1、第第3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)盧光躍盧光躍 教授教授通信與信息工程學院3.1 3.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義 3.2 3.2 離散傅里葉變換的基本性質離散傅里葉變換的基本性質3.3 3.3 頻率域采樣頻率域采樣3.4 DFT3.4 DFT的應用舉例的應用舉例第3章 離散傅里葉變換(DFT)第三章 學習目標 理解理解Fourier變換的幾種形式；變換的幾種形式； 理解離散傅里葉變換及性質，掌握理解離散傅里葉變換及性質，掌握循環移位循環移位、循環共軛對循環共軛對稱性稱性，掌握，掌握 循環卷積、線性卷積及二者之間的關系；循環卷積、線性卷積及二者之間的關系； 掌握

2、掌握頻域采樣理論頻域采樣理論； 理解頻譜分析過程理解頻譜分析過程。連續連續=非周期非周期離散離散=周期周期四種傅里葉變換形式的歸納四種傅里葉變換形式的歸納 時間函數時間函數 頻率函數頻率函數 連續和非周期連續和非周期 非周期和連續非周期和連續 連續和周期連續和周期（Tp） 非周期和離散非周期和離散（0=2/Tp） 離散離散（T）和非周期和非周期 周期周期（ s=2/T ）和連續和連續 離散離散（T）和周期和周期（Tp） 周期周期（ s=2/T ）和離散和離散（0=2/Tp） nx nx周期延拓周期延拓取主值取主值 kX周期延拓周期延拓取主值取主值DFTIDFT kXDFSIDFSDFTDFT即

3、即DFSDFS只不過時、頻域各取一個主值而已只不過時、頻域各取一個主值而已3.1 離散傅里葉變換的定義 一一. DFT. DFT的定義的定義1. 1. 周期延拓（以周期延拓（以N為周期）為周期）nNnnxnx其他010)()(rrNnxnx)()( 用用(n)N表示表示（n mod N），其數學上就是表示，其數學上就是表示“n對對N取余數取余數”， 或稱或稱“n對對N取模值取模值”。 令令 mNnn10n1N-1, m為整數為整數 則則n1為為n對對N的余數。的余數。 NnxNnxnx)()mod()(8)1() 1(xx)5(x例如例如: : 是周期為是周期為N=8的序列，則有：的序列，則有

4、： )(nx8)13()13(xx)7(x2. 2. 取主值取主值)()()(nRnxnxN)()()()()(kRkXkXkXkXNN主值區間的范圍主值區間的范圍頻域頻域10101NknkNNnnkNWkXNkXIDFSnxWnxnxDFSkX)()()()()()(3. DFT3. DFT定義式定義式101101010NnWkXNkXIDFTnxNkWnxnxDFTkXNknkNNnnkN,)()()(,)()()(時、頻域各取一個主值區間時、頻域各取一個主值區間DFSDFT旋轉因子的正交性旋轉因子的正交性例：例：x(n)=R4(n) ，求，求x(n)的的4 4點、點、8 8點點和和161

5、6點點DFT DFT 解：設變換區間解：設變換區間N=8，則，則2738180038( )( )sin()2,0,1,7sin()8jknknnNjkXkx n Wekekk設變換區間設變換區間N=16， 則則 2153162160031612sin4,0,1,.,15sin162jknknnnjkXkx n WekekkX kXk思考：思考： 其其4點的點的DFT結果？結果？X(ejw)=DTFTR4(n)討論：討論：N為為DFT變換區變換區間長度，即周期間長度，即周期延拓的周期、頻延拓的周期、頻域的采樣點數；域的采樣點數；同一序列，同一序列，N不不同，同，DFT不同；不同；通過后補零使通過

6、后補零使N增大，譜線變增大，譜線變密密高密度譜高密度譜二二. . DFT和和Z變換的關系變換的關系設序列設序列x(n)的長度為的長度為N，其，其Z變換和變換和DFT分別為：分別為：1010( ) ( )( )( ) ( )( )0-1NnnNknNnX zZT x nx n zX kDFT x nx n WkN比較上面二式可得關系式比較上面二式可得關系式 102NkzXkXkNjkNeWz 表明表明 是是Z平面單位圓上幅角為平面單位圓上幅角為 的的 點，也即：點，也即： 將將Z平面單位圓平面單位圓N等分后的第等分后的第k點，所以點，所以X(k)也就是對也就是對X(z)在在Z平面單位圓上平面單位

7、圓上N點點等間隔采樣值等間隔采樣值。 DFT與序列傅里葉變換的關系為與序列傅里葉變換的關系為 kNjkNeWz2kNWkN2NeXeXkXNjkkNjN2)()()(2DFTDFT的物理意義的物理意義X(k)可以看作序列可以看作序列x(n)的傅里葉變換的傅里葉變換X(ej)在區間在區間0, 2）上的上的N點點等間隔采樣，其采樣間隔為等間隔采樣，其采樣間隔為N=2/N。DFTDFT與序列傅里葉變換、與序列傅里葉變換、Z Z變換的關系變換的關系 jIm(z)o2NW1NW0NWk 0)2( NNW)3( NNWRezoX(ej)X(k)第一采樣點在第一采樣點在正實軸上正實軸上三三. DFT的隱含周

8、期性的隱含周期性 DFT變換對中，變換對中，x(n)與與X(k)均為有限長序列，但由于均為有限長序列，但由于WNkn的周期性，使的周期性，使x(n) 和和X(k)均具有均具有隱含周期性隱含周期性，且周期均為，且周期均為N。 對任意整數對任意整數m，總有，總有()(),knkmN nk n mNNNNWWWk m n為整數11()0011()00()( )( )( )11()( )( )( )NNk mN nknNNnnNNn mN knkNNnnX kmNx n Wx n WX kx nmNX k WX k Wx nNN三三. DFT的隱含周期性的隱含周期性 DFT變換對中，變換對中，x(n)

