1、一、簡答題 1、分別簡單敘說算術與代數的解題方法基本思想，并且比較 它們的區別。 答：算術解題方法的基本思想：首先要圍繞所求的數量， 收集和整理各種已知的數據，并依據問題的條件列出關于這些具 體數據的算式，然后通過四則運算求得算式的結果。代數解題方法的基本思想是：首先依據問題的條件組成內含 已知數和未知數的代數式，并按等量關系列出方程，然后通過對 方程進行恒等變換求出未知數的值。 它們的區別在于算術解題參與的量必須是已知的量，而代數 解題允許未知的量參與運算；算術方法的關鍵之處是列算式，而 代數方法的關鍵之處是列方程。2、比較決定性現象和隨機性現象的特點，簡單敘說確定數 學的局限。 答：人們常

2、常遇到兩類截然不同的現象，一類是決定性 現象，另一類是隨機現象。決定性現象的特點是：在一定的條 件下，其結果可以唯一確定。因此決定性現象的條件和結果之 間存在著必然的聯系，所以事先可以預知結果如何。 隨機現象的特點是：在一定的條件下，可能發生某種結果， 也可能不發生某種結果。對于這類現象，由于條件和結果之間不 存在必然性聯系。 在數學學科中，人們常常把研究決定性現象數量規律的那些 數學分支稱為確定數學。用這些的分支來定量地描述某些決定性 現象的運動和變化過程，從而確定結果。但是由于隨機現象條件 和結果之間不存在必然性聯系，因此不能用確定數學來加以定量 描述。同時確定數學也無法定量地揭示大量同類

3、隨機現象中所蘊 涵的規律性。這些是確定數學的局限所在。3敘述抽象的含義及其過程。答：抽象是指在認識事物的過程中，舍棄那些個別的、偶然的非本質屬性，抽取普遍的、必然的本質屬性，形成科學概念，從而把握事物的本質和規律的思維過程。人們在思維中對對象的抽象是從對對象的比較和區分開始的。所謂比較，就是在思維中確定對象之間的相同點和不同點；而所謂區分，則是把比較得到的相同點和不同點在思維中固定下來，利用它們把對象分為不同的類。然后再進行舍棄與收括，舍棄是指在思維中不考慮對象的某些性質，收括則是指把對象的我們所需要的性質固定下來，并用詞表達出來。這就形成了抽象的概念，同時也就形成了表示這個概念的詞，于是完成

4、了一個抽象過程。4、括的含義及其過程。答：概括是指在認識事物屬性的過程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本質的屬性聯系起來，整理推廣到同類的全體事物，從而形成這類事物的普遍概念的思維過程。概括通常可分為經驗概括和理論概括兩種。經驗概括是從事實出發，以對個別事物所做的觀察陳述為基礎，上升為普遍的認識由對個體特性的認識上升為對個體所屬的種的特性的認識。理論概括則是指在經驗概括的基礎上，由對種的特性的認識上升為對種所屬的屬的特性的認識，從而達到對客觀世界的規律的認識。在數學中經常使用的是理論概括。一個概括過程包括比較、區分、擴張和分析等幾個主要環節5、簡述公理方法歷史發展的各個階段答：公理方法經歷

5、了具體的公理體系、抽象的公理體系和形式化的公理體系三個階段。第一個具體的公理體系就是歐幾里得的幾何原本。非歐幾何是抽象的公理體系的典型代表。希爾伯特的幾何基礎開創了形式化的公理體系的先河，現代數學的幾乎所有理論都是用形式公理體系表述出來的，現代科學也盡量采用形式公理法作為研究和表述手段。6、簡述化歸方法并舉例說明。答：所謂“化歸”，從字面上看，應可理解為轉化和歸結的意思。數學方法論中所論及的“化歸方法”是指數學家們把待解決或未解決的問題，通過某種轉化過程，歸結到一類已經能解決或者比較容易解決的問題中去，最終求獲原問題之解答的一種手段和方法。例如：要求解四次方程   

