1、第第3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換 Discrete Fourier TransformDFT3.1 離散傅里葉變換的定義及物理意義離散傅里葉變換的定義及物理意義3.2 離散傅里葉變換的性質離散傅里葉變換的性質3.3 頻率域采樣頻率域采樣3.4 DFT的應用舉例的應用舉例傅里葉變換的離散性和周期性傅里葉變換的離散性和周期性1.連續時間周期信號的傅里葉級數連續時間周期信號的傅里葉級數連續時間、離散頻率連續時間、離散頻率ktjkTTtjkekXtxdtetxTkX1111)()()(1)(12211結論：時域周期結論：時域周期-頻域離散；時域連續頻域離散；時域連續-頻域非周期頻域非周期2.連

2、續時間非周期信號的傅里葉變換連續時間非周期信號的傅里葉變換連續時間、連續頻率連續時間、連續頻率結論：時域非周期結論：時域非周期-頻域連續；時域連續頻域連續；時域連續-頻域非周期頻域非周期dejXtxdtetxjXtjtj)()()()(3. 序列的傅里葉變換序列的傅里葉變換離散時間、連續頻率離散時間、連續頻率結論：時域非周期結論：時域非周期-頻域連續；時域離散頻域連續；時域離散-頻域周期頻域周期deeXnxenxeXnjjnnjj)(21)()()(4. 離散傅里葉變換離散傅里葉變換離散時間、離散頻率離散時間、離散頻率10)2(110)2(1)(1)()()(NknkNjNnnkNjekXNn

3、xenxkX結論：時域周期結論：時域周期-頻域離散；時域離散頻域離散；時域離散-頻域周期頻域周期3.1 離散傅里葉變換的定義及物理意義離散傅里葉變換的定義及物理意義一、離散傅里葉變換一、離散傅里葉變換DFT的定義的定義二、二、DFT與與FT及及ZT的關系的關系三、三、DFT的隱含周期性的隱含周期性四、用四、用MATLAB計算序列的計算序列的DFTnekXNkXnxkenxnxkXNkknNjNnknNj )(1)(IDFS)( )()(DFS)(102102)()()()()()()%()()(nRnxnRnxnxnxNnxrNnxnxNNNNrxn為周期序列的主值序列為周期序列的主值序列)(

4、)()()()()()(kRkXkRkXkXkXkXNNNNXk為周期序列的主值序列為周期序列的主值序列“借用借用” 的主值序列的主值序列X(k)定義定義為為“離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)”。目的。目的是使傅里葉分析可以利用數字計算是使傅里葉分析可以利用數字計算機。機。)(kX一、離散傅里葉變換一、離散傅里葉變換Discrete Fourier TransformDFT)()()()()(kRkXkXkXkXNN10 )(DFT)()()(10102NknxWnxenxkXNnknNNnknNj，kenxnxkXNnknNj )()(DFS)(102nekXNkXnxNkknNj )

5、(1)(IDFS)(10210 )(IDFT)(1)(1)(10102NnkXWkXNekXNnxNkknNNkknNj，) 1() 1 ()0() 1() 1 ()0()1()1(2)1(1)1(0)1()1(1211101)1(0201000NxxxWWWWWWWWWWWWNXXXNNNNNNNNNNNNNNNNNNN) 1() 1 ()0(1) 1() 1 ()0()1()1(2)1(1)1(0)1()1(1211101)1(0201000NXXXWWWWWWWWWWWWNNxxxNNNNNNNNNNNNNNNNNNN10 )(1)(1)(IDFT)(10 )()()(DFT)(1010

6、210102NnWkXNekXNkXnxNkWnxenxnxkXNkknNNkknNjNnknNNnknNj，二、二、DFT與傅里葉變換和與傅里葉變換和z變換的關系變換的關系DFT的物理意義的物理意義1：序列序列xn的的N點點DFT是是xn的的z變換在變換在單位圓單位圓 上的上的N點等間隔采樣。點等間隔采樣。10)()(ZT)(MnnznxnxzX)()()()()(1021021022kXenxenxznxzXMnknNjMnnkNjMneznezkNjkNj1, 1 , 0 )()()(DFT)(102102NkenxenxnxkXMnnkNjMnknNjN，有限長序列有限長序列xn點數為

