，誤差為：T22220lg 120lgTT 最大誤差發生在最大誤差發生在 處，

34、為處，為1TT22max020lg 13.03()TdBT0.1 0.2 0.5 1 2 510L,dB -0.04 -0.2 -1 -3 -7 -14.2 -20.04 漸近線漸近線,dB 0 000-6 -14 -20 誤差誤差,dB -0.04 -0.2-1-3-1-0.2-0.0437相頻特性：相頻特性： 1( )tanT 作圖時先用計算器計算幾個特殊點：作圖時先用計算器計算幾個特殊點：。時，當時，當時，當2)(;4)1(1; 0) 0(0TT由圖不難看出相頻特性曲線在半對數坐標系中對于由圖不難看出相頻特性曲線在半對數坐標系中對于( T, -45)點是斜對稱的，這是對數相頻特性的一個特

35、點。當時間常數點是斜對稱的，這是對數相頻特性的一個特點。當時間常數T變化時，對數幅頻特性和對數相頻特性的形狀都不變，僅僅是變化時，對數幅頻特性和對數相頻特性的形狀都不變，僅僅是根據轉折頻率根據轉折頻率1/T的大小整條曲線向左或向右平移即可。而當的大小整條曲線向左或向右平移即可。而當增益改變時，相頻特性不變，幅頻特性上下平移。增益改變時，相頻特性不變，幅頻特性上下平移。 T0.010.020.050.10.20.30.50.71.0 -0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45 T2.03.04.05.07.0102050100 -63.4-71.5-76-78.7

36、-81.9-84.3-87.1-88.9-89.438（5 5）一階微分環節）一階微分環節低頻段低頻段( 1/T)()20 lg()20 lg20 lgLTT01lg20)(L幅頻特性幅頻特性頻率特性頻率特性相頻特性相頻特性對數幅頻特性對數幅頻特性對數相頻特性對數相頻特性( )1G sTs22arctan()11jTG jj TT e 22( )1AT( )arctan T 1( )()tgT 22( )20lg1LT090對數相頻特性對數相頻特性39 一階微分環節與一階慣性環節的頻率特性互為倒數，根據一階微分環節與一階慣性環節的頻率特性互為倒數，根據對數頻率特性圖的特點，一階微分環節與一階慣

37、性環節的對數對數頻率特性圖的特點，一階微分環節與一階慣性環節的對數幅頻特性曲線關于幅頻特性曲線關于0dB0dB 線對稱，相頻特性曲線關于線對稱，相頻特性曲線關于零度線零度線對稱對稱。顯然，一階微分環節的對數幅頻特性曲線也可由漸近線近似。顯然，一階微分環節的對數幅頻特性曲線也可由漸近線近似描述。描述。40（6 6）振蕩環節）振蕩環節 22 2221( )212nnnG sT sTsss頻率特性頻率特性22221()21 ()2nnnnnG jjj 幅頻特性：幅頻特性：2221( )1 ()2nnA相頻特性：相頻特性：22( )arctan1nn 41高頻段高頻段（ n）對數幅頻特性：對數幅頻特性

38、：222( )20lg12nnL 低頻段低頻段（ n）( )20lg10L 2( )20lg40lg40lg40lgnnnL 1TnT漸近線交點頻率（轉角頻率）漸近線交點頻率（轉角頻率）42q 對數相頻特性對數相頻特性222( )1TarctgT ：)(000T10900180q 對數幅頻特性對數幅頻特性n0( )40lg40lgLT（）nnTn122( )arctan1nn 43110010110210T020)(L204060q 對數幅頻特性的實際對數幅頻特性的實際BodeBode圖圖decdB /4022222)1 (lg20)( TTL時時，當當T1）（2lg20)(L5 . 01 .

39、0)(L142 .083 .05 .07 .04 .409 .2165 . 0 TLlg400)(漸漸1T 1T -180-135-90-4500.1110/n() / (deg) = 0.1 = 0.2 = 0.3 = 0.7 = 1.0-40-30-20-1001020L()/ (dB)-40dB/dec = 0.1 = 0.2 = 0.3 = 0.7 = 1.0漸近線Bode Diagram轉折頻率轉折頻率 = 0.5 = 0.5nT1越大曲線越平坦45 振蕩環節在不同振蕩環節在不同值時的修正曲線值時的修正曲線 -8-40481216200.1110 = 0.05 = 0.10 = 0.

