1、大多數飛行器都是在高Re數下飛行，概況的流態是湍流。為了準確地確定湍流流態下的摩阻、熱流，湍流成為一個重要而困難的研究課題。之南宮幫珍創作創作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日（一）DNS目前處理湍流數值計算問題有三種方法，第一種方法即所謂直接數值模擬方法（DNS方法），直接求解湍流運動的N-S方程，得到湍流的瞬時流場，即各種尺度的隨機運動，可以獲得湍流的全部信息。隨著現代計算機的發展和先進的數值方法的研究，DNS方法已經成為解決湍流的一種實際的方法。但由于計算機條件的約束，目前只能限于一些低Re數的簡單流動，不克不及用于工程應用。目前國際上正在做的湍流直接數值模擬還只限于較低的需諾數（Re200）

2、和非常簡單的流動外形，如平板鴻溝層、完全發展的梢道流，以及后臺階流動等。用直接數值模擬方法處理工程中的復雜流動問題，即使是當前最先進的計算機也還差三個量級。（二）LES另一種方法稱做大渦模擬方法（LES方法）。這是一種折衷的方法，即對湍流脈動部分直接地模擬，將N-S方程在一個小空間域內進行平均（或稱之為濾波），以使從流場中去掉小尺度渦，導出大渦所滿足的方程。小渦對大渦的影響會出現在大渦方程中，再通過建立模型（亞格子尺度模型）來模擬小渦的影響。由創作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日于湍流的大渦結構強烈地依賴于流場的鴻溝形狀和鴻溝條件，難以找出普遍的湍流模型來描述具有分歧的鴻溝特征的大渦結構，宜做直接

3、模擬。相反地，小尺度渦對鴻溝條件不存在直接依賴關系，而且一般具有各向同性性質。所以亞格子模型具有更大的普適性，比較容易構造，這是它比雷諾平均方法要優越的地方。自從1970年Deardorff第一次給出具有工程意義的LES計算以來,LES方法已經成為計算湍流的最強有力的工具之一，應用的方向也在逐步擴展，但是仍然受計算機條件等的限制，使之成為解決大量工程問題的成熟方法仍有很長的路要走。（三）RANS目前能夠用于工程計算的方法就是模式理論。所謂湍流模式理論，就是依據湍流的理論知識、實驗數據或直接數值模擬結果，對Reynolds應力做出各種假設，即假設各種經驗的和半經驗的本構關系，從而使湍流的平均Re

4、ynolds方程封閉。隨著計算流體力學的發展，湍流模式理論也有了很大的進步，有了非常豐碩的成果。從對模式處理的出發點分歧，可以將湍流模式理論分類成兩大類：一類稱為二階矩封閉模式，另一類稱渦粘性封閉模式。（1）雷諾應力模式所謂二階矩封閉模式，是從Reynolds應力滿足的方程出發，將方程右端未知的項（生成項，擴散項，耗散項等）用平均流動的物理量和湍流的特征尺度暗示出來。典型的平均流動的變量是平均速度和平均溫度的空間導數。這種模式理論，由于保存了Reynolds應力所滿足的方程，如果模擬的好，可以較好地反映Reynolds應力隨空間和時間的變更規律，因而可以較好地反映湍流運動規律。因此，二階矩模式

5、是一種較高級的模式，但是，由于保存了Reynolds應力的方程，加上平均運動的方程整個方程組總計15個方程，是一個龐大的方程組，應用這樣一個龐大的方程組來解決實際工程問題，計算量很大，這就極大地限制了二階矩模式在工程問題中的應用。(2)渦粘性模式在工程湍流問題中得到廣泛應用的模式是渦粘性模式。這是由Boussinesq仿照分子粘性的思路提出的，即設Reynolds應力為，2,、2,八UiUjT(Ui,jUj,i-Uk,kij)Tkij()33這里kjUb是湍動能，T稱為渦粘性系數，這是最早提出的基準渦粘性模式，即假設雷諾應力與平均速度應變率成線性關系，當平均速度應變率確定后，六個雷諾應力只需要

6、通過確定一個渦粘性系數t就可完全確定，且渦粘性系數各向同性，可以通過附加的湍流量來模化，比方湍動能k,耗散率，比耗散率以及其它湍流量k/,lk3/2/,q4,根據引入的湍流量的分歧，可以得到分歧的渦粘性模式，比方罕見的k,k-w模式，以及后來不竭得到發展的k,q-w,k-l等模式，渦粘性系數可以分別暗示為,2TCk2/,Tc,Tck,Tcq-,Tckl.為了使控制方程封閉，引入多少個附加的湍流量，就要同時求解多少個附加的微分方程，根據求解的附加的微分方程的數目，一般可將渦粘性模式劃分為三類：零方程模式，半方程模型，一方程模式，兩方程模式。1)零方程模式所謂零方程模式是試圖直接用平均流動物理量模

