1、小學奧數數論專題數位與進制2019年小學奧數數論專題數位與進制1.某三位數五和它的反序數礪的差被99除,商等于與的差；2,%與府的差被9除，商等于與的差；3.7與雨的和被11除，商等于與的和。4 .（美國小學數學奧林匹克）把一個兩位數的十位與個位上的數字加以交換，得到一個新的兩位數.如果原來的兩位數和交換后的新的兩位數的差是45,試求這樣的兩位數中最大的是多少?5 .將一個四位數的數字順序顛倒過來，得到一個新的四位數（這個數也叫原數的反序數）,新數比原數大8802.求原來的四位數.6 .如果一個自然數的各個數碼之積加上各個數碼之和，正好等于這個自然數，我們就稱這個自然數為“巧數”。例如，99就

2、是一個巧數,因為9X9+（9+9）=99。可以證明，所有的巧數都是兩位數。請你寫出所有的巧數。7 .有3個不同的數字，用它們組成6個不同的三位數，如果這6個三位數的和是1554,那么這3個數字分別是多少？8 .有三個數字能組成6個不同的三位數，這6個三位數的和是2886,求所有這樣的6個三位數中最小的三位數.9 .用1,9,7三張數字卡片可以組成若干個不同的三位數，所有這些三位數的平均值是多少？10 .從19九個數字中取出三個，用這三個數可組成六個不同的三位數。若這六個三位數之和是3330,則這六個三位數中最小的可能是幾？最大的可能是幾？11 .a,b,c分別是0-9中不同的數碼，用a,b,c

3、共可組成六個三位數，如果其中五個三位數之和是2234,那么另一個三位數是幾？12 .在兩位自然數的十位與個位中間插入09中的一個數碼，這個兩位數就變成了三位數，有些兩位數中間插入某個數碼后變成的三位數，恰好是原來兩位數的9倍。求出所有這樣的三位數。13 .一輛汽車進入高速公路時，入口處里程碑上是一個兩位數，汽車勻速行使，一小時后看到里程碑上的數是原來兩位數字交換后的數。又經一小時后看到里程碑上的數是入口處兩個數字中間多一個0的三位數，請問：再行多少小時，可看到里程碑上的數是前面這個三位第4頁數首末兩個數字交換所得的三位數。14 .將四位數的數字順序重新排列后，可以得到一些新的四位數.現有一個四

4、位數碼互不相同，且沒有0的四位數M,它比新數中最大的小3834,比新數中最小的大4338.求這個四位數.15 .已知abcdabcaba1370，求abcd.16 .已知一個四位數加上它的各位數字之和后等于2019,則所有這樣的四位數之和為多少.17 .有一個兩位數，如果把數碼3加寫在它的前面，則可得到一個三位數，如果把數碼3加寫在它的后面，則可得到一個三位數，如果在它前后各加寫一個數碼3,則可得到一個四位數.將這兩個三位數和一個四位數相加等于3600.求原來的兩位數.18 .如果把數碼5加寫在某自然數的右端，則該數增加A1111,這里A表示一個看不清的數碼，求這個數和A。19 .某八位數形如

5、2,它與3的乘積形如abcdefg4,則七位數abcdefg應是多少？20 .一個六位數abcdef,如果滿足4abcdeffabcde,則稱abcdef為"迎春數"（例如4102564410256,則102564就是“迎春數”）.請你求出所有“迎春數”的總和.21 .設K位數abcdef滿足fabcdefabcdef)請與出隹樣的六位數.22 .記四位數abcd為x,由它的四個數字a,b,c,d組成的最小的四位數記為X,如果XX*999,那么這樣的四位數X共有個.23 .將4個不同的數字排在一起，可以組成24個不同的四位數(432124),將這24個四位數按從小到大的順序

6、排列的話，第二個是5的倍數；按從大到小排列的話，第二個是不能被4整除的偶數；按從小到大排列的第五個與第二十個的差在30004000之間.求這24個四位數中最大的那個.24.(101)2(1011)2(11011)2(63121)8(1247)8(16034)8(26531)8(1744)8；若(1030)n140)貝Un.25.567()8()5()2；在八進制中，1234456322；在九進制中，1443831237120117705766.26.在幾進制中有413100?27.在幾進制中有12512516324?28 .算幾進制數的乘法？29 .將二進制數(110

