1、工程測試技術工程測試技術郭世偉郭世偉第二章第二章 信號及其描述信號及其描述一、信號的描述與分類一、信號的描述與分類 信號與信息間的關系信號與信息間的關系 信號可為時間、空間、頻率等自變量的函數，本課程中信號可為時間、空間、頻率等自變量的函數，本課程中“信號信號”與與“函數函數”不加區分。不加區分。 本課程主要研究一維時間動態信號。本課程主要研究一維時間動態信號。 從不同角度觀察信號，可有不同的分類方法：從不同角度觀察信號，可有不同的分類方法： 1 從信號變化規律上分從信號變化規律上分 -確定性信號與非確定性信號；確定性信號與非確定性信號；2 從分析域上分從分析域上分-時域與頻域；時域與頻域；

2、3 從連續性上分從連續性上分-連續時間信號與離散時間信號；連續時間信號與離散時間信號；確定性信號與非確定性信號確定性信號與非確定性信號 可以用明確數學關系式描述的信號稱為確定性信號。不能可以用明確數學關系式描述的信號稱為確定性信號。不能用數學關系式描述的信號稱為非確定性信號。用數學關系式描述的信號稱為非確定性信號。此時信號的分類主要依據信號時域波形變化特征劃分。此時信號的分類主要依據信號時域波形變化特征劃分。信號波形：信號波形：用被測物理量的強度作為縱坐標，用時間做橫坐用被測物理量的強度作為縱坐標，用時間做橫坐標，記錄被測信號幅度隨時間的變化歷程稱為信號的波形。標，記錄被測信號幅度隨時間的變化

3、歷程稱為信號的波形。周期信號：經過一定時間可以重復出現的信號周期信號：經過一定時間可以重復出現的信號 x ( t ) = x ( t + nT )簡單周期信號簡單周期信號復雜周期信號復雜周期信號 例如，下面是一個例如，下面是一個50Hz正弦波信號正弦波信號10sin(2*50*t)的波形，信的波形，信號周期為號周期為1/50=0.02秒。秒。 機械系統中，回轉體不平衡引起的振動，往往也是一種周期機械系統中，回轉體不平衡引起的振動，往往也是一種周期性運動。例如，下圖是某鋼廠減速機上測得的振動信號波形性運動。例如，下圖是某鋼廠減速機上測得的振動信號波形(測點測點3)，可以近似地看作為周期信號。，可

4、以近似地看作為周期信號。 某鋼廠某鋼廠減速機減速機振動測振動測點布置點布置圖圖 某鋼廠減某鋼廠減速機測點速機測點3振動信振動信號波形號波形 復雜周期信號復雜周期信號b) 非周期信號：在不會重復出現的信號。非周期信號：在不會重復出現的信號。 例如，錘子的敲擊力、承載纜繩斷裂時的應力變化、熱電例如，錘子的敲擊力、承載纜繩斷裂時的應力變化、熱電偶插入加熱爐中溫度的變化過程等，這些信號都屬于瞬變非周偶插入加熱爐中溫度的變化過程等，這些信號都屬于瞬變非周期信號，并且可用數學關系式描述。例如，下圖是單自由度振期信號，并且可用數學關系式描述。例如，下圖是單自由度振動模型在脈沖力作用下的響應動模型在脈沖力作用

5、下的響應,為衰減振蕩形式。為衰減振蕩形式。 瞬態信號瞬態信號:持續時間有限的信號持續時間有限的信號準周期信號準周期信號準周期信號是非周期信號的特例，處于周期與非周期的邊準周期信號是非周期信號的特例，處于周期與非周期的邊緣情況，是由有限個周期信號合成的，但各周期信號的頻率相緣情況，是由有限個周期信號合成的，但各周期信號的頻率相互間不是公倍數關系，其合成信號不滿足周期條件。互間不是公倍數關系，其合成信號不滿足周期條件。例如例如 是兩個正弦信號的合成，其頻率比不是有理數，不成諧波關系。是兩個正弦信號的合成，其頻率比不是有理數，不成諧波關系。下面是其信號波形下面是其信號波形 這種信號往往出現于通信、振