7、化一而不引入任何湍流量(如k,等)。例如，Prandttl的混合長理論就是l2一種零方程模式：(5.7)式中i稱為混合長在零方程模式的框架下，得到最為廣泛應用的是Baldwin-Lomax模式22。該模式是對湍流鴻溝層的內層和外層采取分歧的混合長假設。這是因為靠近壁面處，湍流脈動受到很大的抑制，含能渦的尺度減小很多，因此長度尺度減小很多；另一方面，在鴻溝層外緣，湍流呈間歇狀，質量、動量和能量的輸運能力大大下降，即湍流的擴散能力減小。這樣，應用混合長理論來確定渦粘性系數在這兩個分歧的區域應該有分歧的形式。Baldwin-Lomax模式的具體數學描述如下。(5.8)(T)innyyc(T)onty

8、yc這里yc是(T)inn(T)ont的離壁面最小距離V值。對于內層，即yyc,有(T)innI'()是渦量，|ijkUk,j,I是長度尺度Iky(1exy(y/A)()其中是Karman常數，A+是模化常數，y是無量綱法向距離:而u是摩擦速度，其含義為此處下標w暗示壁面。(5.11)對于外層，即yyc,有(T)out(FwakeFkieb(y)其中Fmax是下列函數的最大值：而ymax是F(y)達到最大值的位置。Fkieb是所謂的Klebanoff間歇函數：Udf是平均速度分布中最大值和最小值之差。幾個模化常數的值如下：由上述模化關系中可以看出，Reynolds應力完全地由當時當地的

9、平均流參數用代數關系式所決定。平均流場的任何變更立刻為當地的湍流所感知，這標明零方程模式是一個平衡態模式，假定湍流運動永遠處于和平均運動的平衡之中。實際上對大多數湍流運動而言，并不是如此，特別是對平均流空間和時間有劇烈變更的情形，再有因為坐標y顯式地出現在湍流模式中，零Baldwin-Lomax模方程模式不具有張量不變性，當將它應用到復雜幾何外形的流動的數值模擬會帶來困難。當流動發生分離時，式會遇到困難，這是因為在分離點和再附點附近，摩擦速度u為零，此時要引入一些人為的干涉來消除這些困難。計算實踐標明，只要流動是附體的，零方程模式一般都可以較好地確定壓強分布，但是摩阻和傳熱率的估算不敷準確，特

10、別是當流動有分離和再附時。這是因為附體流壓強分布對湍流應力不敏感。總之，對附體流動，如果只關心壓強分布，應用零方程模式通常可以給出滿意的結果，而且模式應用起來十分簡便。但是對于我們計算摩阻的需求，零方程模式是不克不及滿足要求。對于有分離、再附等復雜流動，零方程模式是不適用的。2）半方程模式為了能計算具有較強壓強梯度，特別是較強逆壓梯度的非平衡湍流鴻溝層，Johnson-King于1985年提出了一個非平衡代數模型，該模型仍采取渦粘性假設，把渦粘性的分布與最大剪切應力聯系在一起，內層渦粘性與外層渦粘性分布用一個指數函數作光滑擬合，外層渦粘性系數作為一個自由參數，由描述最大剪切應力沿流向變更的常微

11、分方程來確定，此常微分方程是由湍流動能方程導出的，故此模型又稱為半方程模型。JK模型雖然仍采取渦粘性假設，卻包含有雷諾應力模型的特點。由于求解常微分方程比一方程，二方程模型中求解偏微分方程要簡單，省時的多，故用JK模型的工作量只略高于通常平衡狀態的零方程代數模型的工作量JK模型后又經不竭修正，發展了JK1990A,JK1990J以及JK1992等改進型3)一方程模式Baldwin-Barth(BB)模型是在二方程模型中，將某一導出的應變量作為基本物理量而得到的，應用此一方程模型可防止求解兩方程時會遇到的某些數值困難。BB一方程模型所選擇的導出應變量為“湍流雷諾數"Rt。BB模型對計算

12、網格的要求低，壁面的網格可以與采取BL代數模型的相當，而不象兩方程k-e模型那樣要求壁面網格很細，這樣就防止了在k-e模型中流場求解的剛性問題。Spalart-Allmaras(SA)模型與BB模型分歧，不是直接利用k-e模型兩方程模型加于簡化而得，而是從經驗和量綱分析出發，由針對簡單流動在逐漸彌補發展而適用于帶有層流流動的固壁湍流流動的一方程模型，模型中選用的應變量是與渦粘性T相關的量二除在粘性次層外，與T是相等的。上述兩種一方程模型具有相似的特點，它們不象代數模型那樣需要分為內層模型，外層模型或壁面模型，尾流模型，同時亦不需要沿法向網格尋找最大值，因此易于用到非結構網格中去；但由于在每個時

