1、2015年湖北省高考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. （5分）（2015湖北）i為虛數單位，i607的共軛復數為（）A. iB.-iC.1D.-12. （5分）（2015湖北）我國古代數學名著九章算術有“米谷粒分"題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為（）A.134石B.169石C.338石D.1365石3. （5分）（2015湖北）已知（1+x）n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，則奇數項的二

2、項式系數和為（）A.212B.211C.210D.294.（5分）（2015湖北）設XN（占，可2）,YN（七，。22），這兩個正態分布密度曲線如圖所示.下列結論中正確的是（）20A.P（丫沖2）nP（Y>1）B.P（X<O2）<P（X<O1）C.對任意正數t，P（X<t）>P（Y<t）D.對任意正數t，P（X>t）>P（Y>t）5.（5分）（2015湖北）設a1，a2,anGR，n>3.若p：a1，a2,an成等比數列；q：（&12+&22+.+&"2）（&22+&32+.+&

3、amp;"2）=（&1&2+&2&3+.+&"2，貝）A. p是q的充分條件，但不是q的必要條件B. p是q的必要條件，但不是q的充分條件C. p是q的充分必要條件D. p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件K>06.（5分）（2015-湖北）已知符號函數sgnx=-1,f(x)是R上的增函數，g(x)x<0=f(x)-f(ax)(a>1),貝9()Asgng(x)=sgnxBsgng(x)=-sgnxCsgng(x)=sgn(fx)Dsgng(x)=-sgnf(x)7.（5分）（2015湖北）在區間0,1上隨機取

4、兩個數x,y,記P1為事件“x+y的概率，P2為事件“lx-ylwg"的概率，P3為事件“xyW*"的概率，則（）A.P1<P2<P3B.P2<P3<P1C.P3<P1<P2D.P3<P2<P18. （5分）（2015湖北）將離心率為e1的雙曲線C1的實半軸長a和虛半軸長b（aHb）同時增加m（m>0）個單位長度，得到離心率為e2的雙曲線。2,則（）A. 對任意的a，b，e1>e2B. 當a>b時，e1>e2；當a<b時，e1<e2C. 對任意的a，b，e1<e2D. 當a>b時

5、，e1<e2；當a<b時，e1>e29. （5分）（2015湖北）已知集合A=（x，y）lx2+y2<1，x，yGZ，B=（x，y）llxl<2,lyl<2,x，yGZ，定義集合AB=（x1+x2,y1+y2）l（x1,y1）GA,（x2,y2）GB，貝VAB中元素的個數為（）A.77B.49C.45D.3010. （5分）（2015湖北）設xGR,x表示不超過x的最大整數.若存在實數t,使得t=1,t2=2,tn=n同時成立，則正整數n的最大值是（）A.3B.4C.5D.6二、填空題：本大題共4小題，考生需作答5小題，每小題5分，共25分.請將答案填在答題

6、卡對應題號的位置上.答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分.11. （5分）（2015湖北）已知向量0£丄握，|0£|=3,則0喪OB=.12. （5分）（2015湖北）函數f（x）=4cos芾cos（弓-x）-2sinx-lln（x+1）l的零點個數為.13. （5分）（2015湖北）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°,則此山的高度CD=m.14. （5分）（2015湖北）如圖，圓C與x軸相切于點T（1,0）,與y

7、軸正半軸交于兩點A,B（B在A的上方），且lABl=2.（1）圓C的標準方程為_；(2)過點A任作一條直線與圓O：x2+y2=l相交于M,N兩點，下列三個結論:;隅冊；其中正確結論的序號是.(寫出所有正確結論的序號)選修4-1：幾何證明選講15.(5分)(2015湖北)如圖，PA是圓的切線，A為切點，PBC是圓的割線，且BC=3PB,選修4-4：坐標系與參數方程16.(2015湖北)在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線1的極坐標方程為p(sine-3cose)=0,曲線C的參數方程為t-(t為參數),tl與C相交于A，B兩點，則IABI=.三、解答題：本大

8、題共6小題，共75分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.7T5兀Asin（x+R）0550(1)請將上表數據補充完整，填寫在相應位置，并直接寫出函數f(x)的解析式;(2)將y=f(x)圖象上所有點向左平行移動e(e>0)個單位長度，得到y=g(x)的圖象.若y=g(x)圖象的一個對稱中心為(千罟，0)，求e的最小值.丄18.(12分)(2015湖北)設等差數列%的公差為d,前n項和為Sn,等比數列bj的公比為q,已知b=a,b?=2,q=d，S0=100.(1) 求數列%,bn的通項公式(2) 當d>1時，記cn=，求數列cn的前n項和Tn.19. （12分）（2015湖北）

