1、流體力學第流體力學第4章章第1頁/共67頁l4.14.1流體的運動微分方程式（自學）流體的運動微分方程式（自學）l無粘性流體的運動微分方程式無粘性流體的運動微分方程式l從理想流體中任取一從理想流體中任取一 為中心的微元六面體為控制體，為中心的微元六面體為控制體，邊長為邊長為 ，中心點壓強為，中心點壓強為 ， ( , , )p x y z( , , )x y z,dx dy dz第2頁/共67頁l受力分析受力分析( (x x方向為例方向為例) )：l1.1.表面力表面力l因為理想流體，所以因為理想流體，所以l左表面左表面l右表面右表面l2.2.質量力質量力 l單位質量力在各坐標軸上分量為單位質量

2、力在各坐標軸上分量為 ，所以，所以 方向的方向的質量力為質量力為l由牛頓第二運動定律由牛頓第二運動定律 ， 方向有：方向有： ()()22xDudx pdx ppdydzpdydzXdxdydzdxdydzxxDt1xxxxxxyzDuuuuupXuuuxDttxyz01()2MMpPp Apdx dydzx1()2NNpPp Apdx dydzx, ,X Y ZXdxdydzFmaxx第3頁/共67頁l理想流體的運動微分方程（歐拉運動微分方程）理想流體的運動微分方程（歐拉運動微分方程） l 適用范圍：恒定流或非恒定流，可壓縮流或不可壓縮流體。適用范圍：恒定流或非恒定流，可壓縮流或不可壓縮流體

3、。 l 若加速度等于若加速度等于0 0，則上式就可轉化為，則上式就可轉化為歐拉平衡微分方程歐拉平衡微分方程 111xxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyzDuuuuupXuuuxDttxyzDuuuuupYuuuyDttxyzDuuuuupZuuuzDttxyz第4頁/共67頁l粘性流體的運動微分方程式（自學）粘性流體的運動微分方程式（自學）l1.1.粘性流體的動壓強粘性流體的動壓強l由于粘性作用，運動時出現剪應力，使任一點法向應力由于粘性作用，運動時出現剪應力，使任一點法向應力的大小，與作用面的方位有關。研究表明，同一點任意的大小，與作用面的方位有關。研究表明，同一點任意三個正交面上

4、的法向應力之和都不變，該點的動壓強表三個正交面上的法向應力之和都不變，該點的動壓強表示為示為l2.2.實際流體的運動微分方程（實際流體的運動微分方程（N-SN-S） 222111xxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyzuuuupXuuuuxtxyzuuuupYuuuuytxyzuuuupZuuuuztxyz 1()3xxyyzzpppp第5頁/共67頁l4.24.2 元流的伯努利方程及能量方程元流的伯努利方程及能量方程l無粘性液體運動微分方程的伯努利積分無粘性液體運動微分方程的伯努利積分l由于歐拉運動微分方程是一個一階非線性偏微分方程組由于歐拉運動微分方程是一個一階非線性偏微分方程組（

5、遷移加速度的三項中包含了未知數與其偏導數的乘（遷移加速度的三項中包含了未知數與其偏導數的乘積），因而至今還無法在一般情況下積分，只能在一定積），因而至今還無法在一般情況下積分，只能在一定條件下積分。考慮條件：條件下積分。考慮條件：l1 1、恒定流、恒定流111xxxxyzyyyxyzzzzxyzuuupXuuuxxyzuuupYuuuyxyzuuupZuuuzxyzdxdydz0,0yxzuuuptttt第6頁/共67頁l對上式各式分別乘以流線上微元線段的投影對上式各式分別乘以流線上微元線段的投影dxdx，dydy，dz,dz,則上式中的第一式變為：則上式中的第一式變為：l2.2.在流線上，由

6、流線微分方程式在流線上，由流線微分方程式 ，有，有 1()xxxxyzuuupXdxdxuuudxxxyzyxzuuudxdydzyxzxu dxu dyu dxu dz()()xxxxyzxxxxyzxxxxxxxxxxxxuuuuuudxxyzuuuu dxu dxu dxxyzuuuu dxu dyu dzxyzuuuudxdydzxyzu du第7頁/共67頁l因此因此l同理有：同理有：l將上述三式相加得：將上述三式相加得： 2222221()()21()2xyzIIIIIIxyzIIIIIIuuupppXdxYdyZdzdxdydzdxyzuuuXdxYdyZdzdpd 211()(

7、)2xxxxyzxxxuuupXdxdxuuudxu dud uxxyz2211()211()2yyyzzzpYdydyu dud uypZdzdzu dud uz第8頁/共67頁l2.2.質量力只有重力質量力只有重力l3.3.均勻不可壓縮流體均勻不可壓縮流體 l積分得無粘性流體運動方程沿流線積分積分得無粘性流體運動方程沿流線積分 ： 0,XYZg 1,()pconstdpd2()()2IIIIIIpugdzdd 2221()2xyzIIIIIIuuuXdxYdyZdzdpd 22puzCgg2()()02pugdzdd元流的伯努利方程元流的伯努利方程第9頁/共67頁l對同一流線上的任意兩點，

