1、數學期望：隨機變量最基本的數學特征之一。它反映隨機變量平均取值的大小。又稱期望或均值。它是簡單算術平均的一種推廣。例如某城市有10萬個家庭，沒有孩子的家庭有1000個，有一個孩子的家庭有9萬個，有兩個孩子的家庭有6000個，有3個孩子的家庭有3000個，則此城市中任一個家庭中孩子的數目是一個隨機變量，記為X,它可取值0,1,2,3,其中取0的概率為0.01,取1的概率為0.9,取2的概率為0.06,取3的概率為0.03,它的數學期望為0X0.01+1X0.9+2X0.06+3X0.03等于1.11,即此城市一個家庭平均有小孩1.11個，用數學式子表示為：E(X)=1.11。也就是說，我們用數學

2、的方法分析了這個概率性的問題，對于每一個家庭，最有可能它家的孩子為1.11個。可以簡單的理解為求一個概率性事件的平均狀況。各種數學分布的方差是：1、 一個完全符合分布的樣本2、 這個樣本的方差概率密度的概念是：某種事物發生的概率占總概率(1)的比例，越大就說明密度越大。比如某地某次考試的成績近似服從均值為80的正態分布，即平均分是80分，由正態分布的圖形知x=80時的函數值最大，即隨機變量在80附近取值最密集，也即考試成績在80分左右的人最多。下圖為概率密度函數圖(F(x)應為f(x),表示概率密度)：離散型分布：二項分布、泊松分布連續型分布：指數分布、正態分布、X2分布、t分布、F分布抽樣分

3、布抽樣分布只與自由度，即樣本含量(抽樣樣本含量)有關二項分布(binomialdistribution):例子拋硬幣伯努利試1、重復試驗(n個相同試驗，每次試驗兩種結果，每種結果概率恒定驗)2、P(X=0),P(X=1),P(X=3),所有可能的概率共同組成了一個分布，即二項分布泊松分布(possiondistribution):1、一個單位內(時間、面積、空間)某稀有事件2、此事件發生K次的概率3、P(X=0),P(X=1),P(X=3),所有可能的概率共同組成了一個分布，即泊松分布二項分布與泊松分布的關系：二項分布在事件發生概率很小，重復次數n很大的情況下，其分布近似泊松分布均勻分布(un

4、iformdistribution):分為連續型均勻分布和離散型均勻分布離散型均勻分布：1、 n種可能的結果2、 每個可能的概率相等(1/n)連續型均勻分布：1、 可能的結果是連續的-q2、 每個可能的概率相等("一")連續型均勻分布概率密度函數如下圖：指數分布(exponentialdistribution):用來表示獨立隨機事件發生的時間問隔，比如旅客進機場的時間問隔、中文維基百科新條目出現的時間間隔等等。指數分布常用于各種“壽命”分布的近似1、連續型分布，每個點的概率：2、無記憶性。已經使用了s小時的元件，它能再使用t小時的概率，與一個從未使用過的元件使用t小時的概率

5、相同。即它對已經使用過的s小時沒有記憶。指數分布的概率密度函數如下圖：正態分布（normaldistribution）:又稱高斯分布。1、 描述一個群體的某個指標。2、 這個指標是連續的。P為均數3、 每個特定指標在整個群體中都有一個概率（口為5池基）。4、 所有指標概率共同組成了一個分布，這個分布就是正態分布。正態分布的概率密度函數如下圖：中心極限定理：不論總體的分布形式如何（正態或非正態），只要樣本（抽樣樣本）含量n足夠大時，樣本均數的分布就近似正態分布，且均數與總體均數相等，標準差為（總體標準差）/（n的開方）。中心極限定理使得t分布、F分布和X2分布在抽樣樣本含量很大時不需要對總體樣本

6、是否正態有要求。t分布（studenttdistribution）:1、t分布是以0為中心的一簇曲線，每個自由度決定一個曲線2、自由度是一個抽樣小樣本中的具體觀測值的個數（抽樣樣本含量）-13、總體樣本呈正態分布（抽樣樣本含量較小時，要求總體樣本呈正態分布，如果抽樣樣本含量很大（eg.n>=100）,由中心極限定理可知抽樣樣本均數也近似正態分布，因而“差值”的概率也呈正態分布，而t分布的每一條曲線實際上都是正態分布曲線）4、從一個總體樣本中抽取很多個小樣本抽樣5、每個小樣本都有一個均值6、每個小樣本的均值與總體樣本均值有一個差值，這個差值用t估計7、可能有多個小樣本的差值估計都是t,t出

7、現的次數占所有小樣本的比例可以用一個概率衡量8、所有t值的概率組成一個分布，就是t分布的一個曲線9、另外做一個抽樣，每個小樣本包含的觀測值不同，則形成t分布的另外一個曲線10、自由度越大，則曲線越接近于標準正態分布11、t分布只與自由度相關t分布的概率密度函數如下圖（v為自由度）：X2分布（chisquaredistribution）:1、X2分布也是一簇曲線，每個自由度決定一個曲線2、自由度是一個抽樣小樣本中的具體觀測值的個數（抽樣樣本含量）-12、總體樣本呈正態分布（抽樣樣本含量（n）較小時，要求總體樣本呈正態分布）3、從總體樣本中抽取n個觀測值：Zi,Z2,Z3抽樣4、將它們平方后求和，

8、這個和用一個新變量表示,即X25、重復抽樣并獲得多個X2：X2,X2,X2,X26、可能有多次抽樣的X2值相同，同一個父值的抽樣次數占總次數的比例可以用一個概率表小7、所有的概率值共同組成一個分布,就是X2分布的一條曲線8、另外做一次，只要從總體中選取觀測值數目n不同，得到的就是另外一條曲線10、自由度越大，則曲線越接近于標準正態分布11、X2分布只與自由度相關X2分布的概率密度函數如下圖（n在這里為自由度）：F分布（F-distribution）:1、F分布也是一簇曲線，每對自由度決定一個曲線2、自由度是一個抽樣小樣本中的具體觀測值的個數（抽樣樣本含量）-12、兩總體樣本方差比的分布3、總體

9、樣本呈正態分布（抽樣樣本含量（n）較小時，要求總體樣本呈正態分布）4、從總體樣本中抽取兩個樣本，兩個樣中的觀測值數目可相同也可不同，分別記為n1和n25、分別計算出X2：Xi,“6、構建一個新變量F:7、重復抽取樣本，計算多個F值：Fi,F2,F3.8、可能有多次抽樣的F值相同，同一個F值的抽樣次數占總次數的比例可以用一個概率表不9、所有的概率值共同組成一個分布，就是F分布的一條曲線10、另外做一次，只要從總體中選取觀測值數目n不同，得到的就是另外一條曲線10、兩個自由度越大，則曲線越接近于標準正態分布11、F分布只與自由度相關F分布的概率密度函數如下圖(m,n在這里為自由度)：【在推估總體平均值時，基于樣本平均數的抽樣分布】一一t分布【在用樣本方差來推估總體方差時，必須知道樣本方差的抽樣分布】一X2分布【比較兩個總體的方差是否相等時，必須知道樣本方差的聯合抽樣分布】一F分布生存分析(survivalanalysis):1、多種影響慢性疾病的因素(不同手術方法、不同藥物)2、隨訪一群患者3、一段時間后統計生存和死亡3、最終給出的結果是一個評價各種因素對生存時間的影響(生存時間、生存率有無差異)貝葉斯公式(bayesformula):1、 描述兩個條件概率之間的關系P(Bi|A)與P(A|Bi),A為事