7、10.11)2化為十進制數為多少？30,二進制數10101011110011010101101轉化第6頁為8進制數是多少？31 .將二進制數11101001.1011轉換為十六進制數。32 .某數在三進制中為12120190190110121121,則將其改寫為九進制，其從左向右數第l位數字是幾？33 .現有1克，2克，4克，8克，16克的祛碼各1枚，在天平上能稱多少種不同重量的物體？34 .在6進制中有三位數說，化為9進制為前,求這個三位數在十進制中為多少？35 .在7進制中有三位數航，化為9進制為甚,求這個三位數在十進制中為多少？36 .一個人的年齡用十進制數和三進制數表示，若在十進制數末

8、尾添個“0”就是三進制數，求此人的年齡.37 .N是整數，它的b進制表示是777,求最小的正整數b,使得N是十進制整數的四次方.38 .試求（22006-1）除以992的余數是多少？39 .計算（320031）除以26的余數.40 .計算（220031）除以7的余數.41 .在8進制中，一個多位數的數字和為十進制中的68,求除以7的余數為多少？42 .已知正整數n的八進制表示為N（12345654321%,第7頁那么在十進制下，N除以7的余數與N除以9的余數之和是多少？參考答案1. a-c【解析】本題屬于基礎型題型。我們不妨設a>b>Co(詼-麗)+99=(100a+10b+c)-

9、(100c+10b+a)+99=(99a-99c)+99=a-c;2. a-b【解析】(ab-鬲)+9=(10a+b)-(10b+a)+9=(9a-9b)+9=a-b;3. a+b【解析】(Ob+ba)+11=(10a+b)+(10b+a)+11=(11a+11b)+11=a+b。4. 94【解析】設原來的兩位數為題交換后的新的兩位數為成，根據題意，abba(10ab)(10ba)9(ab)45,ab5,原兩位數最大時，十位數字至多為9,即a9,b4,原來的兩位數中最大的是94.5. 1099【解析】設原數為薪，則新數為dcba,根據題意，有999(da)90(cb)8802)111(da)1

10、0(cb)97888890推知da8,cb9,得到d9aa1cc9bb0,原數為1099.6. 19、29、39、49、59、69、79、89、99【解析】設這個巧數為ab,則有ab+a+b=10a+ha(b+1)=10a)所以b+1=10)b=9。滿足條件的巧數有：19、29、39、49、59、69、79、89、99。7. 4,1,2【解析】設這K個不同的二位數為abC,acb,bac;bca,CabiCba?因為abc100a10bc)acb100a10cb)它們的和是：222(abc)1554,所以abc15542227,由于這三個數字互不相同且均不為0,所以這三個數中較小的兩個數至少為

11、1,2,而7(12)4,所以最大的數最大為4；又12367,所以最大的數大于3,所以最大的數為4,其他兩數分別是1,2.8. 139【解析】設三個數字分別為a、b、c,那么6個不同的三位數的和為：bc)abcacbbacbcacabcba2(abc)1002(abc)102(abc)222(a所以abc288622213)最小的三位數的E位數應為1,十位數應盡可能地小，由于十位數與個位數之和一定，故個位數應盡可能地大,最大為9)此時十位數為131935所以所有這樣的6個三位數中最小的三位數為139.9. 573.5【解析】卡片“9”倒過來看是“6”。作為卡片“9”，由第3題的結果可知，1,9,

12、7可組成的六個不同的三位數之和是(1+9+7)X222;同理，作為卡片“6”，1,6,7可組成的六個數之和是(1+6+7)X222。這12個數的平均值是：(1+9+7)+(1+6+7)*222+12=573.5。10.159,951【解析】設這三個數字分別為a、b、co由于每個數字都分別有兩次作百位、十位、個位，所以六個不同的三位數之和為222X(a+b+c)=3330,推知a+b+c=15o所以，當a、b、c取1、5、9時，它們組成的三位數最小為159,最大為951。11. 652【解析】由a,b,c組成的六個數的和是222(abc).,因為223422210)以abc10.若abc11,則