6、動系統，應用于機械轉子振動這種信號往往出現于通信、振動系統，應用于機械轉子振動分析、齒輪噪聲分析、語音分析等場合。分析、齒輪噪聲分析、語音分析等場合。 c) 信號分析中常用的函數信號分析中常用的函數常用的函數即典型時域信號，有以下幾種常用的函數即典型時域信號，有以下幾種 (1) 正弦信號、余弦信號正弦信號、余弦信號)sin()(tAtx正弦函數三要素：正弦函數三要素：A、（2） 函數函數: 是一個理想函數，是物理不可實現信號。是一個理想函數，是物理不可實現信號。0, 00,)(ttt1)( dtt等價：等價：tS(t)tS(t)tS(t)()(lim0tSt 1/ （3）sinc 函數函數)(

7、 ,sin,sin)(sinttttttc或波形波形性質：性質：偶函數；偶函數；閘門閘門(或抽樣或抽樣)函數；函數；濾波函數；濾波函數；內插函數。內插函數。圖示：圖示：j頻率頻率放大放大（4） 指數函數指數函數先分別說明實指數、虛指數函數意義，再討論復指數先分別說明實指數、虛指數函數意義，再討論復指數sttj teeejs;tcossinttetet j00(實部，或虛部)為幅值呈指數規律變化的正弦信號。（5）其他信號）其他信號階躍信號階躍信號斜坡信號斜坡信號矩形窗函數矩形窗函數脈沖序列脈沖序列矩形波、三角波矩形波、三角波d)非確定性信號：不能用數學式描述，其幅值、相位變化不非確定性信號：不能

8、用數學式描述，其幅值、相位變化不可預知，所描述物理現象是一種隨機過程。可預知，所描述物理現象是一種隨機過程。 例如，汽車奔馳時所產生的振動、飛機在大氣流中的例如，汽車奔馳時所產生的振動、飛機在大氣流中的浮動、樹葉隨風飄蕩、環境噪聲等。下圖為加工過程中螺浮動、樹葉隨風飄蕩、環境噪聲等。下圖為加工過程中螺紋車床主軸受環境影響的振動信號波形紋車床主軸受環境影響的振動信號波形 。 噪聲信號噪聲信號(平穩平穩)噪聲信號噪聲信號(非平穩非平穩)統計特性變異統計特性變異需要指出的是，實際物理過程往往是很復雜的，既無理想需要指出的是，實際物理過程往往是很復雜的，既無理想的確定性，也無理想的非確定性，而是相互參

9、雜的。的確定性，也無理想的非確定性，而是相互參雜的。 隨機信號又有平穩和非平穩隨機信號之分：隨機信號又有平穩和非平穩隨機信號之分：二、周期信號的頻譜分析 信號頻域分析是采用傅立葉變換將時域信號信號頻域分析是采用傅立葉變換將時域信號x(t)變換為頻變換為頻域信號域信號X(f)，從而幫助人們從另一個角度來了解信號的特征。，從而幫助人們從另一個角度來了解信號的特征。 時域分析只能反映信號的幅值隨時間的變化情況，除單頻時域分析只能反映信號的幅值隨時間的變化情況，除單頻率分量的簡諧波外，很難明確揭示信號的頻率組成和各頻率分率分量的簡諧波外，很難明確揭示信號的頻率組成和各頻率分量大小。量大小。 圖例：受噪

10、聲干擾的多頻率成分信號圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號 機械振源的譜分析機械振源的譜分析 任何周期函數任何周期函數在滿足狄利克利在滿足狄利克利(Dirichlet)條件下條件下，都可以展，都可以展開成正交函數線性組合的無窮級數，如開成正交函數線性組合的無窮級數，如正交函數集是正交函數集是三角函數集三角函數集 時，可展開成傅里葉級數。時，可展開成傅里葉級數。sin,cos00tntn傅里葉級數的表達形式：傅里葉級數的表達形式：1000100)cos()()sincos()(nnnnnntnAatxtnbtnaatx,.)3 , , 2 , 1( n（一）傅立葉級數（一）傅立葉級數注意：以后均以該

