1、-1-第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系-2-2 2.1 1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系-3-2 2.1 1.1 1平面1.知道平面的概念,了解平面的基本性質(zhì),會(huì)用圖形和字母表示平面.2.能用符號語言描述空間中的點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.3.能用圖形、文字、符號三種語言描述三個(gè)公理,理解三個(gè)公理的地位與作用,并能確定平面的個(gè)數(shù).123451.平面 1234512345【做一做1】 如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為()A.平面MN B.平面NQC.平面 D.平面MNPQ解析:MN是平行四邊形MNPQ的一條邊,不是對角線,所以該平面不能記作平面MN.答案:A123452.點(diǎn)

2、、線、面的位置關(guān)系的表示A是點(diǎn),l,m是直線,是平面.1234512345名師點(diǎn)撥從集合的角度理解點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系(1)直線可以看成無數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的集合,故點(diǎn)與直線的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系,用“”或“”表示;(2)平面也可以看成點(diǎn)集,故點(diǎn)與平面的關(guān)系也是元素與集合的關(guān)系,用“”或“”表示;(3)直線和平面都是點(diǎn)集,它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系,故用“”或“”表示.12345【做一做2-1】 若點(diǎn)M在直線a上,a在平面內(nèi),則M,a,之間的關(guān)系可記為()A.Ma,aB.Ma,aC.Ma,a D.Ma,a答案:B12345【做一做2-2】 若平面與平面相交于直線m,則用符號語言可表示為.答

3、案:=m123453.公理1 12345名師點(diǎn)撥公理1的內(nèi)容反映了直線與平面的位置關(guān)系.“線上兩點(diǎn)在平面內(nèi)”是公理的條件,結(jié)論是“線上所有點(diǎn)都在平面內(nèi)”.從集合的角度看,這個(gè)公理就是說,如果一條直線(點(diǎn)集)中有兩個(gè)點(diǎn)(元素)屬于一個(gè)平面(點(diǎn)集),那么這條直線就是這個(gè)平面的真子集.12345【做一做3】 已知直線m平面,點(diǎn)Pm,點(diǎn)Qm,則 ()A.P,QB.P,QC.P,QD.Q解析:因?yàn)镼m,m,所以Q.因?yàn)镻m,所以有可能P,也有可能P.答案:D123454.公理2 12345名師點(diǎn)撥1.公理2的條件是“過不在一條直線上的三點(diǎn)”,結(jié)論是“有且只有一個(gè)平面”.2.公理2中“有且只有一個(gè)”的含義

4、要準(zhǔn)確理解.這里的“有”是說圖形存在,“只有一個(gè)”是說圖形唯一,強(qiáng)調(diào)的是存在和唯一兩個(gè)方面,因此“有且只有一個(gè)”必須完整地使用,不能僅用“只有一個(gè)”來代替,否則就沒有表達(dá)出存在性.12345【做一做4】 三點(diǎn)可確定平面的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.1或無數(shù)個(gè)解析:當(dāng)這三點(diǎn)共線時(shí),可確定無數(shù)個(gè)平面;當(dāng)這三點(diǎn)不共線時(shí),可確定一個(gè)平面.答案:D123455.公理3 12345【做一做5】 如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面()A.沒有其他公共點(diǎn)B.僅有這一個(gè)公共點(diǎn)C.僅有兩個(gè)公共點(diǎn)D.有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)答案:D1231.對平面的理解剖析:幾何中的平面是一個(gè)只描述而不定義的最基本的原始概念.生活

5、中的平面是比較平整、有限的;而幾何中所說的平面是從生活中常見的物體中抽象、概括出來的,是理想的、絕對平整的、無限延伸的.幾何中的平面無大小、厚薄之分,是不可度量的,可以向四周無限延伸.總結(jié)起來,平面應(yīng)具有如下特點(diǎn):(1)平面是平的;(2)平面是沒有厚度的;(3)平面是無限延展且沒有邊界的;(4)平面是由空間點(diǎn)、線組成的無限集合;(5)平面圖形是空間圖形的重要組成部分.生活中的一些物體通常呈平面形狀,如課桌面、黑板面等都給我們以平面的形象.這種借助于實(shí)例引入平面的概念是必要的,對幾何中平面的無限延展性可以聯(lián)系直線的無限延伸性來理解.1232.公理2的推論剖析:由公理2可以得到三個(gè)推論,如下表.1