6、; 可以令    ，將原方程化為關于    的二次方程   這個方程我們會求其解： 和 ，從而得到兩個二次方程： 和 這也是我們會求解的方程，解它們便得到原方程的解： ， ， ， .這里所用的就是化歸方法。7、簡述計算和算法的含義。答：計算是指根據已知數量通過數學方法求得未知數的過程，是一種最基本的數學思想方法。隨著電子計算機的廣泛應用，計算的重要意義更加凸現，主要表現在以下幾個方面：(1)推動了數學的應用；(2)加快了科學的數學化進程；(3)促進了數學自身的發展。算法是由一組有限的規則所組成的一個過程。所謂一個算

7、法它實質上是解決一類問題的一個處方，它包括一套指令，只要按照指令一步一步地進行操作，就能引導到問題的解決。在一個算法中，每一個步驟必須規定得精確和明白，不會產生歧義，并且一個算法在按有限的步驟解決問題后必須結束。數學中的許多問題都可以歸結為尋找算法或判斷有無算法的問題，因此，算法對數學中的許多問題的解決有著決定性作用。另外，算法在日常生活、社會生產和科學技術中也有著重要意義。算法在科學技術中的意義主要體現在如下幾個方面：(1)用于表述科學結論的一種形式；(2)作為表述一個復雜過程的方法；(3)減輕腦力勞動的一種手段；(4)作為研究和解決新問題的手段；(5)作為一種基本的數學工具。8簡述數學教學

8、中引起“分類討論”的原因。答：數學教學中引起“分類討論”的原因有：數學中的許多概念的定義是分類給出的，因此涉及到這些概念時要分類討論；數學中有些運算性質、運算法則是分類給出的，進行這類運算時要分類討論；有些幾何問題，根據題設不能只用一個圖形表達，必須全面考慮各種不同的位置關系，需要分類討論；許多數學問題中含有字母參數，隨著參數取值不同，會使問題出現不同的結果。因此需要對字母參數的取值情況進行分類討論。9簡述國家數學課程標準的幾個主要特點。答：把“現實數學”作為數學課程的一項內容；把“數學化”作為數學課程的一個目標；把“再創造”作為數學教育的一條原則。把“已完成的數學”當成是“未完成的數學”來教

9、，給學生提供“再創造”的機會；把“問題解決”作為數學教學的一種模式；把“數學思想方法”作為課程體系的一條主線。要求學生掌握基本的數學思想方法；把“數學活動”作為數學課程的一個方面。強調學生的數學活動，注重“向學生提供充分從事數學活動的機會”，幫助他們“獲得廣泛的數學活動的經驗”；把“合作交流”看成學生學習數學的一種方式。要讓學生在解決問題的過程中“學會與他人合作”，并能“與他人交流思維的過程和結果”；把“現代信息技術”作為學生學習數學的一種工具。10簡述數學思想方法教學的主要階段。答：數學思想方法教學主要有三個階段：多次孕育、初步理解和簡單應用三個階段。二、論述題 1、論述社會科學數學化的主要

10、原因。 答：從整個科學發展趨勢來看，社會科學的數學化也是必 然的趨勢，其主要原因可以歸結為有下面四個方面： 第一，社會管理需要精確化的定量依據，這是促使社會科學 數學化的最根本的因素。 第二，社會科學的各分支逐步走向成熟，社會科學理論體系 的發展也需要精確化。 第三，隨著數學的進一步發展，它出現了一些適合研究社會 歷史現象的新的數學分支。 第四，電子計算機的發展與應用，使非常復雜社會現象經過 量化后可以進行數值處理。 2、論述數學的三次危機對數學發展的作用。 答：第一次數學危機促使人們去認識和理解無理數，導致 了公理幾何與邏輯的產生。 第二次數學危機促使人們去深入探討實數理論，導致了分析 基礎

11、理論的完善和集合論的產生。 第三次數學危機促使人們研究和分析數學悖論，導致了數理 邏輯和一批現代數學的產生。 由此可見，數學危機的解決，往往給數學帶來新的內容，新 的進展，甚至引起革命性的變革，這也反映出矛盾斗爭是事物發 展的歷史動力這一基本原理。整個數學的發展史就是矛盾斗爭的 歷史，斗爭的結果就是數學領域的發展。3、敘述不完全歸納法的推理形式，并舉一個應用不完全歸納法的例子。答：不完全歸納法的一般推理形式是：設S= ；由于具有屬性p，具有屬性p，具有屬性p，因此推斷S類事物中的每一個對象都可能具有屬性p。4、敘述類比推理的形式。如何提高類比的可靠性？答：類比推理通常可用下列形式來表示：A具有