40、15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.35 = 0.40 = 0.80 = 0.90 = 1.00 = 0.50 = 0.60 = 0.707/nError (dB) 由圖可見，當由圖可見，當 較小時，較小時，由于在由于在 = n 附近存在諧附近存在諧振，幅頻特性漸近線與實振，幅頻特性漸近線與實際特性存在較大的誤差，際特性存在較大的誤差， 越小，誤差越大。越小，誤差越大。 當當0.38 0.7時，誤差時，誤差不超過不超過3dB3dB。因此，在此。因此，在此 范圍內，可直接使用漸近范圍內，可直接使用漸近對數幅頻特性，而在此范對數幅頻特性，而在此范圍之外，應使用準確的對圍之外，應

41、使用準確的對數幅頻曲線。數幅頻曲線。 準確對數幅頻曲線可在漸近線的基礎上通過誤差曲線修正獲得或直接計算。準確對數幅頻曲線可在漸近線的基礎上通過誤差曲線修正獲得或直接計算。46低頻段低頻段( 1/T)22( )20lg()40lg40lg40lgLTT01lg20)(L（7 7）二階微分環節）二階微分環節22( )21(01)G sT sTs，22()12G jTj T 2222( )12ATT 222( )arctan1TT 2222( )20lg12LTT 222( )arctan1TT 幅頻特性幅頻特性頻率特性頻率特性相頻特性相頻特性對數幅頻特性對數幅頻特性對數相頻特性對數相頻特性4748

42、（8 8）延遲環節）延遲環節 幅頻特性：幅頻特性：頻率特性：頻率特性：相頻特性：相頻特性：( )sG se()jG je( )1A對數幅頻特性對數幅頻特性：( )0L( )()57.3( )rad 49504-3 4-3 頻率特性的對數坐標圖（伯德圖、頻率特性的對數坐標圖（伯德圖、BodeBode圖）圖）1 1、對數坐標圖、對數坐標圖u對數幅頻特性圖對數幅頻特性圖 橫坐標橫坐標: :以以lglg分度分度 單位單位radrad/ /s s,Hz,Hz 縱坐標縱坐標: :幅值幅值20lg20lgL L( () 單位單位分貝分貝(dB)(dB) 20lg20lgLLG ju對數相頻特性圖對數相頻特性

43、圖 橫坐標橫坐標: :與對數幅頻特性圖相同與對數幅頻特性圖相同 縱坐標縱坐標: :頻率特性的頻率特性的相位角相位角( () )，單位為，單位為度度()()( )()j G jsjG jG sG je51q 比例環節和積分環節的頻率特性；比例環節和積分環節的頻率特性；q 慣性環節的頻率特性慣性環節的頻率特性低頻、高頻漸進線，斜率低頻、高頻漸進線，斜率-20-20，轉，轉折頻率折頻率 ；q 振蕩環節的頻率特性振蕩環節的頻率特性波德圖：低頻、高頻漸進線，斜率波德圖：低頻、高頻漸進線，斜率-40-40，轉折頻率，轉折頻率 ；q 微分環節的頻率特性微分環節的頻率特性有三種形式：純微分、一階微分和有三種形

44、式：純微分、一階微分和二階微分。分別對應積分、一階慣性和振蕩環節；二階微分。分別對應積分、一階慣性和振蕩環節；q 延遲環節的頻率特性。延遲環節的頻率特性。1TT1=TnT典型環節的伯德圖典型環節的伯德圖52（8 8）延遲環節）延遲環節 幅頻特性：幅頻特性：頻率特性：頻率特性：相頻特性：相頻特性：( )sG se()jG je( )1A對數幅頻特性對數幅頻特性：( )0L( )()57.3( )rad 53典型環節典型環節BodeBode圖的特性圖的特性54 由于總傳遞函數對數幅值等于組成的各典型環節的對數幅由于總傳遞函數對數幅值等于組成的各典型環節的對數幅值之和；相位等于各典型環節的相位之和。