9、與與X(k)均為有限長序列，但由于均為有限長序列，但由于WNkn的周期性，使的周期性，使x(n) 和和X(k)均具有均具有隱含周期性隱含周期性，且周期，且周期均為均為N。 對任意整數對任意整數m，總有，總有1 使使DFT具有特殊性質具有特殊性質(如循環移位、循環卷積等如循環移位、循環卷積等)的根的根本原因，也是學習本原因，也是學習DFT需要著重理解的性質！需要著重理解的性質！2 不論原始有限長度序列的性質如何，只要對它做不論原始有限長度序列的性質如何，只要對它做DFT運算，即將它看做是周期為運算，即將它看做是周期為N的周期序列的周期序列已知已知x(n)是長度為是長度為N的有限長度序列，的有限長

10、度序列，X(k)=DFTx(n)，令令 ，試求，試求Y(k)=DFTy(n)與與X(k)之間的關系。之間的關系。 nRnxnyNN2例題：解：解： knNNNnknNNnknNNnNNknNNnWnxWnxWnRnxWnykY212210212022120 kjnkNNnNkNnkNNnnkNNnNnkNNnknNNneWnxWWNnxWnxWNnxWnx121022102102102102,02-120 kXkkNk偶數，奇數DFT與與DFS的關系：的關系：有限長度序列的有限長度序列的DFT正好是其周期正好是其周期延拓序列的延拓序列的DFS級數系數的主值序列！級數系數的主值序列！210211

11、0021021100( ) ( )( )( )( )1( )( )( )11( )( )NjknNnNNjknknNNNnnNjknNnNNjknknNNNnnX kDFS x nx n exnex n Wx nIDFS X kX k eNXkeX k WNN3.2 離散傅里葉變換的基本性質一一. . 線性性質線性性質x x1 1(n)(n)和和x x2 2(n)(n)是兩個有限長序列，長度分別為是兩個有限長序列，長度分別為N N1 1和和N N2 2 y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中式中a、 b為常數，即為常數，即NmaxN1, N2，則則y(n)的的N點點DFT為：為： （補零問題

12、！）（補零問題！） Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k), 0kN-1其中其中X1(k)和和X2(k)分別為分別為x1(n)和和x2(n)的的N點點DFT。 NmaxN1,N2線性性質的驗證線性性質的驗證已知已知x(n)是長度為是長度為N的有限長度序列，其的有限長度序列，其N點點DFT為為X(k)=DFTx(n)，在序列，在序列前部前部補補N個個0值，得到序列值，得到序列試求試求Y(k)=DFTy(n)與與X(k)之間的關系。之間的關系。 12,.,1,.,0, 0NNnnxNnny思考題：二二. . 循環移位循環移位 1. 1. 定義定義 一個長度為一個長度為N的有限長序列的

13、有限長序列x(n)的的循環移位循環移位定義為定義為 y(n)=x(n+m)NRN(n) ：仍為長度為仍為長度為N的序列的序列！ 循環移位過程示意圖循環移位過程示意圖 移出主值移出主值區間的序區間的序列值又依列值又依次從另一次從另一側移入主側移入主值區間值區間12345n=0N=6左移順時針轉左移順時針轉 如：如： x(n+2)右移逆時針轉右移逆時針轉 如：如：x(n-2)從時間起點開始，從時間起點開始，逆時針讀取數據逆時針讀取數據2. 2. 時域循環移位定理時域循環移位定理設設x(n)是長度為是長度為N的有限長序列，的有限長序列，y(n)為為x(n)循環移位，循環移位，即即 )()()(nRm

14、nxnyNN則循環移位后的則循環移位后的DFTDFT為為 )()()()()(kXWnRmnxDFTnyDFTkYmkNNN證：利用證：利用周期序列的移位性質周期序列的移位性質加以證明加以證明 )()()(kXWmnxDFSmnxDFSmkNN可直接按IDFTY(k)證明再利用再利用DFSDFS和和DFTDFT關系關系 )()()()()()()(kXWkRkXWnRmnxDFTnRmnxDFTmkNNmkNNNN這表明，有限長序列的循環移位在離散頻域中引入一個和頻這表明，有限長序列的循環移位在離散頻域中引入一個和頻率成正比的率成正比的線性相移線性相移 ，而對頻譜的幅度，而對頻譜的幅度沒有影響

15、沒有影響幅度譜的平移不變性幅度譜的平移不變性。 mkNjkmNeW2已知已知x(n)是長度為是長度為N的有限長度序列，的有限長度序列，X(k)=DFTx(n)，在序列前部補，在序列前部補N個個0值，得到序列值，得到序列試求試求Y(k)=DFTy(n)與與X(k)之間的關系。之間的關系。 12,.,1,.,0, 0NNnnxNnny nRNnynyNN221思考題： 3. 3. 頻域循環移位定理頻域循環移位定理調制特性調制特性 對于頻域有限長序列對于頻域有限長序列X(k)，也可看成是分布在一個，也可看成是分布在一個N N等分的圓周上，所以對于等分的圓周上，所以對于X(k)的循環移位，利用頻域與時

16、的循環移位，利用頻域與時域的對偶關系，可以證明以下性質：域的對偶關系，可以證明以下性質： )()(nxDFTkX)()()()(2nxenxWkRlkXIDFTnlNjnlNNN這就是調制特性這就是調制特性時域序列的調制等效于頻域的循環移位時域序列的調制等效于頻域的循環移位。 )(nNxnRnxNN序列反轉序列反轉101()()010 ()()()( )()( )()NnkNnNnkNnNnkNnNNDFT xnxn Wxn Wx n WXkRkX Nk)(*)()(*)()()(*)()(*)(*10)(10*10kNXkRkNXWnxkRkXWnxWnxnxDFTNNNnnkNNNNNnN