9、九章算術中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在陽馬P-ABCD中，側棱PD丄底面ABCD,且PD=CD,過棱PC的中點E,作EF丄PB交PB于點F,連接DE，DF，BD，BE.（1）證明：PB丄平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，說明理由；（2）若面DEF與面ABCD所成二面角的大小炬二求馬的值.F20. （12分）（2015湖北）某廠用鮮牛奶在某臺設備上生產A，B兩種奶制品.生產1噸A產品需鮮牛奶2噸，使用設備1小時，獲利1000元；生產1噸B產品需鮮牛奶1.5噸

10、，使用設備1.5小時，獲利1200元.要求每天B產品的產量不超過A產品產量的2倍，設備每天生產A，B兩種產品時間之和不超過12小時.假定每天可獲取的鮮牛奶數量W（單位：噸）是一個隨機變量，其分布列為W121518P0.30.50.2該廠每天根據獲取的鮮牛奶數量安排生產，使其獲利最大，因此每天的最大獲利Z（單位：元）是一個隨機變量.（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可獲取的鮮牛奶數量相互獨立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率.21.（14分）（2015湖北）一種畫橢圓的工具如圖1所示.O是滑槽AB的中點，短桿ON可繞O轉動，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿

11、滑槽AB滑動，且DN=ON=1，MN=3，當栓子D在滑槽AB內作往復運動時，帶動N繞O轉動，M處的筆尖畫出的橢圓記為C，以O為原點，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標系.（1）求橢圓C的方程；（2）設動直線l與兩定直線l1：x-2y=0和l2：x+2y=0分別交于P，Q兩點.若直線l總與橢圓C有且只有一個公共點，試探究：OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由.22.(14分)(2015湖北)已知數列an的各項均為正數，bn=n(1+三)"an(n®+),e為自然對數的底數.(1) 求函數f(x)=1+x-ex的單調區間，并比較(1

12、二)n與e的大小；nSb-ib?匕山西嘰(2) 計算,，由此推測計算的公式，并給出證明；_00=丄(3)令cn=(a1a2an)匕數列an，cn的前n項和分別記為Sn，Tn,證明:TnVeSn.答案：1、解:i607=i604+3=i3=-i，它的共軛復數為:i.故選：A.2、解：由題意，這批米內夾谷約為1534x“69石，254故選：B.3、解：已知(1+x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等,可得證二C,可得n=3+7=10.(1+x)10的展開式中奇數項的二項式系數和為:訂210=29.故選：D.4、解:正態分布密度曲線圖象關于x=u對稱，所以占<險從圖中容易得到P(X&l

13、t;t)>P5、(Y<t).解：由a1，a2，anGR,n>3.運用柯西不等式，可得：(a2+a22+.+ani2)(a22+a32+.+an2)>(&1&2+&2&3+.+&"卍“)2,口曰pnv-i若a1，a2,，an成等比數列，即有ala2an-1貝則(a2+a22+.+an2)(a22+a32+.+an2)=(&1&2+&2&3+.+%卍“)2，即由p推得q，但由q推不到p,比如a1=a2=a3=.=an=0,則a1，a2，.，an不成等比數列.故p是q的充分不必要條件.6、故選：

14、A.K>0x二0,f(x)是K<01,解：由于本題是選擇題，可以常用特殊法，符號函數sgnx=山-1,R上的增函數，g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),不妨令f(x)=x，a=2，貝9g(x)=f(x)-f(ax)=-x,sgng(x)=-sgnx.所以A不正確，B正確，sgnf(x)=sgnx,C不正確；D正確；對于D,令f(x)=x+1,a=2,則g(x)=f(x)-f(ax)=-x-1,p,K>-1sgnf(x)=sgn(x+1)=：L-1；-1,K<-11sgng(x)=sgn(-x-1)=Q，-sgnf(x)=-sgn(x+1)=K>-1；所

15、以D不正確;K<-1故選：B.7、解：分別作出事件對應的圖象如圖（陰影部分）雙曲線C?：c'2=(a+m)2+(b+m)2,(a+m)2+(b+m)2,e2=a+mh(b+m)2=(b一且)m'+nni，)(a+roa2(a-trn)'二當ab時,eVe2；當aVb時，eQe?,故選：D.9、解：A=(x,y)lx2+y2<1,x,yGZ=(0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(-1，0)，B=(x,y)llxl<2,lyl<2,x,yGZ=(0,0),(0,1),(0,2),(0,-1),(0,-2),(1,0),(1,1),(1,

