1、數學建模數學建模（Mathematical Modeling)黑龍江科技學院理學院黑龍江科技學院理學院工程數學教研室工程數學教研室第六章第六章 數值分析模型數值分析模型 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院弦截法和拋物線法弦截法和拋物線法數值分析模型數值分析模型第六章非線性方程求根非線性方程求根迭代法迭代法重點重點:插值法和非線性方程求根插值法和非線性方程求根難點難點:利用數值分析方法建立數學模型利用數值分析方法建立數學模型插值法插值法 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院建模舉例建模舉例 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院 數值分析numerical analysi

2、s是研究用計算機求解各種數學計算問題的數值計算方法及其理論與軟件實現的學科。數值分析就是介紹如何用計算機來解決數學問題，以各種各樣的程序語言來設計出數值計算程序，然后依靠計算機的強大計算能力來求解這些數學問題，數值分析對數學理論與程序設計并重。 運用數值分析解決問題的過程可分為如下幾步：實際問題數學模型數值計算方法程序設計上機計算求出結果。 數值分析這門學科有如下特點：（1面向計算機（2有可靠的理論分析（3要有好的計算復雜性（4要有數值實驗（5要對算法進行誤差分析函數逼近問題設設y = f(x)，若對以函數，若對以函數y = f(x)來說來說 其值是通過實驗或觀測得到，不知其解其值是通過實驗或

3、觀測得到，不知其解析表達式；析表達式； 解析表達式很復雜，不便分析。解析表達式很復雜，不便分析。問題：能否構造一個較為簡單的函數問題：能否構造一個較為簡單的函數P(x)近近似地表示似地表示f(x)。這就是函數逼近問題。這就是函數逼近問題。上述函數上述函數f(x)稱為被逼近函數，稱為被逼近函數，P(x)稱為逼稱為逼近函數。近函數。逼近方式有兩種：插值和擬合。逼近方式有兩種：插值和擬合。 理學院理學院 黑龍江科技學院 數 學 建 模 在生產和科學研究中,經常出現這樣的問題:由實驗或測量得到的某一函數 在一系列點 處的值 ,需要構造一個簡單函數 作為函數 的近似表達式: ,使得 這類問題稱為插值問題

4、. ( )yf x01,nx xx01,nyyy( ) x( )yf x( )( )yfxx0011(),(),()nnxyxyxy(6 1)( )f x-被插值函數被插值函數( ) x-插值函數插值函數01,nx xx-插值節點插值節點-插值條件插值條件(6 1) 6.1 插值法插值函數：有各種類型，如代數多項式，三插值函數：有各種類型，如代數多項式，三角函數，有理函數等。當插值函數為多項式角函數，有理函數等。當插值函數為多項式時，稱為代數插值多項式。時，稱為代數插值多項式。minxi,maxxi = a,b-插值區間插值區間x0 xixy0yiyyf(x)o從幾何上看，插值法就是要求一條曲

5、線從幾何上看，插值法就是要求一條曲線 它它通過已知的通過已知的n+1n+1個點個點(xi,yi)(i=0,1, ,n)(xi,yi)(i=0,1, ,n)，并用，并用 近似表示近似表示 f(x).f(x).（下列圖）（下列圖） 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院( )yx( )x 一、插值基函數與一、插值基函數與Lagrange插值插值1. 簡單情形簡單情形 (1) n = 1時時. 設設 yi = f(xi) i = 0，1.作直線方程：作直線方程： 令：令：稱稱 為兩點式插值或線性插值。為兩點式插值或線性插值。nnyyyxfyxxxx1010)( )(001010 xxxxyyy

6、y )()()(1000101001xxyxxyxxyxx )()(1011001xxyxxyxx .101001011yxxxxyxxxxx 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院）（x1 (2) n = 2 (2) n = 2時時. . 設設yi = f(xi)i = 0yi = f(xi)i = 0，1 1，2. 2. 令：令：稱稱 為三點式插值或拋物插值。為三點式插值或拋物插值。 2120210121012002010212)()()()()()(yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxx 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院）（x12. 推廣推廣 n =