17、nnkNnkN122njnNNjnNNeeW 1,.1 , 0NkkXnxDFT序列共軛序列共軛)(*)()(*kXnRnxDFTNN)(*)(*kXnNxDFT kNXkRkXnRnxDFTnNxDFTNNNN )(序列共軛反轉序列共軛反轉序列反轉序列反轉四四. 循環卷積循環卷積 1、時域循環卷積定理時域循環卷積定理有限長序列有限長序列x1(n)和和x2(n)，長度分別為長度分別為N1和和N2， N=maxN1,N2。x1(n)和和x2(n)的的N點點DFT分別為分別為： X1(k)=DFTx1(n)，X2(k)=DFTx2(n) 若若Y(k)=X1(k)X2(k)，則則y(n)=IDFTY

18、(k) ？ 111200 NNknNNNnmY kDFT y nx m xn mRnW knNNNnNmNWnRmnxmxnyDFTkY101021 102121012101102101NkkXkXkXWmxkXWmxWnRmnxmxNmkmNkmNNmNnknNNNNm與教材上不同 nxnxnRmnxmxnxnxnRmnxmxkYIDFTkXkXIDFTnyNNmNNNmN12101221102121NN循環卷積結果仍為有限長序列！循環卷積結果仍為有限長序列！注意：循環卷積的長度！注意：循環卷積的長度！計算步驟：計算步驟：將將x2(m)周期化，形成周期化，形成x2(m)N；再反轉形成再反轉形

19、成x2(-m)N，取主值序列則得到，取主值序列則得到 x2(-m)NRN(m)，通常稱之為，通常稱之為x2(m)的循環反轉的循環反轉；對對 x2(m)的 循 環 反 轉 序 列 循 環 右 移的 循 環 反 轉 序 列 循 環 右 移 n， 形 成， 形 成 x2(n-m)NRN(m)；當當n=0,1,2,N-1時，分別將時，分別將x1(m)與與x2(n-m)NRN(m)相乘，并在相乘，并在m=0到到N-1區間內求和，便得區間內求和，便得到其循環卷積到其循環卷積y(n)。nN-10n)(1nxN-10)(2nx)(0)(22mRmxmxNN0m)(12mRmxNN0m)(22mRmxNN0m)

20、(32mRmxNN0m0233211N-1nN)(2nx)()(1nxny兩個長度兩個長度小于等于小于等于N的的序列的序列的N點點循環卷積循環卷積長度仍為長度仍為N，與線性卷積與線性卷積不同不同N=6 nxnnnn24434231212344321 nRnxnRnxnRnxnx4424424422342312例題：例題：00( )( )( )( )()()( )NNNNx nnx nx nnnx nnRn 4321123444 3 2 11 2 3 4 4 4 3 2 1 24 22 24 30 2 8 6 4 6 3 12 912 8 4 16 nxnnnn24434231212344321

21、 nRnxnRnxnRnxnx4424424422342312不進位乘法！不進位乘法！3024222443214321143221433214思考：若兩序列作思考：若兩序列作N=5點循環卷積，結果如點循環卷積，結果如何何？4 0 1211534 0 1215234 032012344300 1 2 3030 若兩序列作若兩序列作N=5點循環卷積，結果如點循環卷積，結果如上上！2 2、頻域循環卷積定理、頻域循環卷積定理)()()(21nxnxnyx1(n)，x2(n)皆為皆為N點有限長序列，點有限長序列，y(n)的的N N點點DFTDFT為為 時域序列相乘，時域序列相乘，乘積的乘積的DFTDFT

22、等于各個等于各個DFTDFT的循環卷積再乘以的循環卷積再乘以1/1/N N。 N)()(1)()()(1)()()(1)()(2111022101kXkXNkRlkXlXNkRlkXlXNnyDFTkYNNNlNNNl證明：對證明：對Y(k)兩邊取兩邊取IDFT、利用調制定理即可！利用調制定理即可！1 1、有限長共軛對稱與共軛反對稱、有限長共軛對稱與共軛反對稱 設有限長序列設有限長序列x(n)的長度為的長度為N點，則它的有限長共軛對點，則它的有限長共軛對稱分量稱分量xep(n)和有限長共軛和有限長共軛反對稱分量反對稱分量xop(n)分別被分別被重新定義重新定義為為: : )()()()(*nN

23、xnxnNxnxopopepepnN-1 nN-1 三三. . 有限長共軛對稱性有限長共軛對稱性 nRnxnNxNNepep4213關于關于N/2點的點的對稱性對稱性共軛對稱性共軛對稱性的基本概念的基本概念N為偶數為偶數n=N/2-n()(),01222()(),01222epepopopNNNxnxnnNNNxnxnn xep(n)為實數點為實數點為純虛數點為純虛數點N=8x(n)=xep(n)+xop(n) 0nN-1 x*(N-n)=xep*(N-n)+xop*(N-n) = xep(n)-xop(n) 0nN-1 )()()()()()(*nNxnxnxnNxnxnxopep2121復

24、復序列對稱性分析序列對稱性分析nxnxnxopep kXjkXkXImRe序列序列DFT)()(21)()()(21)(*nNxnxnxnNxnxnxopep復復序列對稱性分析序列對稱性分析 nxjnxnxImRe kXkXkXopep序列序列DFT)()(21)()()(21)(*nxnxnxnxnxnxIR實實序列對稱性分析序列對稱性分析 nxjnxnxImRe kXkXkXopep序列序列DFT為零為零為零為零 kNXkXkXkXep實序列的頻譜具有有限實序列的頻譜具有有限長共軛對稱性長共軛對稱性實實偶偶序列對稱性分析序列對稱性分析序列序列 nxjnxnxoImRe nNxnx為零為零

