1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)羅進(jìn)明羅進(jìn)明Tel:然界和社會(huì)上發(fā)生的現(xiàn)象是多種多樣的：自然界和社會(huì)上發(fā)生的現(xiàn)象是多種多樣的：1 確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象：在一定條件下必然發(fā)生：在一定條件下必然發(fā)生( (或不發(fā)生或不發(fā)生) )。2隨機(jī)隨機(jī)(不確定不確定)現(xiàn)象現(xiàn)象：在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出：在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，且在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)不確定性，且在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律。規(guī)律。緒緒 言言 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。1.1.浙江大學(xué)浙江大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)及

2、其配套參考資料及其配套參考資料4.4.概率統(tǒng)計(jì)及數(shù)理統(tǒng)計(jì)（內(nèi)容、方法和技巧）概率統(tǒng)計(jì)及數(shù)理統(tǒng)計(jì)（內(nèi)容、方法和技巧）, ,華華中科技大學(xué)出版社中科技大學(xué)出版社參考書參考書3.3.概率統(tǒng)計(jì)及數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)及數(shù)理統(tǒng)計(jì), ,中山大學(xué)中山大學(xué)2.2.概率統(tǒng)計(jì)及數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)及數(shù)理統(tǒng)計(jì), ,陳希孺陳希孺5.5.概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，周圣武，周概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，周圣武，周長新，李金玉，煤炭工業(yè)出版社長新，李金玉，煤炭工業(yè)出版社內(nèi)容與學(xué)時(shí)內(nèi)容與學(xué)時(shí)第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布第三章第三章 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變

3、量及其分布第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征第五章第五章 大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)第八章第八章 假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)(17學(xué)時(shí)學(xué)時(shí))數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)(29學(xué)時(shí)學(xué)時(shí))概概 率率 論論第一章第一章 隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)事件及其概率 第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)事件及其運(yùn)算隨機(jī)事件及其運(yùn)算 第二節(jié)第二節(jié) 頻率與概率頻率與概率 第三節(jié)第三節(jié) 等可能概型等可能概型( (古典概型古典概型) ) 第四節(jié)第四節(jié) 條件概率條件概率 第五節(jié)第五節(jié) 事件的相互獨(dú)立性事件的相互獨(dú)立性 第一章第一章 第一節(jié)第一節(jié)隨機(jī)事件及其運(yùn)

4、算隨機(jī)事件及其運(yùn)算1.1.隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)2.2.樣本空間樣本空間3.3.隨機(jī)事件隨機(jī)事件4.4.事件間的關(guān)系及其運(yùn)算事件間的關(guān)系及其運(yùn)算隨機(jī)試驗(yàn)廣義理解，是指對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的一次觀察、隨機(jī)試驗(yàn)廣義理解，是指對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的一次觀察、一次測(cè)量、一次統(tǒng)計(jì)等等，簡稱一次測(cè)量、一次統(tǒng)計(jì)等等，簡稱試驗(yàn)試驗(yàn)，記作，記作E。HTE1 :拋一枚硬幣，觀察正面拋一枚硬幣，觀察正面H 和反面和反面T 出現(xiàn)的情況。出現(xiàn)的情況。1. 1. 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)E2 : 將一枚硬幣連拋三次，觀察出現(xiàn)正反面結(jié)果。將一枚硬幣連拋三次，觀察出現(xiàn)正反面結(jié)果。TTTHHHHTTTHTTTHHHTHTHTHHE3 :拋一拋一骰子骰子, ,觀

5、察出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)情況。觀察出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)情況。( (色子色子, ,投子投子) ) E5 :在一批燈泡中任取一只在一批燈泡中任取一只,測(cè)試它的壽命。測(cè)試它的壽命。E4 :對(duì)一目標(biāo)射擊對(duì)一目標(biāo)射擊, ,首次擊中目標(biāo)所需射擊次數(shù)。首次擊中目標(biāo)所需射擊次數(shù)。上述隨機(jī)試驗(yàn)具有以下三個(gè)上述隨機(jī)試驗(yàn)具有以下三個(gè)特點(diǎn)特點(diǎn)：（可重復(fù)性可重復(fù)性） (1) (1) 可以在相同情況下重復(fù)進(jìn)行；可以在相同情況下重復(fù)進(jìn)行；(2) (2) 每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果具有多種可能性每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果具有多種可能性，(3) (3) 每次試驗(yàn)前不能確定會(huì)出現(xiàn)哪種結(jié)果。每次試驗(yàn)前不能確定會(huì)出現(xiàn)哪種結(jié)果。 但能事先知道試驗(yàn)的所有可能結(jié)果