13、所求數為222112234208)"(B2081011)不合題意.abc12,則所求數為222122234430,(0430712,不合題意.若abc13,則所求數為222132234652)65213)符合題意.若abc14,則所求數為222142234874,但,8741914,不合題意.若abc15,則所求數2221522341096,但所求數為三位數，不合題意.所以，只有abc13時符合題意，所求的三位數為652.12. 405,315,225,135【解析】因為原兩位數與得到的三位數之和是原兩位數的10倍，所以原兩位數的個位數只能是0或5。如果個位數是0,那么無論插入什么數

14、，得到的三位數至少是原兩位數的10倍，所以個位數是5。設原兩位數是匹則b=5,變成的三位數為ab5,由題意有100a+10b+5=(10a+5)X9,化簡得a+b=4。變成的三位數只能是405,315,225,135。13. 11【解析】設第一個2位數為10a+b;第二個為10b+a;第三個為100a+b;由題意：(100a+b)-(10b+a)=(10b+a)-(10a+b);化簡可以推得b=6a)0Wa,bW9)得a=1)b=6;即每小時走61-16=45;(601-106)+45=11;再行11小時,可看到里程碑上的數是前面這個三位數首末兩個數字交換所得的三位數。14. 5917【解析】

15、設組成這個四位數的四個數碼為a,b,c,d（9abcd1）,可得則ad則有abcddcba383443388172）999(ad)90(bc)81727992180)8)bc2)a9)d1,M1cb94338)且M的四位數字分別為1、9,由于8917的個位數字為7,所以b,能為7,故b715.1234【解析】原式:所以a=1,中有一個為7,但bc2,所以c不c5M1579433859171111a+111b+11c+d=1370,則111b+11c+d=13701111=259,推知b=2;進而推知c=3,d=4所以abcd=1234。16. 3988【解析】設這樣的四位數為赤，則abcdab

16、cd2008)即1001a101b11c2d2008)則a1或2.若a2,則101b11c2d6,彳導bc0,d3abcd2003；若a1,則101b11c2d1007)由于11c2d11929117)所以101b1007117890)所以b8,故b為9,11c2d100790998)則c為偶數)且11c982980)故c7,由c為偶數知c8,d5,abcd1985；所以，這樣的四位數有2019和1985兩個，其和為：200319853988.17. 14【解析】設原來的兩位數是環則得到的兩個三位數分別為赤和癡）四位數為麻3）由題知ab33ab3ab33600,即10aB3300ab30031

17、0ab3600,21ab294,故而14.18. 1234,1【解析】設這個數為X,則10x+5-x=A1111,化簡得9x=A1106,等號右邊是9的倍數，試驗可得A=15x=1234o19.8571428【解析】設abcdefgx,貝2abcdefg2107x,abcdefg410x4,根據題意，有2107x310x4,得7x6107459999996)所以x8571428.20.999999【解析】由于是把六位數百的末位f調到首位構成了新六位數fabcde,所以不妨把痂看成一個整體，設畸A,則根據位值原理可知“迎春數”是10Af）并滿足關系式：410Af100000fA.對等式化簡得：3

18、9A99996f.所以：A2564f.因為A是五位數，f是一位數，所以f可以為4,5,6,7,8,9.而“迎春數”abcdef10Af102564ff25641f）那么，所有“迎春數”的總和是：256414567892564139999999.21.111111,102564【解析】令abcdex）貝U：fabcdef105x,abcdef10xf,5-所以f105Xf10xf,可得x10fl.此時可將f1,2,3,4,5,6,7,8,9一代人進行檢驗，可得當f1時,x111111；當f4時）x102564.只有這兩個數滿足條件.由于將f可能的值一一代入進行檢驗有些麻煩，可以將其進行如下變形后

19、再進行：f5525442425555510f10ff10f1010f“410fx1010f110f110f110f1x104m上，貝Ux1010f1，10510f210510f210f2f105f10ff10f110f110f1是整數.設其為a,則10a110610f110610f10f1口上是整）10f110f110f110f1數，所以10f1是999999的約數.當f1,2,3,4,5,6,7,8,9時，如1分別為9,19,29,39,49,59,69,79,89,由999999337111337容易知道其中只有9和39是999999的約數，此時f分別為1和4.這樣的六位數有111111和