25、nxnxnxopep為零為零于是：于是：DFT： kXkXep kXkXRe kNXkX實偶序列的頻譜具有實偶序列的頻譜具有偶偶實實對稱性對稱性 nxjnxnxoImRe nNxnx為零為零實實奇奇序列對稱性分析序列對稱性分析序列序列 nxjnxnxoImRe x nx Nn 為零為零 nxnxnxopep為零為零于是：于是：DFT： kXkXep ImX kjX k X kX Nk 實奇序列的頻譜具有純虛奇函數實奇序列的頻譜具有純虛奇函數 nxjnxnxoImRe x nx Nn x(n)X(k)實偶函數實偶函數偶實函數偶實函數實奇函數實奇函數虛奇函數虛奇函數虛奇函數虛奇函數實奇函數實奇函數

26、虛偶函數虛偶函數虛偶函數虛偶函數N=9應用舉例：應用舉例： 。 點信號的可同時求得兩個獨立實點一次，組合成一個復序列和長實序列兩個DFTNDFTN2121,N22112121kjXkNYkYnjxDFTkYkXkNYkYnxDFTkYnyDFTkYnjxnxnynxnxopep五五. DFT. DFT形式下的帕塞伐定理形式下的帕塞伐定理 10101NkNnkYkXNnynx)(*)()()(*證：證： 101010101010111NkNnNnknNNnNkknNNnkYkXNWnxkYNWkYNnxnynx)()()()()()()()(*10101NkNnkXkXNnxnx)(*)()()

27、(*1021021NkNnkXNnx| )(| )(|令令x(n)=y(n)DFTDFT性質表性質表( (序列長皆為序列長皆為點點) ) 例題：設實序列設實序列x(n)，N=14，其，其14點點DFT為為X(k)，已知前，已知前8點值為：點值為：X(0)=12 X(1)=-1+3j X(2)=3+4jX(3)=1-5j X(4)=-2+2j X(5)=6+3jX(6)=-2-3j X(7)=10試確定試確定1）X(k)在其他頻率點的值；在其他頻率點的值；2）不通過計算）不通過計算IDFTX(k)，確定下列值：，確定下列值： x(0) x(7) 130213074130nnnjnnxnxenxX

28、(0), X(1), X(2), , X(N-1) 3.3 頻率域采樣 是否任意一個頻率特性（例如，理想是否任意一個頻率特性（例如，理想低通特性）都能用頻域采樣的辦法去逼低通特性）都能用頻域采樣的辦法去逼近呢？近呢？其限制條件是什么？其限制條件是什么？頻域采樣后會帶來什么樣的誤差？在頻域采樣后會帶來什么樣的誤差？在什么條件下才能消除誤差？什么條件下才能消除誤差？一、頻域采樣一個一個任意的任意的絕對可和的非周期序列絕對可和的非周期序列x(n)，其，其Z變換為：變換為： nnznxzX對對X(z)在單位圓上進行在單位圓上進行N點等間隔采樣：點等間隔采樣： 1,.,1 , 0NkWnxzXkXnnk

29、NWzkN分析：分析： nxkXIDFTN ?nxnxN能否代表有限長度序列有限長度序列 任意長度序列任意長度序列 101011NmknkNNkmNm n kNmkx m WWNx mWN mrNnmWNNkknmN其它01110 nxnxrNnxNr 101:NknkNNNWkXNkXIDFSnxIDFSkXnx的為令由由 得到的周期序列得到的周期序列 是是原非周期序列原非周期序列x(n)的周期延拓，其時域周期的周期延拓，其時域周期為頻域采樣點數為頻域采樣點數N。時域采樣造成頻域的周期時域采樣造成頻域的周期延拓，延拓，頻域采樣頻域采樣同樣會造成時域的周期延拓同樣會造成時域的周期延拓。 )(k

30、X)(nxNx(n)為無限長序列為無限長序列時域周期延拓時域周期延拓必必會混疊失真，產生誤差；會混疊失真，產生誤差；當當n增加時信號衰減得越快，或頻域采樣越密增加時信號衰減得越快，或頻域采樣越密（即采樣點數（即采樣點數N越大），則誤差越小，即越大），則誤差越小，即xN(n)越接近越接近x(n)；x(n)為有限長序列，長度為為有限長序列，長度為M：NM，不混疊，可無失真恢復；，不混疊，可無失真恢復；NM，不混疊不混疊N=3M，混疊混疊其值為其值為1 1x(n)=xN(n)討論：討論：z=exp(j2pikm/N)第第k個內插函數的個內插函數的零極點零極點 jImz|z| 1ej0 1Re zkN

31、2je)1(2jNNeo(N1)階零極點對消零極點對消恢復時，第恢復時，第k個采樣點個采樣點值僅由自己決定，不值僅由自己決定，不受其他采樣點值影響。受其他采樣點值影響。用頻域采樣用頻域采樣X(k)表示表示X(ejw)的內插公式的內插公式 10NkjkezjekXzXeXj 2112sin2sin1NjNNkjezkjkeekNkNNNzejkNNjekNkNNN22122sin22sin1Nkejk 2)(kNkXeXNkj 210)()(內插函數：內插函數：212sin2sin1NjeNN內插函數幅度特性與相位特性內插函數幅度特性與相位特性(N=5) |()|1N 5N4N4oN2N2 22