45、因此，總傳遞函數值之和；相位等于各典型環節的相位之和。因此，總傳遞函數對數幅值曲線及相位曲線分別由各串聯典型環節對數幅值曲線對數幅值曲線及相位曲線分別由各串聯典型環節對數幅值曲線和相位曲線疊加而成。和相位曲線疊加而成。 典型環節的對數漸近幅頻對數曲線為不同斜率的直線或折典型環節的對數漸近幅頻對數曲線為不同斜率的直線或折線，故疊加后的漸近幅頻特性曲線仍為不同斜率的線段組成的線，故疊加后的漸近幅頻特性曲線仍為不同斜率的線段組成的折線。折線。 因此，需要首先確定低頻起始段的斜率和位置，然后確定因此，需要首先確定低頻起始段的斜率和位置，然后確定線段轉折頻率（交接頻率）以及轉折后線段斜率的變化，就可線段

46、轉折頻率（交接頻率）以及轉折后線段斜率的變化，就可繪制出由低頻到高頻的對數漸近幅頻特性曲線。繪制出由低頻到高頻的對數漸近幅頻特性曲線。3. 3. 繪制系統的伯德圖繪制系統的伯德圖55 繪制系統伯德圖的一般步驟：繪制系統伯德圖的一般步驟： 1）將傳遞函數化成）將傳遞函數化成標準典型環節標準典型環節串聯形式，串聯形式，即將常數項化為即將常數項化為1。221111221111(1)(1)(21)( )(1)(1)(21)ppppqqqqKssssG ssTsT sTsTs 2 2）選定）選定BodeBode圖坐標系所需頻率范圍，一般最低頻率為系統最圖坐標系所需頻率范圍，一般最低頻率為系統最低轉折頻率

47、的低轉折頻率的1/101/10左右，而最高頻率為最高轉折頻率的左右，而最高頻率為最高轉折頻率的1010倍左右倍左右；確定坐標比例尺；確定各環節的轉折頻率，；確定坐標比例尺；確定各環節的轉折頻率，并將并將轉折頻率由低轉折頻率由低到高依次標注到對數坐標紙到高依次標注到對數坐標紙上上。 3）計算計算20lgK，在在w1rad/s處找到縱坐標等于處找到縱坐標等于20lgK的點的點，過，過該點作斜率等于該點作斜率等于 -20dB/dec的直線（積分環節），向左延長此線至的直線（積分環節），向左延長此線至所有環節的所有環節的轉折頻率之左轉折頻率之左，得到最低頻段的漸近線。，得到最低頻段的漸近線。( )20

48、lg20lgLK 在低頻段對數幅頻特性在低頻段對數幅頻特性56 4 4）向右延長最低頻段漸近線，）向右延長最低頻段漸近線，改變一次斜改變一次斜率。率。 慣性環節，斜率下降慣性環節，斜率下降20dB/dec;20dB/dec; 振蕩環節，振蕩環節，斜率斜率下降下降40dB/dec;40dB/dec; 一階微分環節，一階微分環節，斜率斜率上升上升20dB/dec20dB/dec； 二階微分環節，二階微分環節，斜率斜率上升上升40dB/dec40dB/dec。 5 5）對漸近線進行修正以獲得準確的幅頻特性；）對漸近線進行修正以獲得準確的幅頻特性；注意：對數幅頻特性曲線上要標明斜率！注意：對數幅頻特性

49、曲線上要標明斜率！572112( )arctan()arctan1 ()pmiiii pi 2112arctan()arctan21 ()qniiii qiTTT 6 6）在對數相頻特性圖上，分別畫出各典型環節的對數相頻特）在對數相頻特性圖上，分別畫出各典型環節的對數相頻特性曲線，將各典型環節的對數相頻特性曲線沿縱軸方向疊加，性曲線，將各典型環節的對數相頻特性曲線沿縱軸方向疊加，便可得到系統的對數相頻特性曲線。也可求出便可得到系統的對數相頻特性曲線。也可求出 ( ( ) )的表達式，逐的表達式，逐點描繪。點描繪。58例：繪制傳遞函數為例：繪制傳遞函數為 的系統的伯德圖。的系統的伯德圖。 )10