20、102564.22. 48【解析】XX*999得到X999XX10001,所以如果a、b、c、d組成的四位數X末位數字不是0,那么X等于將X的千位數字加1,個位數字減1,反過來X等于X的千位數字減1,個位數字加1,所以X為a1bcd1,與X比較，b和c位置沒有換，交換的是a和d,X表下為dbca,可以得到等式a1d,即ad1.所以a和d的取值組合，只有2和1,3和2,9和8,共8種情況.對于其中任意一種組合，由于痂是由四個數字a、"c、d組成的最小的四位數，分別考慮b、c中有0的情況（可能兩個都為0;若只有一個0,則b0,dca）；以及b、c都不為0的情況（此時dbca）,可知兩種情

21、況下各有3種可能，共6種可能：d00a,d0da,d0aa,ddda,ddaa,daaa.比如以a4,d3為例,礪可能的取值有3004,3034,3044,3334,3344,34444這6個數.根據乘法原理，滿足條件的四位數一共有8648種.如果a、b、c、d組成的最小的四位數X末位數字是0,顯然X的百位、十位都是0,此時a、b、c、d無法組成其它的四位數，不合題意.由于每一個X對應一個X,所以滿足條件的四位數X共有48個.23. 7543【解析】從題中可以看出，這4個數都不為0.設這4個不同的數從小到大依次為a,b,c,d,它們組成的24個四位數中，第二小的是abdc,是5的倍數，又C不為

22、0,所以C5.它們組成的24個四位數中，第二大的是麻，是2的倍數但不是4的倍數，所以b是偶數，而ab不是4的倍數.由b是偶數且bc5知b為4或2.若為2,那么a1，但此時近12是4的倍數，矛盾，所以，又而不是4的倍數，所以a為1或3.它們組成的24個四位數中，第五小的為嬴（最小的5個依次為abcdaabdc）acbd）acdb）adbc）第五大（第二十小）的為dacb（最大的5個依次為福）第9頁dcabddbca,dbac,dacb),月斤以dacbadbc彳導至的四婁攵的千位為3.由于ad,所以氤痂，那么減法算式中百位要向千位借位，所以d1a3,故da4.又dc5,所以a1,那么a3,d7,

23、它們組成的24個四位數中最大的為百，即7543.24.十進制：1110011000000500131215【解析】對于這種進位制計算，一般先將其轉化成我們熟悉的十進制，再將結果轉化成相應的進制：(101)2(1011)2(11011)2(5)10(11)10(27)10(28)10(11100)10；可轉化成十進制來計算：如果對進制的知識較熟悉，可直接在二進制下對(10101)2(也進行除法計算，只是每次借位都是2,可得(11000111)2(10101)2(11)2(11000111)2(111)2(11000000)2"本題涉及到3個不同的進位制，應統一到一個進制下.統一到十進制

24、比較適宜：十進制中，兩個數的和是整十整百整千的話，我們稱為“互補數”，湊出“互補數”的這種方法叫“湊整法”，在n進制中也有“湊整法”，要第10頁湊的就是整n.原式(63121)8(1247)8(26531)8(16034)8(1744"若(1030)140,則n33n140,經試驗可得n525.1067,4232,10001101112344438【解析】本題是進制的直接轉化：567(1067)原式原式26.6(4232月(1000110111)2*1234(456322)12341000234；14438(31235766)(712011770)144381000020000443

25、8.【解析】利用尾數分析來解決這個問題：由于（4）1。（3）1。（12）、由于式中為100,尾數為0,也就是說已經將12全部進到上一位.所以說進位制n為12的約數，也就是12,6,4,3,2中的一個.但是式子中出現了4,所以n要比4大，不可能是4,3,2進制.另外）由于（4L（13）10（52解）因為52100）也就是說不到10就已經進位，才能是100,于是知道n10,那么n不能是12.所以，n只能是6.第11頁27. 7【解析I注意(125),0(125),0(15625),0,因為1562516324,所以一定是不到10就已經進位，才能得到16324,所以n10.再注意尾數分析，a。(加g