32、arg()1 1(NN2 2)1 1(NN22o|1(w-2/N)|當變量當變量=0 時，時， ()=1；當當 （i=1, 2, , N-1)時時， ()=0。因而可知，因而可知， 滿足以下關系：滿足以下關系： Ni2Nk2kiNiNkNkik,20212)()(2kXeXkNj k=0, 1, , N-1 也 就 是 說 ， 函 數也 就 是 說 ， 函 數 在 本 采 樣 點在 本 采 樣 點 ， 而在其他采樣點而在其他采樣點 上，函數上，函數 。整個整個X(ej)就是由就是由N N個個 函數分別乘上函數分別乘上X(k)后求和。后求和。 所以很明顯，所以很明顯，在每個采樣點上在每個采樣點上

33、X(ej)就精確地等于就精確地等于X(k)（因為其他點的插值（因為其他點的插值函數在這一點上的值為零，沒有影響）即函數在這一點上的值為零，沒有影響）即 Nk2Nkk202NkikiNii,2Nk212Nkk 各采樣點之間的各采樣點之間的X X(e(ejj) )值由各采樣點的加權插值由各采樣點的加權插值函數值函數在所求在所求點上的值的點上的值的疊加得到的。疊加得到的。 頻率采樣理論為頻率采樣理論為FIRFIR濾波器的結構設計，以及濾波器的結構設計，以及FIRFIR濾波器傳遞函數的逼近提供了又一個有力的工具。濾波器傳遞函數的逼近提供了又一個有力的工具。 kNkX2)( zkXznxzXkNnnNn

34、1010 kNkXenxeXNkNnnjj21010對時域序列對時域序列x(nx(n) )，X(zX(z) )是按是按z z的冪級數（即羅朗級數）展的冪級數（即羅朗級數）展開的，開的， x(nx(n) )為羅朗級數的系數；為羅朗級數的系數；對頻域序列對頻域序列X(kX(k) )，X(zX(z) )是按函數集展開的，是按函數集展開的， X(kX(k) )為展開為展開系數；系數；對時域序列對時域序列x(nx(n) )，頻響，頻響X(eX(ejwjw) ) 展成負正弦級數（傅立葉級展成負正弦級數（傅立葉級數），數）， x(nx(n) )為負正弦級數的諧波系數；為負正弦級數的諧波系數；對頻域序列對頻域

35、序列X(kX(k) )，頻響，頻響X(eX(ejwjw) ) 展成內插函數的級數，展成內插函數的級數， X(kX(k) )為展開系數；為展開系數；3.4 DFT的應用舉例 DFTDFT在數字通信、語言信號處理、圖像處理、功率譜估計、在數字通信、語言信號處理、圖像處理、功率譜估計、仿真、系統分析、雷達理論、光學、醫學、地震以及數仿真、系統分析、雷達理論、光學、醫學、地震以及數值分析等各個領域都得到廣值分析等各個領域都得到廣泛應用。泛應用。 對時域連續信號的頻譜進行分析對時域連續信號的頻譜進行分析計算信號各個頻率分量計算信號各個頻率分量的幅值、相位和功率（功率譜具有突出主頻率特性，在的幅值、相位和

36、功率（功率譜具有突出主頻率特性，在分析帶有噪聲干擾的信號時特別有用）。分析帶有噪聲干擾的信號時特別有用）。卷積及卷積及相關相關運算運算 3.4.1 用DFT計算線性卷積 如果（L點循環卷積）112120( )( )( )( )()( )LLLmy nx nx nx m xnmR n1122( )( )( )( )X kDFT x nXkDFT x n0kL-1則，由時域循環卷積定理有則，由時域循環卷積定理有 Y(k)=DFTy(n)=X1(k)X2(k), 0kL-1 由此可見，循環卷積既可在由此可見，循環卷積既可在時域直接計算時域直接計算，也可以，也可以在頻域計算，其計算框圖如下圖示。由于在

37、頻域計算，其計算框圖如下圖示。由于DFT有快速有快速算法算法FFT，當，當N很大時，在頻域計算的速度快得多，因很大時，在頻域計算的速度快得多，因而常用而常用DFT(FFT)計算循環卷積。計算循環卷積。 圖圖 3.4.1 用用DFT計算循環卷積計算循環卷積 L點的點的DFT運算！運算！ 在實際應用中，為了分析時域離散線性非移變系統或者對序列進行濾在實際應用中，為了分析時域離散線性非移變系統或者對序列進行濾波處理等，需要計算兩個序列的波處理等，需要計算兩個序列的線性卷積線性卷積！為了提高運算速度，也希望！為了提高運算速度，也希望用用DFT計算線性卷積。計算線性卷積。 存在的矛盾：存在的矛盾：DFT

38、只能直接用來計算循環卷積只能直接用來計算循環卷積! 為此導需要導出線卷積和循環卷積之間的關系以及循環卷積與線性卷為此導需要導出線卷積和循環卷積之間的關系以及循環卷積與線性卷積相等的條件。積相等的條件。 假設假設h(n)和和x(n)都是有很長序列，長度分別是都是有很長序列，長度分別是N和和M。 它們的線性卷它們的線性卷積和循環卷積分別表示如下：積和循環卷積分別表示如下： 1010( )( )( )( ) ()( )( )( )( ) ()( )NlmLcLLmy nh nx nh m x nmy nh nx nh m x nmR n(3.4.1) (3.4.2) 其中，其中， LmaxN, M