8、有對同一流線上的任意兩點，有l或或l無粘性流體元流伯努利方程的應用條件：無粘性流體元流伯努利方程的應用條件：l1 1、恒定流動；、恒定流動；l2 2、質量力只有重力、質量力只有重力l3 3、沿元流（流線）、沿元流（流線）l4 4、不可壓縮流體、不可壓縮流體2211221222pupuzzgggg2222222111upzupz第10頁/共67頁l元流伯努利方程的物理意義和幾何意義元流伯努利方程的物理意義和幾何意義物理意義物理意義幾何意義幾何意義 單位重量流體的位能單位重量流體的位能位置水頭位置水頭單位重量流體的壓能單位重量流體的壓能壓強水頭（測壓管高度）壓強水頭（測壓管高度）pgz單位重量流體

9、的動能單位重量流體的動能流速水頭流速水頭 單位重量流體總勢能單位重量流體總勢能測壓管水頭測壓管水頭 單位重量流體的總機械能單位重量流體的總機械能總水頭總水頭 沿同一元流（流線）的各沿同一元流（流線）的各過流斷面上，單位重量流過流斷面上，單位重量流體所具有的機械能守恒。體所具有的機械能守恒。對于液體來說，元流各對于液體來說，元流各過流斷面上總水頭沿流過流斷面上總水頭沿流程保持不變。程保持不變。22puzggpzg22ug第11頁/共67頁例例4-34-3畢托管測速畢托管測速是一根很細的彎管，其前端和側面均開有小孔，當需要測是一根很細的彎管，其前端和側面均開有小孔，當需要測量水中某點流速時，彎管前

10、端置于該點并正對水流方向，前量水中某點流速時，彎管前端置于該點并正對水流方向，前端小孔和側面小孔分別由兩個不同通道接入兩根測壓管，測端小孔和側面小孔分別由兩個不同通道接入兩根測壓管，測量時只需要讀出這兩根測壓管的水面差，即可求得所測點之量時只需要讀出這兩根測壓管的水面差，即可求得所測點之流速。流速。第12頁/共67頁設先將一根彎管的前端封閉，彎管側面開一小孔，把彎管正設先將一根彎管的前端封閉，彎管側面開一小孔，把彎管正對水流方向，把側面開孔處置于測點對水流方向，把側面開孔處置于測點A A，此時彎管水面上升高，此時彎管水面上升高度度 ，則，則 代表了代表了A A點的動水壓強，即：點的動水壓強，即

11、：設設A A點流速為點流速為 ，若以通過，若以通過A A點點的水平面為基準面，則的水平面為基準面，則A A點的總點的總能量為：能量為： 1Aphg22122ApuuHhggg兩根測壓管的水面差1h1hu第13頁/共67頁再以另一根同樣的彎管，側面不開孔，前端開孔，將彎管再以另一根同樣的彎管，側面不開孔，前端開孔，將彎管前端置于前端置于A A點并正對水流方向。此時，由于點并正對水流方向。此時，由于A A點水流受彎管的點水流受彎管的阻擋，流速變零，動能全部轉化為壓能，故阻擋，流速變零，動能全部轉化為壓能，故 ，上述，上述兩種方法所測得的兩種方法所測得的A A點能量應相等，則可得點能量應相等，則可得

12、由此可得由此可得A A點的流速點的流速以上就為畢托管測速的原理。以上就為畢托管測速的原理。 212212 ()22uhhug hhg hg兩根測壓管的水面差2Hh212 ()2ug hhg h第14頁/共67頁而真實的畢托管，并不要進行兩次測量，而是兩根管合二而真實的畢托管，并不要進行兩次測量，而是兩根管合二為一，只是將前端的小孔和側面的小孔由分別不同的通道接為一，只是將前端的小孔和側面的小孔由分別不同的通道接在兩支測壓管上。此時，流速應為在兩支測壓管上。此時，流速應為其中其中 稱為畢托管的校正系數，一般稱為畢托管的校正系數，一般 約為約為0.98-0.98-1.01.0。修正原因：修正原因：

13、1 1兩個小孔的位置不同。兩個小孔的位置不同。2 2畢托管放入水流中所產生的擾動影響。畢托管放入水流中所產生的擾動影響。 2ucg hcc第15頁/共67頁l粘性流體元流的伯努利方程粘性流體元流的伯努利方程l實際流體具有粘性，運動時產生流動阻力，克服阻力做功，實際流體具有粘性，運動時產生流動阻力，克服阻力做功，使流體的一部分機械能不可逆地轉化為熱能而散失。因此，使流體的一部分機械能不可逆地轉化為熱能而散失。因此，實際流體流動時，單位重量流體具有的機械能沿程不守恒，實際流體流動時，單位重量流體具有的機械能沿程不守恒，而是沿程減少。設而是沿程減少。設 為單位重量流體從斷面為單位重量流體從斷面1 1