11、形式作為標準形式注意：以后均以該形式作為標準形式式中式中:);(;sin)(;cos)(;)(222/2/022/2/022/2/10nnabnnnnTTTnTTTnTTTarctgbaAtdtntxbtdtntxadttxaT周期，周期，T=2/0；0基波圓頻率；基波圓頻率；f0=0 /2a0為直流分量；為直流分量；an為余弦分量幅值；為余弦分量幅值；bn 為正弦分量幅值；為正弦分量幅值；基頻基頻n次諧波次諧波頻譜分為幅值頻譜和相位頻譜。頻譜分為幅值頻譜和相位頻譜。 An和n一般總取正，cos( )中也用正號，則“負”都體現在初相上了。而需要滿足： -時間幅值頻率時域分析頻域分析信號的頻譜信

12、號的頻譜X(f)代表代表了信號在不同頻率分了信號在不同頻率分量處信號成分的大小，量處信號成分的大小，它能夠提供比時域信它能夠提供比時域信號波形更直觀，豐富號波形更直觀，豐富的信息。的信息。 時域分析與頻域分析的關系時域分析與頻域分析的關系例例1：方波信號的頻譜展開：方波信號的頻譜展開頻譜圖頻譜圖 工程上習慣將計算結果用圖形方式表示：工程上習慣將計算結果用圖形方式表示：以以fn為橫坐標，為橫坐標，bn 、an為縱坐標畫圖，稱為實頻虛頻譜圖；為縱坐標畫圖，稱為實頻虛頻譜圖；以以fn為橫坐標，為橫坐標， An、 為縱坐標畫圖，則稱為幅值相位譜；為縱坐標畫圖，則稱為幅值相位譜；以以fn為橫坐標，為橫坐

13、標， An2 為縱坐標畫圖，則稱為功率譜。為縱坐標畫圖，則稱為功率譜。 注意：頻率單位可用注意：頻率單位可用rad/s或或Hz，相位單位可為，相位單位可為rad或角度值或角度值on周期方波的頻周期方波的頻譜描述譜描述001( )sin()nnnx taAnt這里相位為零，是因表達為下列三角函數形式了：圖示：圖示：相頻譜常因約定相頻譜常因約定形式的不同而不形式的不同而不同。如取另一種同。如取另一種約定形式時為：約定形式時為：001( )cos()nnnx taAnt為 形式時001( )cos(-)nnnx taAnt 頻譜是構成信號的各頻率分量的集合，它完整地表示了頻譜是構成信號的各頻率分量的

14、集合，它完整地表示了信號的頻率結構，即信號由哪些諧波組成，各諧波分量的幅信號的頻率結構，即信號由哪些諧波組成，各諧波分量的幅值大小及初始相位，從而揭示了信號的頻率信息。值大小及初始相位，從而揭示了信號的頻率信息。 對周期信號來說，信號的譜線只會出現在對周期信號來說，信號的譜線只會出現在0,f1,f2,fn等等離散頻率點上，這種頻譜稱為離散譜。離散頻率點上，這種頻譜稱為離散譜。 （1）周期信號頻譜特點：離散性、諧波性、收斂性）周期信號頻譜特點：離散性、諧波性、收斂性（2）頻譜分析的工程意義）頻譜分析的工程意義（3）付氏分析的局限性）付氏分析的局限性（1） ， 的頻譜特征的頻譜特征（2）例，求以下

15、周期信號的頻譜圖（按約定形式展開）例，求以下周期信號的頻譜圖（按約定形式展開）( )105sin(210 )3cos(2204/3)x ttt0.3cos(240 )0.1s(250/4)tint0sintsinsin2tt求求思考：思考：注意：所取標準形式，幅值正負，頻率正負等問題注意：所取標準形式，幅值正負，頻率正負等問題典型周期信典型周期信號的傅立葉號的傅立葉級數展開級數展開周期函數的周期函數的奇、偶情況奇、偶情況（二）周期信號的復指數函數表示（二）周期信號的復指數函數表示歐拉公式歐拉公式則有則有cossinjxexjx)(21costjtjeet)(2sintjtjeejt)sinco