39、1010( )( )()( )( ) ()( )NcLmqNLqmy nh mx nmqL R nh m x nmqL R n ( )(),Lqx nx nqL對照式對照式(3.4.1)可以看出，可以看出， 上式中上式中 10( ) ()()( )()( )NlmclLqh m x nqLMy nqLy ny nqL R n(3.4.3) 利用周期延利用周期延拓概念拓概念那么，循環卷積和線性卷積之間的關系即可以確定出來！那么，循環卷積和線性卷積之間的關系即可以確定出來！ 線性卷積周期延拓為循環卷積；循環卷積即為該周期信號的主值序列！線性卷積周期延拓為循環卷積；循環卷積即為該周期信號的主值序列！

40、周期周期延拓延拓圖圖 3.4.2 線性卷積與循環卷積線性卷積與循環卷積 0123451234h(n) x(n)nL 60123451234nL 867h(n) x(n)0123451234nL 1067h(n) x(n)（ d ）（ e ）( f )0123451234nN M1 867h(n) x(n)*nM 5012341x(n)nN 401231h(n)（ a ）（ b ）（ c ）89* * 189 10重疊時哪些點是不同的？哪那些點是相同的？重疊時哪些點是不同的？哪那些點是相同的？用用DFT計算計算線線性卷積性卷積框圖框圖 補L N個零點L點DFT補L M個零點L點DFTL點IDFT

41、y(n)h(n)x(n)N點序列點序列M點序列點序列優點：當兩個序列長度相當時，運算量小優點：當兩個序列長度相當時，運算量小缺點：缺點：當兩個序列長度相差較大時，運算當兩個序列長度相差較大時，運算量及存儲量、時延的問題量及存儲量、時延的問題 當其中一個序列無窮長時當其中一個序列無窮長時? 設序列設序列h(n)長度為長度為N，x(n)為無限長序列。將為無限長序列。將x(n)均勻分段，均勻分段， 每段長度取每段長度取M， 則則0( )( )( )( )()kikMx nx nx nx nRnkM于是，于是， h(n)與與x(n)的線性卷積可表示為的線性卷積可表示為000( )( )( )( )(

42、)( )( )( )kkkkkkky nh nx nh nx nh nx ny n(3.4.4) 圖 3.4.4 重疊重疊相加相加法卷積示意圖 M0NMMx1(n)x0(n)x2(n)N M 1N M 1y0(n)y1(n)N M 1y2(n)2MM3M N 10N 1y(n) y0(n) y1(n) y2(n) nnnnnnh(n)線性譜估計（線性譜估計（傳統譜估計傳統譜估計）數據直接數據直接FFT求譜，對譜求譜，對譜的模取平方運算得功率譜（周期圖法），或對數據自相的模取平方運算得功率譜（周期圖法），或對數據自相關函數求譜即為功率譜（自相關法）。對被處理數據以關函數求譜即為功率譜（自相關法）

43、。對被處理數據以外數據作了不合理假設；外數據作了不合理假設；假設以被處理數據長度為一周期，以外為其周假設以被處理數據長度為一周期，以外為其周期延拓或全為零，準確程度受數據截取長度影期延拓或全為零，準確程度受數據截取長度影響；響；數據較短時，估計出來的值方差大，分辨率低，數據較短時，估計出來的值方差大，分辨率低，甚至面目全非。甚至面目全非。DFT進行譜估計進行譜估計為便于數學處理，對截斷信號做周期延拓，得到為便于數學處理，對截斷信號做周期延拓，得到虛擬的無限長信號虛擬的無限長信號。 用計算機進行測試信號處理時，不可能對無用計算機進行測試信號處理時，不可能對無限長的信號進行測量和運算，而是取其有限

44、的時限長的信號進行測量和運算，而是取其有限的時間片段進行分析，這個過程稱信號截斷。間片段進行分析，這個過程稱信號截斷。 周期延拓信號與真實信號是不同的：周期延拓信號與真實信號是不同的：能量泄漏誤差能量泄漏誤差 信號的時域波形分析信號的時域波形分析 超門限報警超門限報警 信號類型識別信號類型識別 基本參數識別基本參數識別 Pp-p信號的頻域分析信號的頻域分析 信號頻域分析是采用傅立葉變換將時域信號信號頻域分析是采用傅立葉變換將時域信號x(t)變換為頻域信號變換為頻域信號X(f)，從而幫助人們從另一個角度，從而幫助人們從另一個角度來了解信號的特征。來了解信號的特征。 8563ASPECTRUM A

45、NALYZER 9 kHz - 26.5 GHz傅里葉傅里葉變換變換X(t)= sin(2nft)0 t0 f信號頻譜信號頻譜X(f)X(f)代表了信號代表了信號在不同頻率分量成分的大在不同頻率分量成分的大小，能夠提供比時域信號小，能夠提供比時域信號波形更直觀、豐富的信息。波形更直觀、豐富的信息。 時域分析與頻域分析的關系時域分析與頻域分析的關系時間時間幅值幅值頻率頻率時域分析時域分析頻域分析頻域分析 時域分析只能反映信號的幅值隨時間的變化時域分析只能反映信號的幅值隨時間的變化情況，除單頻率分量的簡諧波外，很難明確揭示情況，除單頻率分量的簡諧波外，很難明確揭示信號的頻率組成和各頻率分量大小。信

46、號的頻率組成和各頻率分量大小。 圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號 大型空氣壓縮機傳動裝置故障診斷大型空氣壓縮機傳動裝置故障診斷故障診斷故障診斷通過振動信號頻譜分析，確定通過振動信號頻譜分析，確定最大頻率分量，然后根據轉速最大頻率分量，然后根據轉速和傳動鏈，找出故障點。和傳動鏈，找出故障點。一、用DFT對連續信號作譜分析的基本步驟xa(t)Xa(j)x(n)x(n)d(n)xN(n)NxN(n)Xa(ejw)XN(k)NXN(k)抽樣抽樣t=nTs截短截短周期延周期延拓拓周期延拓周期延拓取一個周期取一個周期周期延拓周期延拓s=2/TsXa(ejw)*D(ejw)卷