14、1 1流動到斷面流動到斷面2 22 2所損耗的機械能，即能量損失，稱所損耗的機械能，即能量損失，稱水頭損失水頭損失。則實際流。則實際流體元流的伯努利方程為：體元流的伯努利方程為：l 4.34.3恒定流體總流的伯努利方程恒定流體總流的伯努利方程l 漸變流及其性質漸變流及其性質l1 1、漸變流的過流斷面近于平面，面上各點的速度方向近于平、漸變流的過流斷面近于平面，面上各點的速度方向近于平行；行；l2 2、漸變流過流斷面上的動壓強與靜壓強分布規律相同，即、漸變流過流斷面上的動壓強與靜壓強分布規律相同，即2211221222wpupuzzhggggcpzgwh第16頁/共67頁l總流的伯努利方程總流的

15、伯努利方程l將式將式各項乘以重量流量各項乘以重量流量 ，得到單位時間內通過元，得到單位時間內通過元流兩過流斷面的全部流體的能量關系式：流兩過流斷面的全部流體的能量關系式：l根據連續性方程：根據連續性方程：l對上式在總流兩過水斷面上積分，可以得到通過總流兩過對上式在總流兩過水斷面上積分，可以得到通過總流兩過流斷面的所有流體所攜帶的總能量之間的關系流斷面的所有流體所攜帶的總能量之間的關系l整理得：整理得：22112212()( )22wpupuzgdQzhgdQgggggdQ1122dQu dAu dA12112222211221112223111111322222222()( )22()2()2

16、wAAAAwAAApupuzgu dAzhgu dAggggpugzu dAgdAggpugzu dAgdAghu dAgg第17頁/共67頁l1 1、勢能積分項、勢能積分項l由于取在漸變流過流斷面上由于取在漸變流過流斷面上, ,因此有因此有l2 2、動能積分項、動能積分項l單位時間內通過總流過水斷面的流體動能的總和，積分單位時間內通過總流過水斷面的流體動能的總和，積分按斷面平均流速計算，并引入修正系數按斷面平均流速計算，并引入修正系數 ：l l動能修正系數動能修正系數, , 一般大于一般大于1 1，如果流速分布較，如果流速分布較均勻時均勻時 。在圓管層流動動中。在圓管層流動動中 ；工程實際中

17、的紊流運動常取工程實際中的紊流運動常取 。()()()ApppgzudAg zAzgQggg()ApgzudAg232222Aggu dAAgQggg 32Agu dAg1.05 1.1021333322AAAgu dAu dAggAdAg第18頁/共67頁l3 3、水頭損失積分項、水頭損失積分項l 為單位重量流體由過渡斷面為單位重量流體由過渡斷面1-11-1運動到運動到2-22-2的平均機械的平均機械能損失。能損失。l因此，總流的伯努利方程為：因此，總流的伯努利方程為：l4、能量方程的限制條件能量方程的限制條件 l1 1）恒定流；）恒定流；l2 2）不可壓縮流體；）不可壓縮流體；l3 3）質

18、量力只有重力；）質量力只有重力；l4 4）兩過流斷面應為緩變流斷面，而兩斷面之間，可以）兩過流斷面應為緩變流斷面，而兩斷面之間，可以是緩變流也可以是急變流；是緩變流也可以是急變流；l5 5）流量沿程不變；）流量沿程不變；l6) 6) 沿程沒有能量的輸入輸出。沿程沒有能量的輸入輸出。wwAghudAgh QwAghudA2211 122 21222wpvpvzzhggggwh第19頁/共67頁l6 6、有能量輸入輸出的伯努利方程、有能量輸入輸出的伯努利方程l當兩過流斷面部有水泵、風機或水輪機、汽輪機等流體機當兩過流斷面部有水泵、風機或水輪機、汽輪機等流體機械時，存在能量的輸入或輸出。此時的有能量

19、輸入或輸出械時，存在能量的輸入或輸出。此時的有能量輸入或輸出的伯努利方程為：的伯努利方程為：l3 3、兩斷面間有合流或分流的伯努利方程、兩斷面間有合流或分流的伯努利方程l分流分流2211 12221222mwpvpvzHzhgg2211 1222121 22233 311 1131 32222wwpvpvzzhggpvpvzzhgg211233第20頁/共67頁l合流合流2233 311 1131 32233 3222232 32222wwpvpvzzhggpvpvzzhgg112233第21頁/共67頁l水頭線水頭線l總水頭線是總水頭的連線，測壓管水頭線是測壓管水總水頭線是總水頭的連線，測壓

20、管水頭線是測壓管水頭的連線頭的連線. .l理想（無粘性）流體中，總水頭線直線；理想（無粘性）流體中，總水頭線直線；l實際流體中，總水頭線總是沿程單調下降的，下降的實際流體中，總水頭線總是沿程單調下降的，下降的快慢可以用水力坡度快慢可以用水力坡度J J來表示來表示: :l而測壓管水頭線則沿程有升有降而測壓管水頭線則沿程有升有降2211 12221222wppzzhgggg wdhdHJdldl ppdHJdl 第22頁/共67頁理想流體總水頭線和測壓管水頭線理想流體總水頭線和測壓管水頭線第23頁/共67頁l利用能量方程的解題步驟（利用能量方程的解題步驟（“三選一列三選一列”）l（1 1）選擇基準