7、1時，記時，記 那么那么 n=2時，記時，記那么那么01011010)(,)(xxxxxlxxxxxl 11001)()(yxlyxlxL )()()(,)()()(,)()()(120210221012012010210 xxxxxxxxxlxxxxxxxxxlxxxxxxxxxl 2211002)()()(yxlyxlyxlx 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院 一般地令一般地令 那么那么 lj(x) (j = 0lj(x) (j = 0，1 1，2 2，n)n)為為n n次多項式次多項式 稱為稱為LagrangeLagrange插值基函數，插值基函數， 為為LagrangeLa

8、grange插值多項式。插值多項式。 njiiijinjjjjjjnjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl1110110)()()()()()()()()(.)()(010 njnjiiijijnjjjnxxxxyxlyx njiiijijxxxxxl1)()()( 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院)(xn 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院例例6.1.1 給定數組給定數組xy3.1533.0622.9792.9032.8332.768907978777675( )x（1作一分段線性插值函數75.5x 78.3x （2用上述插值函數計算和的函數值。 黑龍江科技

9、學院 數 學 建 模 理學院理學院0175,76xx100176( )767576xxxlxxxx011075( )757675xxxl xxxx10 01 1( )( )( )xy lxy l x=2.768 76x2.833 x7565x2107 /100075,76解解 由插值基函數的表達式，在由插值基函數的表達式，在75到到80的的6個點間個點間有有5個線性插值函數，以區間個線性插值函數，以區間為例，此時75,76則在區間上有. 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院Matlab代碼如下:function Y,Phi=FenDuanXianXingChaZhi(xx)clc x1

10、=75:80; y=2.768,2.833,2.903,2.979,3.062,3.153; n=size(x1,2); syms x positivefor i=1:(n-1)Phi(i)=y(i)*(x-x1(i+1)/(x1(i)-x1(i+1)+y(i+1)*(x-x1(i)/(x1(i+1)-x1(i);endPhi=Phi; l=find(x1xx); Y=subs(Phi(l(1)-1),xx); end 函數的調用格式為 xx=75.5 Y,Phi=FenDuanXianXingChaZhi(xx) 得到的結果為： Y =2.8005 Phi =(13*x)/200 - 210

11、7/1000 (7*x)/100 - 2487/1000 (19*x)/250 - 2949/1000 (83*x)/1000 - 699/200 (91*x)/1000 - 4127/1000 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院75.5x 78.3x Y=2.8005的值就是的函數值。的函數值是3.0039。同理可得到 理學院理學院例例6.1.2 由函數由函數z( )1xesin yy生成以下離散數據，并利用其計算函數在 x=1.98，y=0.36處的函數值。并與真值作比較。y x0.10.20.30.40.50.60.50.8485551.9181153.6815226.5888

12、911.3823319.285371.01.0473912.1169513.8803586.78772511.5811619.484211.51.2442412.3138024.0772096.98457611.7780119.681062.01.438142.50774.2711077.17847411.9719119.874962.51.6281472.6977074.4611157.36848212.1619220.06496 黑龍江科技學院 數 學 建 模(0.36,1.98)z使用了matlab系統函數 interp2，代碼如下，x=0.5:0.5:3.00.1:0.1:0.6;y=

13、0.5:0.5:3.0;x,y=meshgrid(x,y);z=exp(x)+sin(y)+y-1;z_spline=interp2(x,y,z,1.98,0.36,spline)計算結果為z_spline=6.9554，即對函數使用二次插值后在點計算出的而實際值是6.9550，二次插值的絕對誤差為0.0004。值是6.9554。 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院 黑龍江科技學院 數 學 建 模二、牛頓插值二、牛頓插值 在理論上，利用插值基函數求出Lagrange插值多項式是很重要的。但用 來計算 的近似值卻不大方便，特別是達不到要求的精度，這就要求增加插值節點，插值節點的增加意味