6、23下面僅證明推論2,另兩個(gè)推論請你試著證明.推論2:經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面.已知:P是點(diǎn),a,b是直線,且ab=P.求證:經(jīng)過直線a,b有且只有一個(gè)平面.證明:如圖,在直線a,b上分別取與點(diǎn)P不同的點(diǎn)A和點(diǎn)B,則A,B,P是不共線的三點(diǎn),則過這三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.所以Aa,Pa,A,P,即a.同理,b.所以平面是經(jīng)過直線a,b的一個(gè)平面.123假設(shè)經(jīng)過直線a,b還有一個(gè)平面,那么A,B,P三點(diǎn)也一定在平面內(nèi).這樣過不共線的三點(diǎn)A,B,P就有兩個(gè)平面和,這與公理2矛盾.所以經(jīng)過相交直線a,b只有一個(gè)平面.由和,知經(jīng)過直線a,b有且只有一個(gè)平面.這三個(gè)推論與公理2的作用相同,都是確定

7、平面的依據(jù).1233.對公理3的理解剖析:(1)如果兩個(gè)相交平面有兩個(gè)公共點(diǎn),那么過這兩點(diǎn)的直線就是它們的交線;(2)如果兩個(gè)相交平面有三個(gè)公共點(diǎn),那么這三點(diǎn)共線;(3)如果兩個(gè)平面相交,那么一個(gè)平面內(nèi)的直線和另一個(gè)平面的交點(diǎn)必在這兩個(gè)平面的交線上.題型一題型二【例1】 用符號語言表示下列語句,并畫出圖形.(1)三個(gè)平面,交于一點(diǎn)P,且平面與平面交于PA,平面與平面交于PB,平面與平面交于PC;(2)平面ABD與平面BCD相交于BD,平面ABC與平面ADC相交于AC.解:(1)符號語言:=P,=PA,=PB,=PC.圖形表示如圖.題型一題型二(2)符號語言:平面ABD平面BCD=BD,平面AB

8、C平面ADC=AC.圖形表示如圖.反思1.用文字語言、符號語言表示一個(gè)圖形時(shí),先辨別圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系,再用符號語言或文字語言表示.2.要注意符號語言的意義,如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“”或“”,直線與平面的位置關(guān)系只能用“”或“”.3.由符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí),要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別.題型一題型二【變式訓(xùn)練1】 用文字語言和符號語言表示下圖.解:文字語言:平面內(nèi)的兩條直線m和n相交于點(diǎn)A.符號語言:m,n,且mn=A.題型一題型二【例2】 一條直線和直線外三個(gè)點(diǎn)最多能確定的平面?zhèn)€數(shù)是()A.4B.6C.7D.10解析:當(dāng)三點(diǎn)A,B,C不共線時(shí),這三點(diǎn)確定一個(gè)平面.若直線l=D,如圖所示,則此時(shí)直線l和直線l外三點(diǎn)確定的平面最多.直線l與A,B,C三點(diǎn)分別確定一個(gè)平面,再加上平面,共確定4個(gè)平面.答案:A題型一題型二反思確定平面的問題要利用公理2及三個(gè)推論,要想確定的平面最多,那么條件中每一組能確定平面的元素都要利用起來.本例題容易產(chǎn)生的錯(cuò)誤是先在已知直線上任取兩點(diǎn),這樣共5個(gè)點(diǎn)構(gòu)成了一個(gè)四棱錐,四棱錐的4個(gè)側(cè)面,2個(gè)對角面,再加上底面共有7個(gè)平面,誤選C;或者是認(rèn)為從這5個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)可確定一個(gè)平面,一共有10個(gè)平面,誤選