21、面）選擇基準面: :基準面可任意選定，但應以簡化計算基準面可任意選定，但應以簡化計算為原則。例如選過水斷面形心（為原則。例如選過水斷面形心（z z=0=0），或選自由液面），或選自由液面（p p=0=0）等。）等。l（2 2）選擇計算斷面：計算斷面應選擇均勻流斷面或漸）選擇計算斷面：計算斷面應選擇均勻流斷面或漸變流斷面，并且應選取已知量盡量多的斷面。變流斷面，并且應選取已知量盡量多的斷面。l（3 3）選擇計算點：管流通常選在管軸上，明渠流通常）選擇計算點：管流通常選在管軸上，明渠流通常選在自由液面。對同一個方程，必須采用相同的壓強標選在自由液面。對同一個方程，必須采用相同的壓強標準。準。l（4

22、 4）列能量方程解題，注意與連續性方程的聯合使用。）列能量方程解題，注意與連續性方程的聯合使用。第24頁/共67頁l例例4-44-4：用直徑：用直徑 的水管從水箱引水，如圖所示，的水管從水箱引水，如圖所示，水箱水面與管道出口斷面中心的高差水箱水面與管道出口斷面中心的高差 ，保持恒定，保持恒定，水頭損失水頭損失 水柱，試求管道的流量。水柱，試求管道的流量。l基準面：基準面：0-00-0斷面斷面l計算斷面：計算斷面：1-11-1斷面，斷面，2-22-2斷面斷面l計算點：計算點： 1-11-1斷面自由水面（斷面自由水面（ ），）， 2-22-2斷面中心軸斷面中心軸上上l采用相對壓強采用相對壓強100

23、dmm4Hm3whm10第25頁/共67頁l解：應用伯努利方程解：應用伯努利方程l基準面：基準面：0-00-0斷面斷面; ;l計算斷面：計算斷面：1-11-1斷面，斷面，2-22-2斷面斷面; ;l計算點：計算點： 1-11-1斷面自由水面（斷面自由水面（ ），）， 2-22-2斷面中心軸斷面中心軸上上l因此有因此有l采用相對壓強采用相對壓強l則：則：l取取l則流速為則流速為l流量流量2211 12221222wppzzhgggg 124 ,0zHm z2222wHhg 21.02322210.035m /s4QAd120pp22 ()4.43m/swg Hh10第26頁/共67頁l例例4-5

24、4-5：離心泵由吸水池抽水，已知抽水量：離心泵由吸水池抽水，已知抽水量 ，泵的安裝高度泵的安裝高度 ，吸水管直徑，吸水管直徑 ，吸水，吸水管的水頭損失管的水頭損失 ，試求水泵進口斷面，試求水泵進口斷面2-22-2的真的真空度空度 。l解：選擇基準面為解：選擇基準面為1-11-1斷面列出斷面列出1-11-1斷面，斷面，2-22-2斷面伯努斷面伯努利方程利方程l計算點：計算點：1-11-1斷面自由水面，斷面自由水面， l2-22-2斷面中心軸上斷面中心軸上l可采用相對壓強也可采用絕對壓強計算可采用相對壓強也可采用絕對壓強計算l本題采用相對壓強，由以上條件知本題采用相對壓強，由以上條件知5.56 /

25、QL s5sHmvp100dmm0.25whm12110,0sazzHpp2211 12221222wppzzhgggg 第27頁/共67頁l代入伯努利方程得代入伯努利方程得20.708m/sQA222225.28m251.74kPaswvpHhggpp 222202swpHhgg 第28頁/共67頁l例例4-6 4-6 文丘里流量計文丘里流量計l文丘里流量計主要用于管道中流體的流量測量，主要是文丘里流量計主要用于管道中流體的流量測量，主要是由收縮段、喉部和擴散段三部分組成，它是利用收縮段，由收縮段、喉部和擴散段三部分組成，它是利用收縮段，造成一定的壓強差，在收縮段前和喉部分別安裝一根測造成一

26、定的壓強差，在收縮段前和喉部分別安裝一根測壓管或用壓管或用U U形管差壓計測量出壓強差，從而求出管道中形管差壓計測量出壓強差，從而求出管道中流體的體積流量。流體的體積流量。 第29頁/共67頁l解：選水基準面解：選水基準面0-00-0。列出收縮段進口斷面。列出收縮段進口斷面1-11-1，喉道斷，喉道斷面面2-22-2的伯努利方程，忽略不計水頭損失的伯努利方程，忽略不計水頭損失h hw w，并取，并取1 1= =2 2=1=1，則有，則有 由連續性方程由連續性方程 代入前式，得代入前式，得l若用測壓管測勢能差，則若用測壓管測勢能差，則 為測壓管為測壓管水頭差水頭差h h，則流量為，則流量為121

27、1241212 () ()(/)1ppg zzd d1212ppzz2211221222ppzzgggg21121122AdAd2111412142(/)1dQAghK hd d第30頁/共67頁21412142(/)1dKgddl其中文丘里管系數其中文丘里管系數K K為：為：l若考慮水頭損失，則需乘以一個流量系數若考慮水頭損失，則需乘以一個流量系數l若用水銀差壓計測勢能差，則有若用水銀差壓計測勢能差，則有QK h1212121212()()()136000(1)(1)12.61000012.6HgpHgppppppppzzzzzzhhhhQKh第31頁/共67頁l總流伯努利方程應用的補充論述