6、；但能事先知道試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；( ( 隨機(jī)性隨機(jī)性）具有上述三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為具有上述三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)。( ( 多樣性多樣性）我們就是通過研究隨機(jī)試驗(yàn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象的。我們就是通過研究隨機(jī)試驗(yàn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象的。定義定義1隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的的樣本空間樣本空間,記為記為S 或或 。樣本空間的元素，即樣本空間的元素，即E的每個(gè)結(jié)果，稱為的每個(gè)結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)，樣本點(diǎn)，E1 :拋一枚硬幣，觀察正面拋一枚硬幣，觀察正面H 和反面和反面T 出現(xiàn)的情況。出現(xiàn)的情況。1,H T 2.2.樣本空間樣本空間E2 ：將一枚硬幣拋擲三次

7、，觀察正面將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面H、反面、反面T出現(xiàn)出現(xiàn) 的情況。的情況。TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHH,23, 2, 1, 03E3 ：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面出現(xiàn)將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)。的次數(shù)。樣本空間的元素是由試驗(yàn)?zāi)康臎Q定的。樣本空間的元素是由試驗(yàn)?zāi)康臎Q定的。 E5 :在一批燈泡中任取一只在一批燈泡中任取一只,測(cè)試它的壽命。測(cè)試它的壽命。E4 :對(duì)一目標(biāo)射擊對(duì)一目標(biāo)射擊, ,首次擊中目標(biāo)所需射擊次數(shù)。首次擊中目標(biāo)所需射擊次數(shù)。, 3, 2, 1405tt3.3.隨機(jī)事件隨機(jī)事件定義定義2 試驗(yàn)試驗(yàn) E 的樣本空間的樣本空間 的子集稱為的子集稱為

8、E的的隨機(jī)事件隨機(jī)事件，簡稱簡稱事件事件，一般記為，一般記為 A, B, C 等。等。事件的表示方法：事件的表示方法：語言定性描述，用集合描述。語言定性描述，用集合描述。如：擲色子的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)可表示為：如：擲色子的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)可表示為：A=2，4，6 = “點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”。樣本空間是客觀的，樣本空間是客觀的，事件是人為設(shè)定事件是人為設(shè)定的。的。在試驗(yàn)中在試驗(yàn)中, , 事件事件A中的某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)中的某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn), ,則稱則稱事件事件A發(fā)生。發(fā)生。（1 1）事件的發(fā)生）事件的發(fā)生如果擲出數(shù)字如果擲出數(shù)字4 4，在擲色子試驗(yàn)中，在擲色子試驗(yàn)中，= 1,2,3,4,5,61= 1,2,3 ,

9、A2= 2,4,6 ,A3= 4,5,6A定義定義3 3個(gè)事件：個(gè)事件：則則A2 2、A3 3發(fā)生。發(fā)生。基本事件基本事件（2 2）特殊事件（）特殊事件（3 3種）種） 11 ,A 22 ,A 為六個(gè)基本事件。為六個(gè)基本事件。 66A 只含有一個(gè)樣本點(diǎn)的事件，稱為只含有一個(gè)樣本點(diǎn)的事件，稱為基本事件基本事件。例如：在擲色子試驗(yàn)中例如：在擲色子試驗(yàn)中= 1,2,3,4,5,6必然事件必然事件不可能事件不可能事件在每次試驗(yàn)中一定不發(fā)生的事件，稱為在每次試驗(yàn)中一定不發(fā)生的事件，稱為不可能事件不可能事件，記為記為，即為空集即為空集，其中不包含任何樣本點(diǎn)。其中不包含任何樣本點(diǎn)。在每次試驗(yàn)中總是發(fā)生的事件