47、積卷積抽樣抽樣0 =/N周期延拓周期延拓取一個周期取一個周期FTDTFTDTFTDFSDFT信號的頻譜分析：計算信號的傅立葉變換信號的頻譜分析：計算信號的傅立葉變換如何利用如何利用XN(k)近似近似Xa(j)?T0=NT=N/fsF0=1/T0=1/NT=fs/NF0：頻率分辨率：頻率分辨率1.近似近似處理處理(0階近似階近似)a.b.頻域抽樣頻域抽樣：一個周期分：一個周期分N段，采樣間隔段，采樣間隔F0時域周期延拓：周期為時域周期延拓：周期為T0=1/F0 0=2F0 頻域采樣間隔頻域采樣間隔 nxDFTTenxTenTxTjkXNnknNjNnnTjk1021000NFffFTkss222

48、0000c.01020102001000011121210jkXIDFTTejkXNfNNejkXFejkXdejXnTxNknkNjsNknkNjNknTjknTjS10000Nksdd步驟：步驟：結論：結論：用用DFT計算計算理想低通濾波器理想低通濾波器頻響曲線頻響曲線 截取一段截取一段T0=8sfs=4Hz,T=0.25sN=T0/T=32,F0=1/NT=0.125HzH(k)=T DFTh(n) k=0,1,.31h(n)=ha(nT)R32(n)2.低頻處低頻處逼近好，逼近好，高頻處高頻處因混疊因混疊失真而失真而逼近不逼近不好好二、譜分析誤差及參數選擇1、混疊失真混疊失真抽樣造成的

49、誤差抽樣造成的誤差時域抽樣：時域抽樣：fs2fh， fs限制譜分析范圍限制譜分析范圍頻域抽樣：頻域抽樣：F0=1/T0，F0為頻譜分辨率為頻譜分辨率NfNTFTFfTTNss10000為為信信號號的的有有效效持持續續時時間間，F0為頻譜分辨率：譜分析中能夠分辨為頻譜分辨率：譜分析中能夠分辨的兩個頻率分量的最小間隔的兩個頻率分量的最小間隔分析如何提高頻率分辨率？分析如何提高頻率分辨率？若想同時提高最高頻率與頻率分辨率，必若想同時提高最高頻率與頻率分辨率，必須須N02Ffh2、截短效應（降低頻譜分辨率截短效應（降低頻譜分辨率 混疊失真）混疊失真） 周期延拓后的信號與真實信號是不同的，下面周期延拓后

50、的信號與真實信號是不同的，下面我們就從數學的角度來看這種處理帶來的誤差情我們就從數學的角度來看這種處理帶來的誤差情況。況。 將截斷信號譜將截斷信號譜 X XT T()()與原始信號譜與原始信號譜X()X()相相比較可知，它已不是比較可知，它已不是原來的兩條譜線，而原來的兩條譜線，而是兩段振蕩的連續譜是兩段振蕩的連續譜. . 原來集中在原來集中在f0f0處的能處的能量被分散到兩個較寬量被分散到兩個較寬的頻帶中去了，這種的頻帶中去了，這種現象稱之為頻譜能量現象稱之為頻譜能量泄漏泄漏。周期延拓信號與真實信號是不同的：周期延拓信號與真實信號是不同的：能量泄漏誤差能量泄漏誤差克服方法：克服方法：增加窗函

51、數的長度；增加窗函數的長度；用緩慢截短方式，不加矩形窗。改用旁瓣能用緩慢截短方式，不加矩形窗。改用旁瓣能量較小的余弦窗、三角形窗、升余弦窗等。量較小的余弦窗、三角形窗、升余弦窗等。克服方法：信號整周期截斷克服方法：信號整周期截斷常用窗函數常用窗函數3、 為提高效率為提高效率, ,通常采用通常采用FFTFFT算法計算信號頻譜，算法計算信號頻譜，設數據點數為設數據點數為N N，采樣頻率為，采樣頻率為F Fs s。則計算得到的。則計算得到的離散頻率點為離散頻率點為: : Xs(Fi) ， Fi = i *Fs / N , i = 0，1，2，.，N/2 X(f)f0f 如果信號中的頻如果信號中的頻率

52、分量與頻率取樣點率分量與頻率取樣點不重合，則只能按四不重合，則只能按四舍五入的原則，取相舍五入的原則，取相鄰的頻率取樣點譜線鄰的頻率取樣點譜線值代替。值代替。 柵欄效應誤差實驗：柵欄效應誤差實驗： u 能量泄漏與柵欄效應的關系能量泄漏與柵欄效應的關系 頻譜的離散取樣造成了柵欄效應，譜峰越尖頻譜的離散取樣造成了柵欄效應，譜峰越尖銳，產生誤差的可能性就越大。銳，產生誤差的可能性就越大。 例如，余弦信號的頻譜為線譜。當信號頻率例如，余弦信號的頻譜為線譜。當信號頻率與頻譜離散取樣點不等時，柵欄效應的誤差為與頻譜離散取樣點不等時，柵欄效應的誤差為無窮大。無窮大。 實際應用中，由于信號截斷的原因，產生了能