28、總流伯努利方程應用的補充論述l* *1 1、氣流的伯努利方程、氣流的伯努利方程( (自學自學) )l氣體是可壓縮的流體，但是對流速不是很大，壓強變氣體是可壓縮的流體，但是對流速不是很大，壓強變化不魘系統，如工業通風管道、煙道等，可能應用伯化不魘系統，如工業通風管道、煙道等，可能應用伯努利方程。努利方程。l用壓強的形式表示則用壓強的形式表示則 l若若 2212112222absabswwwzgpzgpppgh112221()absaabsaappppppg zz2212121222absabswppzzhgggg第32頁/共67頁l當氣流的密度與外界空氣的密度相同時當氣流的密度與外界空氣的密度相

29、同時 ，或，或兩計算點的高度相同時兩計算點的高度相同時 ，則有，則有l當氣流的密度遠遠大于外界空氣的密度當氣流的密度遠遠大于外界空氣的密度 ，則，則有有22121222wppp22121212() ()22awpg zzppa2211221222wppzzhgggg12zza22121212()22wpg zzpp第33頁/共67頁l4.54.5動量方程動量方程l將質點系動量定理應用于流體系統的運動，可以導出將質點系動量定理應用于流體系統的運動，可以導出流體運動的動量方程。根據動量定理，流體系統動量流體運動的動量方程。根據動量定理，流體系統動量的時間變化率的時間變化率 等于作用在系統上的外力等

30、于作用在系統上的外力 矢量和，矢量和，即即()dKdmuFdtdtdKdtF第34頁/共67頁從恒定總流中任取一束元流為控制體積，從恒定總流中任取一束元流為控制體積，d dt t時間內，流體從時間內，流體從1-21-2處流至處流至1 1-2-2處。處。d dt t時間內元流的動量變化（恒定流）為時間內元流的動量變化（恒定流）為 因為是恒定流，因為是恒定流，dtdt前后前后 無變化，則無變化，則因為過流斷面為漸變流斷面，各點速度平行，按平行矢量和因為過流斷面為漸變流斷面，各點速度平行，按平行矢量和的法則，定義的法則，定義 為為 方向的基本單位矢量，方向的基本單位矢量， 為為 方向方向的基本單位矢

31、量的基本單位矢量1 21 21 22 21 11 2()()t dtdKKKKKKK1 2K2 21 122221 11 1dKKKu dtA uu dtAu1i2i1u2u第35頁/共67頁則則對于不可壓縮流體對于不可壓縮流體 ，并引入修正系數，并引入修正系數 ，以斷面平均流速以斷面平均流速 代替點流速代替點流速 ，積分得，積分得 稱為動量修正系數稱為動量修正系數1212, 21222221 11 11AAdKu dtA u iu dtAu iu12, 212222221 11122221 11 1221 1AAdKdtA idtA idtAdtAQdt 222AAu dAu dAAQ第36

32、頁/共67頁221 1221 1221 1()()()xxxyyyzzzQFQFQF l根據實驗測定值約為根據實驗測定值約為1.021.021.051.05，近似于，近似于l l，所以為計算，所以為計算方便，在工程計算中通常取方便，在工程計算中通常取 。l由動量定理，質點系動量的增量等于作用于該質點系上由動量定理，質點系動量的增量等于作用于該質點系上的外力沖量的外力沖量l得得l投影式為投影式為221 1FdtQdt 1221 1FQ 第37頁/共67頁l總流動量方程的應用條件總流動量方程的應用條件: : 1 1）恒定流；）恒定流； 2 2）不可壓縮流體；）不可壓縮流體； 3 3）兩過流斷面應為

33、漸變流斷面，而兩斷面之間，可）兩過流斷面應為漸變流斷面，而兩斷面之間，可以是漸變流也可以是急變流。以是漸變流也可以是急變流。第38頁/共67頁l使用動量方程時應注意：使用動量方程時應注意：l1 1）選隔離體，將所研究的兩個漸變流斷面之間的水體取）選隔離體，將所研究的兩個漸變流斷面之間的水體取為隔離體；為隔離體； l2 2）選坐標系，確定各作用力及流速的投影的大小和方向；）選坐標系，確定各作用力及流速的投影的大小和方向； l3 3）作計算簡圖：分析隔離體受力情況，并在隔離體上標）作計算簡圖：分析隔離體受力情況，并在隔離體上標出全部作用力的方向；出全部作用力的方向； l4 4）列動量方程解題，）列

34、動量方程解題，計算壓力時，采用相對壓強計算計算壓力時，采用相對壓強計算。 l5 5）正確取好外力與流速的正負號。對于已知的外力和流）正確取好外力與流速的正負號。對于已知的外力和流速方向，凡是與選定坐標軸方向相同者取正號，相反者速方向，凡是與選定坐標軸方向相同者取正號，相反者取負號。對于未知待求量，則可先假定為某一方向，并取負號。對于未知待求量，則可先假定為某一方向，并按上述原則取好正負號，代入總流動量方程中，進行求按上述原則取好正負號，代入總流動量方程中，進行求解。求得的結果為正值時，假定方向即為實際方向，否解。求得的結果為正值時，假定方向即為實際方向，否則相反。則相反。l6 6）注意與能量方