10、，稱為在每次試驗(yàn)中總是發(fā)生的事件，稱為必然事件必然事件。例如：例如： 擲一枚色子擲一枚色子1次，則次，則點(diǎn)數(shù)點(diǎn)數(shù)1為必然事件為必然事件 點(diǎn)數(shù)點(diǎn)數(shù) 6為不可能事件。為不可能事件。由于樣本空間由于樣本空間包含所有的樣本點(diǎn)，每次試驗(yàn)中它包含所有的樣本點(diǎn)，每次試驗(yàn)中它總是發(fā)生的，因此總是發(fā)生的，因此樣本空間樣本空間是必然事件是必然事件。4 4. 事件間的關(guān)系及其運(yùn)算事件間的關(guān)系及其運(yùn)算事件的包含與相等事件的包含與相等BA若事件若事件A 發(fā)生必導(dǎo)致事件發(fā)生必導(dǎo)致事件定義：定義：B 發(fā)生發(fā)生， 則則稱稱 B包含包含A ，（1 1）事件間的關(guān)系（）事件間的關(guān)系（6 6種）種）記為記為. ABBA或（A的每一

11、個(gè)樣本點(diǎn)都是的每一個(gè)樣本點(diǎn)都是B 的樣本點(diǎn)）的樣本點(diǎn)）即即BxAx定義：若定義：若且且則稱則稱A與與B相等相等。記為記為 A = B。BA,AB S例如：編號(hào)為例如：編號(hào)為1 1到到1010的球放入袋中進(jìn)行摸球，定義的球放入袋中進(jìn)行摸球，定義則有則有A= =取到的球號(hào)取到的球號(hào)2 2， B= =取到的球號(hào)取到的球號(hào)4 4，C= =取到的球號(hào)取到的球號(hào)1 1， D= =取到的球號(hào)取到的球號(hào)是偶數(shù)是偶數(shù)，.,DAD,CAABS事件的和事件的和ABBA定義定義事件事件稱為稱為A與與B的和事件的和事件。BABxAx或例如例如,fedcBdcbaAfedcbaBA,和事件和事件 表示表示A與與B至少有一

12、個(gè)發(fā)生。至少有一個(gè)發(fā)生。BA當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)A、B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)，事件中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)，事件發(fā)生。發(fā)生。BA有限并有限并類似地，稱事件類似地，稱事件 12,nA AA12,nA AA中至少有一個(gè)發(fā)生所中至少有一個(gè)發(fā)生所構(gòu)成的事件為構(gòu)成的事件為的和事件。記為的和事件。記為,21nAAA稱事件稱事件12,A A 12,A A 中至少有一個(gè)發(fā)生所構(gòu)成的事件為中至少有一個(gè)發(fā)生所構(gòu)成的事件為的和事件。記為的和事件。記為,21 AA簡記為簡記為iniA1可列并可列并簡記為簡記為iiA1例如例如A1 1=開關(guān)開關(guān)K1 合上合上 A2 2=開關(guān)開關(guān)K2 合上合上 A3 3=開關(guān)開關(guān)K3 合上合上 B=燈

13、亮燈亮 三個(gè)開關(guān)至少有一個(gè)合上。三個(gè)開關(guān)至少有一個(gè)合上。B321AAAB1K2K3K事件的積事件的積SABABA1 1=開關(guān)開關(guān)K1 合上合上 A2=開關(guān)開關(guān) K2 合上合上或或定義定義記為記為稱為稱為事件事件A與與B的積的積。BABxAx且BAAB當(dāng)且僅當(dāng)事件當(dāng)且僅當(dāng)事件A 與事件與事件B同時(shí)發(fā)生時(shí)同時(shí)發(fā)生時(shí)發(fā)生發(fā)生BA21AAB 例例 電路圖，電路圖， B表示燈亮表示燈亮B1K2K可列交。可列交。有限交。有限交。 簡記為簡記為 簡記為簡記為同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事類似地，稱事件類似地，稱事件12,nA AA12,nA AA件為件為的積事件。記為的積事件。記為稱事件稱事件12,A