16、2)(1,-1),(1,-2)(2,0),(2,1),(2,2)(2,-1)(2-2)(-1-2)(-1-1)(-10)(-11)(-12)(-2-2)(-2-1)(-20)(-21)(-22)TAB=(x1+x2,y1+y2)I(x1,y1)GA,(x2,y2)GB, AB=(0,0),(0,1),(0,2),(0,-1),(0,-2),(1,0),(1,1),(1,2)(1-1)(1-2)(20)(21)(22)(2-1)(2-2)(-1-2)(-1-1)(-10)(-11)(-12)(-2-2)(-2-1)(-20)(-21)(-22)(-23)(-2-3)(0-3)(2-3)(-13)

17、(-1-3)(13)(23)(03)(3-1)(30)(31)(32)(3-2)(-32)(-31)(1-3)(-3-1)(-30)(-3-2)共45個元素故選：C.10、解：Tt=1tG12)又Tt2=2,二t2G2,3), tG:,:'!),又t2G2,3),t4G4,9), t4=4 正整數n的最大值411、故選：B.解：由0A丄AB,得d£AB=0,即0A（麗-西）=0,TIO£I=3,二|0衣|2=9-故答案為：9.12、解：函數f(x)的定義域為：xlx>-1.X丁Tf(x)=4coscos(1-x)-2sinx-Iln(x+1)I=2sinx(戈

18、匚£2專1)-Iln(x+1)1=sin2x-Iln(x+1)I分別畫出函數y=sin2x,y=|ln(x+1)|的圖象,由函數的圖象可知交點個數為2.所以函數的零點有2個.故答案為：2.-6-543-2y=sinlxZBCA=45°,AB=600解：設此山高h(m),則BCSh，在厶ABC中，ZBAC=30°,ZCBA=105°,根據正弦定理得sin.：j(Jsmyb解得h=100】6(故答案為：1006.14、解：(1)T圓C與x軸相切于點T(1,0),圓心的橫坐標x=1,取AB的中點E,|ABI=2,IBEI=1,則IBCI=:，即圓的半徑r=IB

19、CI=；2,圓心C(1,)則圓的標準方程為(x-1)2匚5,邁)2=2,故答案為：(x-1)2+(y.：2)2=2.(2)T圓心C(1,'遼)，E(0,',又TIABI=2,且E為AB中點, A(0,，邁-1),B(0,+1),TM、N在圓O:X2+y2=1上,可設M(cosa,sina),N(cosB,sin), INA|=FcmP-0)片雖門卩-邁-1)?=,-'cos2P+sin2P-2(衛一1)sinP+32；'2=4-2_2_2(2_1)sinp=-;2,2，2一1)-2(,2-1)sinP=：2(巨-1)邁-sinp),INBI=',.

20、9;(cosP-0)，+雖口$-辺+1)卩=,-'coP-l-siP-2(芒+1)日inP+3+2；2=-'4+2、空_2(,2+1)sinP=,-'2(,2十1)(,2-sinp)，NB=E(邁-1)亍雖汕)=V2(a/2+1)(-sinWTVV2H，同理可彳喘+=邁訓計，成立雛冷！-（）=2'正確NB1NA+MBV2-1'+（一I）=2.邁，正確.聯立；：/=_4,得%兮即滬土罟二A（孚學，B（哼嚀）'二AB"（邁廠+（3邁）可=2號故答案為：解：由切割線定理可知：PA2=PBPC，又BC=3PB,可得PA=2PB，在厶PAB與厶P

21、AC中，乙P=ZP,乙PAB=ZPCA（同弧上的圓周角與弦切角相等）,可得PAB-PAC,塑二fB=PB=1AC=PA2PB2故答案為：*解：由p（sinB-3cos0）=0,得y-3x=0,-1t由C的參數方程為1（t為參數），兩式平方作差得：x2-y2=-4.v=t+-t故答案為：2'/x+R3712nn20兀解:（1）根據表中已知數據，解得A=5,=2,e=-，數據補全如下表:77T5兀13兀x121261218、Asin(x+R)且函數表達式為f(x)=5sin(2x-(2)由(I)知f(x)=5sin(2x-M),得g(x)=5sin(2x+2e).66因為y=sinx的對稱