35、程及連續性方程的聯合使用。）注意與能量方程及連續性方程的聯合使用。第39頁/共67頁l例例4-9 4-9 水平設置的輸水彎管，轉角水平設置的輸水彎管，轉角 ，直徑由，直徑由 變為變為 。已知轉彎前斷面壓強。已知轉彎前斷面壓強 （相對壓強），輸水流量（相對壓強），輸水流量 ，不計水頭損失，試求水流對彎管作用力的大小。不計水頭損失，試求水流對彎管作用力的大小。解：解： 取控制體由取控制體由1-11-1，2-22-2斷面及管壁圍成的空間，坐標系斷面及管壁圍成的空間，坐標系如圖。如圖。 分析作用在控制體內分析作用在控制體內液體上的作用力：液體上的作用力：重力：重力：過流斷面上的動水壓力：過流斷面上的動

36、水壓力：彎管對水流的作用力：彎管對水流的作用力：列總流動量方程在列總流動量方程在x x，y y軸方向軸方向的投影式的投影式1200mmd ,xyR R602150mmd 2118kN/mp 30.1m /sQ 12221 121 1cos60cos60sin60sin60 xyPPRQPRQ 12,P PGxRyRx1vy2P2v1d1P2121第40頁/共67頁其中其中列列1-11-1，2-22-2斷面的伯努利方程，忽略水頭損失斷面的伯努利方程，忽略水頭損失2211 12221212121221222222212212222220,144 0.13.185m/s0.244 0.15.66m/

37、s0.157.043kN/m217.0430.15 =0.124kN4ppzzggggzzQdQdppPp A 21111180.2 =0.565kN4Pp A0.538kN()0.597kN()xyRR0.538kN()0.597kN()xyRR水流對彎管的作用力水流對彎管的作用力與彎管對水流的作用與彎管對水流的作用力大小相等方向相反力大小相等方向相反第41頁/共67頁l例例4-10 4-10 水平分岔管路，干管直徑水平分岔管路，干管直徑 ，支管直徑，支管直徑 ，分岔角，分岔角 。已知分岔前斷面的。已知分岔前斷面的壓力表讀值壓力表讀值 ，干管流量，干管流量 ，不計，不計水頭損失。試求水流對分

38、岔管的作用力。水頭損失。試求水流對分岔管的作用力。解：解： 取控制體由取控制體由1-11-1，2-22-2，3-33-3斷面及管壁圍成的空間，坐斷面及管壁圍成的空間，坐標系如圖。標系如圖。 分析作用在控制體內分析作用在控制體內液體上的作用力：液體上的作用力：重力：重力：過流斷面上的動水壓力：過流斷面上的動水壓力：分岔管對水流的作用力：分岔管對水流的作用力：列總流動量方程在列總流動量方程在x x軸方向軸方向的投影式的投影式1600mmd 3023400mmdd270kN/mMp30.6m /sQ xR12322331 1cos30cos30cos30cos3022xQQPPPRQ 123,P P

39、 PG第42頁/共67頁其中其中列列1-11-1，2-2(2-2(或或3-3)3-3)斷面的伯努利方程，忽略水頭損失斷面的伯努利方程，忽略水頭損失2211 122212231212122122222221223122322220,144 0.62.12m/s0.622 0.62.39m/s0.469.4kN/m2169.40.4 =8.717kN4ppzzggggzzQdQdpppPPp A 21111700.6 =19.78kN4Pp A4.72kN()xR 4.72kN()xR 水流對分岔管的作用水流對分岔管的作用力與分岔管對水流的力與分岔管對水流的作用力大小相等方向作用力大小相等方向相反

40、相反第43頁/共67頁l例例4-11 4-11 水平方向的水射流，流量水平方向的水射流，流量 ，出口流速，出口流速 ，在，在大氣中沖擊在前后斜置的光滑平板上，射流軸線與平板成大氣中沖擊在前后斜置的光滑平板上，射流軸線與平板成角角 ，不計水流在平板上的阻力，試求：，不計水流在平板上的阻力，試求：( 1) ( 1) 沿平板沿平板的的 ；（；（2 2）射流對平板的作用力。）射流對平板的作用力。l解：取控制體由解：取控制體由1-11-1，2-22-2，3-33-3斷面及射流表面與平板內斷面及射流表面與平板內壁，坐標系如圖。壁，坐標系如圖。 分析作用在控制體內分析作用在控制體內液體上的作用力：液體上的作

41、用力：重力：重力：過流斷面上的動水壓力為過流斷面上的動水壓力為0 0：平板對水流的作用力：平板對水流的作用力：列總流動量方程在列總流動量方程在x,yx,y方向上的方向上的投影投影123,Q Q1QR22233311 111 11 10()cos0(sin )sinQQQRQQ G第44頁/共67頁列列1-11-1，2-2,3-32-2,3-3斷面的伯努利方程，忽略水頭損失斷面的伯努利方程，忽略水頭損失2211 1222122233311 1131232222ppzzggggppzzgggg 22233311 123112312130()coscos(1 cos )2(1 cos )2QQQQQ