14、 A 12,A A 同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事件為同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事件為的積事件。記為的積事件。記為,21nAAA,21 AAiniA1iiA1例如：設(shè)以例如：設(shè)以表示畢業(yè)班某一位學(xué)生的表示畢業(yè)班某一位學(xué)生的第第1,2,1,2, ,n門課程的學(xué)習(xí)成績?yōu)楹细瘛ｉT課程的學(xué)習(xí)成績?yōu)楹细瘛Ｒ砸?B B 表示學(xué)生可以拿到畢業(yè)證書。表示學(xué)生可以拿到畢業(yè)證書。則則nAAA,21( (表示各門課程都合格了表示各門課程都合格了) )。nAAAB21事件的差事件的差當(dāng)且僅當(dāng)事件當(dāng)且僅當(dāng)事件A 發(fā)生且事件發(fā)生且事件B不發(fā)生時(shí)，事件不發(fā)生時(shí)，事件AB 發(fā)生。發(fā)生。SBABA定義定義稱為稱為事件事件A與與B的差事件的差事件。

15、事件事件AB =BxAx且例如例如,fecBdcbaAdbaBA,S互不相容事件互不相容事件AB注注1 1：A 與與B互不相容互不相容表示表示事件事件A 與與B 不能不能同時(shí)同時(shí)發(fā)生。發(fā)生。定義定義注注2 2：基本事件是兩兩基本事件是兩兩互不相容互不相容的的( (互斥互斥) )。如：產(chǎn)品檢驗(yàn)是一等品、二等品、次品是互不相容的。如：產(chǎn)品檢驗(yàn)是一等品、二等品、次品是互不相容的。若若AB ，則稱則稱事件事件A與與B相容相容。若若AB= ，則稱，則稱A與與B為互不相容為互不相容。S對(duì)立事件對(duì)立事件BA則稱則稱 A 與與 B為對(duì)為對(duì)立事件立事件( (互逆互逆) )，即：事件即：事件A、B 有且僅有一個(gè)發(fā)

16、生。有且僅有一個(gè)發(fā)生。可見：若可見：若E只有兩個(gè)互不相容的結(jié)果，那么這兩個(gè)只有兩個(gè)互不相容的結(jié)果，那么這兩個(gè)結(jié)果構(gòu)成對(duì)立事件。結(jié)果構(gòu)成對(duì)立事件。定義定義事件事件 A, B 滿足滿足BASBA且,記為記為BAABAA 顯然以以 C 表示學(xué)生拿不到畢業(yè)證書，則表示學(xué)生拿不到畢業(yè)證書，則表示至少有一門課程不及格。表示至少有一門課程不及格。以以 B 表示該學(xué)生可以拿到畢業(yè)證書，則表示該學(xué)生可以拿到畢業(yè)證書，則表示每門課程都合格了。表示每門課程都合格了。表示畢業(yè)班某一位學(xué)生的表示畢業(yè)班某一位學(xué)生的例如：設(shè)以例如：設(shè)以各科的學(xué)習(xí)為成績合格。各科的學(xué)習(xí)為成績合格。nAAA,21nAAAB21nAAAC21(

17、2)(2)事件的運(yùn)算規(guī)律（事件的運(yùn)算規(guī)律（8 8條）條）交換律交換律ABBAABBA；結(jié)合律結(jié)合律ABCABCABCABCABCABAC分配律分配律ABCABAC德德摩根律：摩根律：；ABABABAB推廣：推廣：11nniiiiAA;11nnkkkkAA包含運(yùn)算：包含運(yùn)算：ABB，AB ，AB，則，則ABABA，設(shè)設(shè)ABABAAB,;,;AABBABABA ABB,AAA AAAAABAB例例1 1事件事件A, B, C 表示下列事件表示下列事件(1) (1) A發(fā)生發(fā)生, ,B與與C不發(fā)生不發(fā)生(2) (2) A與與B發(fā)生發(fā)生, ,C不發(fā)生不發(fā)生(3) (3) A，B，C都發(fā)生都發(fā)生(4)