16、s()(0100tnbtnaatxnnn把它代入下式：把它代入下式：得到傅里葉級數的復數表達形式：得到傅里葉級數的復數表達形式： x tC ennjntn( ),(,.) 001 2)(21),(21,00nnnnnnjbaCjbaCaCdtetxTCTTtjnn2/2/0000)(1一般為復數復數可表示成實部和虛部的形式，也可表示成模和相角的形式：復數可表示成實部和虛部的形式，也可表示成模和相角的形式：nj CnnRnInCCjCC e22221122nnRnInnnCCCabAarctanarctannInnnnRnCbCCa幅值幅值相位相位 其中其中An、n分別為約定的（三角函數形式）傅

17、立葉分別為約定的（三角函數形式）傅立葉級數標準形式中的幅值、相位。級數標準形式中的幅值、相位。 由此可看出兩種傅立葉級數參數間的聯系。由此可看出兩種傅立葉級數參數間的聯系。 以以 繪出的曲線稱為幅值譜繪出的曲線稱為幅值譜 以以 繪出的曲線稱為相位譜繪出的曲線稱為相位譜包含了信號包含了信號x(t)的幅值信息和相位信息的幅值信息和相位信息nnCnnnCn 傅立葉級數的三角函數展開式為單邊譜，傅立葉級數的傅立葉級數的三角函數展開式為單邊譜，傅立葉級數的復指數展開式為雙邊譜。復指數展開式為雙邊譜。（后者的表達形式比較（后者的表達形式比較“穩定穩定”） 兩者均為離散譜，分布規律一致。兩者均為離散譜，分布

18、規律一致。 雙邊譜的幅值（和實部）為偶函數，相位（和虛部）為雙邊譜的幅值（和實部）為偶函數，相位（和虛部）為奇函數。奇函數。 引入負頻率的概念意義引入負頻率的概念意義舉例：舉例：余弦、余弦、正弦正弦信號信號的頻的頻譜譜（三）周期信號的強度表示（三）周期信號的強度表示1、峰值與峰、峰值與峰-峰值峰值2、均值與絕對均值、均值與絕對均值3、有效值，即均方根值、有效值，即均方根值4、平均功率、平均功率三、非周期信號的頻譜分析三、非周期信號的頻譜分析 準周期信號的頻譜也是離散的，與周期信號的頻譜無本質準周期信號的頻譜也是離散的，與周期信號的頻譜無本質區別，只是各離散頻率不成整倍數關系。區別，只是各離散頻

19、率不成整倍數關系。 通常所說的非周期信號指的是瞬態信號。通常所說的非周期信號指的是瞬態信號。（一）傅立葉變換（一）傅立葉變換 非周期信號的傅立葉變換可以從周期信號的傅立葉級數分非周期信號的傅立葉變換可以從周期信號的傅立葉級數分析引申開來。析引申開來。周期信號可認為是非周期信號的周期延拓；而非周期信號為周周期信號可認為是非周期信號的周期延拓；而非周期信號為周期信號的周期期信號的周期 ，則，則T lim( )( )TTxtx t000221( )( )TjntjntjntTnTnnx tC ex t eeT000,11,22nTdndT 則取：則取：( )( )j tXx t edt1( )( )

20、2j tx tXed2( )( )jftX fx t edt2( )( )jftx tX f edf此即傅立葉變換對此即傅立葉變換對取取f(Hz)為自為自變量時變量時,為為)()(fXtxFTIFT傅立葉變換的條件傅立葉變換的條件狄利克利狄利克利(Dirichlet)、絕對可積。、絕對可積。 與周期信號相似，非周期信號也可以分解為許多不同頻率與周期信號相似，非周期信號也可以分解為許多不同頻率分量的諧波和。所不同的是：分量的諧波和。所不同的是：（1）由于非周期信號的周期）由于非周期信號的周期 ，基頻，基頻 ，它包含，它包含了從零到無窮大的所有頻率分量了從零到無窮大的所有頻率分量,使非周期信號的頻

21、譜為連續使非周期信號的頻譜為連續譜譜 ；（2）非周期信號的幅值頻譜的量綱）非周期信號的幅值頻譜的量綱單位頻寬上的幅值，單位頻寬上的幅值，故稱頻譜密度函數。因為各頻率分量的幅值故稱頻譜密度函數。因為各頻率分量的幅值X()d/(2)為無窮為無窮小量，不能表示頻譜，而必須用幅值密度函數小量，不能表示頻譜，而必須用幅值密度函數X()描述。描述。 非周期信號非周期信號x(t)的傅里葉變換的傅里葉變換X(f)是復數，所以有是復數，所以有 式中式中|X(f)|信號在頻率信號在頻率f處的幅值譜密度；處的幅值譜密度； 信號在頻率信號在頻率f處的相位。處的相位。 工程上習慣將計算結果用圖形方式表示：工程上習慣將計

