1、太原工業學院理學系數值計算課程設計報告題目 曲線擬合的最小二乘方法 姓名 學號 專業 信息與計算科學 一、問題敘述1、基本知識回顧當已知數據量很大且含有誤差時，作高次多項式的代數插值顯然是不可行的。除了可用分段插值，特別是樣條插值，數據的擬合也是比較常用的。假設給定一組數據,設有 ,其中 是給定的一組函數，為待定的系數，顯然我們不能要求所有的點都在函數定義的曲線上，因此其殘差 ， 通常不為零。成為殘差向量。式中函數“接近”已知的信息，應從某種意義上使殘差向量盡可能小。殘差向量的2-范數為 它是關于特定系數的函數。極小殘差向量，則要求 ， 經過簡單計算知上式等價于 它是關于的線性方程組。將它改寫

2、成矩陣形式 ，則其中的 最簡單的是取函數為次的多項式，即 ，其中。這時矩陣，這里 ， ， 當比較大時，是嚴重病態的。為驗證這一點，將區間【0,1】等分為個小區間，是第個小區間中的點。則對任意的， ，所以矩陣元素（當較大時）近似為 2、簡述問題（1）已知在測量小車（恒速）位移（）和時間()的關系時，測得的數據如下： 表1 小車時間()和位移關系（）關系012345678902478912141518（2）對某日隔兩小時測一次氣溫。設時間為 ,氣溫為，i=0，2 ，4，24。數據如下：表2 溫度()隨時間( )變化關系0246810121416182022241514141620232827262

3、5221816二、問題分析 當已知數據量很大且含有誤差時，作高次多項式的代數插值顯然是不可行的。除了可用分段插值，特別是樣條插值，數據的擬合也是比較常用的。第（1）小題我們從圖（1）左圖中可以看出其基本為直線趨勢，所以擬合的曲線應該是一次直線，我們分別用三次樣條插值法和最小二乘一次擬合進行較.第（2）小題：用精確的解析式子描述一天的氣溫變化規律是不可能的也是沒有必要的，但根據所測得的數據，可以用擬合數據方法求出近似的解析式子。根據一天內氣溫的變化趨勢，我們可以看出用三次多項式擬合比較合理。三、程序及實驗結果(1)首先畫出數據的散點圖，輸入x=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9;y=0 2

4、4 7 8 9 12 14 15 18;subplot(1,2,1);plot(x,y,'o')grid on圖（1）左圖從圖（1）左圖中可以看出其基本為直線趨勢，所以擬合的曲線應該是一次直線，我分別用三次樣條插值法和最小二乘一次擬合進行比較，下面是借Matlab 工具進行作圖，圖形圖（1）右圖。其程序如下：x=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9;y=0 2 4 7 8 9 12 14 15 18;p=polyfit(x,y,1)x1=0:0.01:9;y1=polyval(p,x1);x2=0:0.01:9;y2=interp1(x,y,x2,'spline

5、9;);subplot(1,2,2);plot(x1,y1,'k',x2,y2,'r')grid onp = 1.9333 0.2000圖（1）右圖(2) 用精確的解析式子描述一天的氣溫變化規律是不可能的也是沒有必要的，但根據所測得的數據，可以用擬合數據方法求出近似的解析式子。根據一天內氣溫的變化趨勢，我們可以看出用三次多項式擬合比較合理。其程序如下：x=0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24;y=15 14 14 16 20 23 26 27 26 25 22 18 16;plot(x,y,'o');grid onh

6、old onp=polyfit(x,y,3)x1=0:0.01:24;y1=polyval(p,x1);plot(x1,y1,'r')axis(0 24 12 28)p = -0.0061 0.1474 -0.0246 13.7390圖（2）溫度變化圖四、結論在圖1左圖是實際測得的數據，右圖中的紅色曲線表示是三次樣條插值法，黑色直線是最小二乘法擬合所得。從圖1比較中我們可以很明顯的看出，插值曲線要求嚴格通過所給的每一個數據點，這會保留所給數據的誤差，如果個別數據誤差很大，那么插值效果顯然不好。也就是說我們所給的數據本身不一定可靠，但是由于所給的數據很多，這就要求從所給的一大堆看

7、上去雜亂無章的數據中找出規律來，在這種情況下我們利用最小二乘法擬合可以得到一條曲線(所謂擬合曲線)來反映所給數據點總的趨勢，以消除局部的波動。圖 2 的圖形可以大致反映該天的天氣變化，如果想知道某一時刻的大致溫度，我們可以從圖中估計出來，當然也可以利用我們所做數據擬合的曲線方程求出大致的溫度。在上面的程序中，運行后會得到p 的值，即為多項式的系數，由高次向低排列。如本題想要得到17 點的大致溫度，我們可以利用polyval( )函數，它是求多項式在某一點處的函數值，其格式為 y=polyval(p,x) 式中，p 是多項式的系數，y 是擬合多項式在點x 處的值。在本例題中求得 p=-0.0061,0.1474,-0.0246,13.7390, 即擬合的