1、利用導數求最值導數是研究數學和其他自然科學的基礎，是研究客觀事物變化率和優化問題的有利工具，研究導數，有利于對數學的本質和價值的認識。導數的工具性已滲透到數學的很多分支在函數的研究中得到充分的體現，主要涉及到研究曲線的切線問題、函數的單調性、函數的極值、最值等。下面就利用導數求最值作一闡述，供參考。一、函數的最大值與最小值在閉區間a,b上連續，在(a,b)內可導，f(x)在a,b上求最大值與最小值的步驟：先求f(x)在(a,b)內的極值；再將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。求可導函數極值的步驟：首先：求導數廣(x)；再求導數廣(x)=0的根

2、；最后：檢查廣(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取極小值。二、利用導數求最值112例1、設x>0，求Inx+二(xI)2+(xI)3的最小值。x23112解：設f(x)=Inx+(x1)2+(x1)3，貝yx23f'(x)=丄一(x1)+2(x1)2=(x1)(x1)+2(x1)2xx2x21r1x2r1+x)一1+2(x1)=(x1)+2(x1)=(x1)2_x2_x2(x2丿=(x1)3匕x2令f(x)=0，由x>0，解得x=1。列表:x(0，1)f'(x)f(x)1(1,+s)0+最

3、小值/由表可知，當x=1時，f(x)有最小值1。評注：利用導數求最值，先確定函數的極值是關鍵，同時，最值通常應在極值及端點處取得。a,b當函數f(x)為連續函數且在上單調時，其最大值、最小值在端點處取得；當連續函數f(x)在(a,b)內只有一個可疑點時，若在這一點處f(x)有極大(小)值，則可以判定f(X)在該點處取得最大(小)值，這里(a,b)也可以是無窮區間。練習1：已知a>,0函數f(X)=(X22ax)ex，當x為何值時，f(x)取得最小值?并證明你的結論；三、利用導數求最值的運用(一) 求函數的值域例2、求函數f(x)=5x+2:x+3.4x的值域.x+3n0解：由仁、八得f(

4、x)的定義域為3<x<4。14x>0因為4廣(x)=(5M+ziw-&口5+臺+4>0，所以歹最小=_15口x=4時'f(x)在3,4故當x=3時，y最疔20+2釣。所以值域為15臣20+歷1評注：求函數的值域轉化為求f(x)在閉區間L3,4上的最大值和最小值的問題，考慮其單調性易求值域，必須注意函數的定義域。練習2：已知x，y為正實數，且滿足關系式x22x+4y2二0，求xy的最大值。(二) 利用最值求參數的值(或范圍)23J6例3、設3<a<1，函數f(x)=x32ax2+b(1<x<1)的最大值為1，最小值為刁-，求a，b的

5、值。解：f'(x)二3x23ax=3x(xa)，當x變化時，f'(x),f(x)變化情況列表如下:x1(1，0)0(0，a)a(a，1)1f'(x)+00+f(x)13人1a+b2/b、a3+b213人1a+b2當x=0時，f(x)取極大值b,而f(0)>f(a)，f(一1)<f，故需比較f(0)與f(1)的大小。3*.*f(0)一f(1)=a一1>0,.°.f(x)最大值為f(0)=b=1。又f(1)一f(a)=2(a33a一2)=2(a+1)2(a一2)<0。f(X)min=f(T)，-3a-1+b二-3a二-竺,222a衛,b31

6、。評注：這是一道求函數的最值的逆向思維問題。本題的關鍵是比較極值和端點處的函數值的大小，列表解題一目了然，從而確定出a,b的值。(三) 利用最值研究恒成立問題例4、設函數f(x)=X3-x2-2x+5,若對于任意xe-1，2都有f(x)<m成立，求實數m的取值范圍。2解：f(x)二3x2-x一2,令f(x)=0,得x=一3或x二1。22.當x<-3或x>1時，f(x)>0,y=f(x)在(8,3)和(1,+8)上為增函數,22在(-3,1)上為減函數，f(x)在x=-3處有極大值，在x二1處有極小值。222極大值為f(-3)=5-7,而f(2)=7,f(x)在-1,2上

7、的最大值為7。若對于任意xe-1,2都有f(x)<m成立，得m的范圍m>7。評注：利用最值可以研究一類恒成立問題，一般地，f(x)三a對xWR恒成立°f(x)的最小值三a成立；f(x)Wa對xWR恒成立°f(x)的最大值Wa成立。2練習2：已知函數/(x)=x3+ax2+bx+c在x=-3與x=1時都取得極值。求a、b的值；若對xe-1,2,f(x)pc2恒成立，求c的取值范圍。四、利用最值證明不等式例5、已知f(x)二ax3+cx+d(a豐0)是R上的奇函數，當x=1時，f(x)取得極值-2。(1)求f(x)的單調區間和極大值；(2)對任意x,xe(-1,1)

8、，求證：不等式12If(x1)f(x2)|<4恒成立。解：(1)Tf(x)是奇函數，xeR，.f(0)=0,.d=0因此f(x)二ax3+cx,f'(x)二3ax2+c由條件f(1)=-2為f(x)的極值，:f(1)=0.a+c-23a+c0解之得：a=1,c=-3貝9f(x)x33x,f'(x)3x23，令f'(x)0，得x±1f(x)的單調減區間是-1,1,f(x)的單調增區間是(-8,-1和1,+8)當x=T時，f(x)有極大值2。(2)證明：由知f(x)在-1,1上是減函數，且f(x)在-1,1上有最大值f(-1)=2,有最小值f(1)=-2對任

9、意X,x2e(-1,1),恒有f(X)-f(x<f(-1)-f(1)|=4評注：本題(2)借助于最值證明不等式，最值的研究利用了導數法，同時對于可導函數，某點為極值點的必要條件是這點的導數為0；某一點是極值點的充分條件是在這點兩側的導數異號。此外，函數的極值點也可能是不可導點。附練習答案：1、解：(1)對函數f(x)求導數，得f(x)=(x22ax)ex+(2x2a)ex=x2+2(1-a)x-2aex。令f(x)=0,得X2+2(1-a)x-2aex=0.從而X2+2(1a)x2a=0。解得x=a1v1+a2x=a1+v1+a212，其中XVx2。當x變化時，f(x),f(x)的變化如

10、下表：(一8,x1)x1(x1,筆)x2(x2,+8)f'(x)f(x)極大值極小值當f(x)在x=x1處取到極大值，在x=x2處取到極小值.當a>0時，XV1,x2>0,f(x)在(X,x2)為減函數，而當x<0時，f(x)=x(x2a)ex>0；當x=0時，f(x)=0.Ix=a1+'x-1+a2時,f(x)取得最小值。所以當解：由題意,2、當0<x<2時,在(x2，+w)為增函數.1.1-xy=xy2x-x2(0<x<2)，設f(x)=x2x-x2(0<x<2)。22f'(x)=x(32x)，令f'(x)=0，得x=3或x=0(舍去)。2p2x-x22X(3)°込V2丿32(2)22y/+0一y,3爲極大值：80當x在(0,2】內變化時，y/,y有如下變化情況:由上表可知，當x