50、1)(1 ()(ssKsG解：系統開環對數幅頻特性和相頻特性分別為解：系統開環對數幅頻特性和相頻特性分別為 12322( )( )( )( )20lg20lg 120lg 1 100LLLLK123( )( )( )( )arctanarctan10 L()/dBL1()20lgK0.120dB/dec1L3()0dB20dB40dBL2()L()40dB/dec1()2()3()()()/()04590135180102101100101102 零型系統開環對數幅頻特性的低頻段為零型系統開環對數幅頻特性的低頻段為20lgK的水平線的水平線, , 隨著隨著 的增加的增加, , 每遇到一個轉折頻

51、率每遇到一個轉折頻率, , 對數幅頻特性就改變一次斜率。對數幅頻特性就改變一次斜率。 )101)(1 ()(ssKsG60例：例：試繪制以下傳遞函數的對數幅頻曲線試繪制以下傳遞函數的對數幅頻曲線)2)(2()3(10)(2ssssssG解：轉折頻率由小到大分別為解：轉折頻率由小到大分別為: :3, 2,2321最低頻段的對數幅頻特性可近似為最低頻段的對數幅頻特性可近似為：( )20lg20lg20lg(7.5)20lgLK61123220lg7.5( )/LdB1/rad s0-60-20-80-60215( /3 1)( )2( /2 1)(/2/2 1)sG ss sss6202040-2

52、0-400.1110L0.52.0841)(j1)21 (j)5 . 01 (j12)125. 0(05. 01 jj-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec-60dB/dec24 10.5()1210.05( 0.125 )jG jjjjj例：例：63090-90-1800.1110Angle 0.52.0841)(j1)21 (j)5 . 01 (j12)125. 0(05. 01 jj-27024 10.5()1210.05( 0.125 )jG jjjjj64例：試繪制以下傳遞函數的對數幅頻曲線例：試繪制以下傳遞函數的對數幅頻曲線) 105. 0)(1() 110()(s

53、ssssG解：轉折頻率由小到大分別為解：轉折頻率由小到大分別為: :20, 1, 1 . 0321增益增益K=1=1，含，含1 1個積分環個積分環節節 , , 低 頻 段 漸 近 線 是 過低 頻 段 漸 近 線 是 過(1,0)(1,0)點，斜率為點，斜率為-20-20的直的直線線()20lg20lgLK-20-20-40202010.1065作業：作業：教材教材P150 4-8（1）、（4）664.4 4.4 由頻率特性曲線求系統傳遞函數由頻率特性曲線求系統傳遞函數（一）基本思路（一）基本思路 根據根據Bode圖的漸近線確定轉折頻率及各典型環節，得到系圖的漸近線確定轉折頻率及各典型環節，得

54、到系統的傳遞函數。統的傳遞函數。待待測測系統系統tAtxjiisin)(的的取取值值：j在感興趣的頻率范在感興趣的頻率范圍內取不同的頻率。圍內取不同的頻率。)(0tx顯示器顯示器記錄儀記錄儀繪圖儀繪圖儀幅頻幅頻相頻相頻幅值比幅值比相位差相位差繪繪圖圖（二）由（二）由Bode圖求系統的傳遞函數的步驟圖求系統的傳遞函數的步驟q 確定對數幅頻特性的漸近線。確定對數幅頻特性的漸近線。 用斜率為用斜率為0dB/dec、20dB/dec、40dB/dec的直線逼近實驗曲的直線逼近實驗曲線。線。)(L11001011021031020406080decdB /200decdB /20decdB /40dec