14、著要重新計算全部的插值基函數。Lagrange插值法的計算量就變得很大了為此我們需要另一種便于計算的插值多項式。)(xf)(xn 理學院理學院 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院( )() ,ijijijf xf xf x xxx, , ,jkijijkkif xxf x xf x xxxx1011010 ,.,.,.,nnnnf xxf x xxf x xxxxf定義定義6.1.1函數函數的一階均差定義為,ijx x稱為函數關于點的一階均差.n一般地，記階均差為f01,.,nx xxn稱為關于點的階均差.類似地，可以定義二階均差 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院x ,

15、a b根據均差定義，把看成上一點，可得0000010110110( )() ,() , ,(). ,., ,., ,.,()nnnnf xf xf x xxxf x xf x xf x x xxxf x xxf x xxf x xxxx只要把后一式代入前一式，就得到牛頓插值多項式( )nx0010012010101( )(),(),()().,().()( )( )nnnnf xf xf x xxxf x x xxxxxf x x xxxxxxR x0010012010101( )(),(),()().,.,().()nnnxf xf x xxxf x x xxxxxf x xxxxxx( )

16、( )( )nnR xf xx其中我們稱( )nx為Newton均差插值多項式。. 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院注意注意: 因此Newton插值多項式與Lagrange插值多項式只是形式不同，它們都是同一個多項式。(2)由于插值點固定時插值多項式是存在唯一的。 (1) 牛頓法比Lagrange插值的計算量少，且便于程序設計浮力問題浮力問題一個半徑為一個半徑為r，密度為，密度為的球重的球重 ，高為，高為h的球的球冠體體積為冠體體積為 ，求，求 的球浸在水中部的球浸在水中部分的深度是半徑的幾分之幾見圖分的深度是半徑的幾分之幾見圖1）。）。334r)3(332hrh 6 . 0 6.

17、2 非線性方程非線性方程求根求根 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院圖圖1 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院)3(334323hrhr)3(33433223rkrkrr0415523kk問題分析問題分析設設=0.6的球浸在水中部分的深度為的球浸在水中部分的深度為h由物理學中知識，漂浮時，重力等于浮力可知：由物理學中知識，漂浮時，重力等于浮力可知：令令h=kr即：即：問題：如何求解問題：如何求解k的值？的值？ 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院 黑龍江科技學院 數 學 建 模工程實際與科學計算中都遇到大量求解非線性方程的問題。設非線性方程為( )0f x 求數 使

18、得 ( )0,f則稱 為方程6.2.1的根，也稱函數 ( )f x的零點。求解非線性方程在初等代數中就有研究。例如， 代數方程二次、三次方程等）、超越方程三角方程，指數、對數方程等）。 但是我們發現即使是最基本的代數方程， 當次數超過4時，一般情況下就不能 用公式表示方程的根，至于 超越方程那 就更難了。 （6.2.1） 研究用數值方法計算非線性方程的根非常必要。 在求根時通常假設非線性方程 ( )0f x x是關于 的連續函數 若令( )yf x 它在坐標系下的圖像為連續曲線，因而，求 ( )0f x 的根就是求與x軸的交點. 假如 ( )0f x 在區間 , a b僅有一個根，則稱 , a

19、 b為方程 ( )f x的單根區間；假如 ( )0f x 在區間 , a b上有不止一個根，則稱 , a b為方程 ( )f x的多根區間。方程的單根區間和多根區間統稱為方程的有根區間。為了研究方便，我們主要研究方程在單根區間上的求解方法。 黑龍江科技學院 數 學 建 模abx0 x1a1b2x*一、區間對分法二分法）一、區間對分法二分法）1. 確定有根區間確定有根區間:2. 逐次對分區間：逐次對分區間：3. 取根的近似值取根的近似值:b1a2 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院 .,),(, 0)()(,)(稱其為有根區間稱其為有根區間的根的根內必有方程內必有方程那么那么假設假設