42、QQQQQQQQ 11 11 10(sin )sinRQQ水流對平板的作用力水流對平板的作用力與平板對水流的作用與平板對水流的作用力大小相等方向相反力大小相等方向相反,指向平板指向平板第45頁/共67頁l4.64.6 無粘性流體的無旋流動無粘性流體的無旋流動l 無粘性無旋流動的伯努利方程無粘性無旋流動的伯努利方程l無粘性流體無旋流動的伯努利方程無粘性流體無旋流動的伯努利方程 l l或或 l物理意義：無粘性流體恒定無旋流動全流場單位重量流物理意義：無粘性流體恒定無旋流動全流場單位重量流體的機械能守恒。體的機械能守恒。l無粘性流體無旋流動的伯努利方程與無粘性流體元流伯無粘性流體無旋流動的伯努利方程

43、與無粘性流體元流伯努利方程形式完全一樣，但含義和應用范圍不同，元流努利方程形式完全一樣，但含義和應用范圍不同，元流伯努利方程在同一條流線上成立，而伯努利方程在同一條流線上成立，而 無旋流動的伯努無旋流動的伯努利方程全流場成立。利方程全流場成立。22puzCgg2222222111upzupz第46頁/共67頁l 速度勢函數速度勢函數l由曲線積分定理可知，無旋條件式：由曲線積分定理可知，無旋條件式：l是使表達式是使表達式 成為某一函數成為某一函數 的的全微分的充要條件，即全微分的充要條件，即102102102yyxzxxxzzyyyxxzuuuuyzyzuuuuzxzxuuuuxyxy或或或xy

44、zu dxu dyu dz( , , )x y zxyzdu dxu dyu dz第47頁/共67頁l比較比較l得得l即：即：l式中：式中： 無旋運動的流速勢函數，簡稱無旋運動的流速勢函數，簡稱勢函數勢函數。l由此可以得出，無旋流動是有速度勢的流動，反之，有由此可以得出，無旋流動是有速度勢的流動，反之，有速度勢的即是無旋流動。速度勢的即是無旋流動。l對于不可壓縮的平面流體流動中，將式對于不可壓縮的平面流體流動中，將式l代入連續性微分方程代入連續性微分方程ddxdydzxyz,xyzuuuxyzugrad,xyzuuuxyz0yxzuuuxyz第48頁/共67頁l有有l即即： l該式是著名的拉普

45、拉斯方程，滿足拉普拉斯方程的函數該式是著名的拉普拉斯方程，滿足拉普拉斯方程的函數是調和函數。所以，調和函數的一切性質，也是速度勢是調和函數。所以，調和函數的一切性質，也是速度勢函數具有的性。函數具有的性。222222()()()0 xxyyzzxyz222222220 xyz 第49頁/共67頁l平面流動與流函數平面流動與流函數l根據不可壓縮液體平面流動的連續性微分方程，有根據不可壓縮液體平面流動的連續性微分方程，有l它是使它是使 成為某一函數成為某一函數 的全微的全微分的充分與必要的條件，則有分的充分與必要的條件，則有l l得到得到l 稱為不可壓縮液體平面流動的稱為不可壓縮液體平面流動的流函

46、數流函數。實際上，。實際上，無論是無旋勢流還是有旋流動，無論是理想液體還是實無論是無旋勢流還是有旋流動，無論是理想液體還是實際液體，在不可壓縮液體的平面流動中必存在流函數。際液體，在不可壓縮液體的平面流動中必存在流函數。上式說明了，若能確定流函數一個未知數，則也可求得上式說明了，若能確定流函數一個未知數，則也可求得uxux與與uyuy。 yxuuxy yxu dxu dy( , )x ydydydxxdyudxudxy,xyuuyx ( , )x y第50頁/共67頁l流函數的性質流函數的性質 ：l1 1、流函數等值線、流函數等值線 就是流線。就是流線。l證明：證明：l得平面流線方程：得平面流

47、線方程：l得證。得證。l2 2、不可壓縮流體的平面流動中，任意兩條流線的流函、不可壓縮流體的平面流動中，任意兩條流線的流函數之差等于這兩條流線間所通過的單位寬度流量數之差等于這兩條流線間所通過的單位寬度流量dqdq。 ( , )x yC( , )0yxx yCdu dxu dy yxuudxdy第51頁/共67頁l現證明如下：如圖所示，在流函數現證明如下：如圖所示，在流函數11與與33的兩條流線的兩條流線間有任一曲線間有任一曲線AB(AB(不一定垂直于流線不一定垂直于流線) )，在它上面任取一，在它上面任取一微元線段微元線段 ，其流速為，其流速為 ，假定垂直于流動平面的，假定垂直于流動平面的寬

48、度等于寬度等于1 1， 則通過則通過 流量流量 l故故l式中式中 是微元線段是微元線段 的法向單位矢量；的法向單位矢量；l這一積分與曲線這一積分與曲線ABAB的形狀無關，僅決定于的形狀無關，僅決定于A A、B B兩點的兩點的值。由此得證。值。由此得證。dldlcos,cos,xyxyxydqu ndlun xun ydldydxuudlu dyu dxddldl u13BAbaddqqdln第52頁/共67頁l3 3、平面無旋流動的等流函數線（流線）與等勢線正交、平面無旋流動的等流函數線（流線）與等勢線正交l證明：對于平面無旋流動，同時存在速度勢和流函數。證明：對于平面無旋流動，同時存在速度勢