7、點數為M1, 1 , 0 )()()(DFT102NkkXenxnxMnknNjN，)()()(FT10jMnnjeXenxnx)()()(1022kXenxeXMnknNjjkNDFT的物理意義的物理意義2：Xk為為xn的傅里葉變換在區間的傅里葉變換在區間0, 2 上的上的N點等間隔采樣。點等間隔采樣。二、二、DFT與傅里葉變換和與傅里葉變換和z變換的關系變換的關系)()()()()()(1010)(10kXWnxWnxmNkXWnxkXNnknNNnnmNkNNnknN三、三、DFT的隱含周期性的隱含周期性DFT物理意義物理意義3：有限長序列的有限長序列的N點離散傅里葉變換點離散傅里葉變換

8、X(k)正好是正好是x(n)的的周期延拓序列周期延拓序列x(n)N的離散傅里葉級數系數的主值序列，的離散傅里葉級數系數的主值序列，X(k)實質上實質上是是x(n)的周期延拓序列的周期延拓序列 的頻譜特性。的頻譜特性。Nnxnx)()(【例例3.1.1】xn=R4n，求，求xn的的4點和點和8點點DFT。3 , 2 , 1 00 411)()(223042304kkeeeWnxkXkjkjnknjnknkjkjnknjnkneeeWnxkX4308270811)()( Xk = fftxn,N xn = ifftXk,N四、用四、用MATLAB計算序列的計算序列的DFT00.511.520123

9、4(a)16點 DFT的 幅 頻 特 性 圖/幅度00.511.52-202(b)16點 DFT的 相 頻 特 性 圖/相位00.511.5201234(c)32點 DFT的 幅 頻 特 性 圖/幅度00.511.52-202(d)32點 DFT的 相 頻 特 性 圖/相位【例例3.1.2】3.2 離散傅里葉變換的性質離散傅里葉變換的性質一、線性性質一、線性性質二、循環移位性質二、循環移位性質)()(DFT )()(DFT max)()()(22112121kXnxkXnxNNNnbxnaxnyNN，10 )()()(DFT21NkkbXkaXnyN1. 序列的循環移位序列的循環移位)()()

10、(nRmnxnyNN)()()(nRmnxnyNNN=8m=22. 時域循環移位性質時域循環移位性質10 )(DFT)()()()(NknxkXnRmnxnyNNN3. 頻域循環移位性質調制性質頻域循環移位性質調制性質)()()(10 )(DFT)(kRlkXkYNknxkXNNN二、循環移位性質二、循環移位性質)()()(IDFT)(2nxWnxekYnynlNnlNjN)()()()(DFT)(22kXWkXekXenykYkmNkmNjmkNjN1. 兩個有限長序列循環卷積的定義兩個有限長序列循環卷積的定義三、循環卷積定理三、循環卷積定理)5 . 2 . 3( )()()()(MNmax

11、 LM )( N )(10nynRmnxmh , nxnhcLLmL： ) 1( , , )2( , ) 1 ( , )0()( 1 , , 2 , 1 , 0LxxxxnxLn， )2( , , ) 1( , )0( , ) 1 ( )2( , , )1( , )0( , )1()1()(1 , , 1 , 0 , 1xLxxxLxxxxmxmnxLmnLLLLLL ) 1 ( , , )2( , ) 1( , )0( )1( , , )2( , )1( , )0()0()(1 , , 1 , 0 , 0 xLxLxxLxxxxmxmnxLmnLLLLLL循環倒相序列循環倒相序列L點循環卷積

12、點循環卷積循環右移一個樣值點循環右移一個樣值點 )2( , , ) 1( , )0( , ) 1 ( )2( , , )1( , )0( , )1()1()(1 , , 1 , 0 , 1xLxxxLxxxxmxmnxLmnLLLLLL ) 1 ( , , )2( , ) 1( , )0( )1( , , )2( , )1( , )0()0()(1 , , 1 , 0 , 0 xLxLxxLxxxxmxmnxLmnLLLLLL )3( , , ) 1(, )0( , ) 1 ( , )2()2()(1 , , 1 , 0 , 2xLxxxxmxmnxLmnLL ) 1( , , )2( , )