18、(4) A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生至少有一個(gè)發(fā)生(5) (5) A，B，C全不發(fā)生全不發(fā)生(6) (6) A，B，C至少有兩個(gè)發(fā)生至少有兩個(gè)發(fā)生()ABC()ABC()ABC() ABC()ABC(ABC )ABCABCABC例例2 以以A表示表示“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，則，則A為為(A) 甲滯銷，乙暢銷甲滯銷，乙暢銷 (B) 甲乙兩種產(chǎn)品均暢銷甲乙兩種產(chǎn)品均暢銷(C) 甲種產(chǎn)品暢銷甲種產(chǎn)品暢銷 (D) 甲滯銷或乙暢銷甲滯銷或乙暢銷 解解 設(shè)設(shè)B=“甲產(chǎn)品暢銷甲產(chǎn)品暢銷”，C=“乙產(chǎn)品暢銷乙產(chǎn)品暢銷”則則ABC，故選，故選(D)ABCBC例例3 關(guān)系關(guān)系( )成

19、立，則事件成立，則事件A與與B為對(duì)立事件。為對(duì)立事件。AB (a)(b) ABS(c),ABABS (d)AB與與為對(duì)立事件為對(duì)立事件解釋解釋(d)：A B ABSAB ABSAB ABS(c)顯然成立，顯然成立，(d)也成立。也成立。A與與B為對(duì)立事件為對(duì)立事件例例4 試證明下列等式。試證明下列等式。(1)ABABA(2)ABAB A(3)BAABAB方法方法：定義定義利用關(guān)系運(yùn)算利用關(guān)系運(yùn)算做文氏圖做文氏圖解：解：(1)ABABAABAABAABB(2) 右ABAAABSABBAAB AAB(3) 右 ABABABABABABABABBA 左小結(jié)小結(jié)本節(jié)共包括本節(jié)共包括4部分內(nèi)容：部分內(nèi)容

20、：(1)隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn) ( (理解概念，三個(gè)特點(diǎn)理解概念，三個(gè)特點(diǎn)) )；(2)樣本空間樣本空間 ( (能寫出給定試驗(yàn)的樣本空間能寫出給定試驗(yàn)的樣本空間) )；(3)隨機(jī)事件隨機(jī)事件 ( (能用已知事件表示未知事件能用已知事件表示未知事件) )；(4)事件間的關(guān)系及其運(yùn)算事件間的關(guān)系及其運(yùn)算 ( (掌握并會(huì)應(yīng)用，主要用于化簡和證明掌握并會(huì)應(yīng)用，主要用于化簡和證明) )。作作 業(yè)業(yè)P5: 2，3P26: 2第二節(jié)第二節(jié) 頻率與概率頻率與概率 第一章 1. 1. 頻率的定義頻率的定義2. 2. 概率的定義概率的定義3. 3. 概率的性質(zhì)概率的性質(zhì) 研究隨機(jī)現(xiàn)象，人們不僅關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)研究隨機(jī)現(xiàn)

21、象，人們不僅關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是大小，也就是事件的概率事件的概率. .概率是隨機(jī)事件概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小發(fā)生可能性大小的度量的度量 事件發(fā)生的可能性事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！1. 1. 頻率的定義頻率的定義即即記為記為 Ann為事件為事件A A在在 n n 次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率，An為事件為事件A A 在在 n n 次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻數(shù)，次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻數(shù)，比值比值則稱則稱An頻率：頻率：設(shè)在設(shè)在 n 次重復(fù)試驗(yàn)中，事件次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A 出現(xiàn)了出現(xiàn)了次