53、實際應用中，由于信號截斷的原因，產生了能量泄漏，即使信號頻率與頻譜離散取樣點不相等，量泄漏，即使信號頻率與頻譜離散取樣點不相等，也能得到該頻率分量的一個近似值。也能得到該頻率分量的一個近似值。 從這個意義上說，能量泄漏誤差不完全是有害的。從這個意義上說，能量泄漏誤差不完全是有害的。如果沒有信號截斷產生的能量泄漏，頻譜離散取如果沒有信號截斷產生的能量泄漏，頻譜離散取樣造成的柵欄效應誤差將是不能接受的。樣造成的柵欄效應誤差將是不能接受的。 能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄漏可以減小因柵欄效應帶來的譜峰幅值估計誤漏可以減小因柵欄效應帶來的譜峰幅值估計誤差，有其

54、好的一面，而旁瓣泄漏則是完全有害差，有其好的一面，而旁瓣泄漏則是完全有害的。的。N=T0/T=T0*fs=0.1*8K=800為使頻率分辨率提高一倍，為使頻率分辨率提高一倍， F0=5 Hz，要求，要求sFTN20511160054000200.min只有通過增加信號的有效持續時間只有通過增加信號的有效持續時間T0來增來增加采樣點數加采樣點數N才能得到才能得到高分辨率譜高分辨率譜；通過后補零使通過后補零使N N增加得到增加得到高密度譜高密度譜。高分辨率譜和高密度譜差異比較高分辨率譜和高密度譜差異比較高密度譜是在高密度譜是在原有序列后插零原有序列后插零；高分辨譜是高分辨譜是增加采樣點增加采樣點；

55、高密度譜呈許多譜線型高密度譜呈許多譜線型,而且當補充而且當補充0越多越多, 譜線也越密集譜線也越密集； 高分辨率譜則在取樣點達到一定程度后，高分辨率譜則在取樣點達到一定程度后， 譜線一定了，也沒有那種密集度。譜線一定了，也沒有那種密集度。 3. 用DFT對序列進行譜分析 非周期序列： 我們已知道單位圓上的Z變換就是序列傅里葉變換，即 DFT是其DTFT的等間隔采樣，在滿足頻域采樣定理時原始信號可以恢復出來！()( )jjz eX eX z對周期為N的周期序列 ，由(2.3.10)式知道， 其頻譜函數為用DFT的隱含周期性知道， 截取 的主值序列x(n)= RN(n)， 并進行N點DFT得到(

56、)x n21022() ( )( ) ()( ) ( )( )jkNjknNnX eFT x nX kkNNX kDFS x nx n e 其中 ( )x n( )x n( ) ( ) ( )( )( )( )NNX kDFT x nDFT x n RnX k Rk 如果截取長度M等于 (n)的整數個周期， 即M=mN，m為正整數，則 x2102(1)0( )( )( )( )( )( )( )0,1,1MMMknMMMnm NknmNnxnx n RnXkDFT xnx n ex n ekmN令n=n +rN, r=0, 1, , m-1, n=0, 1, , N-1,則2 ()110221

57、100210210( )()( )()()nrN kmNjmNMrnnmNjkjrkmNmrnmjrkmrmjrkmrXkx nrN ex n eekXemkXem 210,0,Mjkrmrme因為 k/m=整數k/m整數 在任意周期內在任意周期內求和求和 如果 的周期預先不知道， 可先截取M進行DFT， 即(),( )0,MkmXXkmk/m=整數k/m整數 ( )( )( )( )( ),01MMMMxnx nRnXkDFT xnkM再將截取長度擴大一倍， 截取2222( )( )( )( )( ),021MMMMxnx nRnXkDFT xnkM( )x n例：例： nnntxnxnTt

58、a1452cos211472cos211462cosx(n)為周期序列，周期為周期序列，周期N=14所以抽樣點數至少為所以抽樣點數至少為14點點。或者因為頻率分量分別為或者因為頻率分量分別為500、600、700HZ；得得F0=100HZ最大公約數最大公約數N=fs/F0=1400/100=14所以最少記錄點數所以最少記錄點數N=14。T0=NT=512*(1/3000)=0.17利用利用DFTDFT可將時域難以辨識的小信號在頻域輕易辨別出來可將時域難以辨識的小信號在頻域輕易辨別出來KfNkffTs22Nkffs對一個連續時間信號對一個連續時間信號xa(t)采樣采樣1秒得到一個秒得到一個409

59、6個采樣點個采樣點的序列：的序列：（1）若采樣后沒有發生頻譜混疊，）若采樣后沒有發生頻譜混疊，xa(t)的最高截止頻率的最高截止頻率是多少？是多少？（2）若計算采樣信號的）若計算采樣信號的4096點點DFT，頻率采樣值，頻率采樣值X(k)兩兩點之間的模擬頻率間隔是多少點之間的模擬頻率間隔是多少Hz？cssffHzf2,4096思考題思考題NfNTTFs1100 單位圓與非單位圓采樣單位圓與非單位圓采樣 線性卷積具有重要的物理意義（求解線性卷積具有重要的物理意義（求解LTILTI系統輸系統輸出），循環卷積不具有此物理意義；出），循環卷積不具有此物理意義；時域循環卷積在頻域上相當于兩序列的時域循環

60、卷積在頻域上相當于兩序列的DFTDFT的乘積，的乘積，而計算而計算DFTDFT可以采用它的快速算法可以采用它的快速算法快速傅里葉變快速傅里葉變換換（FFTFFT），）， 因此循環卷積與線性卷積相比，計算因此循環卷積與線性卷積相比，計算速度可以大大加快；速度可以大大加快；如果信號以及系統的單位脈沖響應都是有限長序如果信號以及系統的單位脈沖響應都是有限長序列，列， 那么是否能用求解循環卷積來代替線性卷積那么是否能用求解循環卷積來代替線性卷積運算而不失真呢？運算而不失真呢？mmnxmxnxnx)()()()(2121 nRmnxmxnxnxNNmN102121時間反轉且線性移位時間反轉且線性移位循環