13、 1 ( , )0()(Lxxxxnx)0()3()2() 1()3()0() 1 ()2()2() 1()0() 1 () 1 ()2() 1()0(xLxLxLxxxxxxLxxxxLxLxx) 1()2() 1 ()0()0()3()2() 1()3()0() 1 ()2()2() 1()0() 1 () 1 ()2() 1()0() 1()2() 1 ()0(LhhhhxLxLxLxxxxxxLxxxxLxLxxLyyyyccccxn的的L點循環卷積矩點循環卷積矩陣陣)5 . 2 . 3( )()()()(10nRmnxmhnyLLmLc【例例3.2.1】 ) 1( , , )2( ,

14、 ) 1 ( , )0()(Lxxxxnx1. 兩個有限長序列循環卷積的定義兩個有限長序列循環卷積的定義2. 時域循環卷積定理時域循環卷積定理三、循環卷積定理三、循環卷積定理)5 . 2 . 3( )()()()(MNmax LM)( , N)(10nRmnxmhny , nxlennhlenLLmLcmax )( , )(212211 , NN NNnxlenNnxlen)()()()(DFT21kXkXkXnxNL點循環卷積點循環卷積)()(DFT)()(DFT2211kXnxkXnxNN)()()()()()(101212nRmnxmxnxnxnxNNmN3. 頻域循環卷積定理頻域循環卷

15、積定理)()(1)()(1)(DFT1221kXkXNkXkXNnxNNNnxkXnxkXnxnxnx , NN NNnxlenNnxlen)(DFT)()(DFT)()()()(max )( )(221121212211四、復共軛序列的四、復共軛序列的DFT)()(DFTkXnxN)()(DFTkXnNxN10 , )()(DFTNkkNXnxN)()(IDFTnNxkXN五、五、DFT的共軛對稱性的共軛對稱性1. 有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列)1623( )()(21)()1623( )()(21)(opepb.nNxnxnxa.nNxnxnx)13

16、. 2 . 3( 10 )()(aNnnNxnxepep)13. 2 . 3( 10 )()(aNnnNxnxopop)14. 2 . 3( 10 )()()(Nnnxnxnxopep任何有限長序列都可以表示成有限長共軛對稱序列與有限任何有限長序列都可以表示成有限長共軛對稱序列與有限長共軛反對稱序列之和長共軛反對稱序列之和2. DFT的共軛對稱性的共軛對稱性)()(21)(j)()(21)(nxnxnxnxnxnxir)19. 2 . 3( )()()(21)()(DFT21)(j DFT)18. 2 . 3( )()()(21)()(DFT21)(DFTkXkNXkXnxnxnxkXkNXk

17、Xnxnxnxopiepr(1) 將有限長序列將有限長序列x(n)表示為表示為)(j)()(nxnxnxir)20. 2 . 3( )()()(j DFT)(DFT)(DFT)(opepkXkXnxnxnxkXir有限長序列有限長序列xn實部的實部的DFT為為Xk的共軛對稱分量，虛的共軛對稱分量，虛部和部和j一起的一起的DFT為為Xk的共軛反對稱分量。的共軛反對稱分量。2. DFT的共軛對稱性的共軛對稱性)(j)(Imj)()(21)()(DFT21)(DFT)()(Re)()(21)()(DFT21)(DFTkXkXkXkXnNxnxnxkXkXkXkXnNxnxnxIopRep)(DFT)

18、(Imj)(j)(DFT)(Re)()22. 2 . 3( )(j)()(DFT)(opIpRIRnxkXkXnxkXkXkXkXnxkXe(2)將有限長序列將有限長序列x(n)表示為表示為10 , )()()(oppNnnxnxnxe)1623( )()(21)()1623( )()(21)(opepb.nNxnxnxa.nNxnxnx有限長序列有限長序列xn的共軛對稱分量的的共軛對稱分量的DFT為為Xk的實部，的實部，共軛反對稱分量的共軛反對稱分量的DFT為為Xk的虛部乘以的虛部乘以j。2. DFT的共軛對稱性的共軛對稱性3 有限長實序列有限長實序列DFT的共軛對稱性的共軛對稱性1-N ,

19、 , 1 , 0 , )()(kkNXkX)()( | )(| )(|kNkkNXkX，)()( )()( kNXkXnNxnx)()( )()(kNXkXnNxnx【例例3.2.2】利用利用DFT的共軛對稱性，設計一種高效算法，通的共軛對稱性，設計一種高效算法，通過計算一個過計算一個N點點DFT，就可以計算出兩個實序列，就可以計算出兩個實序列x1n和和x2n的的N點點DFT。)(j)()(21nxnxnx)()()(n)DFTj(n)DFT)(DFTopep21kXkXkXxxnxN)(jDFT)(j DFT)()(21)()(DFT)()(21)(22op1epnxnxkNXkXkXnxk