22、，次， , Afn nnAfAn 01nfA01若若12,kAAA兩兩互不相容兩兩互不相容(,)ijij A A 1212nknnnkfAAAfAfAfA 03有限可加性有限可加性頻率的性質(zhì)：頻率的性質(zhì)：02 1 nf6P例例：在：在“拋硬幣拋硬幣”試驗(yàn)中，據(jù)表格得出試驗(yàn)中，據(jù)表格得出 頻率有隨機(jī)波動(dòng)性，每次試驗(yàn)頻率不一定相等頻率有隨機(jī)波動(dòng)性，每次試驗(yàn)頻率不一定相等 ;在第五章中將證明在第五章中將證明 穩(wěn)定性穩(wěn)定性 n充分大時(shí)，充分大時(shí)，,nnfAP P 稱為事件稱為事件AP A的的概率概率(probability), 記為記為頻率有什么規(guī)律？頻率有什么規(guī)律？試驗(yàn)者試驗(yàn)者蒲豐蒲豐皮爾遜皮爾遜皮

23、爾遜皮爾遜次數(shù)次數(shù)正面的次數(shù)正面的次數(shù)正面的頻率正面的頻率404020480.50691200060190.501624000120120.5005 非負(fù)性：對(duì)于每一個(gè)事件非負(fù)性：對(duì)于每一個(gè)事件 A，有，有P A0 可列可加性：設(shè)可列可加性：設(shè)12,AA 兩兩互不相容兩兩互不相容(,)ijij A A 則則1212P AAP AP A 則稱則稱P A為為事件事件 A 的概率的概率。概率概率三公三公理理2. 概率的定義概率的定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為的樣本空間為，對(duì)于對(duì)于E 中的每一個(gè)事中的每一個(gè)事件件A 賦予一個(gè)實(shí)數(shù)賦予一個(gè)實(shí)數(shù) P(A)，如果滿足以下三個(gè)公理，如果滿足以下三個(gè)公理

24、: 歸一性：歸一性： 1 P3. 概率的概率的 性質(zhì)性質(zhì)010P 02有限可加性有限可加性1212kkP AAAP AP AP A 其中其中12,kAAA兩兩互不相容。兩兩互不相容。故由可列可加性故由可列可加性PPP 又因?yàn)橛忠驗(yàn)镻 0，所以，所以0P 證明證明 取取，則，則12AA ,1,2iAi 03如果如果AB則則P AP BP BAP BP A05 APAPA1,04，0P A1AP ABP AP BP AB06(加法公式加法公式)推廣推廣：123123P AAAP AP AP A122313123P A AP A AP A AP A A A11P12nP AAA111niijijki

25、ijnijknP AP A AP A A A 1121nnP A AA 解解)(CBAP)()()(CPBPAP)()()(BCPACPABP)(ABCPABABC ()()P ABCP AB00)(ABCP)(CBAP125. 075. 0625. 0例例1 已知已知,25. 0)()()(CPBPAP125. 0)(ACP,0)()(BCPABP求求 A,B,C 中至少有一個(gè)發(fā)生中至少有一個(gè)發(fā)生的概率。的概率。例例2 證明證明1P ABP A BP AP B證證P ABP A B1P AP BP AB1P AP B例例30.6,0.3P ABP B，求，求P AB解解ABABBBABP A

26、BP ABP B0.3ASBP AB1P AB例例4 (天氣問題天氣問題) 某人外出旅游兩天，據(jù)天氣預(yù)報(bào)知：某人外出旅游兩天，據(jù)天氣預(yù)報(bào)知：第一天下雨的概率為第一天下雨的概率為0.6，第二天下雨的概率為，第二天下雨的概率為0.3，兩天都下雨的概率為兩天都下雨的概率為0.1試求下列事件的概率：試求下列事件的概率：(2) 第一天不下雨，第二天下雨第一天不下雨，第二天下雨;(4) 兩天都不下雨兩天都不下雨;(1) 第一天下雨，第二天不下雨第一天下雨，第二天不下雨;(3) 至少有一天下雨至少有一天下雨;(5) 至少有一天不下雨至少有一天不下雨解：設(shè)解：設(shè)A、B分別表示第一、二天下雨分別表示第一、二天下