12、性質B具有性質因此，B也可能具有性質。其中，分別相同或相似。欲提高類比的可靠性，應盡量滿足條件：(1)A與B共同(或相似)的屬性盡可能地多些；(2)這些共同(或相似)的屬性應是類比對象A與B的主要屬性；(3)這些共同(或相似)的屬性應包括類比對象的各個不同方面，并且盡可能是多方面的；(4)可遷移的屬性d應該是和屬于同一類型。符合上述條件的類比，其結論的可靠性雖然可以得到提高，但仍不能保證結論一定正確。5、試比較歸納猜想與類比猜想的異同。答：歸納猜想與類比猜想的共同點是：他們都是一種猜想，即一種推測性的判斷，都是一種合情推理，其結論具有或然性，或者經過邏輯推理證明其為真，或者舉出反例予以反駁。歸

13、納猜想與類比猜想的不同點是：歸納猜想是運用歸納法得到的猜想，是一種由特殊到一般的推理形式，其思維步驟為“特例歸納猜測”。類比猜想是運用類比法得到的猜想，是一種由特殊到特殊的推理形式，其思維步驟為“聯想類比猜測”。6、什么是數學模型方法？并用框圖表示MM方法解題的基本步驟。答：所謂數學模型方法是利用數學模型解決問題的一般數學方法，簡稱MM方法。MM方法解題的基本步驟框圖表示如下：7、特殊化方法在數學教學中有哪些應用？答：特殊化方法在數學教學中的應用大致有如下幾個方面：利用特殊值(圖形)解選擇題；利用特殊化探求問題結論；利用特例檢驗一般結果；利用特殊化探索解題思路。8試述小學數學加強數學思想方法教

14、學的重要性。答：數學思想方法是聯系知識與能力的紐帶，是數學科學的靈魂，它對發展學生的數學能力，提高學生的思維品質都具有十分重要的作用。具體表現在：(1)掌握數學思想方法能更好地理解數學知識。(2)數學思想方法對數學問題的解決有著重要的作用。(3)加強數學思想方法的教學是以學生發展為本的必然要求。9、簡述數學思想方法教學應注意哪些事項？答：數學思想方法教學應注意以下事項：(1)把數學思想方法的教學納入教學目標；(2) 重視數學知識發生、發展的過程，認真設計數學思想方法教學的目標；(3) 做好數學思想方法教學的鋪墊工作和鞏固工作；(4) 不同數學思想方法應有不同的教學要求；(5)注意不同數學思想方

15、法的綜合應用。13、 分析題4、 幾何原本思想方法的特點，為什么？ 答：（1）封閉的演繹體系 因為在幾何原本中，除了推導時所需要的邏輯規則外， 每個定理的證明所采用的論據均是公設、公理或前面已經證明過 的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合邏輯上 對概念下定義的要求，原則上不再依賴其它東西。因此幾何原 本是一個封閉的演繹體系。另外，幾何原本的理論體系回避任何與社會生產現實生 活有關的應用問題，因此對于社會生活的各個領域來說，它也是 封閉的。所以，幾何原本是一個封閉的演繹體系。 （2）抽象化的內容 ：幾何原本中研究的對象都是抽象的概念和命題，它所探 討的是這些概念和命題之間的邏輯關系

16、，不討論這些概念和命題 與社會生活之間的關系，也不考察這些數學模型所由之產生的現實原型。因此幾何原本的內容是抽象的。（3）公理化的方法：幾何原本的第一篇中開頭5個公設和5個公理，是全書其 它命題證明的基本前提，接著給出23個定義，然后再逐步引入 和證明定理。定理的引入是有序的，在一個定理的證明中，允許采用的論據只有公設和公理與前面已經證明過的定理。以后各篇 除了不再給出公設和公理外也都照此辦理。這種處理知識體系與 表述方法就是公理化方法。 2、分析九章算術思想方法的特點，為什么？ 答：（1）開放的歸納體系：從九章算術的內容可以看出，它是以應用問題解法集成 的體例編纂而成的書，因此它是一個與社會