20、NXkXkX)()(21j)(DFT)()()(21)(DFT)(2211kNXkXnxkXkNXkXnxkX六、離散帕塞瓦爾定理六、離散帕塞瓦爾定理(2.5.28) | )(|21| )(|22njdeXnx102102| )(|1| )(|NkNnkXNnx102101010101010102| )(|)()()(1)()()(1 )()(1| )(|1NnNnNnNkknNNkNnknNNkNknxnxnxWkXNnxWnxkXNkXkXNkXN證明：證明：3.3 頻率域采樣頻率域采樣miNnmWNNkknmN其它 0 1110)(由于由于NNinxiNnxnx)()()(所以所以)3

21、. 3 . 3( )( )()(nRiNnxnxNiN10 , )(IDFT)( , )(DFT)(NnkXnxnxkXNN mNkknmNjmNkknmNNkknNmkmNNkknNNkknNNNeNmxWNmxWWmxNWkXNWkXNkXnxnx10)(210)(1010101)(1)()(1)(1)(1)(IDFS)()(10 , )()()()(222NkenxenxzXkXnnkNjnnkNjezkNjnnznxzXnx)()( )(ZT頻域采樣定理：頻域采樣定理：假設序列假設序列xn的長度為的長度為M，只有當頻率域采樣點數，只有當頻率域采樣點數NM時時，才有，才有xNn=IDFT

22、Xk=xn，即可由頻域采樣序，即可由頻域采樣序列列Xk恢復原序列恢復原序列xn，否那么產生時域混疊現象。，否那么產生時域混疊現象。)3 . 3 . 3( )( )()(nRiNnxnxNiN3.4 DFT的應用舉例的應用舉例一、用一、用DFT計算線性卷積計算線性卷積二、用二、用DFT對信號進展譜分析對信號進展譜分析當當LN+M-1時，時，ycn=yln線性卷積與循環卷積的關系：線性卷積與循環卷積的關系：)()()()()()()()()()()(1010nRmnxmhnxnhnymnxmhnxnhnyLLmLcNmlyl(n)的長度為的長度為N+M-1yc(n)的長度為的長度為L)( )()(

23、)()()()( )()()( )()()()()( , , max101010nRiLnynyiLnymiLnxmhnRmiLnxmhnRiLmnxmhnyiLnxnxMNLLilclLmLiLmLLmiciL一、用一、用DFT計算線性卷積計算線性卷積證明：證明：)0()3()2() 1()3()0() 1 ()2()2() 1()0() 1 () 1 ()2() 1()0(xLxLxLxxxxxxLxxxxLxLxx) 1()2() 1 ()0()0()3()2() 1()3()0() 1 ()2()2() 1()0() 1 () 1 ()2() 1()0() 1()2() 1 ()0(L

24、hhhhxLxLxLxxxxxxLxxxxLxLxxLyyyyccccxn的的L點循環卷積點循環卷積矩陣矩陣)5 . 2 . 3( )()()()(10nRmnxmhnyLLmLc ) 1( , , )2( , ) 1 ( , )0()(LxxxxnxLLLcCnxkXnhkHLkkXkHnykY)(DFT)()(DFT)(10 , )()()(DFT)(1)( , )()()()( , )(MNnylengthnxnhnyMnxlengthNnhlengthll)()( 1nynyMNLlc時，當)()()()()()(10nRmnxmhnxnhnyLLmLc時域循環時域循環卷積定理卷積定理

25、1. 用用DFT對連續時間非周期信號對連續時間非周期信號xt進展譜分析進展譜分析1 對對xt以采樣間隔以采樣間隔T采樣得序列采樣得序列 xn= xnT nnTjtjTenTxdtetxjX)()()(2 將序列將序列xn=xnT截斷成從截斷成從t=0開場長度為開場長度為Tp的有限長序列，的有限長序列，Tp=NT 3 為了數值計算，在頻域也要離散化，一個周期為了數值計算，在頻域也要離散化，一個周期Fs等間隔采樣等間隔采樣N點，點，每個樣點間隔為每個樣點間隔為 F，N=Fs/F，F=Fs/N=1/TN=1/Tp1011)()(NnnTjkenTxTjkX二、用二、用DFT對信號進展譜分析對信號進展