49、和流函數。由流線方程由流線方程l某一點斜率某一點斜率l由等勢線方程由等勢線方程l同點等勢線斜率同點等勢線斜率l乘積乘積l所以流線與等勢線正交，故等勢線也就是過流斷面線。所以流線與等勢線正交，故等勢線也就是過流斷面線。 0 xydu dxu dy0 xydu dyu dx1yxudymdxu2xyudymdxu 121m m 第53頁/共67頁l4 4、平面無旋流動，流函數是調和函數、平面無旋流動，流函數是調和函數l證明：平面無旋流動，有證明：平面無旋流動，有l將將 代入代入l得得l l或或l式中式中l式說明了不可壓縮液體平面勢流中流函數也是調和函數，式說明了不可壓縮液體平面勢流中流函數也是調和

50、函數，它也滿足拉普拉斯方程。它也滿足拉普拉斯方程。2222()()00 xyyxxy1002yyxxzuuuuxyxy,xyuuyx 2022222xy 第54頁/共67頁l對比式對比式l和式和式l得得l即柯西即柯西- -黎曼條件，黎曼條件， 為一對共軛調和函數。為一對共軛調和函數。xyyx ,xyuuxy,xyuuyx , 第55頁/共67頁l基本平面勢流基本平面勢流l1 1、均勻直線流動、均勻直線流動l速度場：速度場：l速度勢：速度勢：l流函數：流函數：l當流動方向平行當流動方向平行x x軸：軸：l當流動方向平行當流動方向平行y y軸：軸：xyu dyu dxadybdx aybx,xyu

51、a ubxyu dxu dyadxbdy axby0,yuaxay0,xubybx 第56頁/共67頁l2 2、源流和匯流、源流和匯流l（1 1）源流：流體從平面上的一點）源流：流體從平面上的一點o o流出，均勻地向四周流出，均勻地向四周徑向直線流動。徑向直線流動。l速度場：速度場：l速度勢：速度勢：l流函數：流函數：l等勢線方程等勢線方程 ，等勢線是以，等勢線是以O O點為圓心的同心點為圓心的同心圓。圓。l流線方程流線方程 ，流線是由，流線是由O O點引出的射線。點引出的射線。l以直角坐標表示以直角坐標表示ln22rqqu dru rddrrr,02rquur22rqqu rdu drrdr

52、, c rc, cc22( , )ln2( , )arctan2qx yxyqyx yx第57頁/共67頁l（2 2）匯流：；流體從四周沿徑向均勻地流入一點。）匯流：；流體從四周沿徑向均勻地流入一點。l速度勢：速度勢：l流函數：流函數：l以直角坐標表示以直角坐標表示l源流和匯流是一種理想化的流動，在原點（源點或匯點）源流和匯流是一種理想化的流動，在原點（源點或匯點）l 是不可能的，這樣稱為奇點。如將原點是不可能的，這樣稱為奇點。如將原點附近除外，注水井向地層注水，地下水從四周向汲水井附近除外，注水井向地層注水，地下水從四周向汲水井匯集，可看作是平面點源和點匯流。匯集，可看作是平面點源和點匯流。

53、ln2qr 2q 22( , )ln2( , )arctan2qx yxyqyx yx 0,rru 第58頁/共67頁l3 3、環流：流體繞固定點作圓周運動，且速度與圓周半、環流：流體繞固定點作圓周運動，且速度與圓周半徑成反比徑成反比 。l速度場：速度場：l速度勢：速度勢：l流函數：流函數：l等勢線方程等勢線方程 ，等勢線是由，等勢線是由O O點引出的射線。點引出的射線。l流線方程流線方程 ，流線是以，流線是以O O點為圓心的同心圓。點為圓心的同心圓。l以直角坐標表示以直角坐標表示22ru dru rdrdr0,2ruurln22rqu rdu drdrrr, c rc, cc22( , )a

54、rctan2( , )ln2yx yxx yxy 第59頁/共67頁l平面無旋流動的疊加原理平面無旋流動的疊加原理l平面勢流問題歸結于在具體的邊界條件下求解勢函數或平面勢流問題歸結于在具體的邊界條件下求解勢函數或流函數所滿足的拉普斯方程。由于拉普拉斯方程是線性流函數所滿足的拉普斯方程。由于拉普拉斯方程是線性的，所以幾個勢函數或流函數的線性疊加仍然滿足拉普的，所以幾個勢函數或流函數的線性疊加仍然滿足拉普斯方程。這就是說，幾個勢流疊加后的流動仍然是勢流。斯方程。這就是說，幾個勢流疊加后的流動仍然是勢流。 l（證明略）（證明略）l勢流的疊加原理為我們提供了一種求解較復雜流動的方勢流的疊加原理為我們提供了一種求解較復雜流動的方法，可以將幾種最簡單的已知勢流疊加起來得到較復雜法，可以將幾種最簡單的已知勢流疊加起來得到較復雜的勢流。當然，疊加的結果