27、雨則則0.6,0.3,0.1P AP BP AB(1)0.5P ABP AABP AP AB(2)0.2P ABP BAP BP AB(3)0.8P ABP AP BP AB(4)10.2P A BP AB(5)10.9P ABP AB例例5 (訂報(bào)問題訂報(bào)問題) 在某城市中，共發(fā)行三種報(bào)紙?jiān)谀吵鞘兄校舶l(fā)行三種報(bào)紙A，B，C，訂購，訂購A，B，C的用戶占用分別為的用戶占用分別為45%，35%，30%，同時(shí)訂購?fù)瑫r(shí)訂購A，B的占的占10%，同時(shí)訂購，同時(shí)訂購A，C的占的占8%，同，同時(shí)訂購時(shí)訂購B，C的占的占5%，同時(shí)訂購，同時(shí)訂購A，B，C的占的占3%，試，試求下列事件的概率：求下列事件的概

28、率：(1) 只訂購只訂購A(2) 只訂購只訂購A，B(3) 只訂購一種報(bào)紙只訂購一種報(bào)紙(4) 只訂購兩種報(bào)紙只訂購兩種報(bào)紙(5) 至少訂購一種報(bào)紙至少訂購一種報(bào)紙(6) 不訂購任何報(bào)紙不訂購任何報(bào)紙)(CBAP)(CABP)(CBAP)(CBAP()P ABCABCABC()P ABCABCABC0.30.230.20.73解解 設(shè)設(shè)A，B，C分別表示分別表示“用戶訂購用戶訂購A，B，C 報(bào)紙報(bào)紙”0.45,0.35,0.3,0.1P AP BP CP AB0.08,0.05,0.03P ACP BCP ABC(1)P AB CP AP ABP ACP ABC0.3()P ABC(2)(3)

29、P AB CABCA BCP AB CP ABCP A BC兩兩互不相容的兩兩互不相容的0.07P ABP ABCP AP A BCP A BC10.90.1(4)P ABCABCABCP ABCP ABCP ABC0.070.020.050.14兩兩互不相容兩兩互不相容(5)P ABCP ACP BCP ABC0.9P A B C(6)P AP BP CP ABP ABC1P ABC1. 設(shè)設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)=1/4，P(B)=1/2，就下列三種情況，分別求概率就下列三種情況，分別求概率思考題思考題2. 設(shè)設(shè)A,B,C為三個(gè)隨機(jī)事件，且為三個(gè)隨機(jī)事件，且P(

30、A)=P(B)=1/4， P(C) =1/8,P(AB)=0, P(AC)= P(AC)=1/8,求求A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。至少有一個(gè)發(fā)生的概率。 . 91 3 ; 2 ; 1ABPBABA互斥與 BAP例例30.5,0.2P AP AB，求P ABSAB解解P AB0.50.20.3P AB0.7P AABP AP AB1P AB例例4 設(shè)設(shè) ，問什么條件下，問什么條件下， P(AB)取得最大值和最小值？取得最大值和最小值？()0.6,()0.7P AP B作作 業(yè)業(yè) P9： 1，4P26: 3第三節(jié)第三節(jié) 等可能概型等可能概型 第一章 1. 等可能概型的定義等可能概型的定義2.

31、計(jì)算公式計(jì)算公式3. 計(jì)算方法計(jì)算方法4. 幾何概率幾何概率設(shè)設(shè)是是隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn) E 的樣本空間，如果的樣本空間，如果 滿足以下兩滿足以下兩個(gè)條件：個(gè)條件：（1）有限性）有限性 試驗(yàn)的樣本空間中的元素只有有限個(gè)；試驗(yàn)的樣本空間中的元素只有有限個(gè)；（2）等可能性）等可能性 每個(gè)基本事件的發(fā)生的可能性相同。每個(gè)基本事件的發(fā)生的可能性相同。例如：例如：E1：拋硬幣：拋硬幣,觀察哪面朝上，觀察哪面朝上，= =H,T則稱隨機(jī)試驗(yàn)則稱隨機(jī)試驗(yàn)E為為等可能概型等可能概型或或古典概型古典概型。E2：投一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)：投一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)1. 等可能概型的定義等可能概型的定義= =1，2，3