20、babfafbaCxf( )0f x nnbabababa,2211, 0)()( ,2 nnnnnbfafabab:二二分分法法的的誤誤差差122 nnnnababxx其誤差為其誤差為: xbaxnnn2根的近似值根的近似值:逐逐次次對對分分區區間間得得區區間間套套abx0 x1a1b2x*b1a2 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院.),(limlim的根的根是方程是方程 baxbannnn用對分區間法求根步驟：用對分區間法求根步驟：), 1 , 0(2. 2 nbaxnnn似似根根逐逐次次對對分分求求根根區區間間求求近近0)()( nnxfaf若若nnnnxbaa 11,則則n

21、nnnbbxa 11,否否則則0)()( ,. 1 bfafba確確定定求求根根區區間間12lnln)ln( abn ln2ln) 1()ln(21 nababn.直直到到滿滿足足精精度度估估計計等等分分區區間間的的次次數數誤誤差差公公式式可可以以用用于于事事先先 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院確確定定有有根根區區間間解解 : 為為有有根根區區間間2 , 13 .135 . 0ln10ln4 n.,1414似似解解即即為為滿滿足足精精度度要要求求的的近近故故xn )(1021 ,02010)( :43精確到小數后第四位要求誤差不超過的一實根求方程例xxxf08)2(,09)1(

22、ff12, nnabx誤差為誤差為做為近似值做為近似值取取,10214 為為使使誤誤差差不不超超過過10ln45 . 0ln5 . 0ln) 1( n41102121 n只只需需 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院 6.3 迭代法迭代法 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院將方程 ( )0f x 等價變形為 ( )xx，若要求滿足 *()0f x的根 *x，等價的是求 *x使得 *()xx，稱 ( )0f x 與 ( )xx同解；反之亦然。這時的 *x稱為是函數 ( )x的一個不動點。求方程 ( )0f x 的根等價于求 ( )x的不動點。 不動點迭代關系式(也稱簡單迭代法)

23、為1(),0,1,2,.kkxxk(6.3.1) 其中函數 ( )x稱為迭代函數.如果對任意 1(),0,1,2,.kkxxk由式6.3.1產生的序列 nx有極限 *limkkxx則稱不動點迭代法6.3.1收斂. 黑龍江科技學院 數 學 建 模1 1、簡單迭代法、簡單迭代法xyo)(xyxy 是否對于任意的等價形式是否對于任意的等價形式 該迭該迭代法都是收斂的？什么情況下收斂？代法都是收斂的？什么情況下收斂？)(xx 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院xyy = xxyy = xxyy = xxyy = xx*x*x*x*x0p0 x1p1 x0p0 x1p1 x0p0 x1p1x0

24、p0 x1p1)(xy )(xy)(xy )(xy 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院定理定理6.3.1 (不動點存在性定理不動點存在性定理) 設 ( ) , xC a b滿足以下兩個條件: （1對任意 , xa b，有 ( ) , xa b（2存在正常數 1L 使對任意 , , x ya b都有 ( )( )xyyx那么 ( )x在 , a b上存在惟一的不動點 *x定理定理6.3.2 （不動點迭代法的全局收斂性定理設（不動點迭代法的全局收斂性定理設 ( ) , xC a b滿足定理6.3.1中的兩個條件,則對任意 0 , xa b得到的迭代序列 由(6.3.1)式nx收斂到 ( )x的不動點，并有 誤差估計 式*11kkkLxxxxL*101kkLxxxxL和 黑龍江科技學院 數 學 建 模 理學院理學院定理定理6.3.3不動點迭代法的局部收斂性定理）不動點迭代法的局部收斂