17、實踐緊密聯系的開放 體系。 在九章算術中通常是先舉出一些問題，從中歸納出某一 類問題的一般解法；再把各類算法綜合起來，得到解決該領域中 各種問題的方法；最后，把解決各領域中問題的數學方法全部綜 合起來，就得到整個九章算術。另外該書還按解決問題的不同數學方法進行歸納，從這些 方法中提煉出數學模型，最后再以數學模型立章寫入九章算 術。 因此，九章算術是一個開放的歸納體系。（2）算法化的內容 ：九章算術在每一章內先列舉若干個實際問題，并對每 個問題都給出答案，然后再給出“術”，作為一類問題的共同解 法。因此，內容的算法化是九章算術思想方法上的特點之 一。 （3）模型化的方法 ：九章算術各章都是先從相

18、應的社會實踐中選擇具有典 型意義的現實原型，并把它們表述成問題，然后通過“術”使其轉 化為數學模型。當然有的章采取的是由數學模型到原型的過 程，即先給出數學模型，然后再舉出可以應用的原型。3用下列材料，請你設計一個“數形結合”教學片斷。材料：如圖13-3-18所示，相鄰四點連成的小正方形面積為1平方厘米。(1)分別連接各點，組成下面12個圖形，你發現有什么排列規律？(2)求出各圖形外面一周的點子數、中間的點子數以及各圖形的面積，找出一周的點子數、中間的點子數、各圖形的面積三者之間的關系。教學片斷設計如下：一、找圖的排列規律師：同學們看圖，找出圖的排列規律來。（學生可以討論）生：老師我們發現，第

19、一行的圖中間沒有點，第二行的圖中間有一個點，第三行的圖中間有兩個點。師：非常好！二、數一數每個圖周邊的點數師：現在我們來數一數每個圖周邊的點數。并將結果填入下列表中。（師生一起數）三、計算面積師：數完邊點數，我們再來計算每個圖的面積。結果也填入表中。（師生一起計算面積，過程略） 圖形邊上點數內部點數面積401(2)6023)803(4)1406(5)412(6)613(7)814(8)1417(9)423(10)624(11)825(12)1428四、尋找每一列三個數之間的規律師：我們根據這個表，找一找每列三個數之間的關系。告訴同學們，希望找到相同的規律。生：第一列，邊點數等于面積乘以4。師：

20、這個規律能否用到第二列呢？生：不能，因為6不等于2乘以4。生2：第一列，邊點數除以2，減去面積等于1。師：好！看看這個規律能否用到第二列？生：能。還能用到第三、第四列。生2：老師，這個規律不能用到第五列。師：很好！我們看看這個規律到第五列可以怎樣改一改。生：我發現了，邊點數除以2，加上內點數，再減去面積等于1。師：非常好！大家一起算一算，是不是每一列都具有這個規律。五、總結師：我們把發現的規律總結成公式：邊點數/2內點數面積1也可以寫為：邊點數/2內點數1面積4、假定學生已有了除法商的不變性知識和經驗，在學習分數的性質時，請你設計一個孕育“類比法”教學片斷。提示：所設計的教學片斷要求(1)以小

21、組合作探究的形式，讓學生舉例說明除法的被除數和除數與分數的分子和分母之間存在什么樣的關系(相似關系)？商與分數又有什么關系(相似關系)？那么與被除數、除數同時擴大或縮小相同的倍數其商不變相似的結論又是什么呢？。教學片斷設計如下：一、回憶除法和分數的有關概念師：同學們還記得除法的哪些概念和記號？生：被除數÷除數商師：對。我們再回憶分數的概念和記號。師：好。大家一起來比較這兩個概念的相似性。生：商好比分數，被除數好比分子。除數好比分母。二、回憶除法的性質師：很好。現在我們回憶除法有哪些性質。生：被除數與除數同時擴大，商不變。生2：被除數與除數同時縮小，商也不變。三、類比出分數的性質師：對

22、。剛才我們知道商好比分數，因此我們可以問：除法的這些性質是否可以類比到分數上來呀？生：可以。師：應該怎樣類比呢？生：分子與分母同時擴大，分數不變。生2：分子與分母同時縮小，分數不變。四、總結成公式師：很好！這些性質怎樣用公式表示呢？生：可以列表如下：除法分數除法的表示：A÷B分數的表示：性質(一)：若M0，則(A×M)÷(B×M)= A÷B分數的性質(一)：若M0，則性質(二)：若M0，則(A÷M)÷(B÷M)= A÷B分數的性質(二)：若M0，則性質(三)：A÷B÷C=A÷