13、間步長內，需要對整個流場求解一組偏微分方程，故比BL和JK模型更費機時4)兩方程模式2.1 k-兩方程模式2.1.1 尺度k-兩方程模式k-模式是最為人所知和應用最廣泛的兩方程渦粘性模式，為積分到壁面的不成壓縮/可壓縮湍流的兩方程渦粘性模式，各種分歧版本的k-模式罕見于各種文獻中，選擇Jones-Launder模式作為一般性介紹。k-模式最初的發展是為了改善混合長(mixing-length)模式和防止復雜流動中湍流長度尺度(turbulentlengthscale)的代數暗示(algebraicprescription)。它求解兩個湍流標量k和的輸運方程。k方程暗示湍動能輸運方程，方程暗示湍

14、動能的耗散率。該模式對較小壓力梯度(relativelysmallpressuregradients)下的自由剪切流(free-shear-layerflows)具有較好的結果。對于壁面流動(wallboundedflows),在零或者小平均壓力梯度下，模式結果和實驗結果符合得較為一致，但是對大的逆壓梯度(adversepressuregradients),其結果就不太正確了。另外，在壁面附近，該模式需要壁面衰減函數(wall-dampingfunctions)和較好的網格分布。a.模式方程雷諾應力的渦粘性模型為這里t為渦粘性(eddyviscosity),Sj為平均速度應變率張量(mean-

15、velocitystrain-ratetensor),為流體密度，k為湍動能，j為克羅內克算子(Kroneckerdelta)。渦粘性定義為湍動能k和湍流耗散率的函數基于量綱分析，渦粘性由流體密度，湍流速度尺度(turbulentvelocityscale)k2和長度尺度(length-scale)k3'2/來標度，衰減函數f由湍流雷諾數Retk2/來模化。湍流輸運方程可暗示成以下形式湍流能量輸運方程能量耗散輸運方程這里右端項分別暗示生成項(productionterm)耗散項(dissipationterm)和壁面項(wallterm)。b.模式常數和參數模式中各常數的定義為近壁衰減

16、函數Ret上22Us2yfexp(3.4(10.02Ret)2)2、f210.3exp(Ret)壁面項k小k2和小y這里Us為平行于壁面的流動速度。c.鴻溝條件積分到壁面的無滑移鴻溝條件為可實現性k模式上述尺度k模式，對于高平均切變率流動會出現非物理的結果(例如當Sk/3.7時，其中S丫無離)。為了包管模式的可實現性，模式函數C不該該是常數，而應當是平均慶變率的函數。實驗標明，對鴻溝層流動和均勻切變流，C的值是非常分歧的。為此人們根據可實現性對模式的約束條件，建議采取以下形式的C(Reynolds,1987,Shih,1994)1C1-(5.19)*kAoAsU式中而三是在以角速度k旋轉的旋轉

17、坐標系中得到的平均旋轉速率。As,6cos,1cos1晨6w)3SijSjkSkiW3,S/SijSij.(5.20)上述關系式中唯一未確定的系數是A。為簡單起見，可以設其為常數。對鴻溝層流動。可以取Ao=4.0。對其他流動，人的數值可以調節。低Reynolds數k上述幾種k模式適用于高Reynolds數情形。但是對近壁區，湍流需諾數很低，對湍流動力學而言粘性效應非常重要，此時湍流Reynolds數的效應必須加以考慮。我們研究摩阻的計算關注的恰恰是近壁區，因此低Reynolds數k模式的研究是十分重要的。現將有關結果整理如下:低Reynolds數下的渦粘性和k模式方程為式中所有模化常數如下：其

18、中此處f和fl,f2稱為阻尼函數，是一個經驗公式用來反映近壁區低雷諾數效應，系數4和8列表如下:I12345-3-5-7-9-12aiX10X10X10X10X10-3-5-7-9-12aiX10X10X10X10X102.1.4罕見k-兩方程模式在文獻中有許多種k渦粘性模式。為了便于比較，我們將幾種罕見的k模式作一歸類。它們的主要區別一是在k和的方程及其鴻溝條件，另一方面是阻尼函數f的取法。模式代號作者ChChien,1982LBLamandBremhorst,1981NTNaganoandTagawa,1990LSLaunderandSharma,1974MKMyongandKasagi,

19、1988YSYangandShih,1991S&LShihandLumley,1993CMOTTZhuandShih,1995所有上述八種模式都可以用一個統一的方程組暗示:tCfk(5)dkdtxitkkXi/Dtijxj(6)d_dtXitXi入,1Ui八C1f1tijCxj2f2一E(7)啟美的項，D,E,T列表如下：ModelTDEChK2k2y22y-exp(0.5y)LBK00NTk00LSK2y222u2T2yMKk_00YSki02u2T2yS&Lk_022UT2yCMOTTK02u2T2y阻尼函數f,f1和£2對分歧的模式有分歧的暗示式。Modelff