32、，4，5，62. 計(jì)算公式計(jì)算公式AkP An事件事件含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)樣本空間含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)樣本空間含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)12,kiiiAeee若事件若事件A包含包含k個(gè)基本事件，即個(gè)基本事件，即 12kiiieee其中其中(1, 2,ki ii表示表示1,2,n中的中的k個(gè)不同的數(shù)個(gè)不同的數(shù)) 12nPePePe121() .nPPeee 21nePePePienP12,ne ee 1,1,2,iPeinn證證3.方法：方法：01構(gòu)造構(gòu)造A和和的樣本點(diǎn)的樣本點(diǎn)(當(dāng)樣本空間當(dāng)樣本空間的元素的元素較少時(shí)，先一一列出較少時(shí)，先一一列出和和A中的元素，直中的元素，直接利用接利用kP An

33、求解求解)02用排列組合方法求用排列組合方法求A和和的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，再的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，再利用公式求解利用公式求解kP An預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí). 加法原理加法原理：完成一項(xiàng)工作：完成一項(xiàng)工作m種方式，第種方式，第i種方式有種方式有in種方法，種方法，(i=1,2, m)，且完成該項(xiàng)工作只需選，且完成該項(xiàng)工作只需選擇這擇這m種方式中的一種，則完成這項(xiàng)工作一共有種方式中的一種，則完成這項(xiàng)工作一共有12mnnn 種方法。種方法。.乘法原理乘法原理：完成一項(xiàng)工作有：完成一項(xiàng)工作有m個(gè)步驟，第個(gè)步驟，第i步有步有in(1,2,)in，且完成該項(xiàng)工作必須依次通過，且完成該項(xiàng)工作必須依次通過這這m個(gè)步驟，則完成該項(xiàng)

34、工作一共有個(gè)步驟，則完成該項(xiàng)工作一共有12mn nn種方法。種方法。種方法種方法.排列排列：從從n個(gè)元素中取出個(gè)元素中取出r個(gè)元素，按一定順序排成一列，個(gè)元素，按一定順序排成一列，稱為從稱為從n個(gè)元素里每次取個(gè)元素里每次取r個(gè)元素的個(gè)元素的排列排列。(n，r均為均為整數(shù)整數(shù))(無放回選取無放回選取)對(duì)于無重復(fù)排列對(duì)于無重復(fù)排列(這這n個(gè)元素全不相同個(gè)元素全不相同時(shí)，上述排列即是時(shí)，上述排列即是)，當(dāng)，當(dāng)rr)個(gè)盒子中，個(gè)盒子中，設(shè)各個(gè)球放入每個(gè)盒子是等可能的，記設(shè)各個(gè)球放入每個(gè)盒子是等可能的，記:A: 指定的指定的r個(gè)盒子，每個(gè)盒子各有個(gè)盒子，每個(gè)盒子各有1個(gè)球。個(gè)球。B: 恰有恰有r個(gè)不同的

35、盒子，每個(gè)盒子各有個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子各有1個(gè)球。個(gè)球。C: 在某一個(gè)指定的盒子中有在某一個(gè)指定的盒子中有k(kr)個(gè)球。個(gè)球。求事件求事件A，B，C的概率。的概率。解解:rSn:!rrAPr:!rrrnrnBC PCr!rrP An!rnrCrP Bn()(1)/krkrrP CCnn36511365nnPP BP A例例7(生日問題生日問題) 設(shè)每個(gè)人的生日在一年設(shè)每個(gè)人的生日在一年365天中的任一天中的任一天是等可能的，即都等于天是等可能的，即都等于1365，那么隨機(jī)選取，那么隨機(jī)選取n(365)人，人，(1) 他們的生日各不相同的概率為多少？他們的生日各不相同的概率為多少？(2) n個(gè)人中至少有兩個(gè)人生日相同的概率為多少？個(gè)人中至少有兩個(gè)人生日相同的概率為多少？解解 (1) 設(shè)設(shè) A= “n個(gè)人的生日各不相同個(gè)人的生日各不相同”365365nnPP A (2) 設(shè)設(shè) B = “n個(gè)人