23、(B×C)分數的性質(三)：性質(四)：(A÷B)÷(C÷D)= (A×D)÷(B×C)分數的性質(四)：小學數學數形結合思想一、數形結合的思想方法 數與形是數學教學研究對象的兩個側面,把數量關系和空間形式結合起來去分析問題、解決問題,就是數形結合思想。“數形結合”可以借助簡單的圖形、符號和文字所作的示意圖,促進學生形象思維和抽象思維的協調發展,溝通數學知識之間的聯系,從復雜的數量關系中凸顯最本質的特征。它是小學數學教材編排的重要原則,也是小學數學教材的一個重要特點,更是解決問題時常用的方法。 例如,我們常用畫線段圖的方法來

24、解答應用題,這是用圖形來代替數量關系的一種方法。我們又可以通過代數方法來研究幾何圖形的周長、面積、體積等,這些都體現了數形結合的思想。 二、集合的思想方法 把一組對象放在一起,作為討論的范圍,這是人類早期就有的思想方法,繼而把一定程度抽象了的思維對象,如數學上的點、數、式放在一起作為研究對象,這種思想就是集合思想。集合思想作為一種思想,在小學數學中就有所體現。在小學數學中,集合概念是通過畫集合圖的辦法來滲透的。 如用圓圈圖(韋恩圖)向學生直觀的滲透集合概念。讓他們感知圈內的物體具有某種共同的屬性,可以看作一個整體,這個整體就是一個集合。利用圖形間的關系則可向學生滲透集合之間的關系,如長方形集合

25、包含正方形集合,平行四邊形集合包含長方形集合,四邊形集合又包含平行四邊行集合等。 三、對應的思想方法 對應是人的思維對兩個集合間問題聯系的把握,是現代數學的一個最基本的概念。小學數學教學中主要利用虛線、實線、箭頭、計數器等圖形將元素與元素、實物與實物、數與算式、量與量聯系起來,滲透對應思想。如人教版一年級上冊教材中,分別將小兔和磚頭、小豬和木頭、小白兔和蘿卜、蘋果和梨一一對應后,進行多少的比較學習,向學生滲透了事物間的對應關系,為學生解決問題提供了思想方法。 四、函數的思想方法 恩格斯說:“數學中的轉折點是笛卡兒的變數。有了變數,運動進入了數學,有了變數,辯證法進入了數學,有了變數,微分和積分

26、也就立刻成為必要的了。”我們知道,運動、變化是客觀事物的本質屬性。函數思想的可貴之處正在于它是運動、變化的觀點去反映客觀事物數量間的相互聯系和內在規律的。學生對函數概念的理解有一個過程。在小學數學教學中,教師在處理一些問題時就要做到心中有函數思想,注意滲透函數思想。 函數思想在人教版一年級上冊教材中就有滲透。如讓學生觀察20以內進位加法表,發現加數的變化引起的和的變化的規律等,都較好的滲透了函數的思想,其目的都在于幫助學生形成初步的函數概念。 五、極限的思想方法 極限的思想方法是人們從有限中認識無限,從近似中認識精確,從量變中認識質變的一種數學思想方法,它是事物轉化的重要環節,了解它有重要意義

27、。 現行小學教材中有許多處注意了極限思想的滲透。在“自然數”、“奇數”、“偶數”這些概念教學時,教師可讓學生體會自然數是數不完的,奇數、偶數的個數有無限多個,讓學生初步體會“無限”思想;在循環小數這一部分內容中,1÷3=0.333是一循環小數,它的小數點后面的數字是寫不完的,是無限的;在直線、射線、平行線的教學時,可讓學生體會線的兩端是可以無限延長的。 六、化歸的思想方法 化歸是解決數學問題常用的思想方法。化歸,是指將有待解決或未解決的問題,通過轉化過程,歸結為一類已經解決或較易解決的問題中去,以求得解決。客觀事物是不斷發展變化的,事物之間的相互聯系和轉化,是現實世界的普遍規律。數學中充滿了矛盾,如已知和未知、復雜和簡單、熟悉和陌生、困難和容易等,實現這些矛盾的轉化,化未知為已知,化復雜為簡單,化陌生為