20、1f2Ch1exp(0.115y)LB0.165Rk220.5、(1ek)(1-)RtNT1exp2y1&126Rt3/4dRt11.22exp()363.052、11exp(Rt)fRt21.3exp()6.511exp()26LS3.4exp2(1R/50)2、11.3exp(Rt)MK(11exp(幻)2R21-exp(-)9361y21exp(4)5YSexp(.004y5e63842ey8ey)Rt11.22exp(右)S&Lexp(.004Rk5e63842eRk8eRk)5Rk2CMOTTexp(.004Rk5e3O42e6Rk8e8Rk)5Rk2R11.22ex

21、p(廣)36Rt211.22exp(-)136式中Rk,y和R定義為模式中出現的模化常數分別為ModelCC1C2kCh.09LB.09NT.09LS.09MK.09YS.09S&LCMOTT.09Eq(5.19)對分歧的模式有分歧的處理連界條件的方法:ModelB.C.forkwB.C.forwCh002kLB02y2kNT02yLS002kMK02y一2YSk02y4S&L2U0.25u0.251一4CMOTT0.25u20.2512.2其它雙方程模式渦粘性系數的量綱為速度x長度，當用k,來模化時，它們之間的關系為TCk2/。我們注意到，對尺度k模式的方程，在固壁上有奇點問

22、題（壁面上湍動能k0）,這是因為模式不盡合理帶來的非物理的奇點。此外在計算中由于k,在壁面附近變更劇烈，必須在物面附近將網格劃分得非常小，才干得到合理的結果。為了克服這些困難，人們試圖尋找其它的湍流量來代替k,。可能的選擇有/k,k/,lk3/2/,qn,相應地，渦粘性系數可暗示成：現在就來介紹幾種典型的模式：2.2.1 k-w兩方程模式(Wilcox)k-模式是最為人所知和應用最廣泛的兩方程渦粘性模式，為積分到壁面的不成壓縮/可壓縮湍流的兩方程渦粘性模式，最主要文獻來自Wilcox。求解湍動能k和它的/k,k/,lk3/2/,q瓜(specificdissipationrate)的對流輸運方

23、程已經證明Wilcoxk-模式在粘性子層比k-具有更好的數值穩定性。由于壁面附近，值較大，模式不象k-模式或者其它兩方程模式，它不需要顯式的壁面衰減函數。對于比較緩的逆壓梯度流動，該模式在對數區域給出的結果和實驗數據較為符合。a.模式方程雷諾應力的渦粘性模型為這里t為渦粘性(eddyviscosity),Sj為平均速度應變率張量(mean-velocitystrain-ratetensor),為流體密度，k為湍動能，j為克羅內克算子(Kroneckerdelta)。渦粘性定義為湍動能k和比耗散率的函數k和的輸運方程為b.模式常數和參數模式中各常數的定義為c.鴻溝條件對鴻溝層流動，壁面無滑移鴻溝

24、條件為k0和10一6一2(yi)這里yi為離開壁面第一個點的距離，且y；1。對稱鴻溝條件采取零梯度條件，各種附加的鴻溝條件將在具體流動中討論。2.2.2 SST兩方程模式(Menter)k-SST剪切應力輸運(shear-stress-transport)模式在近壁處采取Wilcoxk-模式，在鴻溝層邊沿boundarylayeredges)和自由剪切層free-shearlayers)采取k-模式k-形式，其間通過一個混合函數blendingfunction來過渡，屬于積分到壁面的不成壓縮/可壓縮湍流的兩方程渦粘性模式。為了有效結合k-和k-模式，統一寫成k-形式a.模式方程渦粘性定義為這里

25、是渦量的絕對值，ai0.31,F2是混合函數。T的形式解決了湍流剪切應力在逆壓梯度鴻溝層的輸運。k和由相應的模式輸運方程得到。湍動能輸運方程湍流比耗散率方程上式中最后一項代表交錯擴散項(cross-diffusionterm)生成項b,模式常數和參數這里CDkmax22,1020XjXj這里CDk代表k-模式中的交叉擴散(cross-diffusion)。SST模式常數由來暗不，用2分別暗示原始k-模式系數和轉化的k-模式系數Fii1這里Innermodel系數:Outermodel系數:2.2.3 k模式方程為DkDtk,iUiUjUi,j,i(5.29)DDt,i2一,i,i,iC1UiUjUi,jC2k(5.30)模化常數為對低雷諾數流動有(5.31)2exp(a1Ra2Ra3R3(5.32)其中模式的框架下,Speziale(1990)33提出了下列的模式:(5.33)DkDt二k,ikuiujUi,j(5.34)DDt,i,