22、中心為(kn,0),kGZ.IT>zk兀兀c=kn,解得x=,kGZ.的圖象關于點(岑，0)成中心對稱，令曙,kGZ.由e>o可知，當k=i時，e取得最小值斗.6由于函數y=g(x)7T解：(1)設ai=a，由題意可得10a+45d=100ad=2'解得裁或T=i+32+5-2-2+5+722+7+9+.+(2n-1)一-，23242n_1+7+(2n-3)+(2n-1)丄,23242n_12n11(2132n+3.+i-(2n-1)=3-24211"22112n19、丄T=12n.丄T=2+>+=:23,24tzTn=6-'n解法1)(1)因為PD

23、丄底面ABCD，所以PD丄BC，由底面ABCD為長方形，有BC丄CD,而PDcCD=D,所以BC丄平面ABCD.而DEu平面PDC,所以BC丄DE.又因為PD=CD，點E是PC的中點，所以DE丄PC.而PCnCB=C，所以DE丄平面PBC.而PBu平面PBC,所以PB丄DE.又PB丄EF,DEnFE=E，所以PB丄平面DEF.由DE丄平面PBC,PB丄平面DEF,可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個鱉臑，其四個面的直角分別為/DEB,ZDEF,ZEFB,ZDFB.(2)如圖1，故當面DEF與面ABCD所成二面角的大小DC亞，BC=T在面BPC內，延長BC與FE交于點

24、G,貝9DG是平面DEF與平面ACBD的交線.由（I）知，PB丄平面DEF，所以PB丄DG.又因為PD丄底面ABCD，所以PD丄DG.而PDnPB=P，所以DG丄平面PBD.所以DG丄DF，DG丄DB故/BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，設PD=DC=1，BC=X，有BD=：i+h2，（解法2）（1）以D為原點，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系.設PD=DC=1，BC=X，則D（0，0，0），P（0，0，1），B（入，1，0），C（0，1，0），P3=（入1,-1）,點E是PC的中點，所以E（0，g，吉）DE=（0，g，g），于是E=0，即PB丄

25、DE.又已知EF丄PB,而EDnEF=E，所以PB丄平面DEF.因PC=（0，1，-1），DE-PC=0，則DE丄PC,所以DE丄平面PBC.由DE丄平面PBC，PB丄平面DEF，可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個矩形，其四個面的直角分別為/DEB，ZDEF，ZEFB，ZDFB.（2）由PD丄底面ABCD，所以DP=（0，0，1）是平面ACDB的一個法向量；由（I）知，PB丄平面DEF，所以BP=（-入，-1,1）是平面DEF的一個法向量.若面DEF與面ABCD所成二面角的大小則運用向量的數量積求解得出cos故當面DEF與面ABCD所成二面角的大小bc=t20、(

26、12分)解：(1)設每天A,B兩種產品的生產數量分別為x,y,相應的獲利為z,則有如圖1,目標函數為：z=1000x+1200y.匹旳5心s+1.5y<122x-y>0'心0,yO當W=12時，表示的平面區域如圖1,三個頂點分別為A(0,0),B(2.4,4.8),C(6，0).£將z=1000x+1200y變形為y=-6當x=2.4,y=4.8時，直線1：尸_*+希°在y軸上的截距最大,最大獲利Z=Zmax=2.4x1000+4.8X1200=8160.max當W=15時，表示的平面區域如圖2,三個頂點分別為A(0,0),B(3,6),C域如圖3,四個

27、頂點分別為A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).將z=1000x+1200y變形為:.八1131020010800當x=6,y=4時,直線l：y=-56x+z1200在y軸上的截距最大，最大獲利Z=Zmax=6x1000+4x1200=1080max0.故最大獲利Z的分布列為：Z81600.30.50.2因此E(Z)=8160x0.3+10200x0.5+10800x0.2=9708(2) 由(I)知，一天最大獲利超過10000元的概率P=P(Z>10000)=0.5+0.2=0.7,由二項分布，3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為：P=1-(1-P)3=o.97321、N在x軸上時，等號成立，解：(1)TIOMIWlMNI+INOI=3+1=4，當M,同理IOMI>IMNI-INOI=3-1=2,當D,O重合，即MN丄x軸時，等號成立.橢圓C的中心為原點O,長半軸長為4,短半軸長為2，22其方程為lb4(2)當直線l的斜率k不存在時，直線l為：x=4或x=-4,都有SOPQ冷H舟直線1的斜率k存在時，直線1為：y=kx+m,(k尹土寺),產kx+in卞口消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,x2+4y=16直線l總與橢圓C有且只有一個公共