1、一、一、 偏導數概念及其計算偏導數概念及其計算二二 、高階偏導數、高階偏導數 第二節 偏 導 數 定義定義1.),(yxfz 在點在點), (), (lim000yfyfx存在存在, ,xyxyxfz對在點),(),(00的偏導數，記為的偏導數，記為;),(00yxxz),(00yx的某鄰域內的某鄰域內;),(00yxxf0 xx0 x則稱此極限為函數則稱此極限為函數極限極限設函數設函數x; ),(00yxfx;),(00yxxz. ),(001yxf xyxfyxxfx),(),(lim0000000d( ,)dx xf xxy00(,)xfxy注意注意:一、一、 偏導數定義及其計算法偏導數

2、定義及其計算法00d(, )dy yf xyy同樣可定義對同樣可定義對 y 的偏導數的偏導數 lim0y),(00yxfy若函數若函數 z = f ( x , y ) 在域在域 D 內每一點內每一點 ( x , y ) 處對處對 x,xzxfxz則該偏導數稱為偏導函數則該偏導數稱為偏導函數, 也簡稱為也簡稱為偏導數偏導數 ,),(, ),(1yxfyxfx),(, ),(2yxfyxfy) ,(0 xf),(0 xfy記為記為0yy0y或或 y 偏導數存在偏導數存在 ,yzyfyz),(zyxfx例如例如, 三元函數三元函數 u = f (x , y , z) 在點在點 (x , y , z)

3、 處對處對 x 的的偏導數的概念可以推廣到二元以上的函數偏導數的概念可以推廣到二元以上的函數 . lim0 x), (zyf),(zyfxxx( , , )?yfx y z ( , , )?zfx y z x偏導數定義為偏導數定義為二元函數偏導數的幾何意義二元函數偏導數的幾何意義:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲線是曲線0),(xxyxfzyTM0在點在點 M0 處的切線處的切線對對 x 軸的斜率軸的斜率.在點在點M0 處的切線處的切線斜率斜率.是曲線是曲線yxz0 xyToxT0y0M對對 y 軸的軸的例例

4、1 . 求求223yyxxz解法解法1:xz)2, 1 (xz解法解法2:) 2, 1(xz在點在點(1 , 2) 處的偏導數處的偏導數. .) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz例例2. 設設，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 證證:xzyzxxzyxln1 例例3. 求求222zyxr的偏導數的偏導數 . 解解:xryryyxx yz求證求證,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry偏導數記號是一個偏導數記號是一個例例4. 已知理想氣體的狀態方程

5、已知理想氣體的狀態方程求證求證:1pTTVVpTRVp證證:,VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp說明說明:(R 為常數為常數) , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作不能看作分子與分母的商分子與分母的商 !此例表明此例表明,整體記號整體記號,例例5 . 求求3zxy在點在點(0,0) 處的偏導數處的偏導數. .例例6. 求求22zxy在點在點(0,0) 處的偏導數處的偏導數. .242,()(0,0)( , )0,()(0,0)x yx yzf x yxyx y，例例7. 求求在點在點(0,0) 處的偏導數處的偏導數. .函數在某點各偏導數都存在函數在某點各偏導數都存在

6、, ,顯然例如例如0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy00注意：注意：但在該點不一定連續但在該點不一定連續. .在上節已證 f (x , y) 在點(0 , 0)并不連續并不連續!二、高階偏導數二、高階偏導數設設 z = f (x , y)在域在域 D 內存在連續的偏導數內存在連續的偏導數),(, ),(yxfyzyxfxzyx若這兩個偏導數仍存在偏導數，若這兩個偏導數仍存在偏導數，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy則稱它們是則稱它們是z = f ( x , y ) 的

7、的二階偏導數二階偏導數 . 按求導順序不同按求導順序不同, 有下列四個二階偏導有下列四個二階偏導22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx數數:類似可以定義更高階的偏導數類似可以定義更高階的偏導數.例如，例如，z = f (x , y) 關于關于 x 的三階偏導數的三階偏導數為為3322)(xzxzxz = f (x , y) 關于關于 x 的的 n 1 階偏導數階偏導數 , 再關于再關于 y 的一階的一階) (yyxznn1偏導數為偏導數為11nnxzyxe22例例8. 求函數求函數yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyz

8、xyz2yxz2 22 yz注意注意: :此處此處,22xyzyxz但這一結論并不但這一結論并不總總成立成立. .yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24的二階偏導數及的二階偏導數及 0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例例9),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx,)

9、,()()(00連續都在點和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx則定理定理.例如例如, 對三元函數對三元函數 u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx說明說明:本定理對本定理對 n 元函數的高階混合導數也成立元函數的高階混合導數也成立.函數在其定義區域內是連續的函數在其定義區域內是連續的 , 故求初等函數的高階導故求初等函數的高階導數可以選擇方便的求導順序數可以選擇方便的求導順序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因為初等函數的偏導數仍為初等函數因為初等函數的偏導數仍為初等函數

10、 ,當三階混合偏導數在點在點 (x , y , z) 連續時連續時, 有有而初等而初等(證明略證明略) 證證: :令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),()(00yxfyyxfx則),(yxFxxx)(10 xyxxfyyxxfxx ),(),(010010yxyyxxfyx),(2010),(),(0000yxfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)10(1)1,0(21,),()()(00連續都在點和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx則)()(00 xxx定理定理.令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(

11、),(0000yxfyyxf同樣)()(00yyyyxyyxxfxy),(4030) 1,0(43),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfxyyx, 0 x故令),(4030yyxxfxy),(2010yyxxfyx在點)(00yx ，連續,得0y例例10. 證明函數222,1zyxrru滿足拉普拉斯0222222zuyuxu證：證：xu22xu利用對稱性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0內容小結內容小結1. 偏導數的概念及有關結論偏導數的概念及有關結論 定義定義; 記號記號; 幾何意義幾何意義 函數在一點函數在一點偏導數存在偏導數存在函數在此