1、數理統計的主要知識點.統計量及其抽樣分布(一)統計量的概念1.統計量的定義：簡單地說，統計量就是樣本Xi的函數，它除Xi外不含其它未知參數。2.簡單隨機抽樣：從總體中抽取樣本X1X2Xn,若它們相互獨立同分布，且分布與總體相同，則稱其為簡單隨機抽樣。3.常見的統計量:1(1)樣本均值：XXini1(2)樣本方差：S2彳XiIi11-(3)樣本k階原點距：akX：ni1(4)樣本k階中心距:1n-kbk-XiXni1(二)抽樣分布的結構和性質21.分布：若X1X2,Xn是來自總體X的簡單隨機抽樣，且X-N0,1,則隨機變量2=X；x2X：,此時稱其分布為自由度為n的2分布，記22n2_2_性質：

2、EnD2nX2.F分布：若*2n,Y2m,且X與Y相互獨立，記隨機變量F,稱其分布為自Ym由度為n與m的F分布，記F-Fn,m性質：Fn,m1F1m,n3.t分布:設隨機變量X與Y相互獨立，且XN0,1,Yn,則稱t的分布為自由度為的t分布，記ttn性質：自由度為1的t分布是標準柯西分布，它的均值不存在;-可編輯修改-n1時，t分布的數學期望存在且為0；n1時，t分布的方差存在且為nn-2當自由度較大時，t分布可以用N0,1近似。參數估計:（一）點估計:1.矩估計：（替換原理）一般地:用樣本均值估計總體均值；即EXx用樣本二階中心矩估計總體方差；Xs2用事件A出現的頻率估計事件A發生的概率。2

3、 .極大似然估計：若總體的概率函數為fX,）,求極大似然估計的基本思路：寫出極大似然函數Lf%,fX2,fXn,取對數（此步驟僅為簡化求導計算）求導數，并令其為0,求出估計值？性質：若？是的極大似然估計，則對任一函數g,其極大似然估計為g3 .點估計的評價標準：相合性：若limP?0則稱？是的相合估計。n備注：一般計算時，只要limE?,limD?0,則？就是的相合估計nn無偏性：若E?，則?就是的無偏估計。有效性：若?，？2都是的估計值，只要D7D?2,則稱?比馬有效（二）區間估計（單個正態總體下，參數的置信區間）若正態總體N-可編輯修改-1.已知時，的置信度1的置信區間為：xu,xunn2

4、nn22. 未知時，的置信度1的置信區間為:1J3. 未知時，2的置信度1的置信區間為:2n1sj(n1)2.(n1)s22(n1)1一2三.假設檢驗：（1） 概念：1 .檢驗統計量2 .拒絕域3 .顯著性水平，臨界值。4 .兩種錯誤：第一種錯誤：拒真，記P犯第一種錯誤=P拒絕HoHo成立其中是顯著性水平。第二種錯誤：取偽，記P犯第一種錯誤=P接收HoH°不成立注意：當樣本容量n一定時，一類錯誤的概率減少將導致另一類錯誤的概率增加（2） 假設檢驗的基本步驟：1 .根據實際問題提出原假設Ho以及備擇假設H12 .選取適當的檢驗統計量3 .選取適當的顯著性水平，求得對原假設Ho的拒絕域W4 .根據樣本值計算統計量的值，若落入W,則Ho不真，拒絕Ho,接受備擇假設H1,否則接受Ho。（三）單個正態總體下，參數的假設檢驗-可編輯修改-1 .U-檢驗：已知時，的檢驗:檢驗統計量:拒絕域：W2 .t-檢驗：未知時，的檢驗:檢驗統計量：t拒絕域：W,tn13 .2-檢驗：未知時，2的檢驗:2檢驗統計量:2n1s20拒絕域：W0,2n12n1,1_2