26、譜分析dejXtxdtetxjXtjtj)(21)()()()()()(10jNnnTjeXTenTxTjXsdejXnxnTj0)(21)(102)(NnknNjenxT)(DFTnxT 10111)(2)(NknTjkejkXnx1021)(1NknkNjsejkXNF1021)(NknkNjejkXF1021)(1NknkNjejkXNNF)(IDFT11jkXT圖圖3.4.6 用用DFT分析連續信號頻譜的原理示意圖分析連續信號頻譜的原理示意圖 用用DFT近似計算模擬信號頻譜的計算步驟：近似計算模擬信號頻譜的計算步驟： 1 首先確定用首先確定用DFT對模擬信號頻譜進展近似計算的三個對模擬

27、信號頻譜進展近似計算的三個參數，即頻率分辨率參數，即頻率分辨率F、 采樣頻率采樣頻率Fs、 記錄時間記錄時間Tp。 2 用已確定的用已確定的Fs對模擬信號采樣。采樣后得到時域離散對模擬信號采樣。采樣后得到時域離散信號為信號為xn=xat|t=nT=xanT。3 在計算機上調在計算機上調DFTFFT函數對信號函數對信號xn進展頻進展頻譜計算。譜計算。)(IDFT1)()(DFTT)(11jkXTnxnxjkX【例例3.4.2】對實時信號進展譜分析，要求譜線間距對實時信號進展譜分析，要求譜線間距分辨率分辨率F10Hz，信號最高頻率，信號最高頻率fc=2.5kHz，試確定最小記錄時間，試確定最小記錄

28、時間Tpmin、最大采樣間隔、最大采樣間隔Tmax、最少的采樣點數、最少的采樣點數Nmin。假如。假如fc不變，要求譜分辨率不變，要求譜分辨率F增加增加1倍，倍，Nmin和和Tpmin是多少？是多少？sTsFTpp1 . 0 , 1 . 01011minsTsffTcs3max3102 . 0 , 102 . 0250021211500 , 50010250022minNFfFfNcs【例例3.4.3】用用DFT對模擬信號進展譜分析，設模擬信號對模擬信號進展譜分析，設模擬信號xat的的最高頻率為最高頻率為200Hz，以采樣頻率，以采樣頻率Fs=400Hz采樣得到時域離散序列采樣得到時域離散序列

29、xn=xanT，要求頻率分辨率為，要求頻率分辨率為10Hz。模擬信號頻譜。模擬信號頻譜Xaj如以下圖所示，試畫出如以下圖所示，試畫出Xej=FTxn和和Xk=DFTxn 譜線圖，并標出每個譜線圖，并標出每個k=0,20,40對應的數字頻率對應的數字頻率k和模擬頻率和模擬頻率fk的值。的值。2. 對連續時間周期信號的傅里葉級數的對連續時間周期信號的傅里葉級數的DFS逼近逼近2 將頻域離散序列加以截斷，截斷長度為一個周期將頻域離散序列加以截斷，截斷長度為一個周期N1 時域抽樣時域抽樣ktjkTtjkejkXtxdtetxTjkX111)()( , )(1)(101110111)()(NnnTjke

30、nTxTTjkXknTjkejkXnTx1)()(11021)()(NknkNjejkXnTx二、用二、用DFT對信號進展譜分析對信號進展譜分析102)(1NnknNjenxN)(DFS1nxNknkNjejkX21)(1021)(N1NNknkNjejkX)(IDFSN1jkX【例例】假設時域連續信號假設時域連續信號xt=x1t+x2t+x3t，其，其中中x1t=3sin30t， x2t=2sin40t， x3t=sin60t。假如用假如用DFT對對xt進展頻譜分析，問采樣頻率進展頻譜分析，問采樣頻率Fs和采樣和采樣點數點數N應如何選擇，才能準確求出應如何選擇，才能準確求出x1t、x2t、x3t的頻率；的頻率；(1) 按照你選擇的按照你選擇的Fs、N對對xt等間隔采樣，得到等間隔采樣，得到xn，用用DF