55、dB /6012342. 根據低頻段漸近線的斜率，確定系統包含的積分環節的個數。根據低頻段漸近線的斜率，確定系統包含的積分環節的個數。 )(L400201 . 012020型型020型型I40型型II203. 確定系統增益確定系統增益注意到系統低頻段漸近線可近似為：注意到系統低頻段漸近線可近似為：( )20lg20 lgLK 不管是一階環節或者是二階環節，其低頻漸近線都為不管是一階環節或者是二階環節，其低頻漸近線都為0 0分貝，分貝，故：低頻漸近線的斜率完全由積分環節來確定，而其位置（在幅故：低頻漸近線的斜率完全由積分環節來確定，而其位置（在幅頻特性圖的上下位置）則由增益決定。頻特性圖的上下位

56、置）則由增益決定。110010110210020)(L20404040120Klg20( )20lg20 lgLK110010110210020)(L20404040120Klg20220lgK（1）0型系統（型系統（ ）070lg20lg20)(KL（2）I 型系統型系統1kL，則則：若若：0)(110010110210020)(L2040404012024020kKlg20371lg220lg20)(KL（3）II 型系統型系統2kkL，即即，則則：若若：20)(110010110210020)(L20604040124020k725. 獲得系統的頻率特性函數或傳遞函數。獲得系統的頻率特性

57、函數或傳遞函數。6. 根據實驗測得的相頻特性曲線校驗獲得的傳遞函數。根據實驗測得的相頻特性曲線校驗獲得的傳遞函數。4. 根據漸近線轉折頻率處斜率的變化，確定對應的環節。根據漸近線轉折頻率處斜率的變化，確定對應的環節。若若 =1時，時，斜率變化斜率變化20dB/dec，則對應環節為：則對應環節為：111s若若 = 2時，時，斜率變化斜率變化 40dB/dec，則對應環節為：則對應環節為：1222212ss 若為最小相位系統，兩相頻特性應大致相符，并且在很低若為最小相位系統，兩相頻特性應大致相符，并且在很低和很高頻段上嚴格相符。和很高頻段上嚴格相符。 二階環節的二階環節的阻尼比阻尼比 根據實根據實

58、驗曲線在轉折頻驗曲線在轉折頻率處的峰值與率處的峰值與 的的關系確定。關系確定。73例：例：已知最小相位系統的近似對數幅頻特性曲線如圖所示。求已知最小相位系統的近似對數幅頻特性曲線如圖所示。求系統的傳遞函數。系統的傳遞函數。-200-20-40200.1120 (rad/s)L()解：解：系統低頻段斜率為系統低頻段斜率為20dB/dec，I型系統。型系統。注意到積分環節的延長線交注意到積分環節的延長線交(1，0)點，故點，故k =1。 在在1= 0.1處，漸近線變為水平線，故處，漸近線變為水平線，故1對應的應是一對應的應是一階微分環節的轉折頻率。階微分環節的轉折頻率。11 .0s對對應應的的傳傳

59、遞遞函函數數為為：74 此外，系統存在另二個轉折頻率：此外，系統存在另二個轉折頻率：1和和20rad/s。對應的對應的典型環節分別為：典型環節分別為：120/1,11ss綜上所述，系統傳遞函數為：綜上所述，系統傳遞函數為：) 105. 0)(1(110120/111111 . 0)( ssssssssKsG-200-20-40200.1120 (rad/s)L()75例：根據對數幅頻特性，求系統的傳遞函數。例：根據對數幅頻特性，求系統的傳遞函數。)(L0601 . 012040405 . 24076) 110() 14 . 0(100)(2ssssG例：根據對數幅頻特性，求系統的傳遞函數。例：

60、根據對數幅頻特性，求系統的傳遞函數。)(L0601 . 012040405 . 24077例：某最小相位系統的開環對數幅頻特性曲線如圖所示，求此例：某最小相位系統的開環對數幅頻特性曲線如圖所示，求此系統的開環傳遞函數。系統的開環傳遞函數。30, 6 .61lg20lg20)(KKL30(41)(401)(0.21)(0.11)( )sKssssGs78作業：作業：教材教材P150 4-6（a）、（e）79 也稱也稱乃奎斯特圖乃奎斯特圖或或幅相頻率特性圖幅相頻率特性圖，是當，是當 從零變化至無從零變化至無窮大時，在極坐標上表示頻率特性的窮大時，在極坐標上表示頻率特性的幅值幅值與與相位角相位角的關