26、o,而16324的末位為4,于是25421進到上一位.所以說進位制n為21的約數，又小于10,也就是可能為7或3.因為出現了6,所以n只能是7.28. 8【解析】注意到尾數，在足夠大的進位制中有乘積的個位數字為4520,但是現在為4,說明進走204%所以進位制為16的約數，可能為16、8、4或2.因為原式中有數字5,所以不可能為4、2進位,而在十進制中有1534253835043214,所以在原式中不到10就有進位，即進位制小于10,于是原式為8進制.29. 26.75【解析】根據二進制與十進制之間的轉化方法，(11010.11)2=1X24+1X23+0X22+1X21+0X20+1X2-1

27、+1X第12頁2-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=26.75。30. 25363255【解析】根據二進制與八進制之間的轉化方法推導出二八對照表:八進制數01234567一進制數000001010011100101110111從后往前取三合一進行求解，可以得知(10101011110011010101101)2=(25363255)8。31.E9.B【解析】在轉換為高于9進制的數時，遇到大于9的數用字母代替，如：A代表10、B代表11、C代表12、D代表13。根據取四合一法，二進制11101001.1011轉換為十六進制為E9.B。32.5【解析】由于32=9,所以由三進制化為9進制

28、需要取二合一。從后兩個兩個的取，取至最前邊為12,用位值原理將其化為1X31+2X30=5,所以化為9進制數后第一位為5.33.31第13頁【解析】因為祛碼的克數恰好是1,2,4,8,16,而二進位制數從右往左數各位數字分別表示：1,2,22=4,23=8,24=16,在祛碼盤上放1克祛碼認為是二進位制數第一位(從右數)是1,放2克祛碼認為是二進位制數第二位是1,，放16克祛碼認為是二進位制數第五位是1,不放祛碼就認為相應位數是零，這樣所表示的數中最小的是1,最大的是(11111)2=24+23+22+21+20=(31)10,這就是說1至31的每個整數(克)土勻能稱出。所以共可以稱出31種不

29、同重量的物體。34. 212【解析】(abc)6=aX62+bx6+c=36a+6b+c;(cba)9=cX92+bX9+a=81c+9b+a;所以36a+6b+c=81c+9b+a;于是35a=3b+80c;因為35a是5的倍數，80c也是5的倍數.所以3b也必須是5的倍數，又(3,5)=1.所以，b=0或5.當b=0,貝U35a=80c;貝U7a=16c;(7)16)=1)并且a、c#0)所以a=16)c=7o但是在6,9進制，不可以有一個數字為16.當b=5)則35a=3X5+80c;則7a=3+16c;mod7后，3+2c三0。所以c=2或者2+7k(k為整數),因第14頁為有6進制，

30、所以不可能有9或者9以上的數,于是c=2;35a=15+80X2）a=5。所以（abc）6=（552）6=5X62+5X6+2=212。這個三位數在十進制中為212。35. 248【解析】首先還原為十進制:48a80c2b,即24a40cb.于是49a7bc81c9ba*彳導至！因為24a是8的倍數，40c也是8的倍數，所以b也應該是8的倍數）于是b0或8.但是在7進制下，不可能有8這個數字.于是b24a40c,貝（J3a5c.所以a為5的倍數，c為3的倍數.所以，a0或5,但是,位不可以是0,于是a5)c3所以（abc）7（503）75493248.于是，這個三位數在十進制中為248.36.

31、 21【解析】設這個人為a歲，得加亞，樂a310303a.。）解得a0）不合題意）所以這個人的年齡不可能是一位數.ab（io）ab0（3）.設這個人是ab歲，由題意得:因為ab(10)10ab,ab0a32b310309a3b,所以10ab9a3b)第15頁即a2b.又因為說是三進制數，a,b都小于3,所以a2,b1.所以，這個人為21歲.設這個人為荻歲，由題意有,abc(i0)abc0(3)因為abc(10)100a10bc,abc0(3)a33b32c327a9b3c,所以100a10bc27a9b3c.即73ab2c.又a、b、c都小于3,所以上述等式不成立.所以這個人的年齡不可能是三位數.綜上可知這個人的年齡是21歲.37. 18【解析】設b是所求的最小正整數，7b27b7x4xN,因為質數7能整除7b27b7,所以也能整除x,不妨設x7m,m是大于0的自然數。則：7b27b77m4,化簡得：