22、算結果用圖形方式表示：以以f為橫坐標，為橫坐標，ReX(f)、ImX(f)為縱坐標畫圖，繪出的曲線為縱坐標畫圖，繪出的曲線圖稱為實頻、虛頻密度譜圖（實頻圖，虛頻圖）；圖稱為實頻、虛頻密度譜圖（實頻圖，虛頻圖）；以以f為橫坐標，為橫坐標，|X(f)|、 為縱坐標畫圖，繪出的曲線圖稱為為縱坐標畫圖，繪出的曲線圖稱為幅值、相位密度譜（幅頻圖，相頻圖）；幅值、相位密度譜（幅頻圖，相頻圖）；以以f為橫坐標，為橫坐標，|X(f)|2為縱坐標畫圖，繪出的曲線圖稱為功率密為縱坐標畫圖，繪出的曲線圖稱為功率密度譜。度譜。頻譜分析的應用：頻譜分析主要用于識別信號中的周期分量，頻譜分析的應用：頻譜分析主要用于識別信

23、號中的周期分量，是信號分析中最常用的一種手段。例如，在機床齒輪箱故障診斷中，是信號分析中最常用的一種手段。例如，在機床齒輪箱故障診斷中，可以通過測量齒輪箱上的振動信號，進行頻譜分析，確定最大頻率可以通過測量齒輪箱上的振動信號，進行頻譜分析，確定最大頻率分量，然后根據機床轉速和傳動鏈，找出故障齒輪。再例如，在螺分量，然后根據機床轉速和傳動鏈，找出故障齒輪。再例如，在螺旋漿設計中，可以通過頻譜分析確定螺旋槳的固有頻率和臨界轉速，旋漿設計中，可以通過頻譜分析確定螺旋槳的固有頻率和臨界轉速，確定螺旋槳轉速工作范圍。在生活中也有許多應用頻譜分析的場合，確定螺旋槳轉速工作范圍。在生活中也有許多應用頻譜分析

24、的場合，例如可以用頻譜分析儀來對電子琴校音，看各琴鍵產生的音的頻率例如可以用頻譜分析儀來對電子琴校音，看各琴鍵產生的音的頻率是不是準確。是不是準確。 時間幅值頻率時域分析頻域分析對于非周期信號對于非周期信號想象中，頻率連續，幅值則為頻譜密度想象中，頻率連續，幅值則為頻譜密度例：求矩形窗函數的頻譜例：求矩形窗函數的頻譜1( )0w t2Tt 2Tt 其付氏變換為其付氏變換為sin()( )sin ()fTW fTTcfTfT其頻譜也可其頻譜也可表示為：表示為：sinc()函數性質：函數性質：偶函數；偶函數；閘門閘門(或抽樣或抽樣)函數；函數；內插函數。內插函數。 （二）傅立葉變換的性質（二）傅立

25、葉變換的性質（以下頻譜自變量均取以下頻譜自變量均取 f ）1、奇偶虛實性、奇偶虛實性如時域實函數的幅頻特性為偶函數，相頻為奇函數。如時域實函數的幅頻特性為偶函數，相頻為奇函數。2、線性迭加性、線性迭加性3、對稱性質、對稱性質 4、時移性質、時移性質( )( ), ( )( )x tX fy tY f( )( )( )( )ax tby taX fbY f( )()X txf020()( )jftx ttX f e( )( ),x tX f（以（以 f 為頻率自變量時）為頻率自變量時）矩形窗函數時、頻域的對稱性矩形窗函數時、頻域的對稱性5、頻移性質、頻移性質6、時間尺度改變性質、時間尺度改變性質7、卷積定理、卷積定理8、微分、積分性質、微分、積分性質020( )()jf tx t eX ffm1()(),(0)fx ktXkkk( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )x ty tX f Y fx t